www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng – Phiªn b¶n 1.0
_______________________________________________________________
C©u I.
1) Chûáng tá r»ng hÖ thûác
kb2
2=(k+1)2
2ac (k ¹-1)
lµ ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó phû¬ng tr×nh bËc hai
ax2+bx+c=0 (a¹0)
cã hai nghiÖm, trong ®ã mét nghiÖm b»ng k lÇn nghiÖm kia.
2) a, b, c lµ 3 sè kh¸c 0. Chûáng minh r»ng
a
b+b
c+c
a
a
b+b
c+c
a
2
2
2
2
2
2≥.
C©u II. 1) Gi¶i phû¬ng tr×nh
2sin 3x + 4= 1 + 8sin2x cos 2x
2
π
;
2) Gi¶i phû¬ng tr×nh
x+2 x-1+ x-2 x-1= x+3
2.
C©u III.
Tûá diÖn SABC cã c¸c mÆt SAB, SBC, SCA tû¬ng ®û¬ng, vµ tæng c¸c gãc ph¼ng ë ®Ønh S b»ng 1800
o.Chûáng tá r»ng c¸c
c¹nh ®èi cña tûá diÖn lµ b»ng nhau tûâng ®«i mét.
C©u I. 1) Trûíc hÕt ta h·y chøng tá r»ng tõ hÖ thøc ®· cho, suy ra phû¬ng tr×nh cã nghiÖm. Qu¶ vËy nÕuk=0,suyraac=0Þc
=0 (v× a ¹0), vËy phû¬ng tr×nh cã nghiÖm. NÕu k ¹0(k¹- 1), suy ra
b2=(k+1)
2ac
kÞac
k³0,
do vËy:
D=b
2- 4ac = (k + 1)
k-4
2
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
úac=(k-1)
2.ac
k³0.
Gäi x1,x
2lµ c¸c nghiÖm cña phû¬ng tr×nh bËc hai. Theo c¸c hÖ thøc Viet:
(x1-kx
2)(x2-kx
1)=(1+k
2)x1x2-k(
x+x
1
2
2
2)=(1+k
2)x1x2- k[(x1+x
2)2-2x
1x2]=
=(1+k
2)c
a-k b
a-2
c
a=(k + 1) ac - kb
a
2
2
22
2
æ
è
ç
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
÷
ta ®ûîc kÕt qu¶ cÇn chøng minh.
2) NÕu A, B, C lµ ba sè kh«ng ©m, th× ta cã
A+B+C³33ABC,
vµ víi mäi A, B, C ta lu«n cã A2+B
2+C
2³1
3(A+B+C)
2
v× nã tû¬ng ®û¬ng víi
3A2+3B
2+3C
2³A2+B
2+C
2+ 2AB + 2BC + 2CA
hay
(A-B)
2+(B-C)
2+(C-A)
2³0.
V× vËy
a
b+b
c+c
a
1
3
a
b+b
c+c
a
2
2
2
2
2
2³½
½
½½
½
½½
½
½½
½
½½
½
½½
½
½
æ
è
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
÷
2
³1
3
a
b+b
c+c
a.33 a
b
½
½
½½
½
½½
½
½½
½
½½
½
½½
½
½
æ
è
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
÷
½
½
½½
½
½b
c
c
a
½
½
½½
½
½½
½
½½
½
½=
www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng
_______________________________________________________________
=a
b+b
c+c
a
a
b+b
c+c
a
½
½
½½
½
½½
½
½½
½
½½
½
½½
½
½³.
C©u II. 1) Phû¬ng tr×nh ®· cho tû¬ng ®û¬ng víi
sin( ) ( )
sin ( ) sin cos ( )
3401
43
418 2 2 2
22
x
xxx
+³
+=+
ì
í
ï
ï
ï
p
p
ï
î
ï
ï
ï
ï
Gi¶i (2) : (2) æ
è
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
2 1 - cos 6x + 2= 1 + 8sin2xcos 2x
2
p
Û2(1 + sin6x)=1+8sin2x(1 - sin22x)
Û2(1 + 3sin2x - 4sin32x)=1+8sin2x - 8sin32x
Ûsin2x = 1
2Û
=+
=+
ì
í
ï
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
ï
Û
=+
=
262
25
62
12 3
5
1
1
2
xk
xk
xk
x
pp
pp
pp
p
()
24+
ì
í
ï
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
ïkp()
Thay thÕ (3), (4) vµo (1) :
sin( ) sin( )342
3
1
xk+= +
pp
p=12
121
khi k n
khi k n
=
-=+
ì
í
ï
ï
î
ï
ï
sin( ) sin( )34
3
23
2
xk+= +
pp
p=-=
=+
ì
í
ï
ï
î
ï
ï
12
121
khi k m
khi k m
VËy nghiÖm cña phû¬ng tr×nh lµ
x=12 +2n ,x=5
12 + (2m + 1) (n, m )
ppppêZ
2) Trûíc hÕt xÐt hµm
y= x+2 x-1+ x-2 x-1
.
Hµm sè ®ûîc x¸c ®Þnh khi x ³1,bëiv×khi®ãx-1³0vµtacã:
www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng
_______________________________________________________________
y= (x - 1) + 2 x-1+1+ (x-1)-2 x-1+1=( x-1+1) + ( x-1-1)
22
=
2 khi 1 £x£2,
=x-1+1+| x-1-1|
=
2x-1
khi x ³2.VËy:
a) nÕu 1£x£2, ta cã phû¬ng tr×nh
2=x+3
2Þx=1(nghiÖm thÝch hîp);
b) nÕu x³2, ta cã phû¬ng tr×nh
2x-1=
x+3
2Þx=5(nghiÖm thÝch hîp).
Tãm l¹i phû¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm x=1,x=5.
C©u III. §Æt a=SA,b=SB,c=SC,a=BSC
^
,b=CSA
^
,
g=ASB
^
.VËy abgp++ =.C¸c mÆt ASB, BSC, CSA cã diÖn tÝch b»ng nhau, suy ra
absing= bcsina= acsinb
Þsin
a=sin
b=sin
c
abg
.
Xem tam gi¸c KLM cã c¸c gãc K=a,L=b,M=gvµ c¹nh LM=a.¸p dông ®Þnh lÝ hµm sin cho tam gi¸c nµy, ta
®ûîc
sin
a=sin
KM =sin
KL
abg
ÞKM=b,KL=c.
C¸c tam gi¸c ASB vµ KLM b»ng nhau (c.g.c), suy ra AB=c.Tû¬ng tù BC=a,AC=b.
www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng
_______________________________________________________________
www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng
___________________________________________________________________
C©u IVa.
1)
/2 n
n
0
Isinxdx
π
=∫ (n ∈ N). §Æt n1
usin x
dv sinxdx
−
=
=
⇒ n2
du (n 1)sin xcosxdx
vcosx
−
=−
=−
⇒
⇒ /2
0
/2
n1 n2 2
n
0
I cosxsin x (n 1)sin xcos xdx
ππ
−−
=− + −
∫ ⇒
⇒ nn2n
I(n1)I (n1)I
−
=− −−
⇒ nn2
n1
II
n−
−
= ⇒ n2 n
n1
II
n2
+
+
=+
2) Theo gi¶ thiÕt : nn1
f(n) (n 1)I .I +
=+ ⇒ n1 n2
f(n 1) (n 2)I .I
+
+
+
=+
mµ :
n2 n
n1
II
n2
+
+
=+ ⇒ n1 n
n1
f(n 1) (n 2)I I
n2
+
+
+= + + ⇒
⇒ f(n + 1) = (n + 1) nn1
I.I+ ⇒ f(n + 1) = f (n) .
C©u Va. Ta cã BO
JJJG
= (2, 4, 4) ⇒ BO
JJJG
= 6,
BA
JJJG
= (1, 6, 2) ⇒ BA
J
JJG
= 41 ,
BO.BA
JJJG JJJG
= 14 ⇒ cosB = 7
341
⇒ sinB = 85
341
,
vËy OO' = BO
JJJG. sinB = 16 5
41 .
C©u IVb.
1) DÔ thÊy CB ⊥ (SAB). ⇒ CB ⊥ AE SB ⊥ AE (gi¶ thiÕt)
⇒ AE ⊥ (SBC) ⇒ AE ⊥ SC.
T−¬ng tù, chøng minh ®−îc AF ⊥ SC VËy SC ⊥ (AEF).
2) DÔ thÊy r»ng tËp hîp ®iÓm P lµ nöa ®−êng trßn ®−êng kÝnh AC = a2
(n»m trong mÆt ph¼ng cè ®Þnh (CAx)) trõ ®iÓm C, A.
3) 2
P.ABCD 1
VVaPH
3
== víi PH lµ ®−êng cao cña h×nh chãp. Suy ra
2
3V
PH h
a
=
=
DÜ nhiªn h ph¶i tháa m·n ®iÒu kiÖn a2
h2
≤, tøc lµ 2
3V a 2
2
a
≤
hay
3
1a
VV 32
≤= .
Khi ®ã ta cã hai vÞ trÝ cña S trªn Ax ®Ó thÓ tÝch P.ABCD
V = V cho tr−íc.
S
A
BC
D
E
PF
H
I
