Đề tài: Khảo sát độ cong Gauss - độ cong trung bình và đường trắc địa của lớp các mặt thông dụng - mặt cực tiểu

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:95

Thêm vào BST

Báo xấu

138
lượt xem 25
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài: Khảo sát độ cong Gauss - độ cong trung bình và đường trắc địa của lớp các mặt thông dụng - mặt cực tiểu tập trung tìm hiểu về đường cong En, mặt trong E3, khảo sát độ cong trung bình và độ cong Gauss của mặt - độ cong trắc địa - cung trắc địa; mặt cực tiểu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề tài: Khảo sát độ cong Gauss - độ cong trung bình và đường trắc địa của lớp các mặt thông dụng - mặt cực tiểu

Khaûo saùt ñoä cong Gauss - ñoä cong trung bình vaø ñöôøng traéc ñòa cuûa lôùp caùc maët thoâng duïng - maët cöïc tieåu Hoaøng Coâng Phuùc Trường ĐHSP Tp.HCM, 2004
MUÏC LUÏC Trang LÔØI NOÙI ÑAÀU 1 CHÖÔNG 1 Caùc khaùi nieäm cô baûn veà ñöôøng – maët trong E3 1. Ñöôøng trong En 3 1.1. Cung trong En 3 1.2. Cung song chính quy trong E3 – Ñoä cong- Ñoä xoaén 4 3 2. Maët trong E 12 2.1. Maûnh tham soá – Caùc ñònh nghóa 12 2.2. AÙnh xaï Weingarten 14 2.3. Caùc daïng cô baûn I vaø II cuûa maët S – Ñoä cong 16 phaùp daïng. Coâng thöùc Meusnier vaø coâng thöùc Euler. 2.4. Nhöõng ñöôøng ñaùng chuù yù treân maët S trong E3 18 2.5. Toùm taét sô löôïc veà maët- coâng thöùc tính toaùn 25 CHÖÔNG 2. Khaûo saùt ñoä cong trung bình vaø ñoä cong Gauss 33 Cuûa maët - Ñoä cong traéc ñòa – Cung traéc ñòa I. Maët baäc hai 33 II. Maët sinh ra bôûi caùc ñöôøng tieáp tuyeán cuûa moät 51 ñöôøng cong trong R3 III. Maët keû 52 IV. Maët troøn xoay 61 CHÖÔNG 3. Maët cöïc tieåu 68 1. Maët Scherk 72 2.Maët Enneper 75 - Baûng toùm taét ñoä cong Gauss – Ñoä cong Trung bình 80 Ñoä cong traéc ñòa cuûa maët KEÁT LUAÄN 86 TAØI LIEÄU THAM KHAÛO
LÔØI NOÙI ÑAÀU Trong vaøi thaäp nieân gaàn ñaây Hình hoïc vi phaân phaùt trieån raát maïnh, ñoái töôïng nghieân cöùu laø hình hoïc treân caùc ña taïp khaû vi maø cô sôû ban ñaàu cuûa noù laø lyù thuyeát ñöôøng, maët trong E3. Vieäc naém vöõng caùc kieán thöùc ôû böôùc naøy seõ taïo ñieàu kieän thuaän lôïi cho nghieân cöùu hình hoïc vi phaân sau naøy. Khaûo saùt tính chaát noäi taïi laø moät trong nhöõng vaán ñeà ñöôïc quan taâm khi nghieân cöùu hình hoïc vi phaân treân ña taïp vì vaäy khaûo saùt ñoä cong Gauss, ñoä cong trung bình vaø ñöôøng traéc ñòa cuûa lôùp caùc maët thoâng duïng laø vaán ñeà khoâng theå thieáu. Ñeà taøi cuûa toâi ñaëc bieät quan taâm ñeán vaán ñeà naøy. Luaän vaên goàm 3 chöông - Chöông 1: Daønh cho vieäc nhaéc laïi moät soá pheùp tính lieân quan ôû treân ñaõ ñöôïc chöùng minh ôû caùc saùch veà hình vi phaân. Ñaây laø moät coâng cuï khoâng theå thieáu cho vieäc nghieân cöùu caùc phaàn sau. - Chöông 2: Daønh cho vieäc nghieân cöùu ñoä cong Gauss K, ñoä cong trung bình H ñoàng thôøi tìm caùc ñöôøng tham soá hoùa cuûa löôùi ñöôøng toïa ñoä ñoùng vai troø laø ñöôøng traéc ñòa treân maët thoâng duïng ñöôïc xeùt nhö maët caàu, Elipsoid Hyperboloid, eliptic moät taàng, hai taàng, parabolid eliptic, parabolid Hyperbolic, maët keû helicoid, Catenoid, xuyeán . . . 1
- Chöông 3: Trong lôùp caùc maët ña taïp treân ta quan taâm ñaëc bieät ñeán maët coù ñoä cong trung bình H = 0 maø ta goïi laø maët toái tieåu. Toâi xin ñöôïc baøy toû loøng bieát ôn chaân thaønh ñoái vôùi thaày Nguyeãn Haø Thanh Tieán só giaûng vieân khoa Toaùn – Tin tröôøng Ñaïi hoïc Sö phaïm Tp Hoà Chí Minh ñaõ heát söùc taän tình giuùp ñôõ toâi trong suoát quaù trình thöïc hieän luaän vaên. Toâi cuõng xin caûm ôn caùc Thaày Coâ trong khoa ñaõ nhieät tình giaûng daïy toâi trong suoát quaù trình hoïc taäp, caûm ôn phoøng Khoa hoïc Coâng ngheä – Sau Ñaïi hoïc vaø baïn beø trong lôùp ñaõ taïo ñieàu kieän giuùp ñôõ toâi hoaøn thaønh luaän vaên naøy. 2
CHÖÔNG 1 CAÙC KHAÙI NIEÄM CÔ BAÛN VEÀ ÑÖÔØNG – MAËT TRONG E3 Chöông naøy daønh cho vieäc nhaéc laïi caùc kieán thöùc cô baûn veà lyù thuyeát ñöôøng vaø maët cuøng vôùi caùc keát quaû ñaõ coù nhaèm laøm cô sôû cho vieäc tính toaùn vaø khaûo saùt trong caùc chöông coøn laïi. §1.ÑÖÔØNG TRONG En ( n = 2,3 ) 1.1. Cung trong En 1.1.1. Ñònh nghóa cung tham soá: Moãi aùnh xaï γ : J → En töø moät khoaûng J ⊂ R vaøo En goïi laø moät cung tham soá (hay moät quyû ñaïo) trongEn γ : J →En r: I → En Hai cung tham soá vaø t 6 γ (t ) t 6 r (t ) (I , J laø nhöõng khoaûng trong R; γ vaø r khaû vi ) goïi laø töông ñöông neáu coù λ: J →En vi phoâi sao cho ro λ = γ t 6 λ (t ) Deã thaáy ñoù laø moät quan heä töông ñöông. Moãi lôùp töông ñöông cuûa quan heä ñoù goïi laø moät cung trong En ; moãi cung tham soá cuûa lôùp töông ñöông ñoù goïi laø moät tham soá hoùa cuûa cung ; vi phoâi λ goïi laø pheùp bieán ñoåi tham soá cuûa cung. 1.1.2. Ñieåm chính quy vaø ñieåm kyø dò γ : J →En Cho cung Γ xaùc ñònh bôûi t 6 γ (t ) Ñieåm to cuûa Γ maø γ’ (t0) ≠ 0 goïi laø 1 ñieåm chính quy cuûa Γ coøn neáu γ’ (t0) = 0 goïi laø 1 ñieåm kyø dò cuûa Γ Cung maø moïi ñieåm laø chính quy goïi laø moät cung chính quy. 3
1.1.3. Ñoä daøi cung vaø tham soá hoùa töï nhieân cuûa moät cung chính quy. a/- Ñoä daøi cung : Cho cung tham soá γ : [ a ,b ] → En xaùc ñònh treân ñoaïn thaúng [ a ,b ], giaû söû γ lieân tuïc. Vôùi moãi pheùp chia a = t0 < t1
DT Dr' k(s) = (s) = (s). Vaäy ta ñöôïc haøm ñoä cong (goïi taét ñoä cong ) ds ds DT K doïc Γ laø (1) ds 1.2.2. Caùc ñònh nghóa - Ñieåm cuûa Γ öùng vôùi t trong tham soá hoùa t 6 γ (t) cuûa noù coøn goïi laø G G moät ñieåm song chính quy ( cuûa Γ ) neáu heä hai vectô γ ’(t), γ ’’(t) ñoäc laäp tuyeán tính. Maët phaúng maät tieáp vôùi Γ taïi ñieåm ñoù laø 2 phaúng ñi qua γ (t) vôùi khoâng → → gian vectô chæ phöông < γ ' (t ) , γ ' '(t ) >. - Cung Γ trong En goïi laø song chính quy neáu moïi ñieåm cuûa Γ laø ñieåm song chính quy. - Moät cung song chính quy laø 1 cung chính quy. - Cung chính quy laø moät cung song chính quy ⇔ ñoä cong cuûa noù khaùc 0 taïi moïi ñieåm. DT Thaät vaäy trong tsh töï nhieân s → r(s) cuûa Γ , T (s) = r’(s), .T=0 ds Dr' Dr ' DT neân { r’ , } ñoäc laäp tuyeán tính khi vaø chæ khi = ≠0 ds ds ds Dt -Xeùt tröôøng vectô doïc cung song chính quy Γ trong E'' ds Ñaët N = DT/ds DT / ds thì ñöôïc tröôøng vectô phaùp tuyeán ñôn vò doïc Γ . DT Töø (1) ta vieát = k.N (2). ds 5
1.2.3. Tröôøng muïc tieâu Feùnet doïc moät cung song chính quy ñònh höôùng trong E3 vaø ñoä xoaén cuûa noù. a/- Ñònh nghóa : Γ laø moät cung song chính quy ñònh höôùng trong En thì ñaõ coù tröôøng vectô tieáp xuùc ñôn vò T vaø tröôøng vectô phaùp tuyeán chính ñôn vò N doïc Γ . Neáu n = 3 vaø E3 ñaõ coù höôùng thì xaùc ñònh ñöôïc tröôøng Vectô ñôn vò B = T ∧ N doïc Γ goïi laø tröôøng vectô truøng phaùp tuyeán ñôn vò doïc Γ . Vaäy cho cung song chính quy ñònh höôùng Γ trong E3, coù tröôøng muïc tieâu tröïc chuaån { T , N , B } doïc Γ goïi laø tröôøng muïc tieâu Freùnet doïc Γ DB Khi ñoù do : B.B = 1 neân .B=0 ds DB DT Do BT = 0 neân . T + B. =0 ds ds DT DB Maø = K.N vaø B.N = 0 neân .T=0 ds ds DB Vaäy tröïc giao vôùi T vaø B ds DB ⇒ cuøng phöông vôùi N taïi moïi ñieåm ds Töø ñoù coù haøm soá T doïc Γ goïi laø (haøm) ñoä xoaén cuûa Γ DB ñeå = - T. N . ds - Coâng thöùc Freùnet DT =K.N (a) ds DN = - K .T + T B (b) ds DB = -TN (c) ds 6
Chöùng minh coâng thöùc (b) DN Vì N.N = 1 ⇒ .N=0 ds DN ⇒ khai trieån ñöôïc theo T vaø B ds DN DT do T.N = 0 ⇒ T. =- .N=-K ds ds DN DB N.B = 0 ⇒ . B = -N = T ds ds DN Vaäy = - KT + T .B ds b. Löu yù Laáy moät tham soá hoùa töï nhieân s → r (s) cuûa Γ . Giaû söû raèng trong moät laân caän môû U cuûa aûnh cuûa Γ trong E3 coù tröôøng muïc tieâu tröïc chuaån { U1,U2 , U3 } maø U1or = T. U2or = N, U3or = B khi ñoù töø phöông trình 3 DUi = ∑ wij Uj ( wij = - wji ) j −1 D (U i o r ) 3 ⇒ ds = ∑ wij(r) . ( Uj or) i = 1,3 j =1 So saùnh vôùi coâng thöùc Freùnet, ta ñöôïc K = w12 ( T ) = - w21 ( T ) T = w23 ( T ) = -w32 ( T ) Coøn w13 (T ) = - w31 ( T ) = 0 1.2.4. Coâng thöùc tính ñoä cong vaø ñoä xoaén. Cho cung song chính quy ñònh höôùng Γ trong E3 xaùc ñònh bôûi 1 tham soá γ :J → E3 r :I → E3 hoùa Laáy moät tham soá hoùa töï nhieân t 6 γ (t ) s 6 r ( s) 7
Cuûa Γ thì coù pheùp ñoåi tham soá λ : J → I ñeå γ = roλ (λ’ > 0 ) Goïi { T , N , B } laø tröôøng muïc tieâu Freùnet doïc Γ . Töø coâng thöùc Freùnet cho : DT D r' DN DB T = r’ ; = = KN ; = - KT + T B, =-TN ds ds ds ds Ta coù : γ ’ = λ’ ( r’0 λ ) = λ’ (T0 λ ) ( neân roõ raøng γ ' = λ’ ) DT γ’’ = λ’’ ( Toλ ) + λ’2 ( oλ ) ds = λ’’( Toλ ) + λ’2 ( Koλ) ( Noλ ) Töø ñoù : γ’ ∧ γ’’ = λ’3 ( Ko λ ) (Toλ) ∧ ( Noλ ) = γ ' 3 ( Ko λ ) ( B o λ ) γ '∧γ ' ' neân ( Ko λ ) = γ' 3 γ ' (t ) ∧ γ ' ' (t ) Töùc laø K (λ (t) ) maø ta vieát taét : K (t) = γ ' (t ) 3 Tính ñoä xoaén T Do γ’ ∧ γ’’ cuøng phöông vôùi B0 λ neân ñeå tính (γ’ ∧ γ’’) γ’’’ , chæ caàn xeùt thaønh phaàn chöùa B0 λ trong khai trieån γ’’’ theo { T0 λ ; Noλ ; Boλ } Töø γ’’ = λ’’ (T0 λ ) + λ’2 ( Ko λ ) (Noλ) ⇒ thaønh phaàn chöùa Boλ cuûa λ’’’ laø λ’3 ( Ko λ ) (T oλ ) (Boλ ) vaäy (γ’ ∧ γ’’). γ’’’ = γ ' ( Ko λ )2 (T oλ ) 6 ( γ '∧γ ' ' ) γ ' ' ' Do ñoù T oλ = 2 γ '∧γ ' ' 8
( γ ' (t ) ∧ γ ' ' (t ) ) γ ' ' ' (t ) Töùc laø T (t) = 2 γ ' (t ) ∧ γ ' ' (t ) 1.2.5. Ñònh lyù cô baûn cuûa lyù thuyeát ñöôøng trong E3. Cho hai haøm soá K vaø T ( Khaû vi lôùp CA , A ≥ 0 ) Treân khoaûng J ⊂ R vaø K coù giaù trò döông. Khi ñoù + Coù tham soá hoùa töï nhieân r : J → E3 (khaû vi lôùp CA+2 ) cuûa moät cung song chính quy ñònh höôùng trong E3 nhaän K vaø T laøm ñoä cong vaø ñoä xoaén . + Neáu coù hai tham soá hoùa r vaø γ cuûa 2 cung nhö theá thì coù ñaúng caáu afin tröïc giao baûo toàn höôùng töùc moät pheùp dôøi hình f cuûa E3 maø r = foγ . 1.2.6. Cung trong E2 (cung phaúng ) Cung chính quy ñònh höùông trong E2 vaø ñoä cong cuûa noù. Goïi T laø tröôøng vectô tieáp xuùc ñôn vò doïc cung chính quy ñònh höôùng Γ trong E2. Giaû söû E2 ñaõ coù höôùng thì xaùc ñònh ñöôïc tröôøng veùctô doïc Γ sao cho { T , N } laø tröôøng muïc tieâu tröïc chuaån thuaän doïc Γ goïi laø tröôøng muïc tieâu Freùnet doïc Γ ; N goïi laø tröôøng veùctô phaùp tuyeán ñôn vò doïc Γ . DT Vôùi moïi tham soá hoùa töï nhieân s → r (s) cuûa Γ, tröôøng vectô khoâng ds DT DT phuï thuoäc tham soá ñoù vaø do TT = 1 , = 0 neân =KN ds ds K laø moät haøm soá doïc Γ goïi laø ñoä cong cuûa Γ . DT DT DN Töø T.N = 0 ⇒ . N + T. = 0 hay = - KT ds ds ds 9
DT Vaäy = KN ds DN = -KT ds Löu yù : Γ laø cung chính quy ñònh höôùng trong E2 ( coù höôùng) xaùc ñònh bôûi tham soá hoùa γ : J Æ E2. Laáy moät tham soá hoùa töï nhieân T 6 γ (t) r : I Æ E2 thì Γ coù pheùp bieán ñoåi tham soá λ : J Æ I ñeå γ = roλ. S 6 r(s) (λ’ >0 ) Goïi { T , N } laø tröôøng muïc tieâu Freùnet doïc Γ , coi noù laø tröôøng muïc tieâu doïc cung tham soá r vaø coi ñoä cong K cuûa Γ laø haøm soá doïc Γ thì coâng thöùc DT Dr' Freùnet cho T = r’ , = = KN. ds ds Ta coù γ’ = λ’ ( r’oλ ) = λ’ ( Toλ ) ( neân roõ raøng γ ' = λ’ ) γ’’ = λ’’ ( Toλ ) + λ’2 ( Koλ ) (Noλ ) γ ' '. ( N 0 λ ) ⇒ Koλ = γ' 2 Giaû söû trong toaï ñoä Descarter vuoâng goùc thuaän (x,y ) cuûa E2 γ (t) = ( x (t) , y (t) ). Khi ñoù 10
→ → 1 T (λ (t) ) = T (t) = . ( x’ (t) , y’(t) ) x'(t ) + y ' (t ) 2 2 → → 1 N (λ (t) ) = N (t) = ( - y’(t) , x’(t) ) x' (t ) + y ' (t ) 2 2 γ’’(t) = ( x’’(t) , y’’(t) ) x' y ' ' − x' ' y ' neân Koλ = 3 ( x' 2 + y ' 2 ) 2 x' (t ) y ' ' (t ) − x' ' (t ) y ' (t ) töùc K (t) = 3 ( x' 2 (t ) + y ' 2 (t ) ) 2 11
§ 2. MAËT TRONG E3 2.1. Maûnh tham soá – Caùc ñònh nghóa. + AÙnh xaï r töø moät taäp môõ U trong R2 vaøo khoâng gian Euchide n chieàu En r : U → En (u,v) 6r(u,v) Goïi laø moät maõnh tham soá trong En + Vôùi ñieåm ( uo , v0 ) ∈ U. Cung tham soá u 6 r ( u , vo) trong En ( ôû ñaây u thay ñoåi trong khoaûng J C R naøo ñoù , uo ∈J ) goïi laø ñuôøng toïa ñoä v = vo ( hay ñöôøng toïa ñoä u qua ( uo , vo ) ) Cung tham soá v 6 r ( uo , v ) trong En goïi laø ñöôøng toïa ñoä u = uo ( hay ñöôøng toïa ñoä v qua (uo , v0 )). v 6 r’ ( u , vo ) ≡ r1 ( u , v0 ) laø moät tröôøng vectô tieáp xuùc doïc ñöôøng toaï ñoä u v 6 r’ ( uo , v ) ≡ r2 ( uo , v ) laø moät tröôøng vectô tieáp xuùc doïc ñöôøng toaï ñoä v ( u , v ) 6 r1 ( u , v) , r2 ( u , v ) laø nhöõng vectô doïc r. + Ñieåm (uo , v0 ) goïi laø moät ñieåm chính quy cuûa maûnh tham soá r neáu r dìm taïi (uo , v0 ) töùc laø neáu r1 (uo , v0 ), r2 (uo , v0 ) ñoäc laäp tuyeán tính ( 2 vectô naøy thuoäc Tr (u ,v ) E n . o o 12
Ñieåm khoâng chính quy goïi laø ñieåm kyø dò. Maûnh tham soá r goïi laø chính quy neáu moïi ñieåm cuûa noù laø ñieåm chính quy. + Taïi ñieåm chính quy (uo , v0 ) cuûa maûnh tham soá r, goïi 2 phaúng trong En → → ñi qua r (uo , v0 ), vôùi khoâng gian vectô chæ phöông < r1 (uo , v0 ), r2 (uo , v0 ) > laø maët phaúng tieáp xuùc hay tieáp dieän cuûa r taïi (uo , v0 ) . Khi n = 3 , ñöôøng thaúng qua r (uo , v0 ) thaúng goùc vôùi tieáp dieän taïi (uo , v0 ) goïi laøphaùp tuyeán cuûa r taïi (uo , v0 ). + Trong toïa ñoä afin ( x , y , z ) cuûa E3 , vieát r ( u , v ) = ( x (u , v ) , y ( u, v ) , z u , v )) trong ñoù (u , v ) 6 x (u , v) , y ( u, v ) , z (u , v) laø nhöõng haøm soá treân U ) Phöông trình tieáp dieän cuûa r taïi (uo , v0 ) laø X − x (u o , v o ) Y − y (u o , v o ) Z − z (u o , v o ) x1 (u o , v o ) y1 (u o , v o ) z1 (u o , v o ) = 0 x 2 (u o , v 0 ) y 2 (u o , v o ) z 2 (u o ,v o ) vaø khi toïa ñoä ñoù laø Descartes vuoâng goùc thì phöông trình phaùp tuyeán cuûa r taïi (uo, vo ) laø : X − x(u o , v o ) Y − y (u o , v o ) Z − z (u o , vo ) = = y1 (u o , v o ) z1 (u o , v o ) z1 (u o , v o ) x1 (u o , v o ) x1 (u o , vo ) y1 (u o , vo ) y 2 (u o , v 0 ) z 2 (u o , v o ) z 2 (u o , v 0 ) x 2 (u o , v o ) x2 (u o , v0 ) y 2 (u o , vo ) ~ + Hai maûnh tham soá trong En r : U → En , ~r ; U → En ~ goïi laø töông ñöông neáu coù vi phoâi λ : U → U ñeå r = ~r o λ 13
Ñoù laø moät quan heä töông ñöông; moãi lôùp töông ñöông ñoù goïi laø moät maûnh trong En vaø r goïi laø moät tham soá cuûa maûnh. r1 ∧ r2 + Neáu n = 3 vaø maûnh chính quy thì vectô ñôn vò taïi ñieåm öùng vôùi r1 ∧ r2 (u,v) trong moät tham soá hoùa r cuûa noù laø hoaøn toaøn xaùc ñònh ( töùc khoâng phuï thuoäc vaøo tham soá hoùa ñaõ choïn) vaø phöông cuûa noù chính laø phöông cuûa phaùp tuyeán cuûa maûnh taïi ñieåm ñoù. 2.2. AÙnh xaï WEINGARTEN 2.2.1. Ñònh nghóa : S laø moät maët trong E3 coù höôùng xaùc ñònh bôûi tröôøng vectô phaùp tuyeán ñôn vò n treân S . Vì vôùi moïi α ∈ TpS Dαn. n = 0 ( do n2 = 1 ) neân Dαn ∈ TpS ; do ñoù coù aùnh xaï hp : TpS → TpS α 6 h p ( α ) = - Dα n goïi laø aùnh xaï Weingarten taïi p Cuï theå laø laáy cung γ: J → S , γ’ (to) = α thì hp (α ) laø vectô buoäc taïi p maø → → h p (α ) = - (noγ )' (to) Roõ raøng hp laø moät töï ñoàng caáu (tuyeán tính) cuûa TpS. Khi p thay ñoåi kyù hieäu chung caùc hp ñoù laø h . AÙnh xaï naøy ñoùng vai troø quan troïng trong nghieân cöùu hình daïng S trong E3 neân ñoâi khi goïi laø aùnh xaï daïng. Tính chaát: 14
Vôùi moïi p∈ s , aùnh xaï hp laø moät töø ñoàng caáu ñoái xöùng cuûa TpS töùc laø vôùi moïi α , β ∈ TpS hpα. β = α hp ( β ) 2.2.2. Ñònh nghóa. Moãi giaù trò rieâng cuûa hp goïi laø moät ñoä cong chính taïi p cuûa S; Moãi vectô rieâng cuûa hp xaùc ñònh moät phöông goïi laø phöông chính taïi p cuûa S . Ñònh thöùc trace h p cuûa töï ñoàng caáu hp goïi laø ñoä cong Gauss taïi p cuûa S ; goïi laø ñoä cong 2 trung bình taïi p cuûa S. Töø caùc tính chaát cuûa töï ñoàng caáu tuyeán tính ñoái xöùng ta suy ra coù moät vaø chæ moät trong hai tröôøng hôïp sau: a/- Tröôøng hôïp 1. hp coù 2 giaù trò rieâng phaân bieät thöïc, khi ñoù hai phöông chính taïi p hoaøn ~ ~ toaøn xaùc ñònh vaø vuoâng goùc vôùi nhau. Goïi hai giaù trò rieâng ñoù K 1 , k 2 thì coù heä ~ ~ vectô rieâng tröïc chuaån {e1 , e2} cuûa TpS , hp(e1)= k1 e1 , hp (e2) = k 2 e2. ~ ~ Ñoä cong Gauss taïi p laø K(P) = k1 . k 2 , ñoä cong trung bình taïi p laø 1 ~ ~ H (p) = ( k1 + k 2 ). 2 b/- Tröôøng hôïp 2 : hp coù ñuùng giaù trò rieâng (keùp, thöïc), khi ñoù moïi phöông laø phöông chính. Töø ñoù vôùi moïi cô sôû tröïc chuaån {e1 , e2} cuûa TpS coù hp {e1 , e2} cuûa TpS coù 15
~ ~ ~ ~ ~ ~ hp(e1) = k1 e1, hp(e2) = k 2 . e2 , k1 = k 2 . ÔÛ ñaây K (p) = ( k1 )2 , H (p) = k1 . Ñieåm ~ ~ p nhö theá goïi laø moät ñieåm roán cuûa S: khi k1 = k 2 = 0 p ñöôïc goïi laø ñieåm deït vaø ~ ~ khi k1 = k 2 ≠ 0 p coøn ñöôïc goïi laø ñieåm caàu cuûa S. Ñieåm p ∈ S goïi laø ñieåm eliptic hay hyperbolic hay parabolic cuûa S tuyø - K(p) döông, aâm hay baèng 0. Löu yù : Khi ñoåi höôùng cuûa S baèng caùch xeùt –n thay cho n thì hp ñoåi thaønh –hp, neân ñoä cong trung bình ñoåi daáu coøn ñoä cong Gauss khoâng ñoåi. 2.3. Caùc daïng cô baûn I vaø II cuûa maët S – Ñoä cong phaùp daïng. Coâng thöùc MeuSnier vaø coâng thöùc Euler. 2.3.1 + Caùc daïng cô baûn I vaø II cuûa maët S. Vôùi moãi p ∈ S. Ip : TpS x TpS → R IIp : TpS x TpS → R ( α , β ) 6 α .β ( α , β ) 6 hp(α ) .β laø nhöõng daïng song tuyeán tính ñoái xöùng treân TpS ; chuùng ñöôïc goïi theo thöù töï laø daïng cô baûn thöù nhaát vaø thöù hai cuûa S taïi p. Ngöôøi ta kyù hieäu Ip (α,α) =Ip (α) , IIp (α,α ) = II (α )vaø khi p thay ñoåi duøng kyù hieäu I vaø II. Trong tham soá hoùa ñòa phöông ( u , v ) # f (u,v) cuûa S xeùt caùc haøm soá treân U sau : E = < f 1 , f1 > F = G = < f 2 , f2 > L = < n , f11 > = < -n1 , f1 > M = < n , f12 > = < -n1 , f2 > = < -n2 , f1 > N = < n , f22 > = < -n2 , f2 > 16
Löu yù khi tham soá hoùa f töông thích vôùi höôùng cuûa S thì f1 ∧ f 2 n= f1 ∧ f 2 2.3.2. Ñoä cong phaùp daïng – Coâng thöùc Euler – Coâng thöùc Meusnier S laø moät maët coù höôùng trong E3 γ laø 1 cung chính quy naèm trong S , ρ : J → S s 6 ρ (s) laø moät tham soá hoùa töï nhieân cuûa γ. Vì ρ’. (noρ ) = 0 töùc T ( noρ ) = 0 ( T laø tröôøng veùctô tieáp xuùc ñôn vò doïc ρ ) neân DT D(no ρ ) . ( noρ ) + T . =0 ds ds DT D(no ρ ) hay ( noρ ) = - T. = T . h(T) = II ( T) ds ds DT vaäy neáu (So) = 0 thì II ( T (So)) ≡ 0 ds DT coøn neáu (So) ≠ 0 ( töùc ñieåm öùng vôùi So laø ñieåm song chính quy cuûa γ ) thì ds DT (So) = K (So). N(So) trong ñoù K (So) laø ñoä cong γ taïi So, N (So) laø vectô phaùp ds tuyeán chính ñôn vò cuûa γ taïi So vaø ta ñöôïc K (So) N (S0). n ( ρ (So) ) = II (T(So)) coâng thöùc naøy daãn ñeán ñònh nghóa. Ñònh nghóa: 17
~ II (α ) α laø vectô khaùc 0 cuûa TpS thì ñaët K (α ) = soá ñoù khoâng ñoåi I (α ) khi thay α baèng λ α , λ laø soá thöïc khaùc 0 tuøy yù neân noù ñöôïc goïi laø ñoä cong phaùp daïng cuûa S theo phöông xaùc ñònh bôûi α. Khi ñoù coâng thöùc treân trôû thaønh. ~ K (So) N (S0). n (ρ (So)) = K ( T (So) Noù ñöôïc goïi laø coâng thöùc Meusnier. ~ ~ II (e ) k~. e . e ~ - Vôùi moãi vectô rieâng e cuûa hp , hp (e) = k e, thì k e = = =k. I (e) e.e Töø ñoù, neáu laáy moät cô sôû tröïc chuaån {e1 , e2 } cuûa TpS goàm nhöõng vectô rieâng ~ ~ ~ ~ cuûa hp thì k (e1) = k1 , k (e2) = k 2 laø caùc ñoä cong chính cuûa S taïi p. Neáu α = cosϕ e1 + Sin ϕ e2 thì. ~ k (α ) = II (α ) = hp (α ). α = hp (cosϕ e1 + Sin ϕ e2 ) . (cosϕ e1 + Sin ϕ e2 ) ~ ~ = ( k ,cosϕ e1 + k 2 Sin ϕ e2 ) . (cosϕ e1 + Sin ϕ e2 ) ~ ~ ~ Vaäy ta coù K (α ) = K 1 cos2ϕ + K 2 sin2ϕ. Ñoù laø coâng thöùc Euler Töø coâng thöùc Euler, ta thaáy ~ a/- Caùc ñoä cong chính cuûa S taïi p laø caùc cöïc trò cuûa k (α). Khi α thay ñoåi trong TpS – { 0 }. ~ ~ ~ b/- Neáu caùc ñoä cong chính k 1 , k 2 cuøng daáu thì k (α) cuõng coù daáu ñoù vôùi ~ ~ moïi α ∈ TpS – {0};neáu caùc ñoä cong chính k 1 , k 2 khaùc daáu thì coù α ∈ TpS -{0 } ~ ñeå k (α) = 0 18