Đề tài: Một số phương pháp toán học hỗ trợ sinh viên đại học Ngoại thương tiếp cận và giải quyết bài toán kinh tế

Chia sẻ: Sdasf Dgfcg | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:113

Thêm vào BST

Báo xấu

220
lượt xem 46
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Một số ứng dụng toán cao cấp trong việc giải quyết bài toán kinh tế. Một số phương pháp ứng dụng của kinh tế lượng trong việc giải quyết các bài toán kinh tế. Ứng dụng của tích phân ngẫu nhiên

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề tài: Một số phương pháp toán học hỗ trợ sinh viên đại học Ngoại thương tiếp cận và giải quyết bài toán kinh tế

B ộ GIÁO DỤC V À Đ À O TẠO T R Ư Ờ N G Đ Ạ I H Ọ C NGOẠI T H Ư Ơ N G oOo ĐÊ TÀI NGHIÊN cứu KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TOÁN HỌC HỒ TRỢ • • • SINH VIÊN ĐẠI HỌC NGOẠI THƯƠNG TIẾP CẬN • • • • VÀ GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN KINH TẾ MÃ SỐ: NT2007-05 Chủ nhiệm đề tài: ThS. Vương Thị Thảo Bình Các thành viên tham gia: ThS. Nguyễn Thị Toàn _ Trường đại học Ngoại thương Ths. Tống Lan Anh - nt- CN. Trần Đức Thịnh - nt- ThS. Lê Thanh Nguyệt - nt- (TH ư ỳ í Ẻn] z — i í ị>T.fol£
LỜI NÓI Đ Ầ U 6 1. Tính cấp thiết của đề tài 6 2. Tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước 6 3. Mục tiêu nghiên cứu 7 4. Phạm vi nghiên cứu 7 5. Phương pháp nghiên cứu 7 6 Kết cấu của đề tài . 8 CHƯƠNG Ì M Ộ T SÒ Ứ N G DỤNG T O Á N CAO C Á P TRONG VIỆC GIẢI Q U Y Ế T BÀI T O Á N KINH T É 9 1 1 Phương pháp ứng dụng toán cao cấp giải quyết một số bài toán kinh tế . 9 .. . 1.1.1. Mô hình cân bang thị trường 9 1.1.2. Mó hình cân bằng kinh tế vĩ mô li 1.1.3. Đạo hàm và giá trị cận biên trong kinh tế 12 1.1.4. Đạo hàm cấp hai và quy luật lợi ích cận biên giảm dần 13 1.1.5. Tính hệ số co dãn của cung và cầu theo giá 13 1.1.6. Một sổ bài toán cực trị trong kinh tế....Ì, 14 1.1.7. Mô hình phương trình sai phân trong kinh tế học 16 1 2 Toán cao cấp kết h p phèn mềm Maple trong giảng dạy và nghiên cứu.. 19 .. 1.2.1. ớng dụng Maple trong toán cao cấp ì 19 1.2.2. ớng dụng Maple trong hoạt động dạy và học Toán cao cấp li. 27 1.2.3. ớng dụng của Maple trong giảng dạy 34 1.2.4. Dùng phần mềm Maple giải quyết một số bài toán kỉnh tế 37 1.3. Một ớng dụng của tính giả đơn điệu trong nghiên cớu kinh tế 41 1.3.1. Giới thiệu 41 1.3.2. Một số tính chất của hàm giả đơn điệu 41 1.3.3. Tính giả đơn điệu trong mô hình kinh tế 42 1.3.4. Quy luật cân bằng cung cầu 43 3
1.3.5. Mô hình hỏa quy luật bằng nghiệm của bất đẳng thức biến phân 4 1.3.6. Sử dụng hàm giả đơn điệu để đảnh giá quy luật 45 1.3.7. Quan hệ giữa tỉnh giả đơn điệu và tiên đề yếu của Wald 46 CHƯƠNG2 M Ộ T SỐ P H Ư Ơ N G P H Á P Ứ N G DỤNG C Ủ A KINH T É L Ư Ợ N G TRONG VIỆC GIẢI QUYẾT C Á C BÀI T O Á N KINH T É 47 2 1 Phương pháp xây dựng m ô hình kinh tế lượng .. 48 2.1.1. Tổng quan về phương pháp 48 2.1.2. Phương pháp đề xuất mô hình kinh tế lượng và ưộc lượng mô hình 48 2.1.3. Các kiểm định cơ bản đối vội mô hình kinh tế lượng. 49 2.1.3. ỉ. Các giả thuyết cơ bản của phương pháp OLS 49 2.1.3.2. Phương pháp kiểm định một sổ giả thiết cơ bản 51 2.1.4. Một so tiêu chuẩn lựa chọn các biến giải thích trong mô hình hồi qu tuyến tính 59 a) Nội dung tiêu chuẩn 60 b) Áp dụng tiêu chuẩn Theil để lựa chọn mô hình 63 2.2. Xây dựng m ô hình kinh tế lượng dựa trên lý thuyết kinh tế 65 2.2. ỉ. Giội thiệu về đường Phillips 66 2.2.2. Ưộc lượng mỏ hình đường Phillips nghiên cứu tình trạng lạm phát Việ Nam . ' 66 2.2.3. Dùng mô hình định lượng sự tác động của giả dầu thế giội đến lạm phát Việt Nam giai đoạn 1997-2007 68 2.3.Phương pháp sử dụng m ô hình dự báo ARIMA 69 2.3.1. Giội thiệu phương pháp sử dụng mô hình 70 2.3. Ị. Ì Định nghĩa chuỗi thời gian dừng 70 2.3.1.2 Kiểm định tính dừng của chuỗi thời gian 70 2.3.1.3. Mô hình AR, MA, ARIMA đối vội chuỗi thời gian 71 2.3.1.4. Phương pháp Box-JenKins (BJ) 72 2.3.2. ứng dụng phương pháp Box-JenKins đối vội một giai đoạn của VN-index. 7 2.3.3. Áp dụng mó hình ARIMA để dự báo lạm phát 79 4
CHƯƠNG3 Ứ N G DỤNG C Ủ A TÍCH P H Â N NGẪU NHIÊN 82 3 1 Một số vấn đề cơ bản về tích phân ngẫu nhiên .. 82 3.1.1. Một sổ khải niệm liên quan tới quá trình ngẫu nhiên 82 3.1.2. Tích phân ngẫu nhiên hô 83 3.1.3. Định nghĩa tích phân hô 84 3.1.4. Công thức hô dạng đơn giản 86 3.1.5. Phương trình vi phân ngẫu nhiên 87 3 2 Một số ứng dụng của tích phân ngẫu nhiên .. 90 3.2.1. Mô hình tăng dân sổ đơn giản 90 3.2.2. Mô hình thời điểm dừng tối ưu 91 3.2.3. Mô hình Black-Scholes 91 3.2:4. Mô hình phân tích diễn biến giả 92 3 3 Một số kết quả ứng dụng .. 95 K Ế T LUẬN. 99 TÀI LIỆU THAM KHẢO 100 PHỤ L Ụ C 102 5
LỜI NÓI ĐẦU 1. Tính cấp thiết của đề tài Bộ môn toán đã có nhiều đề t i nghiê cứu ứng dụng toán trong nghiên à n cứu kinh tế, nhưng chưa có đề tài nào nghiê cứu về kết họp toán cao cấp và n phần mềm toán học để giúp cho việc dạy và học toán cao cấp thú vị hơn, chưa có đề tài nào nê lê ứng dụng của giải tích ngẫu nhiên trong kinh tế, và trình bày u n cụ thể phương pháp ứng dụng kinh tế lượng vào giải quyết các bài toán kinh tế. Tâm lý sinh viên khi học toán, đậc biệt là toán cao cấp thường cảm thấy không có ứng dụng gì trong thực tể nên học toán thiếu hứng thú dẫn đến giảm chất lượng học tập. Với tình hình như vậy, đề tài là tài liệu cần thiết cho sinh viên khối kinh tế nói chung và đậc biệt sinh viên của trường đại học Ngoại thương. Ngoài ra, đề t i cũng là tài liệu bổ ích cho các giáo viên và các nhà nghiên cứu à tham khảo. 2. Tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước Có rất nhiều nghiê cứu trong và ngoài nước về phương pháp toán học để n tiếp cận và giải quyết bài toán kinh tế. Hầu hết các nghiê cứu đề cập đến các n vấn đề toán học chuyên sâu nên sinh viên không cảm nhận thấy được ứng dụng trực tiếp những nội dung được giảng dạy ở trường. N ộ i dung đề tài chủ yếu đề cập đến một số phương pháp ứng dụng toán cao cấp, giải tích ngẫu nhiên và kinh tế lượng ở mức độ phù họp cho các sinh viên nghiên cứu. Các trường đại học thuộc khối kinh tể cũng có nhiều nghiê cứu nhưng chủ yếu là ứng dụng kinh tế n lượng. Điểm qua một vài nghiên cứu liên quan đến đề tài như sau: Trong trường: - Vương Thị Thảo Bình, "Pseudomonotone Functions and an Application in the Theory of General Economic Equilibrium", Báo cáo Hội nghị quốc tế: Các nền kinh tế nhỏ và mở trong thế giới toàn cầu hóa (Small Open Economies in a Globalized World) tại Đại học tổng hợp Bologna, Italy, 2006. - Vương Thị Thảo Bình, "Về tính giả đơn điệu và một hướng tiếp cận trong m ô hình kinh tế cạnh tranh hoàn hảo", Tạp chí Kinh tế đối ngoại, số l o , năm 2005. - Vương Thị Thảo Bình, "ứng dụng phần mềm toán học Maple trong giảng dạy Toán cao cấp và một số bài toán kinh tế", Báo cáo Hội nghị khoa học Khoa Cơ bản, Đại học Ngoại thương, 2005. 6
- Nguyễn Thị Toàn, Sử dụng một số công thức tính toán hữu hạn cho nguồn vốn dùng cho việc lựa chọn đầu tư, Báo cáo Hội nghị khoa học Khoa Cơ bản, Đ ạ i học Ngoại thương, 2005. Ngoài trường - Phan Đức Châu, Sử dụng phẩn mềm Maple trong việc giảng dạy Toán cao cấp, Kấ yếu Hội thảo Khoa học toàn quốc về phát triển công cụ tin học trợ giúp cho giảng dạy, nghiên cứu và ứng dụng toán học, 2005, tr. 54-57. - Phạm Huy Điên, Sử dụng máy tính trong giảng dạy và đánh giá chất lượng học tập, Kấ yểu Hội thảo Khoa học toàn quốc về phát triển công cụ tin học trợ giúp cho giảng dạy, nghiên cứu và ứng dụng toán học, 2005, tr. 83-113. - Hoàng Đình Tuấn, Quá trình ngẫu nhiên phục hồi trung bình và ứng dụng trong phán tích động thái giá cả, Tạp chí Kinh tế và phát triển, 10-2006, tr. 34- 37. Ngoài nước - H. Bessembinder, J. Coughenour, p. J Seguin, and M. M. Smoller, Mean reversion in equilibrium asseí price, evidence /rom the /uture term struc Journal of Finance, 50, 1995, pp. 373-374. - E. s Schwartz, The stochastic behavior of commodìty prices: Implication for . Vaỉuation andHedging, Journal of Finance, 52, 1997, pp.923-973. - Y. Wu, Mean Reversion in Equiỉibrium Real Exchange Rates, International Economic Journal, 1996, pp. 85-104. - w. Hildenbrand and M. Jerison, The demand theory of the weak axioms of revealedpreference, Economics Letters, 1989, p. 209-213. - D. L. Zhu, The demand /unctions thát satisỷ the weak axìom of revealed preference andgeneralized monotonicity, Economics Letters, 2001, p. 369-374. 3. Mục tiêu nghiên cửu - Giới thiệu phần mềm toán học Maple kết hợp một số nội dung cơ bản của toán cao cấp để áp dụng giải quyết bài toán kinh tế. - Giới thiệu cách sử dụng cơ bản phần mềm kinh tế lượng thông dụng và ứng dụng để phân tích và dự báo một số chuỗi giá. - Nghiên cửu một số ứng dụng của giải tích ngẫu nhiên. 4. Phạm v i nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu trên phạm vi ứng dụng chương trình toán đã được giảng ở đại học . 5. Phương pháp nghiên cứu 7
Các phương pháp được sử dụng trong nghiên cứu bao gồm: * Phương pháp nghiên cứu tài liệu, phương pháp khảo sát thực tiễn, phương pháp thống kê, phương pháp mô tả - khái quát, phương pháp diễn giải - quy nạp, phương pháp phân tích tổng hợp, phương pháp đối chiếu - so sảnh. * Mô hình lượng hóa được sử dụng trong đề tài. 6. Kết cấu của đề tài Ngoài lời nói đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài được kết cấu gồm 03 chuông: Chương ì: Một số ứng dụng toán cao cấp trong việc giải quyết bài toán kinh tế. Chương li: Một sổ phương pháp ứng dụng của kinh tế lượng trong việc giải quyết các bài toán kinh tế. Chương lũi ứ n g dụng của giải tích ngẫu nhiên. 8
CHƯƠNG Ì MỘT SÒ ỨNG DỤNG TOÁN CAO CÁP TRONG VIỆC GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN KINH TẾ Toán cao cấp là mòn khoa học tự nhiên nên việc dạy và học toán ở mỗi trường đại học có những đặc thù riêng. Sinh viên ờ trường đại học Ngoại thương nóiriêngvà các trường trong khối kinh tế nói chung học toán với mong muốn nắm bắt được những ứng dụng cảa toán học vào lĩnh vực kinh tế để vận dụng và giải quyết các bài toán kinh tế. Sinh viên khối kinh tế cần toán cao cấp như một công cụ làm việc chứ không phải để đi sâu nghiên cứu do đó giảng dạy toán cao cấp cho các trường đại học thuộc khối kinh tế cần chú ý đến ứng dụng nhiều hơn. Trong mục này, chúng tôi giới thiệu một số bài toán ứng dụng toán cao cấp trong kinh tế. Ngoài ra, chúng tôi giới thiệu cách sử dụng phần mềm toán học Maple hỗ trợ sinh viên khối kinh tế học và giải quyết một số bài toán kinh tế, hỗ trợ giáo viên giúp cho việc giảng dạy toán cao cấp thú vị hơn. LI. Phương pháp ứng dụng toán cao cấp giải quyết một số bài toán kình tế Có rất nhiều nghiên cứu cho chúng ta thấy ứng dụng cảa toán cao cấp trong nghiên cứu kinh tế như sử dụng một số công thức tính toán hữu hạn cho nguồn vốn dùng cho việc lựa chọn đầu tư , phân tích tối ưu trong m ô hình kinh tể -dân 1 số cảa Solow , trong nghiên cứu lý thuyết cân bằng, nghiên cứu động thái cảa thị 2 trường... Trong mục này không thể trình bày hết được các ứng dụng toán cao cấp để giải quyết các bài toán kinh tế do vậy chúng tôi giới thiệu một số m ô hình có ứng dụng trực tiếp toán cao cấp nhằm cung cấp cho sinh viên một số cách nhìn hiệu quả ứng dụng môn học, trong đó mục Ì. Ì .7 đã giới thiệu một áp dụng thực tế cảa phương trình sai phân. 1.1.1. M ô hình cân bằng thị trường a) Thị trường một loại hàng hoa Khi phân tích hoạt động cảa thị trường hàng hoa, các nhà kinh tế học sử dụng hàm cung và hàm cầu để biểu đạt sự phụ thuộc cảa lượng cung và lượng cầu vào giá hàng hoa (với già thiết các yếu tố khác không thay đổi). Dạng tuyến tính cảa hàm cung và hàm cầu như sau: ' Xem Nguyễn Thị Toàn, Sừ dụng một số công thức tính toán hữu hạn cho nguồn vốn dùng cho việc lựa chọn đầu tư, Kỳ yếu H ộ i nghị khoa học khoa C ơ bản, 2005. 2 Ngô Văn Thứ, M ộ t phân tích dựa trên m ô hình kinh tế - dãn số cùa Solow, Tạp chí K i n h tế và phát triển số 37 2000. 9
H à m cung: Q = - a + a,p s 0 H à m cầu : Q = bo - bi p d Trong đó Q là lượng cung, tức là lượng hàng hoa m à người bán bằng lòng bán; s Q đ là lượng cầu, tức là lượng hàng hoa m à người mua bằng lòng mua; p là giá hàng hoa; ao, a bo, bi là các hằng số dương. h M ô hình cân bằng thị trường cỏ dạng: Q s = - a 0 + a i P Q =-a +a,p s 0 - Q = - b + b,p d 0 o Q = - b + b,p d 0 .Q. = Q d - a + a p = - b + b,p 0 1 0 Giải phương trình này ta tìm được: aọ+ o b Giá cân bằng: 3,+b, a|b -a b| 0 0 Lượng cân bằng: Qs = Q đ a,+b, b) Thị trường nhiều hàng hoa Trong thị trường nhiều hàng hoa liên quan giá của hàng hoa này có thể ảnh hưởng đến lượng cung và lượng cầu của các hàng hoa khác. Đ ể xét m ô hình cân bằng thị trường n hàng hoa liên quan ta kí hiệu biến số như sau: Q - Lượng cung hàng hoa i; si Q - Lượng cầu hàng hoa i; di p, - Giá hàng hoa i; Với giả thiết các yếu tố khác không thay đổi, hàm cung và hàm cầu tuyến tính có dạng như sau: H à m cung của hàng hoa i: Qs, = i 0 + i i P i a a +a P +...+a p„ i2 2 in (i = l,2,...,n) H à m cầu của hàng hoa i: Qdi = i 0 + „ P i b b + b p +... + b p i2 2 in n (i = l,2,..,n) M ô hình cân bằng thị trường n hàng hoa có dạng nhu sau: 'Qsi= i0 a + anPi+- + a p in n Qd, =b,o + b „ P , + - + b,nPn Qsi=Qdi i = l,2,...,n 10
Từ hệ phương trình này ta suy ra hệ phương trình xác định giá cân bằng: a + a, ,p, +... + a p = b + b, ,p, +...+ b p ]0 ln n l0 ln n a 0 + 2 l P l + •••+ 2 n P n = 20 + 2 l P l + •••+ 2 n P n 2 a a b b b a„0 + a p, +... + a^p,, = b + b nl n0 nlPl +... + b nnPn Đặt c = a - b ik ik ik (i = l,2,...,n; k = 0,1,...,n) ta được hệ phương trình tuyển tính n phương trình n ẩn: c llP] +c p +... + c p =-c 12 2 ln n 10 C 2.P,+ 22P2+- C + C 2nP„ =- 20 C l llPl + „2P C C 2 + - + C l n P n = - C I O Giải hệ phương trình trên ta xác định được giá cân bằng của tất cả n hàng hoa, sau đó thay vào hàm cung (hoặc hàm cầu) ta xác định được lượng cân bằng. 1.1.2. M ô hình cân bằng kinh tế vĩ m ô Ta xét m ô hình cân bằng đối với một nền kinh tể đóng dạng đơn giản (không có quan hệ kinh tế với nước ngoài). Gễi Y là tổng thu nhập quốc dân (Income) và E là tổng chi tiêu kế hoạch (Planned Expenditure) của nền kinh tế, trạng thái cân bằng được biểu diễn dưới dạng phương trình: Y = E Trong một nền kinh tế đóng, tổng chi tiêu kế hoạch của toàn bộ nền kinh tế gồm các thành phần sau: c -Tiêu dùng (Consumption) của các hộ gia đình; G - Chi tiêu của chính phủ (Government); ì - Chi tiêu cho đầu tư của các nhà sàn xuất (Investment). Ta giả sử rằng đầu tư theo kế hoạch là cố định: ì = lo và chính sách tài khoa của chính phủ cố định: G = Go, còn tiêu dùng của các hộ gia đình phụ thuộc vào thu nhập dưới dạng hàm bậc nhất (gễi là hàm tiêu dùng): C = aY + b (0
M ô hình cân bằng kinh tế vĩ m ô có dạng đơn giản. Đ ộ phức tạp của m ô hình sẽ tăng lên nếu ta tính đến các yếu tố khác, chẳng hạn như thuế, xuất nhập khẩu, ... Nếu tính thuế thu nhập thì hàm tiêu dùng sẽ thay đổi như sau: C = aY + b, d Trong đó Y - Thu nhập sau thuế, hay còn gọi là thu nhập khả dụng. Gọi tỷ d lệ thuế thu nhập là t, ta có: Y =Y-tY = (l-t)Y d C = a(l-t)Y + b Mức thu nhập quốc dân và tiêu dùng cân bàng là: b+I +G, - 0 0 b + a(l-t)(I„ + G ) . 0 Y= l-a(l-t) l-a(l-t) 1.1.3. Đạo hàm và giá trờ cận biên trong kinh tế Xét m ô hình hàm sổ y = f(x), trong đó X, y là các biến số kinh tế (ta coi biến độc lập X là biến số đầu vào và biến phụ thuộc y là biển đầu ra). Trong kinh tế học người ta quan tâm đến xu hướng biến thiên của biến phụ thuộc y tại một điểm Xo khi biến độc lập X thay đổi một lượng nhỏ. Chẳng hạn, khi xét m ô hình hàm sản xuất Q = f(L) người ta thường quan tâm đến số lượng sản phẩm hiện vật tăng thêm khi sử dụng thêm một đơn vờ lao động. Theo đờnh nghĩa đạo hàm: tu \_ r ~ y _ I _ ( 0 + A f x A x )-f(x ) 0 f (x )= lim — = lim — — 0 — ^-Si ix->0Ạx Ax->0 Ax Khi Ax có giá trờ tuyệt đối đủ nhỏ ta có: Ạ v f(x„+Ax)-f(x„) f r Ax ~ 0 =* Ay = f ( x A x ) - f ( x ) * f ( x ) . A x f , ( x } 0 + 0 0 Khi ầx = Ì ta có Áy » f ' ( x ) . Như vậy, đạo hàm f'(x ) biểu diễn xấp xỉ lượng 0 0 thay đổi giá trờ của biến phụ thuộc y khi biến độc lập X tăng thêm một đơn vờ. Khi xét m ô hình y = f (x) biểu diễn ảnh hưởng của biến số kinh tế X đối với biến số k i n h te y, các nhà k i n h tế g ọ i f '(x ) là giá trờ y - cận biên của X tại điểm x . 0 0 Đối với mỗi hàm kinh tế, giá trờ cận biên có tên gọi cụ thể như sau: - Đ ố i với m ô hình hàm sản xuất Q = f(L) thì f (Lo) được gọi là sản phẩm hiện vật cận biên của lao động tại điểm L . Sản phẩm hiện vật cận biên của lao động được 0 kí hiệu MPP : L MPP = f (L) L 12
Tại mỗi điểm L, MPP cho biết xấp xỉ lượng sản phẩm hiện vật gia tăng khi sử L dụng thêm một đơn vị lao động. Ví dụ: Cho hàm sản xuất có sản lượng phụ thuộc vào lao động và vốn: Q = P,+p K + p L 2 3 Khi đó p là sản phẩm cận biên theo vốn. 2 - Đ ố i với m ô hình hàm doanh thu TR = TR(Q) thì TR'(Qo) được gỵi là doanh thu cận biên tại điểm Qo- Doanh thu cận biên được kí hiệu là MR: MR = TR'(Q). Tại mỗi sản lượng Q, MR cho biết xấp xỉ lượng doanh thu tăng thêm khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm. Đ ố i với doanh nghiệp cạnh tranh ta có: TR = pQ => MR = p (p là giá sản phẩm trên thị trường) - Đ ố i với m ô hình hàm chi phí TC = TC(Q) thì TC(Qo) được gỵi là chi phí cận biên tại điểm Q . Chi phí cận biên được kí hiệu là MC: 0 MC = TC'(Q). Tại mỗi mức sản lượng Q, MC cho biết xấp x i lượng chi phí tăng thêm khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm. - Đ ố i với hàm tiêu dùng c = C(Y) thì C'(Y) được gỵi là xu hướng tiêu dùng cận biên và được kí hiệu là MPC: MPC = C'(Y). Tại mỗi mức thu nhập Y, MPC là số đo xấp x i lượng tiêu dùng gia tăng khi người ta có thêm $ Ì thu nhập. - Đ ố i với hàm tiết kiệm s = S(Y) thì S'(Y) được gỵi là xu thế tiết kiệm cận biên và kí hiệu là MPS: MPS = S'(Y). Tại mỗi mức thu nhập Y, MPS là số đo xấp xỉ lượng tiết kiệm gia tăng khi người ta có thêm $ Ì thu nhập. 1.1.4. Đạo hàm cấp hai và quỵ luật lợi ích cận biên giảm dần Xét m ô hình y = f ( x ) , trong đó y là biến số biểu diễn lợi ích (chẳng hạn như thu nhập, doanh thu, lợi nhuận,...) và X là biển số m ô tả yếu tố đem lại lợi ích y. Quy luật lợi ích cận biên giảm dần nói rằng khi X càng lớn thì giá trị y - cận biên càng nhỏ, tức là M y = f(x) là hàm số đơn điệu giảm (ít nhất theo nghĩa rộng). Dưới giác độ toán hỵc, điều kiện để My giảm dần theo X là : (My)' = f " ( x ) < 0 . 1.1.5. Tính hệ số co dãn của cung và cầu theo giá Một vấn đề quan tâm trong kinh tế là phản ứng của cung và cầu đối với sự biến động giá cả trên thị trường. Với giả thiết các yếu tố khác không thay đổi, sự phụ thuộc của lượng cầu Q vào giá p được biểu diễn bằng hàm cầu: Q = Dịp). đ d 13
Trong m ô hình hàm cầu biến số p được đo bằng đơn vị tiền tệ, còn biến số Q được đo bằng đơn vị hiện vật. Nếu gọi AQ d là mức thay đổi lượng cầu khi giá thay đổi một đơn vị thì ý nghĩa của con số đó còn phụ thuộc vào đơn vị đo. Hơn nữa, đối với các hàng hoa khác nhau thì sự thay đổi giá thêm $1 mang ý nghĩa khác nhau. Đe đánh giá độ nhởy cảm của cầu hàng hoa đối với biến động giá cà, các nhà kinh tế sử dụng khái niệm hệ số co dãn. Hệ số co dãn của cầu theo giá (tính ở mỗi mức giá) là số đo mức thay đổi phần trăm của lượng cầu khi giá tăng 1 % . Tởi mức giá p, nếu giá thay đổi một lượng Áp thì lượng cầu thay đổi tương ứng một lượng AQ . Mức phần trăm thay đổi của lượng cầu tính bình quân cho 1 % d thay đổi giá là: _(AQ /Q ).100 AQ d d p _AD(P) p = d (Ap/p).100 Áp Q Áp 'D(p) d Khi chuyển qua giới hởn khi Áp -» 0 ta được công thức tính hệ số co dãn của cầu theo giá tởi điểm p: = = dp (p) p = p. (p) p dp Q d dp D(p) W 'D(p) Tương tự hệ số co dãn của cung theo giá là số đo mức thay đổi phần trăm của lượng cung khi giá tăng 1 % . Nếu biết hàm cung Q = S(p) thì hệ số co dãn của s cung theo giá tởi điểm p được tính theo công thức: = ^a_L i % ) _ E _ , = =s (p) p dp Qs dp S(p) W 'S(P) 1.1.6. M ộ t sổ bài toán cực trị trong kinh tế Mỗi chủ thể kinh tế nói chung và doanh nghiệp nói riêng đều đặt ra một mục đích là cực đởi hoa lợi ích (lợi nhuận tối đa, chi phí tối thiểu,...) Trong mục này, chúng tôi trình bày một m ô hình cực trị không điều kiện và một m ô hình cực trị có điều kiện nhằm thể hiện vai trò và ứng dụng của bài toán cực trị toán trong thực tế. • Bài toá cực đởi lợi nhuận: Xác định mức sản lượng doanh nghiệp cần n cung cấp cho thị truồng, ký hiệu Q, sao cho lợi nhuận thu được là lớn nhất - Láp bài toán: 3 Tham khảo các tài liệu: Lê Đinh Thúy, Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, N X B Giá o dục, 1999 và Nguyễn Thế Hệ, Kỳ yếu nghiên cứu khoa học cùa khoa toán kinh tế năm 1998. 14
it(Q) = R(Q) - C(Q) - tQ Max trong đó 7:(Q) là lợi nhuận, R(Q) là doanh thu, C(Q) là chi phí, t là thuế suất tính trên Ì đơn vị sản phẩm bán ra. Giả thiết các hàm R(Q) và C(Q) xác định được. M ô hình này tách riêng phần thuế trong chi phí nó chung nhằm xét phản ứng i của doanh nghiệp đối với sự thay đổi mức thuế do nhà nước đưa ra. - Giải quyết bài toán: Điều kiện cần: — = R'(Q) - C'(Q) -1 dọ Cho — 0 , ta có điều cần của cực trị là: dQ Q = ẽ(t) có thể hiểu là quyết định cung của doanh nghiệp là hàm phừ thuộc t. Điều kiện đủ: = R"(Q) - C"(Q) < 0 dQ 2 - Đ ể xét tác động của thuế t đối với sản lượng Q, ta xét sự biến thiên của Q theo t bằng cách xét dấu đạo hàm Q. Từ điều kiện cần, ta có: 4R(Q)-C(Q)-tọ]_ 0 dQ oR'(ẽ)-ơ(ẽ)-t = 0 _^ R"(e) ỂỊỊỊ -C"(ỡ) ^p. -1 = 0 dí dí => — = — 1 — — < 0 (do điều kiện cần) dí R"(Q)-C"(Q) Vậy với các yếu tố khác được giữ nguyên thì khi t tăng Q sẽ giảm. • Bài toán cực đại hoa lợi ích tiêu dùng: - Lấp bái toán: Cừc đại hoa hàm lợi ích U = U(x,,x ) 2 với điều kiện ràng buộc thu nhập Pi X i + p x = m 2 2 trong đó Pi, p tương ứng là giá trị thị trường của của mỗi đơn vị mặt hàng X i , 2 x với cơ cấu mua sắm ( X i , x ); m là thu nhập của người tiêu dùng. 2 2 - Giải quyết bài toán: Lập hàm Lagrange: L(xi, x , Ằ) = Ư(xi, x ) + Ằ [ra - Pi X i - p x ] 2 2 2 2 15
- Điều kiện cần: Giải hệ các đạo hàm riêng của hàm Lagrange bằng 0 ta tìm được phương án: dư/ õx, ỵ dư/ x= Hay MU, MU (*) Pí Pl trong đó MU], M U 2 tương ứng là lợi ích cận biên của X] và x . 2 - Điều kiện đủ: Lập ma trận viền Hess và kiểm tra điều kiện cần có thoa mãn điều kiện đủ cua bãi toan cực trĩkBông. Tuy nhiên do tác động của quy luật "lợi suất giảm dần" nên mối quan hệ của các biến số trong hàm kinh té thường thể hiện bời hàm tựa lõm hoặc tựa lụi nên theo định lý Arrovv-Enthoven , điều kiện 4 cần nói trên cũng thường là điều kiện đủ. Ỷ nghĩa của điều kiện tối ưu (*) có thể phát biểu cụ thể như sau: Hộ gia đình sẽ chọn mua mỗi loại hàng ở mức mà tỷ lệ thay thế biên giữa hai loại hàng hoa bằng tỷ giá hai hàng hoa đó. Đường thờ ơ 5» Đường ngân sách 1.1.7. M ô hình phương trình sai phân trong kinh tế học Phương trình sai phân có nhiều ứng dụng trong kinh tế học như trong m ô hình mạng nhện (Cobwebs), m ô hình thị trường có dự trữ, m ô hình Harrod, m ô hình thu nhập có trễ . Trong phần này, chúng tôi chi trình bày một ứng dụng của 5 phương trình sai phân trong m ô hình mạng nhện và áp dụng cụ thể cho cho chuỗi chỉ số giá văn hoa thể thao giải trí. • Giói thiệu m ô hình Xét một thị trường cạnh tranh đơn giản trong đó việc sản xuất đòi hỏi phải có thời gian nhất định nên trong quá trình điều chỉnh mức cung người sản xuất sẽ dựa vào mức giá ở thời k i trước, ta có m ô hình: D, = a - b p + Vi, t (a, b > 0) 4 Xem các tài liệu: Hoàng Đình Tuấn, Lý thuyết m ô hình toán kinh tế, N X B K h o a học và kỹ thuật, 2003 và H. R. Varian, Microeconomic Analysic, w. w. Norton & Company, 1992. 5 Xem trang 208, sách Lê Đinh Thúy, Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, phần li, N X B Giáo dục,1999. 16
S, = -c + d P M +v , 2 (c,d>0) Trong đó D , s , p là mức cầu, mức cung, mức giá ở thời điểm t; Pị.] là mức giá ở t t t thời điểm (t-1) (thời điểm trước đó); Vít, v là các nhiễu trắng (đại diện cho các 2t cú sốc trong cung và cầu). Điều kiện cân bằng Dị = s . t • Phân t c mô hình íh Từ điều kiện cân bằng ta có: p«= ^£-4P..I + S, (1) b b Với et N(0, ơ ). s Phương trình (1) suy ra giá cân bằng liên thời là: a + c p* = (2) b+d a + c Phân tích cơ chế giá (1): p, - — P-1 là phương trình sai phân cáp một có T b b hệ số hằng, với điều kiện ban đầu p(0) = Po, có nghiệm: a + c b+d 1 0 b+ diu = p*+\p, b+ d (3) Từ (3) ta có điều kiện để p* ổn định là d b thì giá p* sẽ không ổn định. Ta có thể minh hợa như trên hình vẽ sau: (hình a) (hình b) D,s D,s Hình a có đường cung phang hơn đường cầu, trên hình vẽ ta cũng thấy giá có xu hường vận động về mức cân bằng p*. Ngược lại hình b minh hợa đường cung dốc hơn đường cầu và mức giá trong dài hạn không có xu hướng vận động về p* hay cân bằng không ổn định. — — .. -. .. ịT H y viéiy ĩ • Ư Ớ C lượng mô hình 17 Dĩ; K Z Ì 4
Từ (9) ta có thể viết lại: p = p i + p P(.1 + E| v ớ i s, là n h i ễ u trắng t 2 (4) Khi đó mức cân bằng dài hạn là p* ta -ẠT- và điều kiện mức cân bằng ổn định \-ậ 2 là p < 1. 2 Việc thu thập số liệu giá cả một mặt hàng nào đó trong khoảng thỗi gian dài rất khó khăn nên để m ô phỏng m ô hình, ta xét với chuỗi chi số giá văn hóa thể thao từ năm 1995 tháng Ì đến 2006 tháng 12 (nguồn : Tổng cục Thống kê). Bảng 1.1. Kết quả ước lượng m ô hình (4) Dependent Variable: CPI VH Sample(adjusted): 1995:02 2006:12 Included observations: 143 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. CPI VH(-l) 0.935958 0.019376 48.30441 0.0000 c 7.310238 2.174180 3.362296 0.0010 R-squared 0.943015 Mean dependent var 112.2861 Durbin-Watson stat 1.796565 Prob(F-statistic) 0.000000 Nguồn: Kết quả ước lượng trên Evievvs 4.0 Kết quả ước lượng là: ậ 1=7.310238, ậ 2=0.935958 Kiểm tra các khuyết tật thấy m ô hình không có khuyết tật nên các ước lượng là đáng tin cậy nên mức giá cân bằng dài hạn là p*« _Ể^=114.1 1-Â Kiểm định thấy p < Ì, chứng tỏ chi số giá văn hóa thể thao giải trí ổn định. 2 Như vậy trong dài hạn, mức chi số giá cân bằng dài hạn đều là ỉ 14.1 theo cả hai cách tiếp cận ứng dụng của phương trình sai phân. Hiện nay mức chỉ số CPI V H là 118.21 nên trong tương lai mức chỉ số này sẽ có xu hướng giảm xuống và phục hồi xung quanh 114.1 (so với tháng Ì năm 1995). Toán cao cấp luôn gắn liền với nhiều tính toán tỳ mỉ, phức tạp nên kết dụng công nghệ thông tin trong nghiên cứu thì sẽ đạt hiệu quả hơn. Phần tiếp theo sẽ giới thiệu cách sử phần mềm Maple cho môn toán cao cấp và ứng dụng trong nghiên cửu kinh tế.. 18
1.2. Toán cao cấp kết hợp phen mềm Maple trong giảng dạy và nghiên cứu Maple là một hệ phần mềm chuyên dùng để tính toán, bao gồm các tính toán thuần tuy bằng kí hiệu toán học, các tính toán số và các tính toán bằng đồ thị. Sản phẩm này do trường đại học Tổng hợp Waterloo (Canada) và trường đại học kỹ thuễt Zurich (ETZ) xây dựng và đưa vào thương mại đầu tiên năm 1985 . 6 Hiện tại đã có bản thương mại Maple 11. Sinh viên được sử dung miễn phí Maple 5.0 (8 Mb). Đặc tính căn bản của Maple là cài đặt dễ dàng trên Windows và dễ sử dụng. Trong mục này, trước hết giới thiệu một số phép toán cơ bản của toán cao cấp thực hiện bằng Maple. Tiếp theo, chúng tôi giới thiệu ứng dụng của toán cao cấp trong giảng day. Cuối cùng, chúng tôi trình bày một ứng dụng của toán cao cấp, kết họp Maple để đánh giá yếu tố kinh tế. 1.2.1. ứ n g dụng Maple trong toán cao cấp ì a) Các phép toán đại số trên ma trễn và vectơ - Các lệnh tạo ma trễn cấp m X n i) matrix(m,n,[a i,...,ain, ...,a i,...,a ]) là lệnh tạo ma trễn cấp m X n v ớ i phần 1 m mn tử được lấy trong danh mục [aii,...,a , ...,a ,,...,a ]. ]n m mn Ì 2 3" Thí dụ: Có thê tạo ma trễn cấp 2x3 sau đây: 4 5 6 Bằng lệnh matrix(2,3,[l,2,3,4,5,6]); Hoặc có thể bằng lệnh matrix(2,3,[[l,2,3],[4,5,6]]); li) matrix(m,n,f) là dòng lệnh tạo ma trễn cấp m X n với phần tử là giá trị của hàm f xác định trên tễp chỉ số hàng và cột của ma trễn, nói cách khác thì nó chính là ma trễn xác định bởi dòng lệnh: matrix([[f(l,l),...,f(l,n)],...[f(m,l),...,f(m,n)]); Thí dụ: f:=(i,j)->i+j-l; A:=matrix(2,4,f); A: http://www.maplesof.com 19