ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 2000-2001 MÔN TOÁN BẢNG B VÒNG 1
lượt xem 6
download
Tham khảo đề thi - kiểm tra 'đề thi chọn học sinh giỏi bậc ptth thừa thiên huế năm học 2000-2001 môn toán bảng b vòng 1', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 2000-2001 MÔN TOÁN BẢNG B VÒNG 1
- SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 2000-2001. ----------------------- ------------------------------------------------- ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN BẢNG B VÒNG 1. (180 phút, không kể thời gian giao đề) SBD: ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Bài 1: (2.5 điểm) Cho phương trình: sin2x + cos2x + 4sin3x – 4sinx + 2mcosx + 1 = 0. Tìm giá trị của m để cho phương trình có tập nghiệm là: π T = { x / x = + kπ, k Z }. 2 2 Bài 2: (2.5 điểm) Giải phương trình: 16 x − 2.42x −1 = 0 . (2x −1) Bài 3: (2.5 điểm) Cho tứ diện ABCD cóhai cạnh đối bằng b, c và các cạnh còn lại bằng a. a/ Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng các khoảng cách từ một điểm tùy ý trong không gian đến các đỉnh của tứ diện. b/ Giả sử tứ diện ABCD thay đổi vị trí trong không gian nhưng có ba đỉnh A, B, C lần lượt ở trên mặt cầu cố định và đồng tâm. Chứng minh rằng đỉnh D luôn ở trong một hình cầu cố định khi độ dài a, b, c thay đổi thỏa các giả đã cho. Bài 4: (2.5 điểm) Tìm tham số a để cho hệ sau có nghiệm: a(x − a) 2 (x − 2 2) + 1 0 x>a >0
- SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 2000-2001. ----------------------- HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI MÔN TOÁN BẢNG B – VÒNG 2. Bài 1: (2.5 điểm) • sin2x + cos2x + 4sin3x – 4sinx + 2mcosx + 1 = 0 (1) ⇔ 2sinxcosx + 2cos2x + 4sinx(sin2x + 1) + 2mcosx = 0 ⇔ cosx(sinx + cosx -2sinxcosx +m) = 0 π cos x = 0 x = + kπ, k Z •� � 2 sin x + cos x − 2sin x cos x + m = 0 sin x + cos x − 2s inxcosx + m = 0 (2) π • Do đó (1) có tập nghiệm T = { x / x = + kπ, k Z }khi chỉ khi (2) chỉ có nghiệm thuộc T hoặc (2) 2 vô nghiệm. π t = sin x + cos x = 2 sin(x + ) 4 • Xét phương trình (2): sinx + cosx – 2sinxcosx + m = 0 � f(t) = t − t − m 2 (3) (I) |t| 2 (4) �os x = 0 � =1 c m • Phương trình (2) có nghiệm thuộc T � � � x = 1 � = −1 sin m Thử lại: m = 1: Khi đó (3) ⇔ t2 – t – 2 = 0 ⇔ t = -1 hoặc t = 2. x = π + k2π π π 1 Hệ (I) trở thành: 2 sin(x + ) = −1 � sin(x + ) = � π x = − + k2π 4 4 2 2 Vậy T không phải là tập nghiệm của phương trình đã cho. Thử lại: m = -1: Khi đó (3) ⇔ t2 – t = 0 ⇔ t = 0 hoặc t = 1. π x = − + k2π π sin(x + ) = 0 4 4 � x = k2π k �Z. Hệ (I) trở thành: π 1 sin(x + ) = π x = + k2π 4 2 2 Vậy T không phải là tập nghiệm của phương trình đã cho. • Phương trình (2) vô nghiệm: S1 = , kí hiệu t1, t2 là hai nghiệm của f(t) = 0. f(t) là tam thức bậc hai có ∆ = 5 + 4m, 22 S Do − 2 < < 2 nên hệ (1) vô nghiệm khi chỉ khi: 2 � >0 ∆ � 2) < 0 f(- 5 5 � m < − hay � � m < − hay m > 1+ 2 ∆ < 0 hoặc � t1 < − 2 < 2 < t 2 4 4 f( 2) < 0 5 Vậy các giá trị m thỏa đề bài là: m < − hay m > 1+ 2 . 4 Bài 2: (2.5 điểm) 2 2 • Biến đổi phương trình: 16 x (2x −1) − 2.42x −1 = 0 � 24x (2x −1) = 24x −1 � 8x 3 − 4x 2 − 4x + 1 = 0 (1)
- • Đa thức f(t) = 8x 3 − 4x 2 − 4x + 1 = 0 có tối đa 3 nghiệm và ta có: f(-1)=-7; f(0)=1; f(1/2)=-1,f(1)=1 f(t) liên tục trên khoảng (-1;1) và f(-1).f(0) < 0, f(0).f(1/2) < 0, f(1/2).f(1) < 0 nên f(x) = 0 có 3 nghiệm trên khoảng (-1;1). • Do f(t) = 0 có đúng 3 nghiệm trong khoảng (-1;1), nên ta có thể đặt x = cosa với 0 < a < π. • Phương trình (1) trở thành: 8cos3a – 4cos2a – 4cosa + 1 = 0 ⇔ 4cosa(2cos2a – 1) = 4(1 – sin2a) – 1 ⇔ 4cosa.cos2a = 3 – 4sin2a ⇔ 4sina.cosa.cos2a = 3sina – 4sin3a ( do sina > 0) 4a = 3a + k2π (k Z) ( với 0 < a < π) ⇔ sin4a = sin3a ⇔ 4a = π − 3a + k2π π 3π 5π ⇔a= hay a = hay a = . 7 7 7 Câu 3 ( 2.5 đ) D Câu a (1.75 đ) • Ta có thể giả sử AD = b, BC = c và các cạnh còn lại bằng a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh D’ AD, BC. Ta dễ dàng suy ra Ị vuông góc với AD và I BC và IJ chính là trục đối xứng của tứ diện. A’ • Lấy M tùy ý trong không gian, M’ là điểm đối xứng K0 của M qua IJ suy ra trung điểm K của MM’ chính là hình chiếu của M trên đường thẳng IJ và ta có: C A • 2(MA + MB + MC + MD) = MA + MB + MC + MD + M’A + M’B+M’C+M’D J = (MA + M’A) + (MB + M’B) + (MC + M’C) + (MD + M’D) ≤ 2KA + 2KB + 2KC + 2KD (1). B ( Do tính chất: trung tuyến của một tam giác thì bé hơn nữa tổng của hai cạnh cùng xuất phát từ một đỉnh của nó). • Do đó: MA + MB + MC + MD ≤ KA + KB + KC + KD. Bài toán trở thành tìm điểm K trên IJ sao cho KA + KB + KC + KD bé nhất. • Trong mặt phẳng (BCI) dựng hình thang BCD’A’ sao cho IJ là trung điểm của hai đáy và IA = IA’, ID = ID’. Ta thấy rằng: với K tùy ý trên Ị thì KA = KA’ và KD = KD’. Do đó: KA + KB + KC + KD = KA’ + KB + KC + KD’ = (KA’ + KC) + (KB + KD’) ≤ A’C + BD’. • Vậy KA + KB + KC + KD nhỏ nhất khi K chính là giao điểm K0 của hai đường chéo A’C và BD’. c2 b2 c2 b2 • Tính IJ: IJ2 = DJ2 – ID2 = DC2 – JC2 – ID2 = a2 - − � IJ = a 2 − − . 44 44 2 2 � + A 'D' � 2 � + c � 2 c b 2 2 BC b bc BD '2 = � + IJ = � + a − − = a2 + . • Tính BD’: � � 2 �2 � 44 2 � � • Tổng các khoảng cách nhỏ nhất là: d = 2BD’ = 4a 2 + 2bc . Câu a (0.75 đ) • Gọi r1, r2, r3 là bán kính các mặt cầu tâm O và lần lượt đi qua các đỉnh A, B, C. Ta có: • OD < OC + DC < OC + AB < OC + OA + OB = r1 + r2 + r3. Do đó D ở trong hình cầu cố định tâm O, bán kính R = r1 + r2 + r3. Bài 4: (4.0 điểm) � − a) 2 ax - 2 2a(x − a) 2 + 1 0 � − a) 2 (x − 2 2) + 1 0 a(x (x •� � � >a >0 �>a>0 x x 1 1 1 1 � � �+ � (x − a) + (x − a) + a + x 22 2 2 (1) � � (x − a) 2 a (x − a) 2 a ��2 2 • �>a>0 �>a>0 x x (2) � � • Do (2) nên x – a và a là hai số dương, áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 4 số dương ta được:
- 1 1 1 1 (x − a) + (x − a) + a + • 4 4 =2 2 (3) (x − a) a 2 2 2 4 • Do đó (1) chỉ đúng khi dấu đẳng thức xảy ra tại (3) tức là: 32 x= 1 1 2 (x − a) = a = (x − a) a 2 2 2 a= 2 2 32 • Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi a = và nghiệm của hệ là: x = . 2 2
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Đề thi chọn Học sinh giỏi cấp Tỉnh năm 2013 - 2014 môn Toán lớp 11 - Sở Giáo dục Đào tạo Nghệ An
1 p | 592 | 46
-
Đề thi Chọn học sinh giỏi cấp Tỉnh năm học 2014 - 2015 môn Toán 9 (Đề tham khảo) - Trường THCS Trần Thị Nhượng
6 p | 358 | 41
-
Đề thi Chọn học sinh giỏi lớp 12 vòng Tỉnh năm 2011 - 2012 môn Tin học Bảng B (Ngày 5/11/2011) - Sở Giáo dục Đào tạo Bạc Liêu
4 p | 299 | 35
-
Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 cấp Tỉnh môn Vật lí năm 2012 (Đề chính thức) - Sở GD & ĐT Long An
1 p | 335 | 27
-
Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường năm học 2012-2013 môn Lịch sử 11 - Trường THPT Thuận Thành số 1
1 p | 363 | 27
-
Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Lí 9 THCS năm 2010 - 2011 (Bảng A)
7 p | 303 | 23
-
Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Sinh học khối 8 năm học 2013 - 2014
4 p | 240 | 23
-
Đề thi chọn Học sinh giỏi cấp Tỉnh THPT năm hoc 2011 - 2012 môn Toán lớp 10 - Sở GD - ĐT Hà Tĩnh
1 p | 264 | 23
-
Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Sinh học khối 6 năm học 2013 - 2014
5 p | 426 | 21
-
Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Hóa khối 9 năm học 2013 - 2014
5 p | 351 | 17
-
Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Địa khối 6,7 năm học 2013 - 2014 (Chính)
4 p | 370 | 16
-
Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Địa khối 8,9 năm học 2013 - 2014 (Chính)
4 p | 202 | 15
-
Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Sinh học khối 7 năm học 2013 - 2014
4 p | 206 | 11
-
Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Địa khối 8,9 năm học 2013 - 2014 (Phụ)
4 p | 162 | 9
-
Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Địa khối 6,7 năm học 2013 - 2014 (Phụ)
4 p | 129 | 5
-
Đề thi chọn học sinh giỏi THCS, THPT cấp tỉnh năm học 2014-2015 môn Địa lý cấp THPT - Sở Giáo dục và Đào tạo Ninh Thuận
1 p | 144 | 5
-
Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2014-2015 môn Hóa học cấp THPT - Sở Giáo dục và Đào tạo Ninh Thuận
2 p | 233 | 5
-
Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm 2021-2022 - Sở GD&ĐT Lạng Sơn
6 p | 30 | 3
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn