Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 7 năm 2017-2018 có đáp án - Phòng GD&ĐT huyện Than Uyên

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> HUYỆN THAN UYÊN<br /> <br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> <br /> ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7<br /> NĂM HỌC 2017 - 2018<br /> Môn thi: TOÁN<br /> Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)<br /> (Đề thi gồm có 01 trang)<br /> <br /> Câu 1. (4,0 điểm)<br />  2<br /> <br /> 3  193 33   7<br /> <br /> 11  1931 9 <br /> <br /> a) Thực hiện phép tính: A  <br /> <br />   : <br /> <br />  .<br /> .<br /> .<br />  193 386  17 34   1931 3862  25 2 <br /> b) Rút gọn :<br /> B = (-5)0 + (-5)1 + (-5)2 + (-5)3 + … + (-5)2016 + (-5)2017.<br /> Câu 2 (4,0 điểm).<br /> a) Tìm a, b, c biết<br /> <br /> 12a  15b 20c  12a 15b  20c<br /> <br /> <br /> và a + b + c = 48.<br /> 7<br /> 9<br /> 11<br /> <br /> b) Một công trường dự định phân chia số đất cho ba đội I, II, III tỉ lệ với 7; 6; 5.<br /> Nhưng sau đó vì số người của các đội thay đổi nên đã chia lại tỉ lệ với 6; 5; 4. Như vậy có<br /> một đội làm nhiều hơn so với dự định là 6m3 đất. Tính tổng số đất đã phân chia cho các đội.<br /> Câu 3 (4,5 điểm).<br /> a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C =<br /> <br /> | x  2017 | 2018<br /> .<br /> | x  2017 | 2019<br /> <br /> 3 8 15<br /> n2  1<br /> b) Chứng tỏ rằng S =    ...  2 không là số tự nhiên với mọi n  N, n ><br /> 4 9 16<br /> n<br /> <br /> 2.<br /> c) Tìm tất cả các cặp số nguyên x, y sao cho: x - 2xy + y = 0.<br /> Câu 4 (5,5 điểm).<br /> Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của CB lấy<br /> điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB và AC<br /> lần lượt ở M và N. Chứng minh rằng:<br /> a) DM = EN.<br /> b) Đường thẳng BC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN.<br /> c) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn luôn đi qua một điểm cố định khi D<br /> thay đổi trên cạnh BC.<br /> Câu 5 (2,5 điểm).<br /> Trong hình bên, đường thẳng OA là đồ thị của<br /> hàm số y = f(x) = ax.<br /> a) Tính tỉ số<br /> <br /> y0  2<br /> .<br /> x0  4<br /> <br /> b) Giả sử x0 = 5. Tính diện tích tam giác OBC<br /> <br /> ------------------------------------------------------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm – SBD: ……………<br /> <br /> PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> HUYỆN THAN UYÊN<br /> <br /> HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI<br /> HỌC SINH GIỎI LỚP 7 NĂM HỌC 2017 - 2018<br /> Môn thi: TOÁN<br /> (Đáp án gồm có 04 trang)<br /> <br /> HDC CHÍNH THỨC<br /> Câu 1. (4,0 điểm)<br />  2<br /> <br /> 3  193 33   7<br /> <br /> 11  1931 9 <br /> <br /> a) Thực hiện phép tính: A  <br /> <br />   : <br /> <br />  .<br /> .<br /> .<br />  193 386  17 34   1931 3862  25 2 <br /> b) Rút gọn :<br /> B = (-5)0 + (-5)1 + (-5)2 + (-5)3 + … + (-5)49 + (-5)50.<br />  2<br /> <br /> 3  193 33 <br /> <br /> 2 193<br /> <br /> 3 193 33<br /> <br /> 2<br /> <br /> 3<br /> <br /> 33<br /> <br />  <br /> .<br /> <br /> .<br /> <br />  <br /> =<br /> =1<br /> <br />   =<br /> .<br />  193 386  17 34  193 17 386 17 34 17 34 34<br /> <br /> a<br /> <br /> <br /> <br /> 1931 9 <br /> <br /> <br /> <br /> .<br /> <br /> .<br />  =   =5<br />  <br /> <br />   =<br /> .<br />  1931 3862  25 2  1931 25 3862 25 2 25 50 2<br /> 7<br /> <br /> 11<br /> <br /> A = 1 : 5 =<br /> <br /> 7<br /> <br /> 1931<br /> <br /> 11 1931 9<br /> <br /> 7<br /> <br /> 11<br /> <br /> 9<br /> <br /> 1<br /> 5<br /> <br /> 0,75<br /> 0,5<br /> <br /> (-5)B =<br /> (-5)1 + (-5)2 + (-5)3 + … + (-5)2016 + (-5)2017 + (-5)2018.<br /> B = (-5)0 + (-5)1 + (-5)2 + (-5)3 + … + (-5)2016 + (-5)2017.<br /> 2018<br /> -1<br /> b Do đó: (-5)B – B = (-6)B = (-5)<br /> 2018<br /> 2018<br /> (5)  1 1  5<br /> Vậy B =<br /> =<br /> 4<br /> 4<br /> Câu 2 (4,0 điểm).<br /> a) Tìm a, b, c biết<br /> <br /> 0,75<br /> <br /> 0,5<br /> 0,75<br /> 0,75<br /> <br /> 12a  15b 20c  12a 15b  20c<br /> <br /> <br /> và a + b + c = 48.<br /> 7<br /> 9<br /> 11<br /> <br /> b) Một công trường dự định phân chia số đất cho ba đội I, II, III tỉ lệ với 7; 6; 5.<br /> Nhưng sau đó vì số người của các đội thay đổi nên đã chia lại tỉ lệ với 6; 5; 4. Như vậy có<br /> một đội làm nhiều hơn so với dự định là 6m3 đất. Tính tổng số đất đã phân chia cho các đội.<br /> Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:<br /> 12a  15b 20c  12a 15b  20c 12a  15b  20c  12a  15b  20c<br /> <br /> <br /> <br /> =0<br /> 7<br /> 9<br /> 11<br /> 27<br /> <br /> a<br /> <br /> b<br /> <br /> 12a  15b<br /> <br />  0 12a  15b <br /> a<br /> b<br /> c<br /> <br /> 7<br />   12a  15b  20c  1  1  1<br /> 20c  12a<br />  0  20c  12a <br /> 12 15 20<br /> <br /> 9<br /> và a + b + c = 48<br /> Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:<br /> a<br /> b<br /> c<br /> a bc<br /> 48<br /> <br /> <br /> <br /> =<br /> = 24<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1 1 1<br /> 1<br />  <br /> 12 15 20 12 15 20 5<br /> a<br /> b<br /> c<br />  240  a  20<br />  240  b  16<br />  240  c  12<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 12<br /> 15<br /> 20<br /> Vậy a = 20; b = 16; c = 12.<br /> Gọi tổng số đất đã phân chia cho các đội là x (m3) ĐK: x > 0.<br /> Số đất dự định chia cho ba đội I, II, III lần lượt là a, b, c (m3) ĐK: a,b,c > 0.<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 7x<br /> 6x<br /> 5x<br /> a b c abc x<br />  a  ;b  ;c <br />   <br /> <br /> (1)<br /> 18<br /> 18<br /> 18<br /> 7 6 5<br /> 18<br /> 18<br /> Số đất sau đó chia cho ba đội I, II, III lần lượt là a’, b’, c’ (m3) ĐK: a’,b’,c’ > 0.<br /> a ' b ' c ' a ' b ' c ' x<br /> 6x<br /> 5x<br /> 4x<br />   <br /> <br />  a '  ;b '  ; c ' <br /> Ta có:<br /> (2)<br /> 15<br /> 15<br /> 15<br /> 6 5 4<br /> 15<br /> 15<br /> So sánh (1) và (2) ta có: a < a’; b = b’ ; c > c’ nên đội I nhận nhiều hơn lúc đầu.<br /> x<br /> 7 x 6x<br />  4  x  360<br />  =6 <br /> Vì a – a’ = 6 hay<br /> 90<br /> 18 15<br /> Vậy tổng số đất đã phân chia cho các đội là 360m3 đất.<br /> Câu 3 (4,5 điểm).<br /> Ta có:<br /> <br /> a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C =<br /> b) Chứng tỏ rằng S =<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> | x  2017 | 2018<br /> .<br /> | x  2017 | 2019<br /> <br /> n2  1<br /> 3 8 15<br />    ...  2 không là số nguyên với mọi n  Z, n > 2.<br /> 4 9 16<br /> n<br /> <br /> c) Tìm số nguyên x, y sao cho: x - 2xy + y = 0.<br /> <br /> a<br /> <br /> | x  2017 | 2018<br /> =<br /> | x  2017 | 2019<br /> <br />  x  2017  2019  1<br /> <br /> 1<br /> | x  2017 | 2019<br /> | x  2017 | 2019<br /> Biểu thức C đạt giá trị nhỏ nhất khi | x  2017 | 2019 có giá trị nhỏ nhất<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Mà | x  2017 | ≥ 0 nên | x  2017 | 2019 ≥ 2019.<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> C=<br /> <br /> Dấu “=” xảy ra khi x = 2017  C =<br /> <br /> = 1<br /> <br /> 2018<br /> .<br /> 2019<br /> <br /> 2018<br /> khi x = 2017.<br /> 2019<br /> 3 8 15<br /> n2  1<br /> 22  1 32  1 42  1<br /> n2  1<br /> S =    ...  2 = 2  2  2  ...  2<br /> 4 9 16<br /> n<br /> 2<br /> 3<br /> 4<br /> n<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> = 1  2  1  2  1  2  ...  1  2<br /> 2<br /> 3<br /> 4<br /> n<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> <br /> = (1  1  1  ...  1)   2  2  2  ...  2 <br /> n <br /> 2 3 4<br /> 1 <br />  1 1 1<br /> = (n  1)   2  2  2  ...  2 <br /> n <br /> 2 3 4<br />  S < n – 1 (1)<br /> 1 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> Nhận xét: 2 <<br /> ; 2<<br /> ; 2<<br /> ; …; 2 <<br /> (n  1).n<br /> 1.2 3<br /> 2.3 4<br /> 3.4<br /> 2<br /> n<br /> 1 1 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> +<br /> +<br /> +…+<br /> = 1– < 1.<br />  2  2  2  ...  2 <<br /> (n  1).n<br /> 2 3 4<br /> n<br /> 1.2<br /> 2.3<br /> 3.4<br /> n<br /> 1<br /> 1<br /> 1 1 1<br /> 1 1 1<br />    2  2  2  ...  2  >-1  (n  1)   2  2  2  ...  2  > (n–1)–1= n – 2.<br /> n <br /> n <br /> 2 3 4<br /> 2 3 4<br />  S > n – 2 (2)<br /> <br /> Vậy giá trị nhỏ nhất của C là<br /> <br /> b<br /> <br /> c<br /> <br /> Từ (1) và (2) suy ra n – 2 < S < n – 1 hay S không là số nguyên.<br /> Ta có:<br /> x - 2xy + y = 0.<br />  x(1 – y) + y = 0<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,5<br /> <br />  (1 – y) + x(1 – y) = 1<br />  (1 + x)(1 – y) = 1<br /> Ta có: 1 = 1.1 = (-1).(-1)<br /> Ta có bảng:<br /> 1+x<br /> 1<br /> -1<br /> 1–y<br /> 1<br /> -1<br /> x<br /> 0<br /> -2<br /> y<br /> 0<br /> 2<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> abccjh<br /> <br /> 0,25<br /> Vậy (x;y) {(0;0);(-2;2)}<br /> Câu 4 (5,5 điểm).<br /> Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của CB lấy<br /> điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB và AC<br /> lần lượt ở M và N. Chứng minh rằng:<br /> a) DM = EN.<br /> b) Đường thẳng BC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN.<br /> c) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn luôn đi qua một điểm cố định khi D thay<br /> đổi trên cạnh BC.<br /> GT ∆ABC<br /> AB = AC<br /> BD = CE<br /> MD  BC; NE  BC<br /> BC  MN = {I}<br /> 0,25<br /> KL a) DM = EN<br /> b) Đường thẳng BC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN<br /> Vẽ<br /> c) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn luôn đi qua một điểm<br /> hình;<br /> cố định khi D thay đổi trên cạnh BC<br /> Ghi<br /> GTKL<br /> 0,5<br /> <br /> a<br /> <br /> b<br /> <br /> c<br /> <br /> ∆MDB = ∆NEC (g.c.g)<br />  DM = EN (cặp cạnh tương ứng)<br />  MB = NC (cặp cạnh tương ứng)<br /> Ta có:<br /> ∆MDI vuông tại D: DMI  MID  900 (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)<br /> ∆NEI vuông tại E: ENI  NIE  900 (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)<br /> Mà MID  NIE (đối đỉnh) nên DMI = ENI<br /> ∆MDI = ∆NEI (g.c.g)<br />  IM = IN (cặp cạnh tương ứng)<br /> Vậy BC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN<br /> Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BC.<br /> ∆AHB = ∆AHC (cạnh huyền.cạnh góc vuông)<br /> <br /> 0,75<br /> 0,25<br /> <br /> 0,5<br /> 0,75<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br />  HAB  HAC (cặp góc tương ứng)<br /> Gọi O là giao điểm của AH với đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ I.<br /> ∆OAB = ∆OAC (c.g.c)<br />  OBA  OCA (cặp góc tương ứng) (1)<br />  OC = OB (cặp cạnh tương ứng)<br /> ∆OIM = ∆OIN (c.g.c)<br />  OM = ON (cặp cạnh tương ứng)<br /> ∆OBM = ∆OCN (c.c.c)<br />  OBM  OCN (cặp góc tương ứng) (2)<br /> Từ (1) và (2) suy ra OCA  OCN =900, do đó OC  AC.<br /> Vậy điểm O cố định.<br /> Câu 5 (2,5 điểm).<br /> Trong hình bên, đường thẳng OA là đồ thị của<br /> hàm số y = f(x) = ax.<br /> y 2<br /> .<br /> a) Tính tỉ số 0<br /> x0  4<br /> b) Giả sử x0 = 5. Tính diện tích tam giác OBC<br /> <br /> a<br /> <br /> Điểm A thuộc đồ thị hàm số y = ax nên tọa độ (2;1) của A phải thỏa mãn hàm số<br /> y = ax.<br /> 1<br /> 1<br /> Do đó, 1 = a.2  a = . Vậy hàm số được cho bởi công thức y = x.<br /> 2<br /> 2<br /> Hai điểm A và B thuộc đồ thị hàm số nên hoành độ và tung độ của chúng tỉ<br /> lệ thuận với nhau.<br /> Suy ra<br /> Vậy<br /> <br /> y0 1 2 y0  2<br />   <br /> (theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)<br /> x0 2 4 x0  4<br /> <br /> 1<br /> y0  2<br /> = .<br /> x0  4<br /> 2<br /> <br /> 1<br /> 5<br /> x0 = = 2,5.<br /> 2<br /> 2<br /> Diện tích tam giác OBC là:<br /> 1<br /> b<br /> Áp dụng công thức S = (a.h) ta có:<br /> 2<br /> 1<br /> SOBC = . 5. 2,5 = 6,25.<br /> 2<br /> *Lưu ý. Học sinh có cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa.<br /> Nếu x0 = 5 thì y0 =<br /> <br /> _________________Hết__________________<br /> (Cán bộ chấm thi:………………………..)<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,5<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 0,75<br /> <br />