Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán 7 năm 2018-2019 có đáp án - Trường THCS Giao Tân

TRƯỜNG THCS<br /> GIAO TÂN<br /> <br /> ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018-2019<br /> MÔN TOÁN - LỚP 7<br /> (Thời gian làm bài 120 phút)<br /> <br /> (4,0 điểm)<br /> 1 2 3 4<br /> 99 100<br /> Cho biểu thức : C   2  3  4  .....  99  100<br /> 3 3 3 3<br /> 3<br /> 3<br /> <br /> Chứng minh rằng :<br /> Bài 2. (5,0 điểm)<br /> Câu 1: Tìm x, y, z biết :<br /> 2<br /> <br /> Câu 2: Cho tỉ lệ thức<br /> <br /> C<<br /> <br /> 3x = 4y = 5z – 3x - 4y và<br /> <br /> 2x + y = z - 38<br /> <br /> 2<br /> <br /> a +b<br /> ab<br /> =<br /> 2<br /> 2<br /> c +d<br /> cd<br /> <br /> Chứng minh rằng :<br /> <br /> 3<br /> 16<br /> <br /> với a, b, c, d ≠ 0 và c ≠ - d<br /> <br /> a<br /> c<br /> a<br /> d<br /> =<br /> =<br /> hoặc<br /> b<br /> d<br /> b<br /> c<br /> <br /> Bài 3. (3,0 điểm)<br /> Câu 1 : Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có<br /> 4n + 3 + 4n + 2 - 4n + 1 - 4n chia hết cho 300<br /> 27 - 2x<br /> Câu 2 : Cho Q =<br /> . Tìm các số nguyên x để Q có giá trị nguyên ?<br /> 12 - x<br /> Bài 4. (3,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau<br /> <br /> H =  3x - 2y  -  4y - 6x  - xy - 24<br /> Bài 5. (5,0 điểm).<br /> Cho Δ ABC nhọn.Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C dựng đoạn thẳng AD vuông góc<br /> với AB và AD = AB.Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B dựng đoạn thẳng AE vuông góc<br /> với AC và AE = AC.<br /> 1) Chứng minh rằng BE = CD .<br /> 2) Gọi M là trung điểm của DE, tia MA cắt BC tại H.Chứng minh MA  BC<br /> 3) Nếu AB = c, AC = b, BC = a. Hãy tính độ dài đoạn thẳng HC theo a, b, c ?<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> ----- Hết -----<br /> <br /> TRƯỜNG THCS<br /> GIAO TÂN<br /> <br /> HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG<br /> MÔN TOÁN - LỚP 7 NĂM HỌC 2018-2019<br /> <br /> 1 2 3 4<br /> 99 100<br /> (4,0 điểm) Cho biểu thức : C   2  3  4  .....  99  100<br /> 3 3 3 3<br /> 3<br /> 3<br /> <br /> Chứng minh rằng :<br /> <br /> Biến đổi:<br /> <br /> C<<br /> <br /> 3<br /> 16<br /> <br /> Đáp án<br /> 99 100 <br /> 2 3 4<br /> 99 100<br /> 1 2 3 4<br /> 3C  3.  2  3  4  .....  99  100   1   2  3  .....  98  99<br /> 3<br /> 3 <br /> 3 3 3<br /> 3<br /> 3<br /> 3 3 3 3<br /> <br /> Đ ểm<br /> 0,25<br /> <br /> Ta có<br /> <br /> 99 100   1 2 3 4<br /> 99 100 <br />  2 3 4<br /> 3C  C  1   2  3  .....  98  99     2  3  4  .....  99  100 <br /> 3<br /> 3  3 3 3 3<br /> 3<br /> 3 <br />  3 3 3<br /> 2 3 4<br /> 99 100 1 2 3 4<br /> 99 100<br />  2  3  ....  98  99   2  3  4  .....  99  100<br /> 3 3 3<br /> 3<br /> 3<br /> 3 3 3 3<br /> 3<br /> 3<br /> <br /> 4C  1 <br /> <br />  2 1   3 2   4 3 <br />  100 99  100<br /> 4C  1  <br />     2  2     3  3   ....    99  99   100<br /> 3  3<br />  3 3 3 3   3 3 <br />  3<br /> 1 1 1<br /> 1 100<br /> 4C  1   2  3  ....  99  100<br /> 3 3 3<br /> 3<br /> 3<br /> <br /> Đặt<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 1 1 1<br /> 1<br /> D  1   2  3  ....  99<br /> 3 3 3<br /> 3<br /> <br /> 1 <br /> 1 1<br /> 1<br />  1 1 1<br /> Ta có: 3D  3.1   2  3  ....  99   3  1   2  ....  98<br /> 3 <br /> 3 3<br /> 3<br />  3 3 3<br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> 3<br /> <br /> Khi đó: 3D  D   3  1  <br /> <br /> 1  1<br /> 1 1  1 1 <br />  1<br /> 4 D  3   1  1        2  2   ...    98  98   99<br /> 3  3<br />  3 3  3 3 <br />  3<br /> <br /> 4D  3 <br /> <br /> 1<br /> 399<br /> <br /> 1 <br /> 1 <br /> . 3 - 99 <br /> 4<br /> 3 <br /> 3<br /> 1<br /> D=<br /> 4 4.399<br /> D=<br /> <br /> 3<br /> 4<br /> <br /> Nên ta có 4C   <br /> 4C <br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 1<br /> 1   1 1 1<br /> 1 <br />  ....  98   1   2  3  ....  99 <br /> 2<br /> 3<br /> 3   3 3 3<br /> 3 <br /> <br /> 1 1<br /> 1<br /> 1 1 1<br /> 1<br /> 4 D  3  1   2  ....  98  1   2  3  ....  99<br /> 3 3<br /> 3<br /> 3 3 3<br /> 3<br /> <br /> Suy ra<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 1  100<br /> <br /> 4.399  3100<br /> <br /> 3<br /> 1<br /> 100<br />  99  100<br /> 4 4.3<br /> 3<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 1 3<br /> 1<br /> 100 <br />  C  . <br />  100 <br /> 99<br /> 4  4 4.3<br /> 3 <br /> <br /> Ta có<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> C<br /> <br /> 3<br /> 1<br /> 25<br />  2 99  100<br /> 16 4 .3<br /> 3<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> C<br /> <br /> 3  1<br /> 25 <br /> -  2 99 + 100 <br /> 16  4 .3<br /> 3 <br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 1<br /> 25<br /> <br /> > 0 nên<br /> 42.399 3100<br /> <br /> Bài 2. (5,0 điểm)<br /> Câu 1: (2,5 điểm)<br /> Tìm x, y, z biết :<br /> <br /> 3  1<br /> 25 <br /> 3<br />   2 99  100  <<br /> . Vậy<br /> 16  4 .3<br /> 3  16<br /> <br /> 3x = 4y = 5z – 3x - 4y và<br /> <br /> C<<br /> <br /> 3<br /> 16<br /> <br /> 2x + y = z – 38<br /> <br /> Đáp án<br /> 2x + y = z – 38<br /> <br /> Ta có :<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Đ ểm<br /> <br /> nên 2x + y – z = – 38<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> + Vì 3x = 4y = 5z – 3x – 4y nên 3x = 5z – 3x – 3x<br /> <br /> <br /> 3x = 5z – 6x<br /> <br /> <br /> + Vì<br /> <br /> 3x = 4y<br /> <br /> <br /> <br /> x<br /> z<br /> =<br /> 5<br /> 9<br /> <br /> x<br /> y<br /> =<br /> 4<br /> 3<br /> <br /> Từ (1) và (2) suy ra<br /> <br /> 0,25<br /> <br />  9x = 5z<br /> <br /> <br /> <br /> x<br /> z<br /> =<br /> 20 36<br /> <br /> x<br /> y<br /> =<br /> 20 15<br /> x<br /> y<br /> z<br /> =<br /> <br /> 20 15 36<br /> <br /> <br /> (1)<br /> (2)<br /> <br /> Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :<br /> x<br /> y<br /> z<br /> 2x + y - z<br /> -38<br /> =<br /> <br /> <br /> =<br /> =-2<br /> 20 15 36 2.20 + 15 - 36<br /> 19<br /> x<br /> = - 2  x = (-2) . 20 = - 40<br /> Do đó :<br /> 20<br /> y<br /> = - 2  y = (-2) . 15 = - 30<br /> 15<br /> z<br /> = - 2  z = (-2) . 36 = - 72<br /> 36<br /> Vậy<br /> <br /> x = -40 ; y = -30 ; z = - 72<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> Câu 2: (2,5 điểm)<br /> Cho<br /> <br /> a 2  b 2 ab<br /> a c<br /> a d<br /> <br /> với a, b, c, d  0; c  - d . Chứng minh rằng  hoặc <br /> 2<br /> 2<br /> cd<br /> b d<br /> b c<br /> c d<br /> <br /> Đáp án<br /> Ta có:<br /> <br /> a 2 + b2<br /> 2ab<br /> a 2 + b2<br /> ab<br /> =<br /> nên 2 2 =<br /> 2<br /> 2<br /> c +d<br /> 2cd<br /> c +d<br /> cd<br /> <br /> Đ ểm<br /> 0,25<br /> <br /> Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có<br /> a 2 + b2<br /> 2ab a 2 + b 2 + 2ab a 2 + b 2 - 2ab<br /> =<br /> =<br /> <br /> c2 + d 2<br /> 2cd c2 + d 2 + 2cd c 2 + d 2 - 2cd<br /> <br /> a<br /> <br /> c<br /> <br /> 2<br /> 2<br /> <br /> + ab  +  b 2 + ab <br /> <br /> a<br /> =<br /> + cd  +  d + cd   c<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> a+b a-b<br /> Suy ra <br />  <br />  <br /> c+d c-d<br /> <br /> 2<br /> 2<br /> <br /> - ab  +  b 2 - ab <br /> <br /> - cd  +  d 2 - cd <br /> <br /> a + b<br /> <br /> 2<br /> c + d<br /> 2<br /> <br /> a - b<br /> 2<br /> c - d<br /> 2<br /> <br /> =<br /> <br /> a+b a-b<br /> a+b b-a<br /> <br /> <br /> hoặc<br /> c+d c-d<br /> c+d c-d<br /> <br /> a+b a-b<br /> <br /> thì  a + b  . c - d  =  a - b  . c + d <br /> c+d c-d<br /> <br /> + Với<br /> <br /> <br /> <br /> ac - ad +bc – bd = ac + ad –bc - bd<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ad = bc<br /> <br /> a<br /> c<br /> =<br /> b d<br /> <br /> <br /> <br /> ac = bd<br /> <br /> <br /> <br /> a<br /> d<br /> =<br /> b<br /> c<br /> <br /> a 2 + b2<br /> ab<br /> Vậy nếu 2 2 =<br /> với a, b, c, d  0; c  - d thì<br /> c +d<br /> cd<br /> <br /> a<br /> c<br /> a<br /> d<br /> hoặc =<br /> =<br /> b d<br /> b<br /> c<br /> <br /> n+3<br /> + 4n + 2 - 4n + 1 - 4n = 4n .(43 + 42 - 4 - 1)<br /> Với mọi n nguyên dương, ta có 4<br /> <br /> Nên 4<br /> <br /> n+2<br /> <br /> +4<br /> <br /> n+1<br /> <br /> -4<br /> <br /> Câu 2: (2,0 điểm) Cho Q =<br /> <br /> Điều kiện :<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Đ ểm<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> = 4n - 1. 4 . 75 = 300 . 4n - 1<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> n<br /> <br /> - 4 chia hết cho 300 ( với mọi n nguyên dương )<br /> 27 - 2x<br /> . Tìm các số nguyên x để Q có giá trị nguyên ?<br /> 12 - x<br /> Đáp án<br /> <br /> Đ ểm<br /> <br /> x  Z ; x ≠ 12<br /> <br /> 2.(12 - x) + 3<br /> 3<br /> 27 - 2x<br /> =<br /> =2+<br /> 12 - x<br /> 12 - x<br /> 12 - x<br /> Ta có 2 Z ; x  Z ; x ≠ 12<br /> 3<br /> nên Q có giá trị nguyên khi và chỉ khi<br /> có giá trị nguyên<br /> 12  x<br /> <br /> Biến đổi<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> = 4n .(64 + 16 - 4 - 1) = 4n .75<br /> <br /> 300 . 4n - 1 chia hết cho 300 ( với mọi n nguyên dương )<br /> n+3<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Bài 3. (3,0 điểm)<br /> Câu 1: (1,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có<br /> 4n + 3 + 4n + 2 - 4n + 1 - 4n chia hết cho 300<br /> Đáp án<br /> <br /> Mà<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> a+b b-a<br /> <br /> thì  a + b  . c - d  =  b - a  .  c + d <br /> c+d c-d<br />  ac - ad +bc – bd = bc + bd –ac - ad<br /> <br /> + Với<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Q=<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Mà<br /> <br /> 3<br /> có giá trị nguyên khi và chỉ khi 12  x  Ư(3)<br /> 12  x<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Ư(3) = -3; -1; 1; 3<br /> <br /> + Nếu 12 - x = - 3 thì x = 15 (thỏa mãn điều kiện)<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> + Nếu 12 - x = -1 thì x = 13 (thỏa mãn điều kiện)<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> + Nếu 12 - x = 1 thì x = 11 (thỏa mãn điều kiện)<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> + Nếu 12 - x = 3 thì x = 9 (thỏa mãn điều kiện)<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Vậy Q có giá trị nguyên khi và chỉ khi x  9; 11; 13; 15<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Bài 4. (3,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau :<br /> <br /> H =  3x - 2y  -  4y - 6x  - xy - 24 .<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> Đáp án<br /> <br /> Đ ểm<br /> <br /> Ta có H =  3x - 2y  -  4y - 6x  - xy - 24<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> =  3x - 2y  - 4. 2y - 3x  - xy - 24  3x - 2y  - 4. 3x - 2y  - xy - 24<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> = - 3. 3x - 2y  + xy - 24 <br /> <br /> <br /> <br /> = - 3. 3x - 2y  - xy - 24<br /> 2<br /> <br /> Ta có<br /> <br /> 3. 3x - 2y <br /> <br /> 2<br /> <br />  0<br /> <br /> xy - 24  0<br /> <br /> với mọi giá trị của x, y<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> - 3. 3x - 2y  + xy - 24   0<br /> <br /> <br /> <br /> H ≤ 0<br /> <br /> Hay<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> với mọi giá trị của x, y<br /> <br /> Do đó 3. 3x - 2y  + xy - 24  0<br /> Nên<br /> <br /> 2<br /> <br /> Dấu ‘‘ = ’’ xảy ra khi và chỉ khi<br /> <br /> với mọi giá trị của x, y<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> với mọi giá trị của x, y<br /> với mọi giá trị của x, y<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 3x - 2y  0<br /> <br /> và xy - 24  0 (1)<br /> + Với 3x - 2y = 0 thì 3x = 2y <br /> <br /> 0,25<br /> <br /> x<br /> y<br /> =<br /> 2<br /> 3<br /> <br /> x<br /> y<br /> = = k . Khi đó x = 2k ; y = 3k<br /> 2<br /> 3<br /> Thay x = 2k và y = 3k vào (1) ta được<br /> 2k . 3k - 24 = 0<br /> <br /> Đặt<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 2<br /> <br /> 6k = 24<br /> k2 = 4<br />  k = 2 hoặc k = -2<br /> + Với k = 2 thì x = 2.2 = 4<br /> y = 3.2 = 6<br /> + Với k = - 2 thì x = 2.(-2) = - 4<br /> y = 3.(-2) = - 6<br /> Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức H là 0 khi và chỉ khi<br /> x = 4; y = 6<br /> hoặc x = - 4; y = - 6<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br />