Đề thi chọn học sinh giỏi thành phố môn Toán lớp 9 năm học 2016-2017 (Đề chính thức) – Phòng Giáo dục và Đào tạo Thành phố Thanh Hóa

Chia sẻ: Ho Viet A | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

23
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề thi chọn học sinh giỏi thành phố môn Toán lớp 9 năm học 2016-2017 (Đề chính thức) biên soạn bởi Phòng Giáo dục và Đào tạo Thành phố Thanh Hóa. Để nắm chi tiết nội dung các bài tập mời các bạn cùng tham khảo đề thi.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi chọn học sinh giỏi thành phố môn Toán lớp 9 năm học 2016-2017 (Đề chính thức) – Phòng Giáo dục và Đào tạo Thành phố Thanh Hóa

PHÒNG GD & ĐT THÀNH PHỐ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ THANH HÓA NĂM HỌC 2016 2017 Môn Toán: Lớp 9 ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm bài: 150 phút) Bài 1: (5,0 điểm) x+2 x 1 x −1 Cho biểu thức: P = + + : . Với x 0, x 1. x x −1 x + x + 1 1− x 2 a) Rút gọn biểu thức P. 2 b) Tìm x để P = . 7 c) So sánh: P2 và 2P. Bài 2: (4,0 điểm) a) Tìm x, y Z thỏa mãn: 2 y 2 x + x + y + 1 = x 2 + 2 y 2 + xy b) Cho a, b, c là các số nguyên khác 0 thỏa mãn điều kiện: 2 1 1 1 1 1 1 + + = + + . a b c a 2 b2 c2 Chứng minh rằng: a 3 + b3 + c3 chia hết cho 3. Bài 3: (4,0 điểm) a) Giải phương trình sau: 4 x 2 + 20 x + 25 + x 2 + 6 x + 9 = 10 x − 20 b) Cho x, y là 2 số thực thoả mãn: x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x + y + 1. Bài 4: (6,0 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. N là điểm tùy ý thuộc cạnh AB. Gọi E là giao điểm của CN và DA. Vẽ tia Cx vuông góc với CE và cắt AB tại F. Lấy M là trung điểm của EF. a) Chứng minh: CM vuông góc với EF. b) Chứng minh: NB.DE = a2 và B, D, M thẳng hàng. c) Tìm vị trí của N trên AB sao cho diện tích của tứ giác AEFC gấp 3 lần diện tích của hình vuông ABCD Bài 5: (1,0 điểm) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: a b c a b c + + < + + a+b b+c c+a b+c c+a a +b
Hết Lưu ý: Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9 Bài Câu Nội dung Điểm 1 a Điều kiện: x 0, x 1. 0,5 x+2 x 1 x −1 P= + + : x x −1 x + x +1 1− x 2 0,5 x+2 x 1 x −1 = + − : ( x) 3 −1 x + x +1 x −1 2 x + 2 + x ( x − 1) − ( x + x + 1) x −1 = : ( )( x −1 x + x +1 ) 2 0,5 x − 2 x +1 2 = . ( )( x −1 x + x +1 ) x −1 0,5 2 = x + x +1 b Với x 0, x 1. Ta có: 2 0,5 P= 7 2 2 1,0 = x + x +1 7 x + x +1= 7 0,25 x+ x −6=0 ( x − 2)( x + 3) = 0 0,25 Vì x + 3 > 0 nên x − 2 = 0 x = 4 (t/m) 2 Vậy P = khi x = 4 7 c Vì x 0 x + x +1 1 0,25
2 0< 2 x + x +1 0,25 0
a + b = −c 0,25 ( a + b) = ( −c ) 3 3 a 3 + b3 + 3ab(a + b) = −c3 a 3 + b3 + c3 = 3abc Vậy a 3 + b3 + c3 M3 với a, b, c Z Lưu ý: Nếu học sinh sử dụng hằng đẳng thức x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) mà không chứng minh thì trừ 0,5 điểm. 3 a Đkxđ: ∀x R 0,25 4 x 2 + 20 x + 25 + x 2 + 6 x + 9 = 10 x − 20 Vì 4 x 2 + 20 x + 25 + x2 + 6x + 9 0 với ∀x 0,5 10x – 20 0 x 2 Ta có: 4 x 2 + 20 x + 25 + x 2 + 6 x + 9 = 10 x − 20 0,5 2 x + 5 + x + 3 = 10 x − 20 2 x + 5 + x + 3 = 10 x − 20 0,5 7 x = 28 x = 4(t / m) 0,25 Vậy phương trình có nghiệm là x = 4 b x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0. 0,5 ( x + y) 2 + 7( x + y ) + 10 = − y 2 ( x + y + 2)( x + y + 5) = − y 2 0 −4 x + y + 1 −1 0,5 * x + y + 1 = 4 khi x = 5; y = 0 * x + y + 1 = 1 khi x = 2; y = 0 0,5 Vậy Amin = 4 khi x= 5; y = 0 Amax = 1 khi x = 2; y = 0 0,5
4 a E M A N B F 1,0 D C ﾷ Ta có: ECD ﾷ = BCF ﾷ (cùng phụ với ECB ) Chứng minh được: ∆ EDC = ∆ FBC (cạnh góc vuông – góc nhọn) 1,0 CE = CF ∆ ECF cân tại C Mà CM là đường trung tuyến nên CM ⊥ EF b * Vì ∆ EDC = ∆ FBC ED = FB 0,5 ∆ NCF vuông tại C. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: BC2 = NB.BF a2 = NB.DE (đpcm) 0,5 EF * ∆ CEF vuông tại C có CM là đường trung tuyến nên CM = 2 EF 0,5 ∆ AEF vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên AM = 2 CM = AM M thuộc đường trung trực của AC. Vì ABCD là hình vuông nên B, D thuộc đường trung trực của AC 0,5 B, D, M thẳng hàng vì cùng thuộc đường trung trực của AC (đpcm). c Đặt DE = x (x > 0) BF = x 0,5 1 SACFE = SACF + SAEF = AF ( AE + CB ) 2 0,25
1 = (AB + BF) ( AE + AD ) 2 1 = (a + x).DE 2 1 0,5 = (a + x)x 2 1 SACFE = 3.SABCD (a + x)x = 3a 2 6a 2 − ax − x 2 = 0 2 (2a − x)(3a + x) = 0 0,5 Do x > 0; a > 0 3a + x > 0 2a − x = 0 x = 2a A là trung điểm của DE AE = a AN AE 0,25 Vì AE //BC nên = =1 NB BC N là trung điểm của AB. Vậy với N là trung điểm của AB thì SACFE = 3.SABCD 5 a a a+c 0,5 * Vì a, b, c > 0 nên 0 nên theo bất đẳng thức Cô si ta có: a + (b + c) a (b + c ) > 0 2 2 1 a +b +c a (b + c) 2a a 2a a a+b+c a(b + c) a+b+c b+c 2b b 2c c Tương tự: ; a+b+c a+c a+b+c b+a
a b c + + 2 b+c c+a a+b Dấu ‘ =” xảy ra khi a = b + c; b = c + a; c = a +b 0,5 tức là a = b = c (vô lý). a b c + + > 2 (2) b+c c+a a+b Từ (1) (2) ta có đpcm. * Lưu ý khi chấm bài: Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng. Với bài 5, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm.