Đề thi chọn học sinh giỏi văn hoá cấp tỉnh năm 2012 2013 môn Toán

http://toanhocmuonmau.violet.vn<br /> SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> BẮC GIANG<br /> <br /> ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH<br /> NĂM HỌC 2012-2013<br /> MÔN THI: TOÁN - LỚP 11 PHỔ THÔNG<br /> <br /> ĐỀ THI CHÍNH THỨC<br /> <br /> Ngày thi:31 /03/2013<br /> Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề<br /> <br /> Đề thi có 01 trang<br /> <br /> Câu 1. (5 điểm)<br /> Giải các phương trình sau:<br /> 1) cos 4 x + 2 cos 2 x − 2sin 2 x = 3 ,<br /> 2) sin 2 x cos 2 x + 4sin x cos 2 x − 3sin 2 x − cos2 x − 2 cos x + 3 = 0,<br /> <br /> (x ∈ ℝ ).<br /> (x ∈ ℝ ).<br /> <br /> Câu 2. (4 điểm)<br /> 1) Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số sao cho trong mỗi số đó có một chữ số xuất<br /> hiện hai lần, các chữ số còn lại xuất hiện không quá một lần.<br /> 2) Cho n là số nguyên dương thoả mãn 1Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + ... + nCnn = 128n.<br /> Tìm hệ số của x6 trong khai triển thành đa thức của<br /> f ( x) = 2(1 + x) n + x(2 + x) n +1 .<br /> Câu 3. (3 điểm)<br /> 1) Cho dãy số (un) được xác định như sau<br />  x1 = 1<br /> <br /> 1<br /> 2013 <br /> <br />  xn +1 = 2  xn + x  , n ≥ 1.<br /> <br /> n <br /> <br /> Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn và tìm lim xn .<br /> n →+∞<br /> <br /> 2) Tính giới hạn<br /> lim<br /> x →0<br /> <br /> 4 + x.3 1 + 2 x − 2<br /> .<br /> x<br /> <br /> Câu 4. (6 điểm)<br /> 1) Trong mặt phẳng, cho ba điểm A, B, C di động sao cho chúng luôn tạo thành một<br /> tam giác có trọng tâm G cố định và trực tâm H luôn chạy trên đường thẳng ∆ cố định. Tìm<br /> tập hợp tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.<br /> 2) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông<br /> góc với mặt phẳng (ABCD). Góc giữa SB và (ABCD) bằng 600. Gọi N là trung điểm BC.<br /> Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC.<br /> a. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SD và AN.<br /> b. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) và hình chóp S.ABCD.<br /> Câu 5. (2 điểm)<br /> Cho A, B, C là ba góc của một tam giác. Chứng minh rằng<br /> sin A + sin B −<br /> <br /> 2<br /> cos C ≤ 2.<br /> 2<br /> <br /> --------------------------------Hết------------------------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.<br /> <br /> Họ và tên thí sinh................................................ Số báo danh:........................................<br /> Giám thị 1 (Họ tên và ký)..................................................................................................<br /> Giám thị 2 (Họ tên và ký)..................................................................................................<br /> <br /> http://toanhocmuonmau.violet.vn<br /> SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> BẮC GIANG<br /> <br /> HƯỚNG DẪN CHẤM<br /> BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH<br /> <br /> NGÀY THI 31/3/2013<br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> <br /> MÔN THI: TOÁN LỚP 11 PHỔ THÔNG<br /> <br /> Bản hướng dẫn chấm có 03 trang<br /> <br /> Câu<br /> Câu I<br /> <br /> Phương pháp – Kết quả<br /> 1) Phương trình tương đương với<br /> (1 + cos 2 x) 2<br /> + 2 cos 2 x − (1 − cos 2 x) = 3<br /> 4<br /> ⇔ cos 2 2 x + 14 cos 2 x − 15 = 0<br />  cos2 x = 1<br /> ⇔<br /> ⇔ cos2 x = 1<br />  cos2 x = −15<br /> ⇔ x = kπ , k ∈ ℤ.<br /> <br /> 2) Phương trình đã cho tương đương với<br /> sin 2x(2cos2 x -1) + 4sin x cos2 x –3sin2x –(2cos2 x – 1 ) –2cos x + 3 = 0<br /> ⇔ (2sin2xcos2x – 2cos2 x) + (4sinxcos2 x – 2cos x) – 4sin 2x + 4 = 0<br /> 2<br /> ⇔ 2cos x(sin2x – 1) + 2cos x(sin2x – 1) – 4(sin 2x - 1) = 0<br /> 2<br /> ⇔ (sin 2x - 1)(cos x + cos x - 2) = 0<br /> sin 2 x = 1<br /> π<br /> <br /> <br />  x = + kπ<br /> ⇔ cos x = 1 ⇔<br /> 4<br /> <br /> cos x = −2<br />  x = k 2π ,<br /> <br /> k ∈ ℤ.<br /> <br /> Câu II 1) Trường hợp 1: Chữ số 0 xuất hiện 2 lần<br /> Có C32 cách chọn 2 vị trí cho chữ số 0.<br /> Có A92 cách xếp 2 chữ số trong 9 chữ số vào 2 vị trí còn lại<br /> Vậy có C32 A92 số có 4 chữ số thoả mãn trường hợp này.<br /> TH2: Chữ số a (khác 0) xuất hiện 2 lần và a ở vị trí đầu tiên (vị trí hàng<br /> nghìn).<br /> Có 9 cách chọn a<br /> Có 3 cách chọn thêm một vị trí nữa cho a.<br /> Có A92 cách xếp 2 chữ số trong 9 chữ số vào 2 vị trí còn lại<br /> Vậy có 9.3 A92 số có 4 chữ số thoả mãn trường hợp này.<br /> TH3: Chữ số a (khác 0) xuất hiện 2 lần và a không xuất hiện ở vị trí hàng<br /> nghìn<br /> Có 9 cách chọn a<br /> Có C32 cách chọn 2 vị trí cho chữ số a.<br /> Có 8 cách chọn một chữ số (khác 0 và khác a) vào vị trí hàng nghìn.<br /> Có 8 cách chọn một chữ số vào vị trí còn lại.<br /> Vậy có 9.8.8. C32 số có 4 chữ số thoả mãn trường hợp này<br /> Theo quy tắc cộng, có C32 A92 + 9.3 A92 + 9.8.8. C32 = 3888 số thoả mãn đầu<br /> bài.<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> 1<br /> <br /> 1<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> http://toanhocmuonmau.violet.vn<br /> 2) Chứng minh được 1Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + ... + nCnn = n.2n −1<br /> Từ đó suy ra 2n – 1 = 128 ⇔ n = 8.<br /> 8<br /> <br /> 9<br /> <br /> Vậy f ( x) = 2(1 + x)8 + x(2 + x)9 = ∑ 2C8k x k + ∑ C9i 29−i xi +1<br /> k =0<br /> <br /> i =0<br /> 4<br /> <br /> Từ đó tìm được hệ số cần tìm là 2C + C .2 = 2072<br /> 6<br /> 8<br /> <br /> Câu<br /> III<br /> <br /> 5<br /> 9<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> 1) Dễ thấy xn > 0 với mọi n<br /> 1<br /> 2<br /> <br /> Ta có xn +1 =  xn +<br /> <br /> 2013  1<br /> 2013<br /> = 2013<br />  ≥ .2 xn .<br /> xn  2<br /> xn<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Do đó xn ≥<br /> <br /> 2013 với mọi n ≥ 1.nên (xn) là dãy bị chăn dưới<br /> 2013 − xn2<br /> 1 2013<br /> Mặt khác xn +1 − xn = (<br /> − xn ) =<br /> ≤ 0 do xn ≥ 2013 với n ≥ 2.<br /> 2 xn<br /> 2 xn<br /> <br /> Do đó dãy (xn) giảm kể từ số hạng thứ 3.<br /> Từ đó suy ra dãy (xn) có giới hạn hữu hạn.<br /> 1<br /> <br /> 1<br /> <br /> 2013 <br /> <br /> 2013<br /> <br /> Đặt a = lim xn suy ra a =  a +<br /> ⇔ a = ± 2013<br /> ⇔a=<br /> n →+∞<br /> 2<br /> a <br /> a<br /> Suy ra lim xn = 2013 vì xn > 0 với mọi n.<br /> n →+∞<br /> <br /> 4 + x. 1 + 2x − 2<br /> 4 + x .( 1 + 2 x − 1) + 4 + x − 2<br /> = lim<br /> x →0<br /> x<br /> x<br /> 3<br />  4 + x .( 1 + 2 x − 1)<br /> 4+ x −2<br /> = lim <br /> +<br /> <br /> x →0<br /> x<br /> x<br /> <br /> <br /> 3<br /> <br /> 2) Ta có lim<br /> x →0<br /> <br /> <br /> <br /> 2 4+ x<br /> 1<br /> <br /> = lim <br /> +<br /> 2<br /> 3<br /> x →0  3<br /> <br /> 4<br /> +<br /> x<br /> +<br /> 2<br /> x<br /> x<br /> (1<br /> +<br /> 2<br /> )<br /> +<br /> 1<br /> +<br /> 2<br /> +<br /> 1<br /> <br /> <br /> 4 1 19<br /> = + = .<br /> 3 4 12<br /> <br /> Câu<br /> IV<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 3<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> 1) Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.<br /> Khi đó O là trực tâm tam giác A’B’C’.<br /> −<br /> <br /> 1<br /> <br /> Phép vị tự VG 2 biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’<br /> −<br /> <br /> 1<br /> <br /> 1<br /> 2<br /> <br /> Do đó VG : H → O<br /> −<br /> <br /> 1<br /> 2<br /> <br /> Gọi ∆ ’ là ảnh của ∆ qua VG<br /> Khi đó tập hợp O chính là đường thẳng ∆ ’.<br /> 2) Góc giữa SB và (ABCD) là SBA = 600<br /> Từ đó tính được SA = a 3<br /> Gọi K, L lần lượt là trung điểm của AD và SA ⇒ KL//SD và CK // AN<br /> Do đó góc α giữa SD và AN chính là góc giữa KL và CK<br /> a 5<br /> a 11<br /> , KL = a, LC =<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> CK + KL − LC<br /> 5<br /> Do đó cos CKL =<br /> =−<br /> 2CK .KL<br /> 10<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Tính được CK =<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> http://toanhocmuonmau.violet.vn<br /> Suy ra cos α =<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 5<br /> .<br /> 10<br /> <br /> 2) (P) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’C’D’<br /> Dễ chứng minh được AC’ ⊥ B’D’<br /> Từ đó suy ra S AB 'C ' D ' =<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> AC ' .B ' D '<br /> 2<br /> <br /> <br /> a 30<br />  AC ' =<br /> <br /> 5<br /> ∆ SAC vuông tại A, AC’ ⊥ SC nên tính được <br />  SC ' = 3a 5<br /> <br /> 5<br /> SD ' SC ' 3 5<br /> 3a<br /> ∆ SD’C’ đồng dạng với ∆ SCA nên<br /> =<br /> =<br /> ⇒ SD ' =<br /> SC<br /> SD<br /> 10<br /> 2<br /> B ' D ' SD ' 3<br /> 3a 2<br /> =<br /> = ⇒ B'D' =<br /> Ta có<br /> BD<br /> SD 4<br /> 4<br /> '<br /> 2<br /> AC .B ' D ' 3a 15<br /> Vậy S AB 'C ' D ' =<br /> =<br /> 2<br /> 20<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Câu V Ta có<br /> 2<br /> A+ B<br /> A− B<br /> 2<br /> cos C ≤ 2 sin<br /> cos<br /> −<br /> cos C<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> C<br /> 2<br /> C<br /> ≤ 2 cos . −<br /> (2 cos 2 − 1)<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> C<br /> Đặt t = cos<br /> 2<br /> 2 2<br /> Ta sẽ chứng minh 2t −<br /> (2t − 1) ≤ 2<br /> 2<br /> sin A + sin B −<br /> <br /> 1<br /> <br /> (*)<br /> Thật vậy<br /> (*) ⇔ 2t 2 − 2t 2 + 1 ≥ 0 ⇔ (t 2 − 1)2 ≥ 0 (luôn đúng)<br /> <br /> Từ đó suy ra (*) đúng<br /> Vậy có điều phải chứng minh.<br /> Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC vuông cân tại C.<br /> Lưu ý khi chấm bài:<br /> Trên đây chỉ là sơ lược đáp án, bài làm của học sinh phải được trình bày tỉ mỉ.<br /> Mọi cách giải khác, nếu đúng, vẫn cho điểm tương đương như trên.<br /> <br /> 1<br /> <br />