Đề thi cuối học kỳ II năm học 2014-2015 môn Hàm biến phức và biến đổi laplace

Tröôøng ÑH Sö phaïm Kyõ thuaät Tp.HCM<br /> <br /> ÑEÀ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ II NAÊM HOÏC 2014-2015<br /> KHOA KHOA HOÏC CÔ BAÛN MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE<br /> BOÄ MOÂN TOAÙN<br /> Maõ moân hoïc: MATH 121201 Thôøi gian : 90 phuùt (1/6/2015)<br /> Ñeà thi goàm 3 trang<br /> Ñöôïc pheùp söû duïng taøi lieäu<br /> Maõ ñeà: 00-0001-0110-2015-1615-0001 (Noäp laïi ñeà naøy)<br /> <br /> PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM LÖÏA CHOÏN (5,0 ñieåm)<br /> (choïn 1 trong caùc caâu A, B, C, D roài ñieàn vaøo BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM ôû trang 6)<br /> <br /> e2<br /> + e −2i laø:<br /> Câu 1 Phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa soá phöùc z =<br /> 1 − 3i<br /> 2<br /> 2<br /> e2<br /> 3e 2<br /> A) Rez = e + cos2, Imz = 3e - sin2<br /> C) Rez =<br /> + cos2, Imz =<br /> - sin2<br /> 3e 2<br /> e2<br /> 10<br /> 10<br /> + cos2, Imz =<br /> + sin2<br /> B) Rez =<br /> D) Rez = e 2 + cos2, Imz = 3e 2 + sin2<br /> 10<br /> 10<br /> <br /> Câu 2 Khẳng định nào sau đây sai?<br /> A) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) không giải tích trên mieàn D thì các hàm u(x,y) và v(x,y)<br /> không điều hòa trên miền D.<br /> B) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi tại điểm z = xo+iyo thì các hàm u(x,y) và v(x,y)<br /> thỏa điều kiện Cauchy – Reimann tại (xo,yo).<br /> C) Nếu hàm v(x,y) không điều hòa trên miền D thì f(z) = u(x,y)+iv(x,y) không giải tích trên D.<br /> D) Nếu các hàm u(x,y) và v(x,y) điều hòa vaø thoûa ñieàu kieän Cauchy – Reimann trên miền D thì<br /> f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên mieàn D.<br /> Caâu 3 Trong maët phaúng phöùc cho caùc taäp hôïp ñieåm E = {z : z − 1 + i = z − 3 − i }, F = {z : z − 3 + 4i < 6}.<br /> Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai?<br /> A) Taäp E laø ñöôøng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng noái hai ñieåm 1 − i vaø 3 + i .<br /> B) Taäp F laø hình troøn môû taâm 3 − 4i baùn kính baèng 6 .<br /> C) Caùc taäp E vaø F ñeàu laø caùc taäp lieân thoâng.<br /> D) Hai taäp E vaø F khoâng coù ñieåm chung ( E ∩ F = ∅ ) .<br /> <br /> Câu 4 Ảnh của đường thẳng y = 0 qua phép biến hình w = e 3+iz = u +iv là<br /> A) ñöôøng thẳng u = 0.<br /> B) ñöôøng tròn u2 + v2 = e 6 .<br /> D) ñöôøng thẳng v = 0.<br /> C) ñöôøng tròn u2 + v2 = e 3 .<br /> Caâu 5 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai?<br /> A) Hình troøn hoäi tuï cuûa chuoãi luõy thöøa (neáu coù) thì duy nhaát.<br /> B) Baùn kính hoäi tuï cuûa chuoãi luõy thöøa (neáu coù) thì duy nhaát.<br /> C) Chuoãi<br /> <br /> (2 + 5 n +1 )<br /> n<br /> n( z − 3i ) n<br /> coù baùn kính hoäi tuï laø R = lim<br /> ⋅<br /> =5<br /> ∑ 2 + 5n<br /> n→∞ ( 2 + 5 n )<br /> n +1<br /> n =1<br /> <br /> D) Chuoãi<br /> <br /> n( z − 3i ) n<br /> ∑ 2 + 5 n coù hình troøn hoäi tuï laø z − 3i ≤ 5 .<br /> n =1<br /> <br /> ∞<br /> <br /> ∞<br /> <br /> Caâu 6 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai?<br /> A) Neáu a laø ñieåm baát thöôøng coâ laäp cuûa haøm f(z) vaø lim f ( z ) = ∞ , lim(z − a) m f (z) = A<br /> z →a<br /> <br /> (vôùi 0 ≠ A ≠ ∞ ) thì a laø cöïc ñieåm caáp m cuûa haøm f(z).<br /> -1-<br /> <br /> z →a<br /> <br /> e5z<br /> B) z = 3i laø cöïc ñieåm caáp 2 cuûa haøm f(z) =<br /> ( z − 3i ) 2<br /> <br /> C)<br /> <br /> ⎡ e5z<br /> ⎤<br /> e5z<br /> dz =2 πi Re s ⎢<br /> ,3i ⎥ = 10πie15i<br /> 2<br /> ∫=6 ( z − 3i) 2<br /> ⎢ ( z − 3i )<br /> ⎥<br /> z −i<br /> ⎣<br /> ⎦<br /> <br /> D)<br /> <br /> ⎡ e5z<br /> ⎤<br /> e5z<br /> dz = 2 πi Re s ⎢<br /> ,3i ⎥<br /> 2<br /> ∫i =6 ( z − 3i) 2<br /> ⎢ ( z − 3i)<br /> ⎥<br /> z +5<br /> ⎣<br /> ⎦<br /> <br /> Caâu 7 Cho phöông trình vi phaân: y’-8y = u(t-π) e t −π (1) vôùi ñieàu kieän ban ñaàu y(0) = 1.<br /> Ñeå giaûi phöông trình vi phaân naøy ta laøm nhö sau: Ñaët Y = Y(p)= L [y(t)]<br /> ♦ Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình (1 ) ta ñöôïc:<br /> <br /> pY-8Y =<br /> <br /> e −πp<br /> +1<br /> p −1<br /> <br /> (2)<br /> <br /> e −πp<br /> 1<br /> ♦ Giaûi phöông trình (2) vôùi Y laø aån ta ñöôïc : Y=<br /> +<br /> ( p − 1)( p − 8)<br /> p −8<br /> <br /> ♦ Phaân tích veá phaûi cuûa (3) thaønh phaân thöùc ñôn giaûn ta ñöôïc: Y =<br /> ♦ Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm: y =<br /> <br /> (<br /> <br /> (3)<br /> <br /> e −πp<br /> 7<br /> <br /> ⎛ 1<br /> 1 ⎞<br /> 1<br /> ⎜<br /> ⎜ p − 8 − p − 1⎟ + p − 8<br /> ⎟<br /> ⎝<br /> ⎠<br /> <br /> )<br /> <br /> 1 8 ( t −π )<br /> e<br /> − e t −π u (t − π ) + e 8t<br /> 7<br /> <br /> A) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû C) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai.<br /> ñuùng.<br /> D) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai.<br /> B) Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai.<br /> Câu 8 Giả sử L [f(t)] = F(p). Khẳng định nào sau đây sai?<br /> ⎤<br /> ⎡ t 6u<br /> p−6<br /> ⎢ ∫ e cos 3udu ⎥ =<br /> 2<br /> B) L<br /> ⎦ p ( p − 6) + 9<br /> ⎣0<br /> <br /> ⎡t<br /> ⎤ F ( p)<br /> A) L ⎢ ∫ f (u )du ⎥ =<br /> p<br /> ⎣0<br /> ⎦<br /> <br /> (<br /> <br /> 1<br /> C) Neáu f(t) laø haøm goác tuaàn hoaøn vôùi chu kyø T thì L [f(t)] =<br /> 1 − e− Tp<br /> <br /> khi 0 < t < π<br /> vaø f(t+2π) = f(t) thì L [f(t)] =<br /> khi π < t < 2π<br /> <br /> ⎧sin 5t<br /> D) Neáu f (t ) = ⎨<br /> ⎩0<br /> <br /> T<br /> <br /> ∫e<br /> <br /> )<br /> <br /> − pt f (t ) dt<br /> <br /> 0<br /> <br /> 1<br /> 1 − e−πp<br /> <br /> π<br /> <br /> − pt sin 5tdt<br /> <br /> ∫e<br /> 0<br /> <br /> Câu 9 Giả sử L [f(t)] = F(p), L [g(t)] = G(p) và a, b là các hằng số. Khẳng định nào sau đây sai?<br /> A) L [af(t) + bg(t)] = aF(p) + bG(p)<br /> B) L -1[aF(p) + bG(p)] = af(t) + bg(t)<br /> C) L [5 + t 3 e 2t + sh3t ] =<br /> <br /> ⎡ 3p + 5 ⎤<br /> <br /> 5<br /> 3!<br /> 3<br /> +<br /> + 2<br /> 4<br /> p ( p − 2)<br /> p −9<br /> <br /> D) L -1 ⎢ p 2 − 64 ⎥ = 3ch8t + 5sh8t<br /> ⎣<br /> ⎦<br /> t<br /> <br /> Caâu 10 Ñeå giaûi phöông trình tích phaân: y(t)= e3t+5 ∫ y (u ) cos 2(t − u )du ta laøm nhö sau:<br /> 0<br /> <br /> ♦ Aùp duïng tích chaäp, phöông trình töông ñöông vôùi: y(t) = e 3t +5y(t)*cos2t<br /> ♦ Ñaët Y = Y(p) = L [y(t)] vaø bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình ta ñöôïc<br /> L [y(t)] = L [ e 3t ] +5 L [y(t)*cos2t]<br /> ♦ Aùp duïng coâng thöùc Borel ta ñöôïc<br /> Y=<br /> <br /> p<br /> 1<br /> 1<br /> + 5L [y(t)] L [cos2t] ⇔ Y =<br /> +5Y 2<br /> p−3<br /> p−3<br /> p +4<br /> <br /> ♦ Giaûi phöông trình vôùi Y laø aån ta ñöôïc: Y =<br /> <br /> p2 + 4<br /> ( p − 1)( p − 3)( p − 4)<br /> <br /> -2-<br /> <br /> ♦ Phaân tích thaønh phaân thöùc ñôn giaûn: Y=<br /> <br /> A<br /> C<br /> B<br /> +<br /> +<br /> (vôùi A, B, C = const maø chuùng ta chöa tìm)<br /> p −1 p − 3 p − 4<br /> <br /> ♦ Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm : y(t) = Ae t + Be 3t + Ce 4t<br /> A) Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai. C) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai.<br /> B) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng. D) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai.<br /> <br /> PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm)<br /> Caâu 11 (1,5 ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân<br /> y’’ + 6y’ +13 y = 10 + e-3t vôùi ñieàu kieän y(0) = 0 vaø y’(0) = 0<br /> Caâu 12 (1,5 ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi heä phöông trình vi phaân<br /> ⎧ x '+3 y = e 3t<br /> vôùi ñieàu kieän x(0) = 0 vaø y(0) = 0<br /> ⎨<br /> x + y '+2 y = 6<br /> ⎩<br /> <br /> Caâu 13 (1 ñieåm) Khai trieån Laurent haøm f ( z ) = ( z − i ) e<br /> 3<br /> <br /> Tính tích phaân I =<br /> <br /> ∫ ( z − i)<br /> <br /> 3<br /> <br /> e<br /> <br /> 1<br /> z −i<br /> <br /> 1<br /> z −i<br /> <br /> quanh ñieåm baát thöôøng coâ laäp z = i .<br /> <br /> dz .<br /> <br /> z − 2i =3<br /> <br /> Caâu 14 (1 ñieåm) Tìm taát caû caùc ñieåm trong maët phaúng phöùc maø taïi ñoù haøm soá<br /> f ( z ) = ( z + 6i ) Im z + iz coù ñaïo haøm vaø tính ñaïo haøm cuûa haøm soá taïi caùc ñieåm ñoù.<br /> --------------------------------------------------------------------------------------------------------Ghi chuù : Caùn boä coi thi khoâng ñöôïc giaûi thích ñeà thi.<br /> Ngaøy 28 thaùng 5 naêm 2015<br /> Tröôûng Boä moân Toaùn<br /> <br /> -3-<br /> <br /> -4-<br /> <br /> -5-<br /> <br />