Đề thi định kỳ năm 2015-2016 môn Toán 12, khối A, lần 2 - Trường THPT chuyên Bắc Giang

Chia sẻ: So Mc | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

Thêm vào BST

Báo xấu

29
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Các bạn học sinh và quý thầy cô tham khảo miễn phí đề thi định kỳ lần 2 năm 2015-2016 có đáp án môn "Toán 12, khối A - Trường THPT chuyên Bắc Giang" dưới đây để hệ thống kiến thức học tập cũng như trau dồi kinh nghiệm ra đề thi.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi định kỳ năm 2015-2016 môn Toán 12, khối A, lần 2 - Trường THPT chuyên Bắc Giang

TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC NINH ĐỀ THI ĐỊNH KỲ LẦN 2 NĂM HỌC 2015 - 2016 TỔ: TOÁN – TIN MÔN THI: TOÁN – LỚP 12 – KHỐI A (Đề thi gồm 01 trang) Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 17/12/2015 Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y  x 4   2m  1 x 2  m2  m (1). a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 1. b. Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 , x4 thỏa mãn x14  x24  x34  x44  26 Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình cos3x  cos x  sin 4 x  2sin 2 x . x2 Câu 3 (1,0 điểm). Giải phương trình log 2  x 2  2 x   log 1 2 2 x  Câu 4 (1,0 điểm). Cho góc  thỏa mãn     và 2sin   cos   1 . Tính giá trị biểu thức 2 sin   2cos  A tan   1 Câu 5 (1,0 điểm). a. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau được thành lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S. Tính xác suất để số được chọn là số chẵn. b. Cho n là số nguyên dương, tính tổng S  C2nn11  C2nn21  ...  C22nn1  C22nn11 (với Cnk là số tổ hợp chập k của n phần từ) Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình lăng trụ ABC. A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, B‟A = B‟B = B‟C, góc giữa cạnh bên BB‟ và (ABC) bằng 600. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A‟B‟C‟ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC, BB‟. Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm H(3;0) là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng BD, điểm K(0;–2) là trung điểm cạnh BC, phương trình đường trung tuyến đi qua đỉnh A của tam giác ADH là 7x + 9y – 47 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD.     tan x  tan y 1  tan x tan y   x y  Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình  1  tan 2 x 1  tan 2 y  (với x, y  0;   ) 3  2   7 x  1  5 y  4  2 x  3  y  x  1 Câu 9 (1,0 điểm). Cho ba số thực không âm x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  2 1 x  1 y2  1 z2 ––––––––––Hết–––––––––– Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ........................................................ Số báo danh: ................................ >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 1
ĐÁP ÁN Câu 1 a. Với m = 1 ta có y  x 4  3x 2  2 +Tập xác định: D = ℝ. +Sự biến thiên: –Chiều biến thiên: y‟ = 4x3 – 6x 3 y‟ = 0 ⇔ x = 0 hoặc x   2  3   3  Các khoảng đồng biến:   ;0  và   2   2 ;        3  3 Các khoảng nghịch biến:  ;   và  0;   2  2  3 1 3 –Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0; yCĐ = 2; đạt cực tiểu tại x =  ; yCT =  và x = ; 2 4 2 1 yCT =  4 –Giới hạn tại vô cực: lim y  ; lim y   x  x  +Bảng biến thiên x –∞ 3 0 3 +∞  2 2 y‟ – 0 + 0 – 0 + +∞ 2 +∞ y 1 1   4 4 + Đồ thị >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 2
b. Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) và trục hoành: x4   2m  1 x2  m2  m  0 (2) Đặt t = x2, t ≥ 0, phương trình (2) trở thành: t 2   2m  1 t  m 2  m  0 (3)   t  m  t  m  1  0 t  m  t  m  1 Đồ thị hàm số (1) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt ⇔ phương trình (2) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (3) có hai nghiệm dương phân biệt m  0   m  1  0  m  0 m  m  1  Giả sử x1   m; x2  m ; x3   m  1; x4  m  1 . Khi đó x14  x24  x34  x44  26  2m2  2  m  1  26 2  m2  m  6  0 ⇔ m = –3 (loại) hoặc m = 2 (thỏa mãn) Vậy m = 2. Câu 2 >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 3
cos 3x  cos x  sin 4 x  2sin 2 x  2sin 2 x sin x  2sin 2 x cos 2 x  2sin 2 x  0  2sin 2 x   sin x  cos 2 x  1  0 sin 2 x  0    sin x  cos 2 x  1  0 k sin 2 x  0  x  2  sin x  cos 2 x  1  0   sin x  1  2sin 2 x  1  0   sin x  2sin x  1  0   x  k sin x  0   2  1  x   k 2 sin x    3  2  2 x    k 2  3  k x  2 Vậy nghiệm của phương trình là  (k ∈ ℤ)  x   2  k 2  3 Câu 3 x2 log 2  x 2  2 x   log 1  2 (1) 2 x  x2  2 x  0  x  0 ĐK:  x  2   0  x  2  x x2 (1)  log 2  x 2  2 x   log 2 2 x  x  2  log 2  x 2  2 x  2  x   x2  4 x  4  4  x2  4 x  0 ⇔ x = 0 (loại) hoặc x = –4 (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là {–4} >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 4
Câu 4  Vì      sin   0;cos   0 . Do đó 2 2sin   cos   1  2sin   1  cos   4sin 2   1  2 cos   cos 2   4 1  cos 2    1  2 cos   cos 2   5cos 2   2 cos 2   3  0 3  cos   1 (loại) hoặc cos    (thỏa mãn) 5 1  cos  4 sin  4 Suy ra sin    ; tan    2 5 cos  3 4 3  2. Vậy A  5 5  6 4  1 3 Câu 5 a. Gọi A là biến cố “Số được chọn là số chẵn” + Tính số phần tử của không gian mẫu: Chọn chữ số hàng nghìn: chọn 1 trong 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5: có 5 cách Chọn chữ số hàng trăm: chọn 1 trong 5 chữ số còn lại: có 5 cách Chọn chữ số hàng chục: chọn 1 trong 4 chữ số còn lại: có 4 cách Chọn chữ số hàng đơn vị: chọn 1 trong 3 chữ số còn lại: có 3 cách Theo quy tắc nhân, số phần tử của không gian mẫu là 5.5.4.3 = 300 (số) + Tính số kết quả thuận lợi cho A: – TH1: Chữ số hàng đơn vị là 0 Chọn chữ số hàng nghìn, hàng trăm và hàng chục: Số cách là số chỉnh hợp chập 3 của 5 chữ số 1,2,3,4,5 – TH2: Chữ số hàng đơn vị khác 0: Chọn chữ số hàng đơn vị là 1 trong các chữ số 2, 4: có 2 cách Chọn chữ số hàng nghìn là 1 trong 4 chữ số còn lại (trừ số 0): có 4 cách >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 5
Chọn chữ số hàng trăm và hàng chục: số cách là A32 Theo quy tắc nhân, TH2 có 2.4. A32 = 96 Theo quy tắc cộng, số kết quả có lợi cho A là 106 106 53 Xác suất cần tính là PA   300 150 b. Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có: 1  1 2 n 1  C20n 1  C21n 1  C22n 1  ...  C22nn11   C20n 1  C22nn11    C21n 1  C22nn1   ...   C2nn 1  C2nn11     C2kn 1  C22nn11 k  n k 0 Với mọi k ∈ ℤ, 0 ≤ k ≤ n, ta có: C2kn1  C22nn11k . Do đó: 22 n 1  2 C22nn11k  2  C2nn11  C2nn21  ...  C22nn11  n k 0 n 1 C 2 n 1  C2nn21  ...  C22nn11  22 n Vậy S = 22n. Câu 6 Gọi H hình chiếu vuông góc của B‟ trên mặt phẳng (ABC). Góc giữa B‟B và mặt phẳng (ABC) là B ' BH  60 >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 6
Vì B‟A = B‟B = B‟C nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC. Gọi M là trung điểu AC. Vì ABC là tam giác đều nên BM ⊥ AC và H là trọng tâm ∆ ABC. Xét tam giác vuông AMB ta có: a 3 BM  AB.sin 60  2 2 a 3  BH  BM  3 3 Tam giác BB‟H vuông tại H: B ' H  BH .tan 60  a 1 a 3 a3 3 VABC . A ' B 'C '  B ' H .S ABC  a. .a.  2 2 4 Kẻ MK vuông góc với BB‟ tại K. Vì AC ⊥ B‟H, AC ⊥ BM nên AC ⊥ (B‟BM) ⇒ AC ⊥ MK. ⇒ MK ⊥ AC và MK ⊥ BB‟ ⇒ MK = d(AC; BB‟) Tam giác MKB vuông tại K: 3a MK  BM .sin 60  4 3a  d  AC ; BB '  4 Câu 7 Gọi M là trung điểm DH. >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 7
Ta có: ABC  AHD  90; ADH  ACB  ABC ∽ ADH (g.g) AB BC   AH DH BC 2 BK BK   DH 2MH MH AB BK    ABK ∽ AHM (c.g.c) AH MH  AMH  AKB ⇒ AMKB là tứ giác nội tiếp đường tròn  AMK  180  ABK  90  AM  MK Viết phương trình đường thẳng MK: Vectơ chỉ phương của đường thẳng AM là u AM   9; 7  . Đường thẳng MK đi qua K(0;–2), nhận u AM là vectơ pháp tuyến, có phương trình: 9x – 7(y + 2) = 0 ⇔ 9x – 7y –14 = 0 M là giao của AM và MK nên tọa độ điểm M là nghiệm của hệ: 7 x  9 y  47  0 7 5  M ;  9 x  7 y  14  0 2 2 M là trung điểm của DH nên:  7  xD  3  2. 2   D  4;5   y  0  2. 5  D 2 Phương trình đường thẳng AH qua H(3;0) nhận HD  1;5 làm vectơ pháp tuyến: x + 5y – 3 = 0 A là giao của AH và AM nên tọa độ A là nghiệm của hệ: x  5 y  3  0   A  8; 1 7 x  9 y  47  0 Phương trình AB qua A và nhận DA   4; 6  làm vectơ pháp tuyến: 2x – 3y – 19 = 0 >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 8
Phương trình BD: 5x – y – 15 = 0 Tọa độ B là nghiệm của hệ: 5 x  y  15  0   B  2; 5 2 x  3 y  19  0 K(0;–2) là trung điểm BC ⇒ C(–2;1) Vậy A(8;–1), B(2;–5), C(–2;1), D(4;5) Câu 8   tan x  tan y 1  tan x tan y  (1) x  y    1  tan 2 x 1  tan 2 y  3  7 x  1  5 y  4  2 x  3  y  x  1 (2)  (1)  x  y   tan x  tan y 1  tan x tan y  1 1 . cos x cos 2 y 2  x  y   sin x cos y  sin y cos x  cos x cos y  sin x sin y   x  y  sin  x  y  cos  x  y  (*)   TH1: >x>y≥0⇒ > x – y > 0; sin(x – y) > 0. Từ (*) suy ra cos(x + y) > 0; mà cos(x + y) 2 2 ≤ 1 nên từ (*) suy ra x – y ≤ sin (x – y) (**)    Xét f(t) = t – sin t với 0 < t < . f „(t) = 1 – cos t > 0 ∀ t ∈  0;  . 2  2   Suy ra f đồng biến trên  0;   2      f (t )  f  0   0 t   0;  ⇒ t > sin t ∀ t ∈  0;   2  2 Thay t = x – y, ta có x – y > sin (x – y), mâu thuẫn với (**)   TH2: >y>x≥0⇒ > y – x > 0; sin(y – x) > 0 2 2 (*) ⇔ y – x = sin (y – x)cos (x + y) Tương tự TH1, trường hợp này cũng dẫn đến mâu thuẫn >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 9
 TH3: 0 ≤ x = y < ⇒ thỏa mãn (1) 2 Thay vào phương trình (2) ta được: 3 7 x  1  5 x  4  2 x  3  x  x  1  3 7 x  1  5x  4  x2  x  3  3 7 x  1 1  5x  4  2  x2  x  7 x  1  1 5x  4  4  x x  1      7 x  1  3 7 x  1  1 5 x  4  2 3 2    7 5 x   x  1  0  3  7 x  1 2  3 7 x  1  1 5x  4  2    x  0   g  x  7  5  x 1  0  3  7 x  1  7 x  1  1 2 3 5 x  4  2    Dễ thấy g(x) là hàm nghịch biến trên 0;  nên có nhiều nhất 1 nghiệm.  2 Mà g(1) = 0 nên g(x) có nghiệm duy nhất là x = 1 x = 0 ⇒ y = 0 (thỏa mãn) x = 1 ⇒ y = 1 (thỏa mãn) Hệ phương trình đã cho có hai nghiệm (0;0) và (1;1) Câu 9 T  2 1 x  1 y2  1 z2 *Tìm giá trị nhỏ nhất Với mọi y,z ≥ 0, ta có: 1  y 2  1  z 2  4   y  z  (*) 2 Thật vậy: >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 10
*)  1  y 2  1  z 2  2 1  y 2 1  z 2   4  y 2  z 2  2 yz  1  y 2  z 2  y 2 z 2  1  yz  1  y 2  z 2  y 2 z 2  1  2 yz  y 2 z 2   y  z  0 2 Áp dụng bất đẳng thức (*) với chú ý y + z = 1 – x, ta có: T  2 1  x  4  1  x   2 1  x  x 2  2 x  5 2 Vì x, y, z ≥ 0 và x + y + z = 1 nên x ∈ [0;1] Xét hàm f  x   2 1  x  x 2  2 x  5 với x ∈ [0;1]. 1 x 1 f ' x   1 x x  2x  5 2 Vì x ∈ [0;1] nên 1 1  1 x 2 1 x 1 0  1  x  1; x 2  2 x  5  2   x  2x  5 2 2 1 1 x    f '  x   0 x   0;1 1 x x  2x  5 2  f  x   f  0   2  5 x   0;1 T  2 5 x  0 x  0   Dấu bằng xảy ra ⇔  y  z  1  x  y  z  1  y  z  2  *Tìm giá trị lớn nhất: Vì y, z   0;1  y 2  y; z 2  z  T  2 1 x  1 y  1 z Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số: >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 11
1. 1  y  1. 1  z  1 2  12  1  y  1  z   T  2 1  x  2  2  y  z   2 1  x  2 3  x  Xét hàm g  x   2 1  x  2  3  x  trên [0;1] 1 1 g ' x   1 x 2 3  x 1 1 x   0;1  3 x  5  1  x  2  3  x    1 x 2 3  x  g '  x   0 x   0;1  g  x   g 1  2 2  2 T  2 2 2 Dấu bằng xảy ra ⇔ x = 1, y = z = 0 Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 2  5 và giá trị lớn nhất của T là 2 2  2 . >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 12