Đề thi chọn HSG môn Toán lớp 9 năm 2015 - 2016 - Sở GD&ĐT Nam Định

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> <br /> ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016<br /> <br /> NAM ĐỊNH<br /> <br /> Môn: TOÁN – Lớp 9<br /> Thời gian làm bài: 150 phút<br /> <br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> <br /> (Đề thi gồm 01 trang)<br /> <br /> Câu 1. (3,0 điểm)<br /> 1. Tính giá trị biểu thức P <br /> <br /> 5 3  5 3<br /> 5  22<br /> <br />  11  6 2 .<br /> <br /> 2. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn đồng thời các điều kiện x  y  z  2, x2  y 2  z 2  18 và xyz  1 .<br /> Tính giá trị của S <br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> <br /> <br /> <br /> xy  z  1 yz  x  1 zx  y  1<br /> <br /> Câu 2. (5,0 điểm)<br /> 1. Giải phương trình 2 2 x  1  x  3  5x  11  0 .<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />  y2  y x 1 1  x 1  0<br /> <br /> 2. Giải hệ phương trình <br /> 2<br /> 2<br /> <br />  x  y  7 x  3  0.<br /> <br /> Câu 3. (3,0 điểm)<br /> 1. Tìm tất cả các số nguyên x, y thỏa mãn x2  y 2  xy  x  y  1 .<br /> 2. Chứng minh với mọi số nguyên dương n lớn hơn 1 ta có<br /> <br /> 2 3 4...<br /> <br />  n  1<br /> <br /> n  3.<br /> <br /> Câu 4. (7,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có AB  AC , nội tiếp đường tròn  O  và ngoại tiếp đường tròn<br /> <br />  I  . Điểm D thuộc cạnh AC sao cho<br /> <br /> ABD  ACB . Đường thẳng AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác DIC<br /> <br /> tại điểm thứ hai là E và cắt đường tròn  O  tại điểm thứ hai là Q. Đường thẳng đi qua E và song song với AB<br /> cắt BD tại P.<br /> <br /> 1. Chứng minh tam giác QBI cân;<br /> 2. Chứng minh BP.BI  BE.BQ ;<br /> 3. Gọi J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD, K là trung điểm của JE. Chứng minh PK / / JB .<br /> Câu 5. (2,0 điểm) Cho một lớp học có 35 học sinh, các học sinh này tổ chức một số câu lạc bộ môn học. Mỗi<br /> học sinh tham gia đúng một câu lạc bộ. Nếu chọn ra 10 học sinh bất kì thì luôn có ít nhất 3 học sinh tham gia<br /> cùng một câu lạc bộ. Chứng minh có một câu lạc bộ gồm ít nhất 9 học sinh.<br /> ----------Hết---------Họ và tên thí sinh:………………………Họ, tên chữ ký GT1:…………………………………..<br /> Số báo danh:…………………………… Họ, tên chữ ký GT2:…………………………………..<br /> <br /> SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> NAM ĐỊNH<br /> <br /> ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI<br /> KỲ THI CHỌN HSG NĂM HỌC 2015-2016<br /> Môn: TOÁN – Lớp 9<br /> <br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> <br /> Đáp án<br /> <br /> Câu<br /> 1.1<br /> (1,5)<br /> <br /> Tính giá trị biểu thức P <br /> <br /> 5 3  5 3<br /> <br /> Đặt M <br /> <br /> 5  22<br /> <br /> 5 3  5 3<br /> 5  22<br /> <br /> Điểm<br /> <br />  11  6 2 .<br /> <br /> 10  2 22<br /> . Ta có M <br /> 2<br /> 5  22<br /> <br />  M  2 (Do M  0 )<br /> <br /> 3  2 <br /> <br /> 11  6 2 <br /> <br /> 1.2<br /> (1,5)<br /> <br /> 2<br /> <br /> 0,25<br /> 0,5<br /> <br />  3 2<br /> <br /> Suy ra P  3<br /> Cho các số thực x, y, z thỏa mãn đồng thời các điều kiện x  y  z  2,<br /> <br /> x 2  y 2  z 2  18 và xyz  1 . Tính giá trị của S <br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> .<br /> <br /> <br /> xy  z  1 yz  x  1 zx  y  1<br /> <br /> Ta có xy  z  1  xy  x  y  1   x  1 y  1<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Tương tự yz  x  1   y  1 z  1 và zx  y  1   z  1 x  1<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Suy ra S <br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> <br />  x  1 y  1  y  1 z  1  z  1 x  1<br /> <br /> <br /> <br /> x  y  z 3<br />  x  1 y  1 z  1<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> <br /> xyz   xy  yz  zx    x  y  z   1 xy  yz  zx<br /> <br /> Ta có  x  y  z   x 2  y 2  z 2  2  xy  yz  zx   xy  yz  zx  7<br /> 2<br /> <br /> Suy ra S  <br /> 2.1<br /> (2,0)<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 2<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 1<br /> 7<br /> <br /> Giải phương trình 2 2 x  1  x  3  5x  11  0 .<br /> Điều kiện x <br /> <br /> 1<br /> 2<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 2 2 x  1  x  3  5x  11  0  2 2 x  1  x  3  5x  11<br /> <br />  9 x  1  4 2 x 2  5x  3  5x  11  2 x 2  5x  3  3  x<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> x  3<br /> x  3<br /> x  1<br />  2<br /> <br /> <br /> <br />  x  12<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> 2 x  5 x  3  9  6 x  x<br />  x  11x  12  0<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 2.2<br /> (3,0)<br /> <br /> Đối chiếu điều kiện ta được x  1 là nghiệm duy nhất của phương trình.<br />  y 2  y x  1  1  x  1  0 1<br /> <br /> Giải hệ phương trình <br /> .<br /> 2<br /> 2<br /> <br />  2<br /> x  y  7x  3  0<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Điều kiện x  1, y <br /> <br /> y2  y<br /> <br /> <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> x  1  1  x  1  0  y 2  y  x  1  y  1  0   y  1 y  x  1  0<br /> <br /> y 1<br /> .<br /> <br /> y<br /> <br /> x<br /> <br /> 1<br /> <br /> Với y  1, thay vào (2) ta được<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> x2  1  7 x2  3  0  x2  1  7 x2  3  x4  2 x2  1  7 x2  3<br />  x2  1<br /> x  1<br /> (do điều kiện của x)<br />  x  5x  4  0   2<br /> <br /> x<br /> <br /> 2<br /> x<br /> <br /> 4<br /> <br /> <br /> 4<br /> <br /> 2<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Với y  x  1 , thay vào (2) ta được x 2  x  1  7 x 2  3  0<br /> <br />   x2  4 <br /> <br /> <br /> <br />  <br /> <br /> x 1 1 <br /> <br />   x  2  x  2  <br /> <br /> <br /> <br /> 7 x2  3  5  0<br /> <br /> 7  x  2  x  2 <br /> x2<br /> <br /> 0<br /> x 1 1<br /> 7 x2  3  5<br /> <br /> x  2<br />  <br /> 7  x  2<br /> 1<br /> x2<br /> <br /> 0<br /> <br /> x 1 1<br /> 7 x2  3  5<br /> Với x  2 suy ra y  1.<br /> Ta có x  2 <br /> <br />   x  2<br /> Với x  1 thì<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> <br /> <br /> 7  x  2<br /> 1<br /> 7<br /> 1<br /> <br />   x  2  1 <br /> <br /> <br /> x 1 1<br /> x 1 1<br /> 7 x2  3  5<br /> 7 x2  3  5 <br /> <br /> 7 x2  3  2<br /> 7x  3  5<br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> x 1 1<br /> <br /> 7 x  3  2  0   x  2<br /> 2<br /> <br /> 7 x2  3  2<br /> <br /> 7 x2  3  2<br /> 7 x2  3  5<br /> <br /> 0<br /> <br /> 1<br /> 0<br /> x 1 1<br /> 7 x2  3  5<br /> Vậy hệ phương trình có các nghiệm 1;1 ,  2;1 .<br /> Suy ra  x  2 <br /> <br /> 3.1<br /> (2,0)<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> <br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x2  y 2  xy  x  y  1 .<br /> Ta có x 2  y 2  xy  x  y  1   x  y    x  1   y  1  4<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 0,75<br /> <br /> 2<br /> <br /> Ta có bảng giá trị tương ứng (học sinh có thể xét từng trường hợp)<br /> <br /> x y<br /> <br /> x 1<br /> <br /> y 1<br /> <br /> Nghiệm  x; y <br /> <br /> 1,0<br /> <br /> 2<br /> <br /> 0<br /> <br /> 0<br /> <br /> 1;1<br /> <br /> -2<br /> <br /> 0<br /> <br /> 0<br /> <br /> Loại<br /> <br /> 0<br /> <br /> 2<br /> <br /> 0<br /> <br /> Loại<br /> <br /> 0<br /> <br /> -2<br /> <br /> 0<br /> <br />  1;1<br /> <br /> 0<br /> <br /> 0<br /> <br /> 2<br /> <br /> Loại<br /> <br /> 0<br /> <br /> 0<br /> <br /> -2<br /> <br /> 1; 1<br /> <br /> Vậy các số  x; y  cần tìm là 1;1 ,  1;1 , 1; 1<br /> 3.2<br /> (1,0)<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Chứng minh với mọi số nguyên dương n lớn hơn 1 ta có<br /> <br /> 2 3 4...<br /> <br />  n  1<br /> <br /> n  3.<br /> <br /> Với mỗi số nguyên dương k ta có k  k 2  1   k 2  1  1   k  1 k  1 .<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Sử dụng đẳng thức trên liên tiếp với k  3,4,..., n ta được<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 3  1  2.4  1  2 1  3.5  1  2 1  3 1  4.6 <br />  1 2 1 3 1<br /> <br /> 1   n  1 n  1<br /> <br />  1 2 1 3 1<br /> <br /> 1   n  1<br /> <br />  n  1<br /> <br /> 2<br /> <br />  2 3 4...<br /> <br />  n  1<br /> <br /> 0,25<br /> n<br /> <br /> Ta có điều phải chứng minh.<br /> 4<br /> (7,0)<br /> <br /> Cho tam giác nhọn ABC có AB  AC , nội tiếp đường tròn  O  và ngoại tiếp đường<br /> tròn  I  . Điểm D thuộc cạnh AC sao cho ABD  ACB . Đường thẳng AI cắt đường<br /> tròn ngoại tiếp tam giác DIC tại điểm thứ hai là E và cắt đường tròn  O  tại điểm thứ<br /> hai là Q. Đường thẳng đi qua E và song song với AB cắt BD tại P.<br /> 4. Chứng minh tam giác QBI cân;<br /> 5. Chứng minh BP.BI  BE.BQ ;<br /> 6. Gọi J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD, K là trung điểm của JE. Chứng minh<br /> PK / / JB .<br /> <br /> P<br /> <br /> A<br /> D<br /> J<br /> I<br /> <br /> O<br /> K<br /> <br /> B<br /> <br /> C<br /> H<br /> E<br /> <br /> Q<br /> 4.1<br /> (2,0)<br /> <br /> Ta có AI là phân giác của BAC nên Q là điểm chính giữa của cung BC của (O).<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> Suy ra BAQ  QAC  QBC<br /> 1,0<br /> <br /> IBQ  IBC  QBC  IBA  BAQ  BIQ<br /> Hay tam giác QBI cân tại Q.<br /> 4.2<br /> (3,0)<br /> <br /> Tam giác ABD đồng dạng tam giác ACB<br /> 0,5<br /> <br /> AB AD<br /> <br /> Suy ra<br /> hay AB2  AD. AC (1).<br /> AC AB<br /> Tam giác ADI đồng dạng tam giác AEC<br /> Suy ra<br /> <br /> (có góc A chung và AID  ACE )<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> AD AI<br /> <br /> hay AI . AE  AD. AC (2).<br /> AE AC<br /> <br /> Từ (1) và (2) suy ra AI . AE  AB 2 ,<br /> suy ra tam giác ABI đồng dạng tam giác AEB.<br /> Suy ra AEB  ABI <br /> <br /> ABC<br /> 2<br /> <br /> 0,5<br /> <br />