Đề thi chọn HSG môn Toán lớp 12 năm 2017-2018 - Sở GD&ĐT Hà Nội

DeThiHSG.Com - Đề thi học sinh giỏi, chuyên đề bồi dưỡng HSG miễn phí cập nhật liên tục!<br /> SỞ GD VÀ ĐT HÀ NỘI<br /> <br /> ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN<br /> <br /> TRƯỜNG THPT ĐAN PHƯỢNG<br /> <br /> LỚP 12 – Năm học 2017-2018<br /> Thời gian làm bài: 180 phút.<br /> (Đề thi gồm 01 trang)<br /> <br /> Họ tên thí sinh ….…………................................ Số báo danh …………<br /> Câu 1 (5.0 điểm)<br /> 1. Cho hàm số: y <br /> <br /> x 1<br /> 2( x  1)<br /> <br /> (C)<br /> Tìm những điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại M tạo với hai trục tọa độ một tam giác có trọng<br /> tâm nằm trên đường thẳng 4x + y = 0.<br /> 2. Cho hàm số y = x3 – 3(m+1)x – 2 với m là tham số. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục Ox<br /> tại một điểm.<br /> Câu 2 (4.0 điểm)<br /> <br />  2  x  2  x  6  6  y<br /> <br /> 1.Giải hệ phương trình sau : <br /> <br />  x  2  y  2 <br /> <br /> y  1. x 2  4 x  5<br /> <br /> ( x  R ).<br /> <br /> 2.Giải phương trình sau:<br /> <br /> x 2  3 x  1 <br /> Câu 3 (3.0 điểm)Cho<br /> <br /> 3 4 2<br /> x  x 1<br /> 3<br /> <br /> ( x  R ).<br /> <br /> x, y, z là các số thực dương thỏa mãn 5  x 2  y 2  z 2   9  xy  2 yz  zx <br /> <br /> Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P <br /> <br /> x<br /> 1<br /> <br /> 2<br /> y  z  x  y  z 3<br /> 2<br /> <br /> Câu 4 (3.0 điểm)<br /> <br /> un 1  3un  n 2  1, n  1, n  N<br /> .<br /> u1  2<br /> <br /> 1.Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un ) xác định bởi : <br /> 2. Tính u1 + u2+…. + u2017.<br /> <br /> Câu 5 (5.0 điểm)<br /> 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, D là một điểm nằm trong tam giác ABC sao cho CD = CA. M là một điểm<br /> <br />   1 ACD<br />  , N là giao điểm của MD và đường cao AH của tam giác ABC. Chứng<br /> trên cạnh AB sao cho BDM<br /> 2<br /> <br /> minh DM = DN.<br /> 2. Cho tam giác ABC cân tại A có AB=AC=a, góc BAC = 1200. Điểm S thay đổi trong không gian nhưng luôn<br /> nằm về 1 phía của mặt phẳng (ABC) và AS= a, góc SAB= 600. Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC)<br /> a) Chứng minh rằng H thuộc đường thẳng cố định.<br /> b) Chứng minh rằng khi độ dài SH lớn nhất thì hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) vuông góc với nhau và khi đó<br /> tính độ dài SC.<br /> <br /> …………….Hết………………..<br /> <br /> DeThiHSG.Com - Đề thi học sinh giỏi, chuyên đề bồi dưỡng HSG miễn phí cập nhật liên tục!<br /> <br /> DeThiHSG.Com - Đề thi học sinh giỏi, chuyên đề bồi dưỡng HSG miễn phí cập nhật liên tục!<br /> Đáp án bài thi chọn HSG Toán 12 (2017-2018)<br /> Câu 1( 5.0 điểm):<br /> <br /> Câu<br /> 1 .1<br /> <br /> Nội dung<br /> <br /> x0  1<br /> )  (C ) là điểm cần tìm (x0  -1)<br /> 2( x0  1)<br /> Gọi  tiếp tuyến với (C) tại M ta có phương trình.<br /> x 1<br /> x 1<br /> 1<br />  : y  f ' ( x0 )( x  x0 )  0<br /> ( x  x0 )  0<br /> y<br /> 2<br /> 2( x0  1)<br /> 2( x0  1)<br />  x0  1<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> Gọi M( x0 ;<br /> <br /> x02  2 x0  1<br /> x 2  2 x0  1<br /> ;0)<br /> B =   oy  B(0; 0<br /> ).<br /> 2<br /> 2( x0  1) 2<br /> Khi đó  tạo với hai trục tọa độ  OAB có trọng tâm là:<br />  x 2  2 x0  1 x02  2 x0  1 <br /> G(   0<br /> ;<br /> .<br /> 6<br /> 6( x0  1) 2 <br /> <br /> <br /> 1.0đ<br /> <br /> Gọi A =   ox  A( <br /> <br /> Do G  đường thẳng:4x + y = 0  4.<br />  4<br /> <br /> 1<br /> <br />  x0  1<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> 0<br /> <br /> (vì A, B  O nên x02  2 x0  1  0 )<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> <br /> <br />  x0  1  2<br />  x0   2<br /> <br /> <br /> x 1   1<br /> x   3<br />  0<br />  0<br /> 2<br /> 2<br /> 1<br /> 1 3<br /> Với x0    M ( ;  ) ;<br /> 2<br /> 2 2<br /> <br /> 1.2<br /> <br /> 1.0đ<br /> <br /> 3<br /> 3 5<br /> với x0    M ( ; ) .<br /> 2<br /> 2 2<br /> <br /> Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục Ox<br /> x 3  3x  2<br /> x 3  3  m  1 x  2  0 (1) <br />  3m (2)<br /> x<br /> ( vì x = 0 không là nghiệm của phương trình (1) )<br /> Xét hàm số f  x  <br /> <br /> x 3  3x  2<br /> , x   \ 0 .<br /> x<br /> <br /> 2x 3  2<br /> ; f '(x)  0  x  1<br /> x2<br /> Bảng biến thiên:<br /> <br /> 1<br /> x<br /> <br /> <br /> <br /> f x<br /> <br /> 0<br /> <br /> 0.5đ<br /> <br /> 0.5đ<br /> <br /> f ' x  <br /> <br /> f ' x <br /> <br /> 1.0đ<br /> <br /> x  2 x0  1 x  2 x0  1<br /> <br /> 0<br /> 6<br /> 6( x0  1)2<br /> 2<br /> 0<br /> <br /> <br /> <br /> 0<br /> <br /> +<br /> <br /> +<br /> 0.5đ<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 0<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> DeThiHSG.Com - Đề thi học sinh giỏi, chuyên đề bồi dưỡng HSG miễn phí cập nhật liên tục!<br /> <br /> DeThiHSG.Com - Đề thi học sinh giỏi, chuyên đề bồi dưỡng HSG miễn phí cập nhật liên tục!<br /> Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại một điểm duy nhất  pt (2) có nghiệm duy nhất.<br /> Từ bảng biến thiên kết luận m  0 .<br /> 0.5đ<br /> Câu 2( 4.0 điểm):<br /> <br /> Câu<br /> 1<br /> ( 2.5đ)<br /> <br /> Nội dung<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> Điều kiện : y  2; x  6<br /> <br />  x  2<br /> <br /> y2 <br /> .<br /> <br />  x  2  1<br />  x  2<br /> <br /> y2<br /> .<br /> y 1<br /> <br />  x  2  1<br /> 2<br />  x  2<br /> <br /> 2<br /> <br /> y2<br /> <br /> Từ (2) : <br /> <br /> y 1<br /> <br /> <br /> <br /> y  1. x 2  4 x  5<br /> <br /> 2<br /> <br /> 0.5đ<br /> <br />  y  1  1  .  x  2   1<br /> .<br /> 2<br /> y 1<br />  x  2<br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> Xét hàm số f (t ) <br /> <br /> t 1<br /> t<br /> <br /> t  0 <br /> <br /> <br /> 1<br /> 1<br /> f '(t )   1   '  <br />  0 . Chứng tỏ<br /> t<br /> 1<br /> 2<br /> <br /> 2t 1 <br /> t<br /> <br /> 0.5đ<br /> <br /> hàm số nghịch biến<br /> 2<br /> 2<br /> Để f ( x  2  )  f  y  1 chỉ xảy ra khi : y  1   x  2  . Thay vào (1) ta được<br /> phương trình :<br /> <br /> 1   x  2 <br /> <br /> 2<br /> <br /> t  x  2  0<br /> t  x  2  0<br />  2  x  2 x  6  7  0   2<br /> <br /> 2<br /> t  2t t  8  7<br /> 2t t  8  7  t<br /> <br /> 0.5đ<br /> <br /> 0  t  x  2  7<br /> <br /> 0  t  x  2  7<br /> 0  t  x  2  7<br /> <br /> <br /> <br /> 4<br /> <br /> 3<br /> 2<br /> 3<br /> 2<br /> 2<br /> 2 2<br /> t  4t  46t  49  0  t  1  t  3t  49t  49   0<br /> 4t  t  8    7  t <br /> +/ Trường hợp : t=1 hay x-2=1 suy ra x=3 và y+1=1 hay y=0 . Vậy nghiệm hệ là<br /> (x;y)=(3;0)<br /> +/ Trường hợp :<br /> 2<br /> f (t )  t 3  3t 2  49t  49  0  f '(t )  3t 2  6t  49  3  t  1  52  0t  0; 7 <br /> Hàm số nghịch biến và f(0)= -49