intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE

Đề thi chọn HSG môn Toán lớp 12 năm 2017-2018 - Sở GD&ĐT Hà Nam

Chia sẻ: Hà Hạo Nam | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

177
lượt xem
9
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhằm giúp các em học sinh có thêm tài liệu ôn tập kiến thức, kĩ năng cơ bản, và biết cách vận dụng giải các bài tập một cách nhanh nhất và chính xác. Hãy tham khảo Đề thi chọn HSG môn Toán lớp 12 năm 2017-2018 - Sở GD&ĐT Hà Nam để tích lũy kinh nghiệm giải đề các em nhé!

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Đề thi chọn HSG môn Toán lớp 12 năm 2017-2018 - Sở GD&ĐT Hà Nam

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> HÀ NAM<br /> <br /> KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT<br /> NĂM HỌC: 2017 - 2018<br /> Môn: Toán – Lớp 12<br /> Thời gian làm bài: 180 phút.<br /> <br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> (Đề thi có 01 trang)<br /> Câu 1. (5,0 điểm)<br /> <br /> 1. Cho hàm số y  x3  3mx 2  3(1 m 2 ) x  m3  m 2 , với m là tham số thực. Chứng minh<br /> rằng ∀m ∈  hàm số trên luôn có hai điểm cực trị. Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị hàm số trên thỏa<br /> mãn điều kiện điểm M vừa là điểm cực đại của đồ thị hàm số ứng với giá trị này của m đồng thời<br /> điểm M vừa là điểm cực tiểu của đồ thị ứng với giá trị khác của m .<br /> <br /> 2x + 1<br /> có đồ thị (C ) , điểm I (3;3) và đường thẳng d : y =− x + m . Tìm m<br /> x +1<br /> để đường thẳng d cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tứ giác OAIB bằng 6<br /> 2. Cho hàm số y =<br /> <br /> ( O là gốc tọa độ).<br /> Câu 2. (4,0 điểm)<br /> 1. Giải bất phương trình sau trên tập số thực<br />  16 x 2  96 x  208 <br />   2 3 x  4  6 x  3 5 x  9 .<br /> x 2  9  log 2 <br />  12 x  16  45 x  81 <br /> <br /> 2.4 y  1  2 2 x 1  2log ( x )<br /> 2<br /> <br /> y<br /> 2. Giải hệ phương trình sau trên tập số thực <br /> .<br /> 2<br /> <br /> 3 y2 <br /> <br /> <br /> x<br /> x<br /> 2<br /> 4<br /> 1<br />  x  1 <br /> 3 2 x 1  3<br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> Câu 3. (2,0 điểm) Tính tích phân I  <br /> <br /> <br /> 4<br /> <br /> x2<br /> ( x 2 1) cos 2 x  1 x sin 2 x<br /> <br /> dx.<br /> <br /> Câu 4. (5,0 điểm)<br /> 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. Biết AB=SD=3a,<br /> AD=SB=4a, đường chéo AC vuông góc với mặt phẳng (SBD). Tính theo a thể tích khối chóp<br /> S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SA.<br /> 2. Cho mặt cầu có tâm O và bán kính R. Từ một điểm S bất kỳ trên mặt cầu ta dựng ba cát tuyến<br />    . Tính thể tích<br />   CSA<br /> bằng nhau, cắt mặt cầu tại các điểm A, B, C ( khác với S) và <br /> ASB  BSC<br /> khối chóp S.ABC theo R và α . Khi α thay đổi, tìm α để thể tích khối chóp S.ABC lớn nhất.<br /> Câu 5. (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) đi qua điểm A(2; −2;5) và<br /> tiếp xúc với các mặt phẳng (α ) : x =<br /> 1;( β ) : y =<br /> −1;(γ ) : z =<br /> 1 . Viết phương trình mặt cầu ( S ) .<br /> Câu 6. (2,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab ≥ 1 và c(a + b + c) ≥ 3 .<br /> Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P <br /> <br /> b  2c a  2c<br /> <br />  6ln(a  b  2c) .<br /> 1 a<br /> 1 b<br /> ---HẾT---<br /> <br /> Họ và tên thí sinh……………………………….Số báo danh………………………..........................<br /> Người coi thi số 1……………………………….Người coi thi số 2.………………...........................<br /> <br /> SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> HÀ NAM<br /> (Hướng dẫn chấm có 07 trang)<br /> <br /> KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT<br /> NĂM HỌC 2017 - 2018<br /> Hướng dẫn chấm môn: Môn Toán – Lớp 12<br /> <br /> Câu<br /> ý<br /> TXĐ: D  <br /> Câu<br /> 1.<br /> 1 (2,5đ) y '  3 x 2  6mx  3 1 m 2<br /> 5,0đ<br /> <br /> <br /> <br /> Nội dung<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> <br /> <br /> 0,25<br /> <br />  x= m − 1<br /> Hàm số luôn có hai điểm cực trị<br /> y '= 0 ⇔ <br />  x= m + 1<br /> x =m − 1 ⇒ y =−m 2 + 3m − 2 .<br /> <br /> Điểm cực tiểu của đồ thị ( m − 1; − m + 3m − 2)<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 2<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> x =m + 1 ⇒ y =−m + 3m + 2 .<br /> 2<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Điểm cực đại của đồ thị ( m + 1; − m + 3m + 2)<br /> 2<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Quỹ tích điểm cực tiểu của đồ thị là (P): y =<br /> −x + x<br /> 2<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Quỹ tích điểm cực đại của đồ thị là (P’): y =<br /> − x + 5x − 2<br /> 2<br /> <br /> Điểm M vừa là điểm cực đại ứng với giá trị này của m, vừa là điểm cực tiểu ứng<br /> với giá trị khác của m nên tọa độ điểm M là nghiệm của hệ<br /> <br /> 1<br /> <br /> =<br /> x<br /> −x + x<br />  y =<br /> <br /> 2<br /> ⇔<br /> <br /> <br /> 2<br /> − x + 5x − 2  = 1<br />  y =<br /> y<br /> <br /> 4<br /> 1 1<br /> Vậy M ( ; )<br /> 2 4<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2.<br /> 2,5đ<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> TXĐ: D   \ 1<br /> <br /> 2x + 1<br /> =− x + m .<br /> x +1<br /> <br /> Phương trình hoành độ giao điểm :<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> ⇔ x 2 + (3 − m) x + 1 − m =0 .<br /> ∆<br /> = m 2 − 2m + 5 > 0∀m .<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> Đường thẳng d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B<br /> Gọi A( x1; − x1 + m), B ( x2 ; − x2 + m)<br /> Theo Vi-ét x1 + x2 =m − 3; x1 x2 =<br /> 1− m<br /> <br /> ⇒ AB=<br /> <br /> 2( x2 − x1 ) 2=<br /> <br /> 2[( x1 + x2 ) 2 − 4 x1 x2 =<br /> ]<br /> <br /> OI = 3 2<br /> Tứ giác OAIB có OI ⊥ AB<br /> <br /> S=<br /> OAIB<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 2(m 2 − 2m + 5)<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> OI .=<br /> AB<br /> .3 2. 2(m 2 − 2m + 5) .<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> = 3 m 2 − 2m + 5<br /> 1<br /> <br />  SOAIB  6  m 2  2m  5  2  m  1<br /> 1.<br /> <br /> 2,0đ<br /> <br /> ĐK: x ≥ −<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 4<br /> 3<br /> <br /> 16( x 2 + 6 x + 13)<br /> BPT ⇔ x + 9 + log 2<br /> ≤ 2 3x + 4 − 6 x + 3 5 x + 9<br /> 2 3x + 4 + 3 5 x + 9<br /> 2<br /> <br /> x 2  6 x  13  log 2 ( x 2  6 x  13)  2 3 x  4  3 5 x  9  log 2 (2 3 x  4  3 5 x  9)<br /> <br /> Xét hàm số f t   log 2 t  t , với t  0 có f 't  <br /> <br /> Câu<br /> 2<br /> 4,0đ<br /> <br /> 1<br />  1  0, t  0 .<br /> t ln 2<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> Do đó hàm số f t  đồng biến trên 0; .<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> BPT có dạng f ( x 2  6 x  13)  f (2 3 x  4  3 5 x  9)<br /> <br /> 0,25<br /> <br />  x 2  6 x  13  2 3 x  4  3 4 x  5<br /> <br /> 0,25<br /> <br />  x 2  x  2( x  2  3 x  4)  3( x  3  5 x  9)  0<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 2( x 2 + x)<br /> 3( x 2 + x)<br /> ⇔ ( x + x) +<br /> +<br /> ≤0<br /> x + 2 + 3x + 4 x + 3 + 5 x + 9<br /> 2<br /> 3<br /> ⇔ ( x 2 + x)(1 +<br /> +<br /> )≤0<br /> x + 2 + 3x + 4 x + 3 + 5 x + 9<br /> ⇔ x 2 + x ≤ 0 ⇔ x ∈ [ − 1;0]<br /> 2<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br />  y<br /> 2.4  1  2 2 x 1  2log ( x ) (1)<br /> 2<br /> <br /> y<br /> <br /> .<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> 3<br /> x  x  2 4 y 1<br /> <br /> (2)<br />  x  1 <br /> 3 2 x 1  3<br /> <br /> 0  x  13<br /> ĐK: <br />  y  0<br /> 1<br /> (1) ⇔ 4 y + = 2<br /> 2<br /> <br /> 2x<br /> <br /> + log 2 x − log 2 y<br /> <br /> ⇔ 4 + log 2 2 + log 2 y= 2<br /> y<br /> <br /> 2.<br /> <br /> 2,0đ<br /> <br /> ⇔ 2 + log 2 2. y = 2<br /> 2y<br /> <br /> 2.<br /> <br /> x<br /> 2<br /> <br /> 2.<br /> <br /> x<br /> 2<br /> <br /> + log 2 2<br /> <br /> + log 2 ( 2.<br /> <br /> x<br /> 2<br /> <br /> x<br /> )<br /> 2<br /> <br /> f (t )= 22t + log 2 ( 2.t ) ⇒ f '(t )= 2.22t.ln 2 +<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 1<br /> > 0∀t > 0<br /> t ln 2<br /> <br /> Hàm số f(t) đồng biến với t>0<br /> PT ⇔ f ( y )= f (<br /> <br /> x<br /> ) ⇔ y=<br /> 2<br /> <br /> x<br /> ⇔ 2 y2= x<br /> 2<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> Với 2 y 2  x thay vào PT(2) ta có:<br /> <br /> x 1 <br /> <br /> x2  x  2 3 2 x 1<br /> x2  x  6<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> x<br /> 1<br /> 2<br /> 3 2 x 1  3<br /> 3 2 x 1  3<br /> <br /> 2<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> ( x − 3)( x + 2) ( x + 1 + 2)( x + 1 − 2)( x + 2)<br /> =<br /> 3<br /> 3<br /> 2x + 1 − 3<br /> 2x + 1 − 3<br /> <br /> ⇔=<br /> x +1 + 2<br /> <br /> ( x + 1 − 2)( x + 2)<br /> ⇔1= 3<br /> 2x + 1 − 3<br /> ⇔ 3 2 x + 1 − 3= ( x + 1 − 2)( x + 2)<br /> ⇔ 2 x + 1 + 3 2 x + 1=<br /> <br /> ( x + 1)3 + x + 1<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Xét hàm số g (u ) = u + u ⇒ g '(u ) = 3u + 1 > 0∀u<br /> 3<br /> <br /> 2<br /> <br /> Hàm số g (u ) đồng biến, phương trình trở thành<br /> <br /> = g ( x + 1)<br /> g ( 3 2 x + 1)<br /> ⇔ 3 2 x + 1=<br /> <br /> x +1<br /> <br /> ⇔ x3 − x 2 − x =<br /> 0<br /> <br />  x = 0(l )<br /> <br /> 1− 5<br /> ⇔  x = (l )<br /> <br /> 2<br /> <br />  x = 1 + 5 (t / m)<br /> <br /> 2<br /> =<br /> x<br /> <br /> 1+ 5<br /> ⇒=<br /> y<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> I <br /> <br /> <br /> 4<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 1+ 5<br /> 1+ 5 1+ 5<br /> . Hệ phương trình có nghiệm (<br /> ;<br /> )<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> x2<br /> ( x cos x  sin x) 2<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> dx<br /> 0,25<br /> <br /> π<br /> 2<br /> <br /> Câu<br /> 3<br /> 2,0đ<br /> <br /> x<br /> x sin xdx<br /> .<br /> 2<br /> π sin x ( x cos x − sin x )<br /> <br /> =∫<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 4<br /> <br /> <br /> x<br /> u <br /> <br /> sin x<br /> Đặt <br /> x sin x<br /> <br /> dx<br /> dv <br /> 2<br /> (<br /> x<br /> cos<br /> x<br /> <br /> sin<br /> x<br /> )<br /> <br /> <br /> 0,25<br /> <br /> <br /> x<br /> <br /> <br /> u<br /> <br /> <br /> sin x<br /> <br /> <br /> d ( x cos x  sin x)<br /> <br /> <br /> dv <br /> <br /> <br /> ( x cos x  sin x) 2<br /> <br /> <br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 3<br /> <br /> sin x − x cos x<br /> <br /> dx<br /> du =<br /> sin 2 x<br /> ⇒<br /> 1<br /> v =<br /> x cos x − sin x<br /> <br /> <br /> 0,25<br /> π<br /> <br /> π<br /> <br /> 2<br /> 2<br /> x<br /> 1<br /> dx<br /> =<br /> ⇒I<br /> .<br /> +∫ 2<br /> sin x x cos x − sin x π π sin x<br /> 4<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 4<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2<br />  cot x 2<br /> I  <br /> 2 4<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> 1<br /> 2 4<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 4<br /> <br /> Vậy I  <br /> <br /> Câu<br /> 4<br /> 5,0đ<br /> <br /> 1.<br /> 3,0đ<br /> <br /> AC ⊥ ( SBD)<br /> ⇒ ( SBD) ⊥ ( ABCD)<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> ( SBD) ∩ ( ABCD) =<br /> BD<br /> Kẻ SH ⊥ BD tại H ⇒ SH ⊥ ( ABCD )<br /> <br /> BD =<br /> <br /> AB 2 + AD 2 = 5a<br /> <br /> =<br /> SH<br /> Tam giác SBD vuông tại S nên:<br /> <br /> SB.SD 12a<br /> =<br /> BD<br /> 5<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> Gọi K là giao điểm của AC và BD. Ta có<br /> <br /> AK .BD<br /> = AB. AD ⇔ AK<br /> =<br /> <br /> AB. AD 12a<br /> =<br /> BD<br /> 5<br /> <br /> AB 2 15a<br /> AK . AC = AB ⇔ AC =<br /> =<br /> AK<br /> 4<br /> 2<br /> <br /> =<br /> S ABCD<br /> <br /> 1<br /> 1 15a<br /> 75a 2<br /> =<br /> AC.BD =<br /> .<br /> .5a<br /> 2<br /> 2 4<br /> 8<br /> <br /> 1<br /> 1 12a 75a 2 15a 3<br /> =<br /> VS . ABCD =<br /> SH .S ABCD<br /> .=<br /> .<br /> 3<br /> 3 5<br /> 8<br /> 2<br /> 4<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br />
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
7=>1