Bé C«ng Th ¬ng Tr êng §H Kinh tÕ Kü thuËt CN

§Ò thi hÕt m«n To¸n Cao CÊp 1

Líp: C§ kho¸ 18 H×nh thøc thi: viÕt Thêi gian: 90 phót

§Ò sè: 13

C©u 1: 1) T×m a ®Ó hµm sè sau liªn tôc t¹i x = 1

2) T×m giíi h¹n

1 𝑥

𝐿 = lim 𝑥→0 𝑙𝑛𝑐𝑜𝑠(2𝑥) 𝑙𝑛𝑐𝑜𝑠(4𝑥)

C©u 2: Tính 𝑦′′ (𝑥) với 𝑦 𝑥 = (1 + 𝑥)

𝐼 = 6𝑥. 𝑠𝑖𝑛2(𝑥)𝑑𝑥

C©u 3: 1) TÝnh

𝑒

𝑙𝑛𝑥

𝑑𝑥

𝑥 1 + 𝑙𝑛𝑥

𝐽 = 1

2) TÝnh

C©u 4: Tìm cực trị hàm số hàm số

𝑧 = 4𝑥 − 𝑥3 − 𝑥𝑦2

Cho A = ; B = C©u 5:

1) Tính: 2A + A.B

2) Tìm ma trận X sao cho: A.X = B

Đáp án-thang điểm

Câu 1 (2 điểm) 1. (1điểm) Để hàm số liên tục tại 𝑥 = 1 thì lim𝑥→1 𝑓(𝑥) = 𝑓(1)

𝑥−1

𝜋

𝑓 1 = 𝑎 𝜋 ) là hàm bị chặn trên 𝑅 nên

𝑥−1

0

) = 0

nên áp dung quy tắc lô pi tan ta có: Do 𝑥2 − 1 → 0 khi 𝑥 → 1 và sin⁡( lim𝑥→1 𝑥2 − 1 sin⁡( Vậy 𝑎 = 0 2. (1 điểm) Khi 𝑥 → 0 thì giới hạn có dạng

0 𝑙𝑛𝑐𝑜𝑠(2𝑥) 𝑙𝑛𝑐𝑜𝑠(4𝑥)

𝐿 = lim 𝑥→0 = lim 𝑥→0 −2𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑐𝑜𝑠4𝑥 −4𝑠𝑖𝑛4𝑥

Khi 𝑥 → 0 thì 𝑠𝑖𝑛2𝑥~2𝑥, 𝑠𝑖𝑛4𝑥~4𝑥, thay thế các VCB tương đương vào giới hạn ta có

1 𝑥

1 𝑥

𝑙𝑛 (1+𝑥)

= 𝐿 = lim 𝑥→0 −2.2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑐𝑜𝑠4𝑥 −4.4𝑥 1 4 Câu 2 (2 điểm)

𝑒 𝑦′ = − 𝑦 = 𝑒 1 𝑥2 𝑙𝑛 1 + 𝑥 +

𝑙𝑛 (1+𝑥) 1 𝑥(1 + 𝑥) 1 𝑥(1 + 𝑥)

𝑦 𝑦′ = − 1 𝑥2 𝑙𝑛 1 + 𝑥 +

− 𝑦′′ =

𝑦′ 2 𝑥3 𝑙𝑛 1 + 𝑥 − + − 2𝑥 + 1 𝑥2 1 + 𝑥 2 𝑦 1 𝑥 1 + 𝑥

𝑦′′ = 1 𝑥2 1 + 𝑥 1 𝑥2 𝑙𝑛 1 + 𝑥 + 3𝑥 + 2 𝑥2 1 + 𝑥 2 𝑦

2 𝑥3 𝑙𝑛 1 + 𝑥 − + − − 1 𝑥(1 + 𝑥) 1 𝑥2 𝑙𝑛 1 + 𝑥

+ 1 𝑥2 𝑙𝑛 1 + 𝑥 + 1 𝑦 𝑥(1 + 𝑥)

𝑦′′ = 3𝑥 + 2 𝑥2 1 + 𝑥 2 + 1 𝑥4 𝑙𝑛2 1 + 𝑥 + 1 𝑥2(1 + 𝑥)2

− 2 𝑙𝑛 1 + 𝑥 𝑦 2 𝑥3 𝑙𝑛 1 + 𝑥 − 1 𝑥3(1 + 𝑥)

1 𝑥

𝑙𝑛 (1+𝑥)

𝑦′′ = 𝑙𝑛 1 + 𝑥 𝑦 1 𝑥4 𝑙𝑛2 1 + 𝑥 + 2

𝑦′′ = 𝑙𝑛 1 + 𝑥 𝑒 3𝑥 + 1 𝑥2 1 + 𝑥 2 + 1 3𝑥 + 1 𝑥4 𝑙𝑛2 1 + 𝑥 + 2 𝑥2 1 + 𝑥 2 + 1 𝑥2 1 + 𝑥 1 𝑥2(1 + 𝑥)

Câu 3 (2 điểm) 1.(1 điểm)

𝐼 = 6𝑥. 𝑠𝑖𝑛2(𝑥)𝑑𝑥 = 3 𝑥 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥

= 3 𝑥𝑑𝑥 −

𝑥𝑑(𝑠𝑖𝑛2𝑥)

3 2

𝐼 = − 𝑥𝑠𝑖𝑛 2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑑𝑥

1

𝐼 = − 𝑥𝑠𝑖𝑛 2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝐶 3𝑥2 2 3𝑥2 2 3 2 3 2 3 2 3 4

𝑥

𝑑𝑥

3

2.(1điểm) Đặt 𝑡 = 1 + 𝑙𝑛𝑥 ⇒ 𝑡2 = 1 + 𝑙𝑛𝑥 ⇒ 2𝑡𝑑𝑡 = x T 1 1

2

2 2

1

𝐽 = 2 𝑡2 − 1 𝑑𝑡 = 2 ( = 𝑡3 3 4 − 2 2 3 − 𝑡) 1

Câu 4(2điểm) Giải hệ:

𝑧′𝑥 = 4 − 3𝑥2 − 𝑦2 = 0 𝑧′𝑦 = −2𝑥𝑦 = 0

Ta có 4 điểm tới hạm 2 2 , 0) 𝑃1 0,2 , 𝑃2 0, −2 , 𝑃3 , 0 , 𝑃4(− 3 3

𝑧′′𝑥𝑥 = −6𝑥, 𝑧′′𝑥𝑦 = −2𝑦, 𝑧′′𝑦𝑦 = −2𝑥

𝑥𝑦 𝑃1 = −4, 𝐶 = 𝑧′′

𝑥𝑥 𝑃1 = 0

𝑥𝑥 𝑃1 = 0, 𝐵 = 𝑧′′ Do 𝐵2 − 𝐴𝐶 = 16 > 0 nên 𝑃1 không là cực trị. Tại điểm 𝑃2 đặt

Tại điểm 𝑃1 đặt 𝐴 = 𝑧′′

𝑥𝑦 𝑃2 = 4, 𝐶 = 𝑧′′

𝑥𝑥 𝑃2 = 0

𝐴 = 𝑧′′

𝑥𝑥 𝑃2 = 0, 𝐵 = 𝑧′′ Do 𝐵2 − 𝐴𝐶 = 16 > 0 nên 𝑃2 không là cực trị. Tại điểm 𝑃3 đặt 𝐴 = 𝑧′′

𝑥𝑥 𝑃3 = −

𝑥𝑦 𝑃3 = 0, 𝐶 = 𝑧′′

𝑥𝑥 𝑃3 = −

12 4 , 𝐵 = 𝑧′′ 3

3 Do 𝐵2 − 𝐴𝐶 = 16 < 0, 𝐴 < 0 nên 𝑃3 là cực đại. 8 8 16 − = 𝑧𝑐đ = 𝑧 𝑃3 = 3 3 3 3 3

𝑥𝑥 𝑃4 =

𝑥𝑦 𝑃3 = 0, 𝐶 = 𝑧′′

𝑥𝑥 𝑃3 =

12 4 Tại điểm 𝑃4 đặt 𝐴 = 𝑧′′ , 𝐵 = 𝑧′′ 3

3 Do 𝐵2 − 𝐴𝐶 = 16 < 0, 𝐴 > 0 nên 𝑃4 là cực tiểu. 8 8 16 + = − 𝑧𝑐𝑡 = 𝑧 𝑃4 = − 3 3 3 3 3

Câu 5(2 điểm) 1.(1 điểm)

2𝐴 + 𝐴𝐵 = +

1 2 −3 2 0 1 1 0 0 1 −1 2 1 1 −1 2 −3 2

=

2 4 −6 4 0 2 2 0 0 −5 16 −8 9 3 −2 4 2 −3

2.(1 điểm) Do 𝐴 = 1 ≠ 0 ⇒ ∃𝐴−1

1 −2 𝐴−1 = 0 0 7 1 −2 1 0 Nhân bên trái 2 vế của phương trình với 𝐴−1 ra có:

𝑋 = 𝐴−1𝐵 = =

1 −2 0 0 7 1 −2 1 0 1 −1 2 −1 1 1 2 −3 2 17 −26 14 −3 8 −5 2 −3 2