Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 2: Véc tơ

Chia sẻ: HidetoshiDekisugi HidetoshiDekisugi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:21

Thêm vào BST

Báo xấu

30
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 2: Véc tơ. Chương này cung cấp cho học viên những kiến thức về: véc tơ n – chiều; phép toán trên véctơ; không gian véctơ; sự độc lập tuyến tính, sự phụ thuộc tuyến tính; hạng và cơ sở của hệ véctơ cơ sở của không gian ℝn;... Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 2: Véc tơ

Chƣơng 2 VÉC TƠ
BÀI 1: VÉC TƠ N – CHIỀU 1. Các khái niệm Định nghĩa: Một véc tơ n chiều X là một bộ n số thực 𝑥𝑖 đƣợc sắp xếp theo thứ tự 𝑋 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) 𝑥𝑖 đƣợc gọi là thành phần thứ i của vectơ X.
 Véctơ không n chiều 0 =(0, 0, …, 0).  Véctơ đối của véctơ X là −𝑋 = (−𝑥1 , −𝑥2 , … , − 𝑥𝑛 ).  Hai véctơ n chiều 𝑋 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) và 𝑌 = (𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 ) bằng nhau nếu: 𝑥𝑖 = 𝑦𝑖 , ∀𝑖 = 1, 𝑛
2. Phép toán trên véctơ Cho hai véctơ 𝑋 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) và 𝑌 = (𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 )  Phép cộng: 𝑋 + 𝑌 = (𝑥1 + 𝑦1 , 𝑥2 + 𝑦2 , … , 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛 )  Phép trừ: 𝑋 − 𝑌 = (𝑥1 − 𝑦1 , 𝑥2 − 𝑦2 , … , 𝑥𝑛 − 𝑦𝑛 )  Nhân véctơ với một số thực: 𝛼𝑋 = (𝛼𝑥1 , 𝛼𝑥2 , … , 𝛼𝑥𝑛 ).
3. Không gian véctơ Định nghĩa: Tập hợp tất cả các vectơ n chiều, trong đó xác định phép cộng hai véctơ và phép nhân véctơ với một số thỏa mãn các tính chất cơ bản đƣợc gọi là không gian véctơ – n chiều. Ký hiệu: ℝ𝑛
Ví dụ 1:  Đƣờng thẳng là không gian véctơ 1 chiều ℝ1 .  Tập các điểm trong mặt phẳng là không gian véctơ 2 chiều ℝ2 .  Tập các điểm trong không gian là không gian véctơ 3 chiều ℝ3 .
BÀI 2: SỰ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH, SỰ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH. 1. Tổ hợp tuyến tính của 1 hệ m véctơ n chiều. Cho m véctơ n chiều: 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑚 . Một tổng có dạng: 𝜆1 𝑋1 + 𝜆2 𝑋2 + ⋯ + 𝜆𝑚 𝑋𝑚 , 𝜆𝑖 ∈ ℝ Đƣợc gọi là một tổ hợp tuyến tính của m véctơ đã cho.
2. Sự ĐLTT, PTTT của 1 hệ véc tơ a. Định nghĩa: Hệ m véctơ n chiều {𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑚 } đƣợc gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại m số thực 𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑚 không đồng thời bằng 0 sao cho 𝜆1 𝑋1 + 𝜆2 𝑋2 + ⋯ + 𝜆𝑚 𝑋𝑚 = 0. (*) Ngƣợc lại nếu đẳng thức (*) chỉ xảy ra khi và chỉ khi 𝜆1 = 𝜆2 = ⋯ = 𝜆𝑚 = 0 thì hệ véctơ trên là độc lập tuyến tính.
b. Ví dụ 2: Cho ba véctơ: 𝑋1 = 2, 3 𝑋2 = 1, 2 𝑋3 = 4, 7 Xét sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của hệ véctơ: a) {𝑋1 , 𝑋2 } b) {𝑋1 , 𝑋2 , 𝑋3 }
c. Dấu hiệu nhận biết - Hệ gồm 1 véc tơ ĐLTT khi và chỉ khi véc tơ đó khác không. - Hệ gồm 2 véc tơ ĐLTT khi và chỉ khi 2 véc tơ đó không tỉ lệ - Hệ chứa véc tơ không là hệ PTTT - Một hệ chứa hai véc tơ tỉ lệ là PTTT - Một hệ là PTTT khi và chỉ khi có 1 véc tơ của hệ là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ còn lại. - Hệ có số véc tơ lớn hơn số chiều là PTTT
BÀI 3: HẠNG VÀ CƠ SỞ CỦA HỆ VÉCTƠ CƠ SỞ CỦA KHÔNG GIAN ℝ𝒏 1.Cơ sở và hạng của hệ véctơ Xét hệ m véctơ n chiều: {𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑚 } Định nghĩa 1: Một hệ con gồm k véctơ (k ≤ m) đƣợc gọi là độc lập tuyến tính cực đại nếu hệ con đó là ĐLTT và nếu thêm vào hệ đó một véctơ bất kỳ trong số các véctơ còn lại thì hệ con trở thành PTTT.
Định nghĩa 2: Mỗi hệ con ĐLTT cực đại của 1 hệ véctơ gọi là 1 cơ sở của hệ véctơ đó. Mỗi một hệ véctơ có thể có nhiều cơ sở, nhƣng số véctơ của mỗi cơ sở đều là nhƣ nhau, số đó gọi là hạng của hệ véctơ. Kí hiệu: r{X1 , X2 , … , Xm }
Ví dụ 3: Cho 3 véctơ 𝑋1 = (1,2,3,0,4) 𝑋2 = (−1, 3,4,1,2) 𝑋3 = (0,5,7,1,6) Tìm cơ sở và hạng của hệ véc tơ.
Định nghĩa 3: Trong không gian ℝn , mỗi hệ n véctơ độc lập tuyến tính gọi là một cơ sở của không gian ℝn . Ví dụ 4: Trong ℝ𝑛 , n véctơ đơn vị: 𝑒1 = 1, 0, … , 0 𝑒2 = 0, 1, … , 0 …. 𝑒𝑛 = 0, 0, … 0, 1 Lập thành cơ sở của ℝ𝑛 , gọi là cơ sở chính tắc.
2. Biểu diễn một véctơ theo cơ sở Định lý: Mỗi véctơ của hệ có thể biểu diễn một cách duy nhất dƣới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ cơ sở của hệ.
Ví dụ 5: Biểu diễn tuyến tính véctơ X = (5, -5, -6) qua các véctơ 𝑋1 = (1,2,3) 𝑋2 = (−1, 3,4)
3. Liên hệ giữa hạng của hệ véc tơ và hạng của ma trận. Định lí: Hạng của hệ m véc tơ n chiều bằng hạng của ma trận cỡ 𝑛 × 𝑚 tạo thành bằng cách xếp liên tiếp các véc tơ theo cột.
4. Liên hệ giữa hạng của hệ véctơ và tính ĐLTT, PTTT. Định lý: Một hệ m véctơ n chiều {X1 , X2 , … , Xm } ĐLTT ⇔ r X1 , X2 , … , Xm = m. Một hệ m véctơ n chiều {X1 , X2 , … , Xm } PTTT ⇔ r X1 , X2 , … , Xm < 𝑚.
Ví dụ 6: Cho hệ véctơ: 𝑋1 = (1,2,3) 𝑋2 = (0, −1, −2) 𝑋3 = (3,5,7) 𝑋4 = (0,3,1) a. Tìm 𝑟 𝑋1 , 𝑋2 , 𝑋3 ? Hệ 𝑋1 , 𝑋2 , 𝑋3 là ĐLTT hay PTTT? b. Tìm 𝑟 𝑋1 , 𝑋2 , 𝑋3 , 𝑋4
5. Cách tìm cơ sở của hệ véctơ bằng biến đổi sơ cấp Cho hệ m véctơ n – chiều  Xếp m véctơ thành m cột của ma trận A  Biến đổi sơ cấp trên các dòng của ma trận đƣa ma trận về dạng đặc biệt là tam giác hoặc hình thang.  Tìm định thức con cấp cao nhất khác 0, cơ sở sẽ gồm các véc tơ cột của định thức con đó.