Trang 1
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC KHỐI D
MÔN TOÁN
ĐỀ SỐ 4
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH
Câu I (2 điểm) Cho hàm số
2x 3
yx2
có đồ thị (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C)
2. Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A,
B sao cho AB ngắn nhất .
Câu II (2 điểm)
1. Giải phương trình: 2( tanx – sinx ) + 3( cotx – cosx ) + 5 = 0
2. Giải phương trình: x2 – 4x - 3 =
x5
Câu III (1 điểm)
Tính tích phân:
1
2
1
dx
1 x 1 x
Câu IV (1 điểm)
Khối chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và SA vuông góc với
mặt phẳng (ABC), SC = a . Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối
chóp lớn nhất .
Câu V ( 1 điểm )
Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn
1 1 1 4
xyz
. CMR:
111
1
222x y z x y z x y z
PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chọn một trong hai phần A hoặc B
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a.( 2 điểm )
1. Tam giác cân ABC có đáy BC nằm trên đường thẳng : 2x – 5y + 1 = 0, cạnh bên AB nằm trên
đường thẳng : 12x – y – 23 = 0 . Viết phương trình đường thẳng AC biết rằng nó đi qua điểm
(3;1)
2. Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho mp(P) :
x – 2y + z – 2 = 0 và hai đường thẳng :
(d)
x 1 3 y z 2
1 1 2
và (d’)
x 1 2t
y 2 t
z 1 t
Viết phương trình tham số của đường thẳng ( ) nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường
thẳng (d) và (d’) . CMR (d) và (d’) chéo nhau và tính khoảng cách giữa chúng .
Câu VIIa . ( 1 điểm )
Tính tổng :
0 5 1 4 2 3 3 2 4 1 5 0
5 7 5 7 5 7 5 7 5 7 5 7
S C C C C C C C C C C C C
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b.( 2 điểm )
Trang 2
1. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn :
(C1) : (x - 5)2 + (y + 12)2 = 225 và (C2) : (x – 1)2 + ( y – 2)2 = 25
2. Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng :
(d)
và (d’)
xt
y 1 2t
z 3t
a. CMR hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau .
b. Viết phương trình chính tắc của cặp đường thẳng phân giác của góc tạo bởi (d) và (d’) .
Câu VIIb.( 1 điểm )
Giải phương trình :
5
log x 3
2x
Trang 3
ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 4
C©u
Néi dung
Điểm
I
2.
0
®
1
1.
2
5
®
Hµm sè y =
2x 3
x2
cã :
- TX§: D =
\ {2}
- Sù biÕn thiªn:
+ ) Giíi h¹n :
x
Lim y 2
. Do ®ã §THS nhËn ®-êng th¼ng y = 2 lµm TCN
,
x 2 x 2
lim y ; lim y
. Do ®ã §THS nhËn ®-êng th¼ng x = 2 lµm TC§
+) B¶ng biÕn thiªn:
Ta cã : y’ =
2
1
x2
< 0
xD
Hµm sè nghÞch biÕn trªn mçi kho¶ng
;2
vµ hµm sè kh«ng cã cùc trÞ
- §å thÞ
+ Giao ®iÓm víi trôc tung : (0 ;
3
2
)
+ Giao ®iÓm víi trôc hoµnh :
A(3/2; 0)
- §THS nhËn ®iÓm (2; 2)
lµm t©m ®èi xøng
0,25
0,25
0,25
0,5
2
0,
7
5
đ
Lấy điểm
1
M m;2 m2
C
. Ta có :
2
1
y' m m2
.
Tiếp tuyến (d) tại M có phương trình :
0,25
8
6
4
2
-2
-4
-5
5
10
y’
y
x
-
2
-
2 2
2
Trang 4
2
11
y x m 2 m2
m2
Giao điểm của (d) với tiệm cận đứng là :
2
A 2;2 m2
Giao điểm của (d) với tiệm cận ngang là : B(2m – 2 ; 2)
Ta có :
2
22
1
AB 4 m 2 8
m2
. Dấu “=” xảy ra khi m = 2
Vậy điểm M cần tìm có tọa độ là : (2; 2)
đ
0,25
đ
0,25
đ
II
2,
0
®
1
1,
0
®
Phương trình đã cho tương đương với :
2(tanx + 1 – sinx) + 3(cotx + 1 – cosx) = 0
sin x cosx
2 1 sin x 1 cosx 0
cosx sin x
2 sin x cosx cosx.sin x 3 sin x cosx cosx.sin x 0
cosx sin x
23
cosx sin x cosx.sinx 0
cosx sin x
Xét
2 3 3
0 tan x tan x
cosx sin x 2
Xét : sinx + cosx – sinx.cosx = 0 . Đặt t = sinx + cosx
với
t 2; 2
. Khi đó phương trình trở thành:
22
t1
t 0 t 2t 1 0 t 1 2
2
Suy ra :
12
2cos x 1 2 cos x cos
44
2
x2
4
0,25
0,25
0,5
Trang 5
2
1,
0
®
x2 - 4x + 3 =
x5
(1)
TX§ : D =
5; )
2
1 x 2 7 x 5
®Æt y - 2 =
x5
,
2
y 2 y 2 x 5
Ta cã hÖ :
22
2
x 2 y 5 x 2 y 5
y 2 x 5 x y x y 3 0
y 2 y 2
2
2
x 2 y 5
x y 0 5 29
x2
x 2 y 5 x1
x y 3 0
y2
0,25
0,25
0,5
II
I
1.
0
®
1
®
Ta có :
1
2
1
dx
1 x 1 x
=
11
22
22
11
1 x 1 x 1 x 1 x
dx dx
2x
1 x 1 x
11
2
11
1 1 1 x
1 dx dx
2 x 2x
11
11
1
1 1 1
I 1 dx ln x x | 1
2 x 2
12
2
1
1x
I dx
2x
. Đặt
2 2 2
t 1 x t 1 x 2tdt 2xdx
Đổi cận :
x 1 t 2
x1 t2
Vậy I2=
22
2
2
t dt 0
2 t 1
Nên I = 1
0,5
0,5
I
V
2
®
1.
0
®
Gọi là góc giữa hai mp (SCB) và (ABC) .
Ta có :
SCA
; BC = AC = a.cos ; SA = a.sin
Vậy
3 2 3 2
SABC ABC
1 1 1 1
V .S .SA .AC.BC.SA a sin .cos a sin 1 sin
3 6 6 6
Xét hàm số : f(x) = x – x3 trên khoảng ( 0; 1)
0,25