TR NG THPT CHUYÊN ƯỜ
L NG VĂN CHÁNHƯƠ
T TOÁNỔ
Đ THI TH Đ I H C NĂM 2010 Ề Ử Ạ Ọ
MÔN TOÁN – KH I AỐ
(Th i gian làm bài: 180 phút)ờ
PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m)Ầ Ấ Ả ể
Câu I. (2,0 đi m) ể
Cho hàm s ố
2
2
x
yx
=+
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s đã cho.ả ự ế ẽ ồ ị ủ ố
2. Vi t ph ng trình ti p tuy n c a đ th (C), bi t r ng kho ng cách t tâmế ươ ế ế ủ ồ ị ế ằ ả ừ
đ i x ng c a đ th (C) đ n ti p tuy n là l n nh t.ố ứ ủ ồ ị ế ế ế ớ ấ
Câu II. (2,0 đi m) ể
1. Gi i ph ng trình: ả ươ
2
4 os 2
tan 2 .tan 2
4 4 tan -cotx
c x
x x x
π π
− + =
2. Gi i h ph ng trình: ả ệ ươ
2 2
2 2
32 1
1
4 22
y
x y x
x
x y y
+ =
+ −
+ + =
Câu III. (1,0 đi m) ể
Tính tích phân
8
3
ln
1
x
I dx
x
=+
∫
Câu IV. (1,0 đi m) ể
Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD có đ dài c nh đáy b ng a, m t bên t o v iứ ề ộ ạ ằ ặ ạ ớ
m t đáy góc 60ặ0. M t ph ng (P) ch a AB và đi qua tr ng tâm tam giác SAC c tặ ẳ ứ ọ ắ
SC, SD l n l t t i M, N. Tính th tích hình chóp S.ABMN theo a.ầ ượ ạ ể
Câu V. (1,0 đi m) ể
Cho các s th c a, b, c th a mãn : ố ự ỏ
0 1,0 1,0 1abc< ≤ < ≤ < ≤
. Ch ng minh r ng:ứ ằ
( )
1 1 1 1
1 3abc
abc a b c
+ + + ≥ + + +
PH N RIÊNG (3,0 đi m)Ầ ể
Thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n (ph n 1 ho c ph n 2)ỉ ượ ộ ầ ầ ặ ầ
1. Theo ch ng trình Chu n:ươ ẩ
Câu VI.a (2,0 đi m) ể
1. Trong m t ph ng Oxy cho tam giác ABC có ặ ẳ
( )
3;6A−
, tr c tâm ự
( )
2;1H
,
tr ng tâm ọ
. Xác đ nh to đ các đ nh B và C.ị ạ ộ ỉ
2. Trong không gian v i h to đ Oxyz, cho m t ph ng ớ ệ ạ ộ ặ ẳ
( )
α
và m t c u (S)ặ ầ
có ph ng trình ươ
( )
: 2 2 3 0x y z
α
− + − =
và
( )
2 2 2
: 2 4 8 4 0S x y z x y z+ + − + − − =
.
Xét v trí t ng đ i c a m t c u (S) và m t ph ng ị ươ ố ủ ặ ầ ặ ẳ
( )
α
. Vi t ph ng trìnhế ươ
m t c u (S’) đ i x ng v i m t c u (S) qua m t ph ng ặ ầ ố ứ ớ ặ ầ ặ ẳ
( )
α
.
Câu VII.a (1,0 đi m) ể
Đ i d tuy n bóng bàn có 10 n , 7 nam, trong đó có danh th nam là Vũ M nhộ ự ể ữ ủ ạ
C ng và danh th n là Ngô Thu Th y. Ng i ta c n l p m t đ i tuy n bóngườ ủ ữ ủ ườ ầ ậ ộ ộ ể
bàn qu c gia t đ i d tuy n nói trên. Đ i tuy n qu c gia bao g m 3 n và 4ố ừ ộ ự ể ộ ể ố ồ ữ
nam. H i có bao nhiêu cách l p đ i tuy n qu c gia sao cho trong đ i tuy n cóỏ ậ ộ ể ố ộ ể
m t ch m t trong hai danh th trên. ặ ỉ ộ ủ
2. Theo ch ng trình Nâng cao:ươ
Câu VI.b (2,0 đi m) ể
1. Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho tam giác ABC có đ nh A thu cặ ẳ ớ ệ ạ ộ ỉ ộ
đ ng th ng d: x – 4y – 2 = 0, c nh BC song song v i d, ph ng trìnhườ ẳ ạ ớ ươ
đ ng cao BH: x + y + 3 = 0 và trung đi m c a c nh AC là M(1; 1). Tìmườ ể ủ ạ
to đ các đ nh A, B, C.ạ ộ ỉ
2. Trong không gian v i h to đ Oxyz, cho hình thang cân ABCD v iớ ệ ạ ộ ớ
( ) ( ) ( )
3; 1; 2 , 1;5;1 , 2;3;3A B C
− −
, trong đó AB là đáy l n, CD là đáy nh ớ ỏ
(CD < AB). Tìm to đ đi m D.ạ ộ ể
Câu VII.b (1,0 đi m) ể
Gi i h ph ng trình: ả ệ ươ
3 1 2 3
2
2 2 3.2
3 1 1
x y y x
x xy x
+ − +
+ =
+ + = +
------------------------------- H t -----------------------------ế
TR NG THPT CHUYÊN L NG VĂN CHÁNH ƯỜ ƯƠ
T TOÁNỔ
ĐÁP ÁN Đ THI TH Đ I H C NĂM 2010 Ề Ử Ạ Ọ
MÔN TOÁN – KH I AỐ
(Th i gian làm bài: 180 phút)ờ
Câu Đáp án Điể
m
I 2,00
1 Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s (1,00 đi m)ả ự ế ẽ ồ ị ủ ố ể
2
2
x
yx
=+
T p xác đ nh TXĐ: ậ ị
{ }
\ 2D R
=
S bi n thiên ự ế
( )
2
4
' 0 x D
2
y
x
= > ∀ ∈
+
Hàm s đ ng bi n trên ố ồ ế
( )
; 2
−∞ −
và
( )
2;
− +∞
0,25
B ng bi n thiên ả ế
x –∞ – 2 +∞
y’ + +
y +∞ 2
2 –∞
0,25
Ti m c n: Ti m c n đ ng x = - 2; ti m c n ngang y = 2ệ ậ ệ ậ ứ ệ ậ
Đ th nh n giao đi m ồ ị ậ ể
( )
2; 2I
−
c a hai đ ng ti m c n làm tâmủ ườ ệ ậ
đ i x ngố ứ 0,25
Đ th : ồ ị
0,25
2 Vi t ph ng trình ti p tuy n (1,00 đi m)ế ươ ế ế ể
Ti p tuy n c a đ th (C) t i đi m M có hoành đ ế ế ủ ồ ị ạ ể ộ
2a
≠ −
thu c độ ồ
th (C) có ph ng trình:ị ươ
( ) ( ) ( ) ( )
22
2
4 2 4 2 2 0
2
2
a
y x a x a y a d
a
a
= − + ⇔ − + + =
+
+
Tâm đ i x ng ố ứ
( )
2;2I−
. Ta có
( ) ( ) ( )
4 2
8 2 8 2 8 2
, 2 2
2 2 2
16 2 2.4. 2
a a a
d I d a
a a
+ + +
= ≤ = =
+
+ + +
0,25
0,25
( )
,d I d
l n nh t khi ớ ấ
( )
2
0
2 4 4
a
aa
=
+ = ⇔ = −
T đó suy ra có hai ti p tuy n y = x và y = x + 8ừ ế ế 0,50
II 2,00
1 Gi i ph ng trình l ng giác (1,00 đi m)ả ươ ượ ể
Đi u ki n ề ệ
( )
os 2 0; os 2 0 *
4 4
sin 2 0; t anx-cotx 0
c x c x
x
π π
− ≠ + ≠
≠ ≠
Đ ý r ngể ằ
tan 2 .tan 2 tan 2 .tan 2
4 4 4 4
cot 2 . tan 2 1
4 4
x x x x
x x
π π π π
π π
− + = − − + =
− + + = −
0,25
y
x O
–2
2
6
Khi đó PT (1) tr thành: ở
2
2
4 os 2
1 c otx-tanx=4cos 2
t anx-cotx
c x x
− = ⇔
( )
22
2 2
1 tan 1 2 4
=4 tan 2 1 0
t anx 1+tan 2 tan 2 1 tan 2
xx
x x x
−
⇔ ⇔ = ⇔ − =
+
0,5
( )
tan 2 1 2 4 8 2
x x m x k k
π π π
π
⇔ = ⇔ = + ⇔ = + ∈
Z
: Không
tho đi u ki n (*).ả ề ệ
V y ph ng trình đã cho vô nghi m.ậ ươ ệ
0,25
2 Gi i h ph ng trình (1,00 đi m)ả ệ ươ ể
Đi u ki n: ề ệ
2 2
0, 0, 1 0x y x y≠ ≠ + − ≠
Đ t ặ
2 2
1; x
u x y v y
= + − =
.
HPT tr thành: ở
( )
( )
3 2
3 2 1 1
1
21 4 2
1 4 22
u v
u v
u v
u v
+ =
+ =
⇔
= −
+ + =
0,25
Thay (2) vào (1) ta đ c:ượ
2
3
3 2 1 2 13 21 0 7
21 4 2
v
v v
v v v
=
+ = ⇔ − + = ⇔
−=
0,25
N u v = 3 thì u = 9, ta có HPT: ế
2 2
2 2
1 9 1
10
33
3
x y y
x y
xx
x y
y
+ − = = ±
+ =
⇔ ⇔
== ±
=
0,25
N u ế
7
2
v=
thì u = 7, ta có HPT:
2 2 2 2
2
4
1 7 853
772
214
253
y
x y x y
xx y
yx
= ±
+ − = + =
⇔ ⇔
==
= ±
So sánh đi u ki n ta đ c 4 nghi m c a HPT.ề ệ ượ ệ ủ
0,25
III Tính tích phân 1,00
Đ t ặ
ln
2 1
1
dx
u x du x
dx
dv v x
x
=
=
⇒
=
= +
+
0,25
( )
8
8
3
3
1
2 1 ln 2 6 ln 8 4 ln 3 2
x
I x x dx J
x
+
⇒ = + − = − −
∫
0,25
V i ớ
8
3
1x
J dx
x
+
=
∫
đ t ặ
3 3 3
2
2 2
2 2 2
1 1
1 .2 2 2
1 1 1 1
t t
t x J tdt dt dt
t t t t
= + ⇒ = = = + −
− − − +
∫ ∫ ∫
0,25
8
3
1
2 ln 2 ln 3 ln 2
1
t
tt
−
= + = + −
+
T đó ừ
20ln 2 6 ln 3 4I
= − −
0,25
IV Tính th tích hình chóp S.ABMNể1,00
K SO vuông góc v i (ABCD) thì O là giao đi m c a AC và BD.ẻ ớ ể ủ
G i I, J l n l t là trung đi m c a AB và CD; G là tr ng tâm ọ ầ ượ ể ủ ọ
∆
SAC
Góc gi a m t bên (SCD) và đáy (ABCD) là ữ ặ
0
60SJI
=
0,25
Vì
∆
SIJ đ u c nh a nên G cũng là tr ng tâmề ạ ọ
∆
SIJ
IG c t SJ t i K là trung đi m c a SJ; M, N là trung đi m c a SC, SDắ ạ ể ủ ể ủ
0,25
2
3 1 3 3
; ( )
2 2 8
ABMN
a a
IK S AB MN IK
= = + =
0,25
3
1 3
( ); .
2 3 16
ABMN
a a
SK ABMN SK V S SK⊥ = ⇒ = =
(đvtt) 0,25
VCh ng minh b t đ ng th cứ ấ ẳ ứ 1,00
S
N
D
I
O
C
G
A
B
K
M
600J