TRƯỜNG THPT<br />
CHUYÊN HẠ LONG<br />
<br />
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN 3 NĂM 2015 - 2016<br />
Môn thi: TOÁN<br />
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề<br />
<br />
(Đề thi gồm 01 trang)<br />
Câu 1 (1,0 điểm). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y x 4 2 x 2 3 .<br />
x 3<br />
Câu 2 (1,0 điểm). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y <br />
, biết tiếp tuyến đi qua<br />
x 1<br />
điểm M 4; 2 .<br />
Câu 3 (1,0 điểm).<br />
a) Cho số phức z thỏa mãn 1 2i z 5 5i 0 . Tìm phần thực và phần ảo của số phức w z <br />
<br />
10<br />
.<br />
z<br />
<br />
b) Giải phương trình sau: log 3 (5 x) log 1 ( x 1) log 3 ( x 1) 1 .<br />
3<br />
1<br />
2<br />
<br />
Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân: I x x 1 e x 1 dx .<br />
<br />
<br />
0<br />
<br />
x 1 y z 2<br />
<br />
<br />
, mặt<br />
3<br />
3<br />
1<br />
phẳng (P): x y 2 z 5 0 và điểm A(1;2;3) . Tìm tọa độ hình chiếu của A lên mặt phẳng (P) và tìm<br />
tọa độ điểm M thuộc d, N thuộc (P) sao cho A là trung điểm MN.<br />
Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d:<br />
<br />
Câu 6 (1,0 điểm).<br />
sin 2 cos <br />
3<br />
.<br />
a) Cho tan . Tính giá trị biểu thức: P cos 2 <br />
4<br />
sin( )<br />
b) Để kỷ niệm ngày thành lập Đoàn Thanh niên, một trường THPT tổ chức cho học sinh các hoạt động<br />
ngoại khóa và hội diễn văn nghệ. Có tất cả 5 tiết mục hát, 3 tiết mục múa và 2 tiết mục kịch. Ban tổ<br />
chức sắp xếp thứ tự các tiết mục để biểu diễn một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất để tiết mục biểu diễn<br />
đầu tiên và cuối cùng đều là tiết mục múa.<br />
Câu 7 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, mặt bên SAB là tam giác<br />
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm BC. Biết AB a ,<br />
BC a 3 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và SB.<br />
Câu 8 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD (AB < BC), E là điểm<br />
4 2<br />
đối xứng của D qua C và đường tròn đường kính DE cắt đoạn thẳng BE tại điểm thứ hai là I ; <br />
5 5<br />
5<br />
<br />
(I khác B, E). Đường thẳng CI cắt đường thẳng AB tại T ; 1 . Biết điểm A thuộc đường thẳng<br />
2<br />
<br />
d : x y 4 0 . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD.<br />
<br />
<br />
<br />
Câu 9 (1,0 điểm). Giải phương trình: x 4 1 2 x 1 x 2 x<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x 1 1 trên tập số thực.<br />
<br />
Câu 10 (1,0 điểm). Cho x, y , z là các số thực dương thay đổi thỏa mãn x y z 2 xy 2 . Tìm giá trị<br />
lớn nhất của biểu thức P <br />
<br />
x2 y2<br />
y<br />
2x<br />
.<br />
<br />
<br />
x2 y 2 6 x y 2 z<br />
4 2z<br />
<br />
-----------------HẾT----------------Thí sinh không sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.<br />
Họ và tên thí sinh: ………………………………….; Số báo danh: ………………………...................<br />
<br />
Cảm ơn thầy Tô Việt Hưng (tohungqn@gmail.com) chia sẻ đến www.laisac.page.tl<br />
<br />
TRƯỜNG THPT<br />
CHUYÊN HẠ LONG<br />
<br />
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN 3 NĂM 2015 - 2016<br />
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM<br />
Môn thi: TOÁN<br />
(Đáp án - Thang điểm gồm 05 trang)<br />
<br />
Câu<br />
<br />
Đáp án<br />
<br />
Điểm<br />
<br />
Tập xác định: D = R<br />
Sự biến thiên:<br />
<br />
0,25<br />
<br />
x 0<br />
- Chiều biến thiên: y ' 4 x 3 4 x ; y ' 0 <br />
.<br />
x 1<br />
- Các khoảng đồng biến: (; 1) và (0; 1) .<br />
Các khoảng nghịch biến: (1;0) và (1; ) .<br />
- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại hai điểm x 1 và x 1 ; yCĐ = y ( 1) 4 .<br />
Hàm số đạt cực tiểu tại x 0 ; yCT y (0) 3 .<br />
- Giới hạn: lim y , lim y .<br />
x <br />
<br />
x <br />
<br />
Bảng biến thiên:<br />
x -<br />
y’<br />
Câu 1<br />
(1 điểm)<br />
<br />
0,25<br />
<br />
+<br />
<br />
-1<br />
0<br />
4<br />
<br />
0<br />
0<br />
<br />
-<br />
<br />
1<br />
0<br />
4<br />
<br />
+<br />
<br />
+<br />
0,25<br />
<br />
y<br />
-<br />
<br />
3<br />
<br />
-<br />
<br />
Đồ thị:<br />
- Nhận trục Oy làm trục đối xứng.<br />
- Cắt trục hoành tại các điểm có<br />
tọa độ là<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
y<br />
4<br />
3<br />
<br />
<br />
<br />
3;0 và 3;0 .<br />
<br />
2<br />
<br />
- Cắt trục tung tại điểm có<br />
tọa độ 0;3 .<br />
<br />
0,25<br />
<br />
1<br />
x<br />
-3<br />
<br />
-2<br />
<br />
0<br />
<br />
-1<br />
<br />
1<br />
<br />
2<br />
<br />
3<br />
<br />
-1<br />
-2<br />
<br />
Tập xác định của hàm số D R \ 1 , f '( x) <br />
<br />
4<br />
2<br />
<br />
.<br />
<br />
x 1<br />
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm x0 ; y0 <br />
y f '( x0 ) x x0 y0 y <br />
<br />
4<br />
2<br />
<br />
x x0 <br />
<br />
x0 1<br />
Câu 2<br />
Tiếp tuyến đi qua điểm M 4; 2 nên ta có:<br />
(1 điểm)<br />
x0 1<br />
x 3<br />
4<br />
<br />
2<br />
(4 x0 ) 0<br />
.<br />
2<br />
x0 1<br />
x0 1<br />
x0 11<br />
<br />
0,25<br />
<br />
x0 3<br />
.<br />
x0 1<br />
<br />
Với x0 1 : Phương trình tiếp tuyến là y x 2 .<br />
1<br />
46<br />
x .<br />
Với x0 11 : Phương trình tiếp tuyến là y <br />
25<br />
25<br />
1<br />
<br />
có dạng:<br />
<br />
0,25<br />
0,25<br />
0,25<br />
<br />
a) Ta có 1 2i z 5 5i 0 z 3 i<br />
<br />
0,25<br />
<br />
10<br />
10<br />
3i <br />
6 2i<br />
z<br />
3i<br />
Do đó số phức w có phần thực là 6, phần ảo là 2.<br />
b) Điều kiện xác định của phương trình là: 1 x 5<br />
w z<br />
<br />
Câu 3<br />
(1 điểm)<br />
<br />
0,25<br />
<br />
Với điều kiện đó phương trình tương đương với: log3<br />
<br />
(5 x)2<br />
1<br />
x2 1<br />
<br />
x 2<br />
(5 x) 2<br />
2<br />
3 x 2 5 x 14 0 <br />
x 1<br />
x 7<br />
Kết hợp điều kiện ta được nghiệm x 2 .<br />
1<br />
<br />
0,25<br />
<br />
1<br />
<br />
1<br />
<br />
2<br />
2<br />
Biến đổi I x x 1 e x 1 dx x x 1 dx xe x 1dx<br />
<br />
<br />
0<br />
<br />
0,25<br />
<br />
0<br />
<br />
0,25<br />
<br />
0<br />
<br />
1<br />
<br />
Câu 4<br />
(1 điểm)<br />
<br />
1<br />
x4 2<br />
x 2 1 17<br />
2<br />
x x 1 dx x3 2 x 2 x dx x3 <br />
<br />
2 0 12<br />
4 3<br />
0<br />
0<br />
1<br />
1 1<br />
1<br />
xe x 1dx xe x 1 e x 1dx e2 e x 1 e2 e2 e e<br />
<br />
0 0<br />
0<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
17<br />
e.<br />
12<br />
a) Gọi H là hình chiếu của A lên mặt phẳng (P). Do AH ( P) , nên AH có một<br />
Do đó I <br />
<br />
x 1 t<br />
<br />
<br />
vectơ chỉ phương là u AH (1;1; 2) Phương trình đường thẳng AH: y 2 t<br />
z 3 2t<br />
<br />
<br />
0,25<br />
0,25<br />
0,25<br />
<br />
0,25<br />
<br />
H AH H (1 t ; 2 t ;3 2t )<br />
<br />
2<br />
Câu 5 Do H ( P ) nên: (1 t ) (2 t ) 2.(3 2t ) 5 0 t <br />
3<br />
(1 điểm)<br />
1 4 5<br />
Suy ra H ; ; .<br />
3 3 3<br />
b) M d M (1 3m; 3m; 2 m)<br />
Do A là trung điểm đoạn MN nên tọa độ N là N (1 3m; 4 3m;8 m)<br />
Ta có N ( P ) nên: (1 3m) (4 3m) 2(8 m) 5 0 m 8<br />
Vậy M (25; 24;6) , N (23; 28;0) .<br />
sin 2 cos <br />
sin 2 cos <br />
a) Ta có P cos 2 <br />
cos 2 <br />
cos 2 1 2 cot <br />
sin( )<br />
sin <br />
<br />
0,25<br />
<br />
0,25<br />
0,25<br />
0,25<br />
<br />
2<br />
<br />
1<br />
25<br />
16<br />
3<br />
1 tan 2 1 <br />
cos 2 <br />
2<br />
cos <br />
25<br />
4 16<br />
1<br />
4<br />
cot <br />
<br />
tan <br />
3<br />
Câu 6<br />
(1 điểm) Suy ra P 16 1 2. 4 77 .<br />
<br />
<br />
25<br />
75<br />
3<br />
b) Số phần tử của không gian mẫu là n 10!<br />
<br />
0,25<br />
<br />
0,25<br />
<br />
Gọi A là biến cố “Tiết mục đầu tiên và cuối cùng là tiết mục múa” , n A 3.2.8!<br />
Xác suất cần tính là P A <br />
<br />
n( A) 3.2.8! 1<br />
<br />
.<br />
n()<br />
10! 15<br />
2<br />
<br />
0,25<br />
<br />
Gọi H là trung điểm AB. Do tam giác ABC đều nên SH AB .<br />
a 3<br />
Lại có (SAB) ( ABC ) , suy ra SH ( ABC ) , tính SH <br />
.<br />
2<br />
Câu 7<br />
(1 điểm)<br />
1<br />
a2 2<br />
Tam giác ABC vuông tại A nên AC a 2 , S ABC AB. AC <br />
2<br />
2<br />
2<br />
3<br />
1<br />
1 a 3 a 2 a 6<br />
.<br />
<br />
Thể tích VS . ABC SH .S ABC .<br />
3<br />
3 2<br />
2<br />
12<br />
Gọi D là điểm sao cho AMBD là hình bình hành.<br />
Ta có: d AM , SB d AM , ( SBD) d A, ( SBD) 2d H , ( SBD) ,<br />
<br />
0,25<br />
<br />
0,25<br />
<br />
0,25<br />
<br />
AMBD là hình bình hành, lại có MA = MB nên AMBD là hình thoi. Do đó M, H, D<br />
thẳng hàng và HD HB .<br />
Gọi E là hình chiếu vuông góc của H lên BD, F là hình chiếu vuông góc của H lên<br />
SE, ta có HF SBD , d H , SBD HF .<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
22<br />
a 3<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 d H , SBD <br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
HF<br />
HE<br />
HS<br />
HB<br />
HD<br />
HS<br />
3a<br />
22<br />
<br />
d ( AM , SB) 2d H , ( SBD) 2.<br />
<br />
0,25<br />
<br />
a 3 a 66<br />
<br />
.<br />
11<br />
22<br />
<br />
Câu 8<br />
(1 điểm)<br />
Do DI IE BI DI , suy ra 5 điểm A, B, C, D, I cùng thuộc một đường tròn.<br />
Do đó AI TI Phương trình đường thẳng AI là: 11x 2 y 8 0 .<br />
Vì A là giao điểm của d và AI nên suy ra A(0; 4) .<br />
Đường thẳng AD đi qua A và vuông góc với AT nên có phương trình x 2 y 8 0 .<br />
Điểm D thuộc AD nên tọa độ D ( 2t 8; t ) .<br />
Do AD, AI là 2 tiếp tuyến với đường tròn đường kính DE nên ta có AI AD<br />
3<br />
<br />
0,25<br />
<br />
0,25<br />
<br />
2<br />
2<br />
t 2<br />
2<br />
2<br />
4<br />
2<br />
<br />
0 4 2t 8 t 4 <br />
5<br />
5<br />
<br />
t 6<br />
Do đó D (4; 2) hoặc D ( 4; 6) .<br />
Mặt khác do D và T nằm khác phía so với đường thẳng AI nên D (4; 2) .<br />
Đường thẳng CD đi qua D và vuông góc với AD CD : 2 x y 6 0 .<br />
C là giao điểm của 2 đường thẳng CD và IT : 2 x 11 y 6 0 C 3; 0 .<br />
<br />
<br />
AB DC B ( 1; 2) .<br />
Điều kiện: x 1 , phương trình đã cho tương đương với:<br />
x 4 x 2 x 1 x 1 x 2 x 2 x 1 x3 x 2 1 x 1 x 2 x 1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
0,25<br />
<br />
0,25<br />
<br />
<br />
<br />
0,25<br />
<br />
x 1<br />
3 2<br />
x x 1 x 1 x 2 (1)<br />
<br />
(1) x 3 x 2 x x 1 x 1 1 x 1<br />
<br />
<br />
Câu 9<br />
(1 diểm)<br />
<br />
x3 x 2 x <br />
<br />
<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
<br />
x 1 <br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
x 1 x 1 (2)<br />
<br />
0,25<br />
<br />
Xét hàm f (t ) t 3 t 2 t với t R<br />
Ta có f ' t 3t 2 2t 1 0 t R nên f t đồng biến trên R.<br />
<br />
x 0<br />
1 5<br />
x 1 x x 1 2<br />
x<br />
2<br />
x x 1 0<br />
1 5<br />
Đối chiếu điều kiện, ta được 2 nghiệm của phương trình là x 1; x <br />
2<br />
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:<br />
x 2 y 2 6 2 xy 6 2 x y z 2 2 6 2 x y z 2 1 2 x y 2 z <br />
Do đó: 2 f x f<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
0,25<br />
0,25<br />
<br />
<br />
<br />
2x<br />
2x<br />
x<br />
<br />
<br />
2<br />
x y 6 2 x y 2z x y 2z<br />
<br />
0,25<br />
<br />
2<br />
<br />
x2 y 2<br />
x y<br />
x y<br />
<br />
<br />
8z<br />
4 2z<br />
2<br />
x<br />
y<br />
x y<br />
x y<br />
x y<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Khi đó P <br />
x y 2z x y 2z<br />
8z<br />
x y 2z<br />
8z<br />
x y<br />
1 x y<br />
t<br />
t<br />
x y<br />
z<br />
<br />
.<br />
<br />
f (t ) , với t <br />
0.<br />
x y<br />
Câu 10<br />
8 z<br />
t2 8<br />
z<br />
2<br />
(1 điểm)<br />
z<br />
t<br />
t<br />
Xét f (t ) <br />
với t 0 .<br />
t2 8<br />
t 0<br />
2<br />
1 16 (t 2)2<br />
t 2<br />
f '(t ) <br />
<br />
, f '(t ) 0 <br />
2<br />
2<br />
2<br />
(t 2) 8<br />
8(t 2)<br />
(t 2) 16<br />
Ta có:<br />
x2 y2 <br />
<br />
0,25<br />
<br />
0,25<br />
t<br />
f (t )<br />
'<br />
<br />
0<br />
<br />
2<br />
0<br />
<br />
+<br />
<br />
1<br />
4<br />
<br />
f (t )<br />
<br />
4<br />
<br />
+<br />
-<br />
<br />