Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Hùng Vương môn Toán năm 2009 - 2010

Chia sẻ: Thu Maile | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

47
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các em học sinh cùng tham khảo "Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Hùng Vương môn Toán năm 2009 - 2010". Nội dung đề thi bám sát chương học, cấu trúc đề trình bày rõ ràng và chi tiết, tham khảo để các em nắm vững kiến thức đã học và rèn luyện kỹ năng giải đề.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Hùng Vương môn Toán năm 2009 - 2010

Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o phó thä k× thi tuyÓn sinh líp 10 THPT chuyªn hïng v-¬ng n¨m häc 2009-2010 §Ò chÝnh thøc M«n: To¸n (Chuyªn To¸n) Thêi gian lµm bµi: 150 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò. (§Ò thi cã 01 trang) mx  y  2 (1)  x  my  5 (2) Câu 1(2 điểm). Cho hệ phương trình:  (m là tham số) a) Chứng tỏ hệ đã cho luôn có nghiệm duy nhất với mọi m. b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình trên có nghiệm (x, y) thoả mãn x + y = 5. Câu 2(1 điểm). Tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x3  y3  z 2 trong đó y là số nguyên tố,  z;3   z; y   1 Câu 3(3 điểm). a) Giải phương trình:  x  1 2009   x  1 2008  x  2   x  1 2007  x  2 2    x  1 x  2  2008 b) Cho x, y là các số thực dương thoả mãn điều kiện x  y  của biểu thức A    x  2 2009 0 5 . Tìm giá trị nhỏ nhất 4 4 1  . x 4y Câu 4(3 điểm). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp trong đường tròn (O) và điểm P nằm trong tam giác ABC sao cho BAP  PBC; CAP  PCB . Đường thẳng AP cắt cạnh BC tại M . a) Chứng minh rằng M là trung điểm của cạnh BC . b) Chứng minh rằng tứ giác BHPC nội tiếp trong một đường tròn ( ) , trong đó H là trực tâm tam giác ABC . c) Đường trung trực của đoạn thẳng PA cắt đường thẳng BC tại Q . Chứng minh rằng QA tiếp xúc với (O) và QP tiếp xúc với ( ) . Câu 5(1 điểm). Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn ab  bc  ca  3 . Chứng minh rằng: 1 1 1  2  2 1 a 2 b 2 c 2 2 ——Hết—— Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ tên thí sinh ........................................................................... SBD .......................... Câu Ý SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2010 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN (Chuyªn To¸n) Nội dung Từ (1)  y = mx -2 (3) 1 0.25 Kết luận 0.25 0.25 7m  3 =7 m2  1 m  1 Tìm được  ; kết luận m  2 5  Phương trình đã cho tương đương với x+y=7  b) (1đ) 0.25 2m  5 ; m m2  1 5m  2 Từ đó tính được y = 2 m 1 Thế vào (2) được x = a) (1đ) Điểm 0.5 0.5 (1)  x  y   x2  xy  y 2   z 2   x  y   x  y   3xy   z 2 là số nguyên tố,  z;3   z; y   1 nên từ (1),   x; y   1,  x  y;3  1 (2) 2 Do y Từ (1),(2) suy ra x  y  m2 , x2  xy  y 2  n2 , z  mn với m, n   .Từ đó 2 4n2  4 x2  4 xy  4 y 2   2 x  y   3 y 2  3 y 2   2n  2 x  y  2n  2 x  y  2 (1đ) 0.25 0.25 Từ đó, do y là số nguyên tố, nên có các trường hợp sau xảy ra  2n  2 x  y  3 y 2 , 2n  2 x  y  1 : Suy ra 3 y 2  1  2  2 x  y   2  2m2  3 y   suy ra m2  1  3 y 2  6 y  3m2 3 , nhưng m2  1  3 m , vô lý 2n  2 x  y  3 y, 2n  2 x  y  y . Suy ra 2 y  4 x  2 y  x  0 , loại  2n  2 x  y  y 2 , 2n  2 x  y  3 . Suy ra y 2  3  2  2 x  y   2  2m2  3 y  do đó  y  3  4m2  12 . Tìm được y  7, m  1, x  8, z  13 2 0.25 0.25 Vậy  x; y; z   8;7;13 là nghiệm duy nhất của phương trình. Do a n  bn   a  b   a n1  a n2b  a n3b2   abn2  bn1  , 0.25 với a  x  1, b  x  2 3 a) (1,5đ) suy ra phương trình đã cho tương đương với  x  1 2010 x 1  x  2 3 2 2   x  1   x  2    x 2 x 1  x  2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x     x  2 2010 0.5 0.5 3 2 0.25 Với x > 0 ta có: 4 4  4 x  2 .4 x  8 x x 0.5 Với y > 0 ta có: 1 1  4y  2 .4 y  2 4y 4y 0.5 4 1 4 1   4( x  y)  10  A   5 x 4y x 4y b) (1,5đ) 4  x  4x  x  1 1  Dấu đẳng thức xảy ra    4 y   1 4y  y  4  5 x  y  4  0.5 Giá trị nhỏ nhất của A là 5 đạt được khi x = 1; y = 1 4 A E P F H 4 a) (1đ) C Q B Từ giả thiết, suy ra ABM Tương tự, ACM 0.25 O M BPM ( g.g ) suy ra BM 2  AM  PM CPM ( g.g ) suy ra CM 2  AM  PM (1) 0.25 (2) 0.25 Từ (1),(2) suy ra BM  CM suy ra điều phải chứng minh. 0.25 Gọi E , F là giao điểm của BH , CH với các cạnh AC, AB . Khi đó do AEH  AFH  900 nên tứ giác AEHF nội tiếp, b) (1đ) 0.25 suy ra BHC  EHF  1800  BAC 0.25 (1) Từ cách xác định điểm P suy ra (2) BPC  1800  PBC  PCB  1800  PAB  PAC  1800  BAC Từ (1) và (2), do tam giác ABC nhọn, nên bốn điểm B, C, H , P cùng nằm trên một đường tròn. 0.25 0.25 M N P X + Phát biểu và chứng minh bổ đề. Điểm X nằm trên cạnh NP của tam giác MNP NX  MX  sao cho NMX  MPN . Khi đó   NP  MP  2 0.25 + Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt BC tại Q1. Do Q1 AB  ACQ1 , nên c) (1đ) Q1 B  AB    Q1C  AC  2 (3) + Tiếp tuyến tại P của đường tròn ( ) cắt BC tại Q2 . Do Q2 PB  PCB , nên 0.25 2 Q2 B  PB   (4)  Q2C  PC  + Theo kết quả phần 1, M là trung điểm BC suy ra S ABM  S ACM  AB sin BAP  AC sin CAP  AB sin CAP  AC sin BAP (5) cũng vậy S PBM  S PCM  PB sin PBM  PC sin PCM  Từ (3),(4),(5),(6) suy ra Do Q1 AB PB sin PCM sin PAC (6)   PC sin PBM sin PAB Q1 B Q2 B   Q1  Q2 Q1C Q2C Q1CA và Q1PB 0.25 Q1CP , nên Q1 A2  Q1B  Q1C  Q1P 2 suy ra Q1 A  Q1P . Suy ra Q1  Q . Điều phải chứng minh. 0.25 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a2b2  b2c2  c2 a2  a2b2c2  4 Đặt bc  x, ca  y, ab  z . Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành x2  y 2  z 2  xyz  4 với x, y, z  0 : x  y  z  3 0.25 0.25 Không giảm tổng quát, coi x  min  x, y, z  , thế thì x  1 và x 2  y 2  z 2  xyz  4  x 2   y  z   yz  x  2   4 2 5 (1đ) 1 2  y  z   x  2  4 4 x  2 x2 2 2  x2   y  z   4  x2  3  x   4 4 4 1 2   x  1  x  2   0 4 Suy ra điều phải chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x  y  z 1 a  b  c 1  x2   y  z   2 Ghi chú: Nếu học sinh giải theo cách khác đúng thì cho điểm tối đa. 0.5