Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2010 - Sở GD&ĐT tỉnh Phú Yên

Chia sẻ: Le Vy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

150
lượt xem 16
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo: Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán chuyên năm 2010 dành cho các bạn học sinh giúp củng cố kiến thức và luyện thi tuyển sinh THPT. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2010 - Sở GD&ĐT tỉnh Phú Yên

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ YÊN Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2010 – 2011 Môn thi : TOÁN (chuyên) – Sáng ngày 01/7/2010 Đề chính thức Thời gian làm bài : 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu 1. (4 điểm) x  2 x 1  x  2 x  1 a) Rút gọn biểu thức: P với x  2 x  2x 1  x  2x 1 b) Cho biểu thức S n  ( 5  3) n  ( 5  3) n với n là số nguyên dương. Chứng minh rằng S 2n  Sn 2  2n1 . Áp dụng: không sử dụng máy tính, hãy tính S4 và S8. Câu 2. (4 điểm) a) Không sử dụng máy tính, hãy giải phương trình: x 4  2009 x 2  2010  0  x 2  1  y( x  y)  4 y  b) Giải hệ phương trình:  2 ( x  1)( x  y  2)  y  Câu 3. (4 điểm) a) Cho phương trình (ẩn x): x 2  2(m  2) x  4m  9  0 có hai nghiệm x1 ; x2 . Tìm m sao cho biểu thức A  x12  x2 2  8 x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất. b) Biết hai phương trình x2 + ax + bc = 0 và x2 + bx + ca = 0 ( c  0 ) chỉ có một nghiệm chung. Chứng minh hai nghiệm còn lại là nghiệm của phương trình x2 + cx + ab = 0. Câu 4. (3 điểm) Cho tam giác ABC, dựng hai đường tròn đường kính AB và AC cắt nhau tại D. Một đường thẳng qua D cắt đường tròn đường kính AB tại E và cắt đường tròn đường kính AC tại F sao cho D nằm giữa hai điểm E và F ( E và F khác A, B, C). Gọi M, N là các trung điểm tương ứng của BC và EF. Chứng minh rằng AN vuông góc với NM. Câu 5. (3 điểm) Gọi AB là một đoạn thẳng cho trước. Tìm tất cả các điểm C trong mặt phẳng chứa AB sao cho: trong tam giác ABC đường cao kẻ từ A và đường trung tuyến kẻ từ B có độ dài bằng nhau. Câu 6. (2 điểm) 1 1 1 1 a) Cho 2 số dương a và b. Chứng minh rằng :  (  ) a b 4 a b 1 1 1 b) Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn    2010. x y z 1 1 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P   2x  y  z x  2 y  z x  y  2z - HẾT - Họ và tên thí sinh:……………………………….Số báo danh:……………. Ghi chú: Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ YÊN Simpo PDF Merge THI Split Unregistered Version - THPT NĂM HỌC 2010 – 2011 KỲ and TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 http://www.simpopdf.com Môn: TOÁN (chuyên) HƯỚNG DẪN CHẤM (Bản hướng dẫn chấm này gồm có 04 trang) I. Hướng dẫn chung: 1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách giải nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định. 2) Điểm toàn bài không làm tròn số. II. Đáp án và biểu điểm: Câu Đáp án Biểu điểm Câu 1. (4 điểm) a) 2đ x  2 x 1  x  2 x  1 Rút gọn biểu thức: P với x  2 x  2x 1  x  2x 1 2( x  1  2 x  1  1  x  1  2 x  1  1) 0,5 P 2x  1  2 2x  1  1  2 x 1  2 2x  1  1 P 2  ( x  1  1) 2  ( x  1  1)2  0,5 ( 2 x  1  1) 2  ( 2 x  1  1)2 P 2  x 1  1  x  1 1  0,25 2x 1  1  2x  1 1 P 2  x 1  1  x  1  1  ( vì x  2 nên x  1  1 và 2 x  1  1) 0,5 2x 1  1 2x 1  1 2.2 x  1 P  2x  2 0,25 2 b) 2đ Cho biểu thức S n  ( 5  3) n  ( 5  3) n với n là số nguyên dương 2n 2n n 2 n 2 Ta có : S 2n   5 3   5 3    5 3     5 3   0,5         n n 2 n S2n    5 3    5  3  2   5 3  5 3   0,5       2 n 2 n 1 S 2 n  Sn  2.2  S n  2 ( đpcm) 0,25 Ta có : S1  2 5 S 2  S12  2 2  (2 5) 2  4  16 0,25 S 4  S2 2  23  162  8  248 0,25 2 5 S8  S 4  2  248  32  61472 2 0,25 Câu 2. (4 điểm) a) 1đ Giải phương trình: x 4  2009 x 2  2010  0 (1) Đặt X = x2 , X  0 . Ta có: (1)  X 2  2009 X  2010  0 (2) 0,25 Vì a  b  c  1  2009  2010  0 0,25 Nên phương trình (2) có hai nghiệm X1  1  0 (bị loại); X 2  2010 0,25
Vậy nghiệm của phương trình (1) là x1  2010 ; x2   2010 0,25 Simpo PDF Merge and Split Unregistered 1  y ( x - y )  4 y b) 3đ  x 2 Version http://www.simpopdf.com  Giải hệ phương trình:  2 ( x  1)( x  y  2)  y   x2  1  y  (x  y)  4    2 ( vì y  0 )  x  1 ( x  y  2)  1 0,5  y   x2  1  u 0,25 Đặt  y x  y  v  u  v  4 0,25 Hệ phương trình trở thành:  u (v  2)  1 Từ (1) suy ra: u  4  v , thế vào (2) ta được: (4  v)(v  2)  1 0,25  v 2  6v  9  0 , giải tìm được v = 3 0,25  u  43 1 0,25 x2  1  y Vậy ta giải hệ:  (*) 0,25 x  y  3 Từ (*) suy ra x 2  1  3  x  x 2  x  2  0  x1  1; x2  2 0,5 Khi x1  1  y1  2 0,25 Khi x2  2  y2  5 Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm: (1;2), (-2;5) 0,25 Câu 3. (4 điểm) a) 2đ x 2  2(m  2) x  4m  9  0  '  (m  2)2  4m  9  m 2  5 0,25 Phương trình có 2 nghiệm   '  0  m   5 hoặc 5  m 0,25 Theo hệ thức Vi-ét ta có : x1  x2  2m  4; x1 x2  4m  9 0,25 Ta có: A  x12  x2 2  8 x1 x2  ( x1  x2 )2  10 x1 x2 0,25 A  (2m  4)2  10(4m  9)  4m 2  24m  74  4( m  3) 2  110  110 0,5 Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi m = 3 > 5 0,25 Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 110 khi m = 3. 0,25 Ghi chú: Nếu thí sinh không tìm được ĐK : m   5 hoặc m  5 nhưng có thế m = 3 vào biểu thức  ' = 4 > 0 thỏa mãn điều kiện có nghiệm thì vẫn không bị trừ điểm. b) 2đ x2 + ax + bc = 0 (1) x2 + bx + ca = 0 (2) ( c  0 ) Giả sử (1) có hai nghiệm x0, x1 (2) có hai nghiệm x0, x2 Ta có : x02  ax0 + bc = 0, x0 2 + bx0 + ca = 0 0,25 Suy ra: ax0 + bc - bx0 - ca = 0  (a  b)( x0  c )  0 0,25 (1) và (2) khác nhau nên a  b, do đó x0  c  0  x0  c 0,25 2
Theo hệ thức Vi-ét ta có: x0 x1  bc, x0 x2  ca 0,25 Simpo PDF Merge 0 nên x1 Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Mà c and Split  b, x2  a x0  c là nghiệm của (1) nên c 2  ac  bc  0  c (a  b  c)  0 0,25 Vì c  0 nên a + b + c = 0  a  b  c 0,25  x1  x2  c Ta có:  0,25  x1 x2  ab Vậy theo định lý đảo Vi-ét thì x1 , x2 là nghiệm của pt: x 2  cx  ab  0 0,25 Câu 4. (3 điểm) A F N B M C E D Vì AB và AC là đường kính của các đường tròn Nên ADB  900 ; ADC  900 0,25 Do đó D nằm trên đường BC 0,25 Ta có : ABD  AED ( cùng chắn cung AD) 0,25 ACD  AFD ( cùng chắn cung AD) 0,25 Nên ABC AEF 0,25 BA BC 2 BM BM Suy ra    0,5 EA EF 2 EN EN Mà ABM  AEN nên ABM AEN 0,25 Suy ra AMB  ANE 0,25 Do đó tứ giác ADMN nội tiếp 0,25  ANM  ADM  900 0,25 Vậy AN  NM (đpcm 0,25 Câu 5. (3 điểm) C N M H A B D 3
Gọi H là chân đường cao hạ từ A; M là trung điểm của AC Simpo PDF Merge giả thiết ta có AH = BM Theo and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 0,25 Gọi N là chân đường vuông góc hạ từ M xuống BC Khi đó MN//AH 0,25 1 1 Nên MN = AH  BM 0,5 2 2 Suy ra tam giác vuông BMN là nửa tam giác đều cạnh BM 0,25 Do đó MBN  300 0,25 Gọi D là điểm đối xứng của A qua B 0,25 Khi đó D cố định và BM//CD 0,25 Suy ra BCD  CBM  300 ( so le trong) 0,5 Do đó các điểm C nằm trên cung chứa góc 300 dựng trên đoạn BD 0,25 Vậy quỹ tích của C là hai cung chứa góc 300 dựng trên đoạn BD (trừ 2 điểm B 0,25 và D). Dễ thấy các đường tròn chứa hai cung này có bán kính bằng độ dài AB và có tâm I sao cho tam giác BID đều. Câu 6. (2 điểm) a) 1đ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương ta có: a  b  2 ab  4ab  (a  b)2 0,5 1 ab 1 1 1    (  ) (*) 0,5 a  b 4ab 4 a b Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b b) 1đ Áp dụng BĐT (*) ta có: 1 1 1 1 1  1 1 1 1  1 1 1 1   (  )    (  )      (1) 0,25 2x  y  z 4 2x y  z 4  2 x 4 y z  8  x 2 y 2z  1 1 1 1 1  Tương tự ta có:      (2) x  2 y  z 8  y 2z 2 x  1 11 1 1       (3) 0,25 x  y  2z 8  z 2 x 2 y  Cộng (1), (2) , (3) ta được: 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1    (      ) (   ) 0,25 2x  y  z x  2y  z x  y  2z 8 x y z 2x 2 y 2z 4 x y z 1 1 1 2010 1005 Vậy :     2 x  y  z x  2 y  z x  y  2z 4 2 1 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x  y  z  670 1005 1 0,25 Vậy MaxP = khi x  y  z  . 2 670 -HẾT- 4