Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán (Chuyên) năm 2012-2013 - THPT Chuyên Lê Quý Đôn (Sở GD&ĐT Bình Định)

Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên<br /> năm 2017<br /> Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai<br /> <br /> Môn: Toán học<br /> <br /> SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO<br /> BÌNH ĐỊNH<br /> <br /> KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT 2012-2013<br /> TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN<br /> Môn thi: TOÁN<br /> Ngày thi: 14 / 6 / 2012<br /> Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian phát đề )<br /> <br /> Bài 1: (2điểm)<br />  a b<br /> a  b  2ab <br /> a b <br /> <br />  : 1 <br />  với a > 0 , b > 0 , ab  1<br /> <br /> 1  ab <br />  1  ab 1  ab  <br /> <br /> Cho biểu thức D = <br /> <br /> a) Rút gọn D.<br /> <br /> b) Tính giá trị của D với a =<br /> <br /> 2<br /> 2 3<br /> <br /> Bài 2: (2điểm)<br /> a) Giải phương trình: x  1  4  x  3<br />  x  y  xy  7<br /> <br /> b) Giải hệ phương trình: <br /> <br /> 2<br /> 2<br />  x  y  10<br /> <br /> Bài 3: (2điểm)<br /> 1<br /> 2<br /> <br /> Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P) là đồ thị của hàm số y  x 2 và đường<br /> thẳng (d) có hệ số góc m và đi qua điểm I ( 0 ; 2 ).<br /> a) Viết phương trình đường thẳng (d).<br /> b) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m.<br /> 3<br /> c) Gọi x1 , x2 là hoành độ hai giao điểm của (d) và (P). Tìm giá trị của m để x1  x 3  32<br /> 2<br /> Bài 4: (3điểm)<br /> Từ điểm A ở ngoài đường tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (B, C là<br /> các tiếp điểm). Đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) tại D và E ( D nằm giữa A và E,<br /> dây DE không đi qua tâm O). Gọi H là trung điểm của DE, AE cắt BC tại K.<br /> a) Chứng minh 5 điểm A, B, H, O, C cùng nằm trên một đường tròn.<br /> b) Chứng minh: AB2 = AD . AE .<br /> c) Chứng minh:<br /> <br /> 2<br /> 1<br /> 1<br /> <br /> <br /> AK AD AE<br /> <br /> Bài 5: (1điểm)<br /> Cho ba số a , b , c khác 0 thỏa mãn:<br /> Chứng minh rằng<br /> <br /> 1 1 1<br />   0.<br /> a b c<br /> <br /> ab bc ac<br />   3<br /> c2 a 2 b 2<br /> <br /> ------------------------------HẾT--------------------------------<br /> <br /> Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807<br /> <br /> Trang | 1<br /> <br /> Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên<br /> năm 2017<br /> Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai<br /> <br /> Môn: Toán học<br /> <br /> ĐÁP ÁN<br /> Câu 1: a) Với a > 0 , b > 0 , ab  1<br />  2 a  2b a   a  b  ab  1  2 a<br /> :<br />  =<br />  1  ab<br />   1  ab  a  1<br /> <br /> - Rút gọn D = <br /> b) a =<br /> <br /> 2<br /> 2 3<br /> <br /> Vậy D =<br /> <br /> <br /> <br /> 2(2  3 )<br />  ( 3  1)2  a  3  1 .<br /> 1<br /> <br /> 22 3<br /> 2 3  2 (2 3  2)(4  3 ) 6 3  2<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> 16  3<br /> 13<br /> 4 3<br /> 1<br /> 2 3<br /> <br /> Câu 2:<br /> a) ĐK: x  1<br /> <br /> x 1  4  x  3<br />  x  1  4  x  2  x  1 4  x   9 <br /> <br /> x=<br /> <br /> 13<br /> (TM)<br /> 9<br /> <br />  x  y  xy  7<br /> <br /> b) <br /> <br />  x  1 4  x   3  x  x 2  3x  4  9  6x  x 2<br /> <br /> 2<br /> 2<br />  x  y  10<br /> <br /> Đặt x + y = a ; xy = b  x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b.<br /> <br />  x  y  4<br /> <br /> a  b  7<br /> a 2  2a  24  0<br /> a1  4; a 2  3 a1  4; b1  3<br />  xy  3<br /> Ta có:  2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> a 2  6; b 2  13   x  y  6<br /> a  b  7<br /> a  2b  10<br /> a  b  7<br />   xy  13<br /> <br /> <br />  t 2  4t  3  0<br /> <br /> <br /> t  3; t 2  1<br /> 1<br /> 2<br /> . Vậy ( x = 3 ; y = 1 ) , ( x = 1 ; y = 3 )<br /> m<br /> Voâ<br />  t  6t  13  0<br />  nghieä<br /> <br /> <br /> Câu 3:<br /> a) Phương trình đường thẳng (d) có dạng y = ax + b có hệ số góc m và đi qua điểm I ( 0 ;<br /> 2 ), ta có:<br /> 2 = m.0 + b  b = 2. Do đó (d) có dạng y = mx + 2<br /> 1<br /> 2<br /> <br /> b) Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình y  x 2 = mx + 2  x2<br /> – 2mx – 4 = 0<br />  ' = (-m)2 – 1 (-4) = m2 + 4 > 0. Vì  ' > 0 nên (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt<br /> với mọi m.<br /> c) x1 , x2 là hai hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình x2 – 2mx –<br /> 4=0<br /> Áp dụng hệ thức Viét ta có : x1 + x2 = 2m , x1 . x2 = - 4<br /> 3<br /> 3<br /> Ta có: x1  x 3   x1  x 2   3x1x 2  x1  x 2   32<br /> 2<br />  (2m)3 – 3 (-4).2m = 32  8m3 + 16m – 32 = 0  m3 + 2m – 4 = 0<br />   m  1  m 2  m  4   0  m  1  0  m  1 ( Vì m2 + m + 4 > 0 )<br /> <br /> Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807<br /> <br /> Trang | 2<br /> <br /> Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên<br /> năm 2017<br /> Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai<br /> <br /> Môn: Toán học<br /> <br /> Câu 4:<br /> <br /> C<br /> <br /> O<br /> A<br /> K<br /> E<br /> <br /> H<br /> M<br /> <br /> N<br /> <br /> D<br /> <br /> B<br /> <br /> a) Chứng minh 5 điểm A, B, H, O, C cùng nằm trên một đường tròn.<br />   <br /> Chỉ ra được: OAC  OHA  OBA  900<br />  A, B, H, O, C cùng nằm trên một đường tròn.<br /> b) Chứng minh: AB2 = AD . AE :<br /> <br /> Xét: ABD và ABE ; Ta có: BAE (góc chung)<br />  <br /> <br /> AEB  ABD (cùng chắn cung BD của đ/tròn (O)). Nên ABD  AEB (gg)<br /> AB AD<br /> <br /> AE AB<br /> <br /> <br /> <br />  AB2 = AD.AE. (1)<br /> <br /> c) Chứng minh:<br /> <br /> Ta có:<br /> <br /> 2<br /> 1<br /> 1<br /> :<br /> <br /> <br /> AK AD AE<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> AD  AE<br /> <br /> <br /> AD AE<br /> AD.AE<br /> <br /> Mà AD + AE = (AH – HD) + ( AH + EH) = (AH – HD) + ( AH + HD) (Vì EH = HD) = 2AH<br /> <br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 2AH<br /> <br /> <br /> AD AE AD.AE<br /> <br /> Mà: AB2 = AD.AE.<br />  AC2 = AD.AE<br /> <br /> (Cmt)<br /> ( Vì AB, AC là 2 tiếp tuyến đường tròn (O) => AB = AC)<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 2AH<br /> <br /> <br /> AD AE AC2<br /> 2<br /> 2AH<br /> <br /> Ta lại có:<br /> AK AK.AH<br /> <br /> <br /> (3)<br /> (4)<br /> <br /> Cần chứng minh: AC2 = AK.AH<br /> Từ D vẽ DM vuông góc với OB tại M, cắt BC tại N.<br /> Xét tứ giác ODMH<br /> Có:<br /> <br /> <br /> OHD = 900  Cmt <br /> <br /> <br /> OMD = 900<br />  <br />  OHD = OMD  = 900 <br />  ODMH nội tiếp (Qũy tích cung chứa góc)<br />  <br /> <br />  HOM = HDM ( chắn cung HM )<br /> <br /> Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807<br /> <br /> Trang | 3<br /> <br /> Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên<br /> năm 2017<br /> Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai<br /> <br /> Môn: Toán học<br /> <br />  <br /> <br /> Mà HOM = BCH (chắn HB Của đường tròn đường kính AO)<br />  <br />  HDM = BCH<br />  <br /> Hay: HDN = NCH<br />  Tứ giác CDNH nội tiếp (Qũy tích cung chứa góc)<br /> Xét ACK và AHC<br /> <br /> Ta có: CAH (góc chung) (a)<br />  <br /> <br /> Lại có : CHD = CND (chắn cung CD của CDMH nội tiếp )<br />  <br />  <br /> Mà: CBA = CND (đồng vị của ED//AB ( Vì cùng vuông góc với OB))  CHD = CBA<br />  <br /> Và: BCA = CBA ( Vì AB, AC là 2 tiếp tuyến đường tròn (O)  AB = AC) => ABC cân tại A)<br />  <br />  <br />  CHD = BCA Hay: CHA = KCA<br /> (b)<br /> <br /> Từ (a) và (b)   ACK đồng dạng  AHC<br /> AC AK<br /> =<br />  AC 2 = AH.AK<br /> AH AC<br /> 1<br /> 1<br /> 2AH<br /> Thay vào (3) ta có<br /> <br /> <br /> AD AE AH.AK<br /> 2<br /> 1<br /> 1<br /> Từ (4) và (5) <br /> .<br /> <br /> <br /> AK AD AE<br /> <br /> <br /> <br /> 3<br /> <br />  5<br /> <br /> 3<br /> <br /> 3<br /> <br /> ab bc ac  ab    bc    ac <br /> Câu 5: Ta có 2  2  2 <br /> (1)<br /> 2<br /> c<br /> a<br /> b<br />  abc <br /> <br /> Đặt ab = x , bc = y , ac = z  xyz = (abc)2 . Khi đó (1) trở thành<br /> <br /> x 3  y 3  z3<br /> và x + y + z = ab +<br /> xyz<br /> <br /> bc + ac<br /> 1 1 1 bc  ac  ab<br />   <br />  0  x + y + z = ab + bc + ac = 0<br /> a b c<br /> abc<br /> x 3  y3  z3 3xyz<br /> Vì x + y + z = 0 nên x3 +y3 + z3 = 3xyz . Nên<br /> =<br /> 3<br /> xyz<br /> xyz<br /> <br /> Từ<br /> <br /> Cách khác:<br /> 3<br /> <br /> 3<br /> <br /> 1 1 1<br /> 1 1<br /> 1 1 1  1<br /> 1 1 3 1 1<br /> 1<br /> 1 1<br /> 3<br /> 1<br /> Vì:    0              3  3       3  3  3 <br />  3<br /> a b c<br /> a b<br /> c a b  c<br /> a b ab  a b <br /> c<br /> a b abc<br /> c<br /> 1 1 1<br /> 3<br />  3 3 3<br /> 1<br /> a b c<br /> abc<br /> <br /> ab bc ac abc abc abc<br /> 1 1 1<br />  2  2  3  3  3  abc  3  3  3   2 <br /> 2<br /> c<br /> a<br /> b<br /> c<br /> a<br /> b<br /> c a b <br /> ab bc ac<br />  3 <br /> Thay (1) vào (2) ==> Ta có: 2  2  2  abc <br /> 3<br /> c a<br /> b<br />  abc <br /> Ta có:<br /> <br /> Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807<br /> <br /> Trang | 4<br /> <br /> Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên<br /> năm 2017<br /> Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai<br /> <br /> Môn: Toán học<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM 2017 TRÊN HỌC247<br /> - Chương trình luyện thi được xây dựng dành riêng cho học sinh giỏi, các em yêu thích toán và muốn thi<br /> vào lớp 10 các trường chuyên.<br /> - Nội dung được xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 các trường chuyên của cả nước trong<br /> những năm qua.<br /> - Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm các thầy nổi tiếng có nhiều năm kinh nghiệm trong việc ôn luyện học<br /> sinh giỏi.<br /> <br /> - Hệ thống bài giảng được biên soạn công phu, tỉ mỉ, phương pháp luyện thi khoa học, hợp lý mang lại kết<br /> quả tốt nhất.<br /> - Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.<br /> - Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.<br /> - Mỗi lớp từ 5 đến 10 em để được hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất.<br /> - Đặc biệt, các em còn hỗ trợ học tập thông qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên của HỌC247.<br /> <br />  https://www.facebook.com/congdonglop10chuyen<br /> <br /> Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807<br /> <br /> Trang | 5<br /> <br />