Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán (Chuyên) năm 2013-2014 - Sở GD&ĐT Lạng Sơn

Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên <br /> năm 2017 <br /> Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai<br /> <br /> SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO <br /> LẠNG SƠN <br /> <br /> <br /> <br /> Môn: Toán học <br /> <br /> <br /> <br /> KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT <br /> NĂM HỌC 2013 – 2014 <br /> Môn thi: TOÁN (Dành cho lớp chuyên) <br /> Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian giao đề)<br /> Đề thi gồm có 1 trang, 5 câu <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Câu 1 (2 điểm) <br /> Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = 2x – m + 1 và parabol <br /> (P): y = - x2. <br /> a. Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm (1; 2); <br /> b. Giả sử đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A(x1; y1), B(x2; y2). <br /> Tìm m để (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 = 25. <br /> <br /> Câu 2 (2 điểm) <br /> 2y<br />  3x<br />  x 1  y 1  2<br /> <br /> <br /> a. Giải hệ phương trình <br /> ; <br /> 2x<br /> 3y<br /> <br /> <br />  10<br />  x 1 y 1<br /> <br /> <br /> b. Tìm x, y thỏa mãn x – y + 1 = 2 x  y  x  2 . <br /> <br /> Câu 3 (2 điểm) <br /> a. Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M di động trên cạnh BC, gọi D, E lần lượt là <br /> hình chiếu của M trên AB, AC. Tìm vị trí điểm M để DE có độ dài nhỏ nhất.<br /> <br /> 3x  4<br /> b. Với x là số thực. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = 2<br /> . <br /> x 1<br /> <br /> Câu 4 (3 điểm) <br /> <br /> Cho đường tròn đường kính AB; C là một điểm trên đường tròn (C khác A, B). <br /> Gọi I là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác ABC, các tia AI, CI lần lượt <br /> cắt đường tròn tại D, E. <br /> a. Chứng minh tam giác EAI cân; <br /> <br /> b. Chứng minh: IC.IE = IA.ID; <br /> c. Giả sử biết BI = a, AC = b. Tính AB theo a, b. <br /> <br /> Câu 5 (1 điểm) <br /> Chứng minh trong các số có dạng 20142014 ... 2014 có số chia hết cho 2013. <br /> <br /> ---------------------------------------Hết-------------------------------- <br /> <br /> <br /> <br /> Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807 <br /> <br /> Trang | 1<br /> <br /> Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên <br /> năm 2017 <br /> Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai<br /> <br /> Môn: Toán học <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Câu <br /> Câu 1 <br /> <br /> 2 điem <br /> <br /> <br /> ĐÁP ÁN <br /> <br /> Nội dung trình bày <br /> <br /> Ý <br /> <br /> Điểm <br /> <br /> Đường thẳng (d) đi qua điểm (1; 2) 2 = 2.1 – m + 1 <br /> a <br /> Vậy: m = 1 <br /> Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt x2 + 2x – <br /> b m + 1 = 0 <br /> có hai nghiệm phân biệt  '  m  0 <br /> <br /> 0,5 <br /> 0,5 <br /> 0,25 <br /> <br /> Theo Định lí Viet: x1 + x2 = - 2, x1x2 = - m + 1 <br /> <br /> 0,25 <br /> <br /> Có: y1 = 2x1 – m + 1, y2 = 2x2 – m + 1 => y1 – y2 = 2(x1 – x2) <br /> Nên: 25 = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 = 5(x1 – x2)2 => (x1 – x2)2 = 5 <br /> <br /> 0,25 <br /> <br /> Hay: (x1 + x2)2 - 4x1x2 = 5 => 4 – 4(- m + 1) = 5 => m = 5/4 (t/m) <br /> <br /> 0,25 <br /> <br /> x<br /> y<br /> Câu 2 <br /> a Đặt u  x  1 ; v  y  1 <br /> <br /> 2 <br />  3u  2v  2<br />  9u  6v  6<br /> u  2<br /> Khi đó có hệ: <br /> <br /> <br /> <br /> điểm <br /> 2u  3v  10<br /> 4u  6v  20<br /> v2<br /> <br /> <br /> Từ: <br /> <br /> <br /> <br /> 0,25 <br /> 0,25 <br /> <br /> <br /> <br /> x<br /> y<br />  2  x  2;<br />  2  y  2 <br /> x 1<br /> y 1<br /> <br /> 0,25 <br /> <br /> Vậy hệ có nghiệm (2; -2) <br /> <br /> 0,25 <br /> <br /> Ta có: x – y + 1 = 2 x  y  x  2  x  y  1  2 x  y  x  2  0 . <br /> b <br /> 2<br /> Hay: x  y  1  x  2  0 . <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Suy ra: <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> x  y  1  x  2  0  x  y  1  x  2  0 . <br /> <br /> Vì vậy có: x = 2; y = 1. <br /> Câu 3 <br /> <br /> a <br /> 2 <br /> điểm <br /> <br /> <br /> A<br /> D<br /> <br /> B<br /> <br /> E<br /> <br /> M<br /> <br /> C<br /> <br /> 0,25 <br /> 0,25 <br /> 0,25 <br /> 0,25 <br /> <br />   <br /> Do: ADM  AEM  DAE  900 nên ADME là <br /> 0,25 <br /> hình chữ nhật <br /> Nên : DE = AM <br /> 0,25 <br /> DE nhỏ nhất AM nhỏ nhất AM  BC 0,25 <br /> <br /> Vì vậy : M là chân đường cao hạ từ A <br /> <br /> 3x  4<br /> <br /> A = 2<br />  A(x 2  1)  3x  4  Ax 2  3x  A  4  0 , (*) có nghiệm x <br /> b <br /> x 1<br /> Nếu A = 0 từ (*) có : x = -4/3 <br /> <br /> Nếu A  0 có :   9  4A(A  4)  4(A  2)2  25  0 <br /> <br /> Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807 <br /> <br /> 1<br /> 9<br /> A <br /> 2<br /> 2<br /> <br /> 0,25 <br /> 0,25 <br /> 0,25 <br /> 0,25 <br /> <br /> Trang | 2<br /> <br /> Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên <br /> năm 2017 <br /> Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai<br /> <br /> Vậy : min A <br /> <br /> a <br /> Câu 4 <br /> <br /> 3 <br /> điểm <br /> <br /> Môn: Toán học <br /> <br /> 1<br /> b<br /> 9<br /> 1<br /> khi x <br />  3; max A  khi x  <br /> 2<br /> 2a<br /> 2<br /> 3<br /> <br /> <br /> <br /> 0,25 <br /> <br /> Vẽ hình để chứng minh a <br /> <br /> Do AD, CE là các đường phân giác <br /> nên : <br />    <br /> DC  DB, EB  EA <br /> <br /> I<br /> A<br /> <br /> O<br /> <br /> E<br /> <br /> D<br /> B<br /> <br /> <br /> <br /> 0,25 <br /> <br />    <br /> Do đó: DC  EA  DB  EB <br /> <br /> F<br /> C<br /> <br /> 0,25 <br /> <br />  <br /> Suy ra: AIE  IAE <br /> Vậy: tam giác EAI cân tại E <br /> <br /> 0,25 <br /> <br />  <br /> Ta có: AIE  CID (đối đỉnh) <br /> b <br />  <br /> EAI  DCI (cùng chắn cung DE) <br /> <br /> 0,25 <br /> 0,25 <br /> <br /> Do đó : ICD  IAE . <br /> Suy ra: <br /> <br /> 0,25 <br /> <br /> 0,25 <br /> <br /> IC ID<br /> <br />  IC.IE  IA.ID <br /> IA IE<br /> <br /> 0,25 <br /> <br /> AC cắt BD tại F. Do AD vừa là đường phân giác vừa là đường cao nên <br /> c  ABF cân. Do đó AF = AB = x > 0 <br />   <br /> Do: DIB  IBA  IAB  450 nên  BID vuông cân <br /> suy ra: DB = a/ 2 => BF = a 2 <br /> <br /> 0,25 <br /> 0,25 <br /> <br /> Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ACB và BCF có: <br /> BC2 = AB2 – AC2 = BF2 – CF2 hay: x2 – b2 = 2a2 – (x – b)2 x2 - bx - a2 = 0,25 <br /> 0 <br /> Có: x = <br /> <br /> <br /> Câu 5 <br /> <br /> 1 <br /> điểm <br /> <br /> b  b 2  4a 2<br /> b  b 2  4a 2<br /> b  b2  4a 2<br /> (loại), x = <br /> . Vậy AB = <br /> <br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> 0,25 <br /> <br /> Ta xét 2014 số khác nhau có dạng 20142014…2014 = an, có n bộ <br /> 2014. n  N* <br /> 0,25 <br /> Trong 2014 số này có ít nhất hai số khi chia cho 2013 có cùng số dư. <br /> Giả sử 2 số đó là ai , aj (j > i). Khi đó aj – ai  2013 <br /> hay: 20142014...2014    20142014....2014 0000...0000 2013 0,25 <br />  20142014...2014  <br /> <br /> <br /> j sô 2014<br /> <br /> i sô 2014<br /> <br /> jí sô 2014<br /> <br /> 4i sô 0<br /> <br /> Số có dạng 20142014…2014 . 104i  2013 <br /> Vì UCLN(10, 2013) = 1 nên UCLN(10n, 2013) = 1 với mọi n  N* <br /> Vậy: có số dạng 20142014…2014 chia hết cho 2013 <br /> <br /> ----------------------------------------Hết--------------------------------------- <br /> <br /> 0,25 <br /> 0,25 <br /> <br /> <br /> <br /> Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807 <br /> <br /> Trang | 3<br /> <br /> Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên <br /> năm 2017 <br /> Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai<br /> <br /> Môn: Toán học <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM 2017 TRÊN HỌC247 <br /> - Chương trình luyện thi được xây dựng dành riêng cho học sinh giỏi, các em yêu thích toán và muốn thi <br /> vào lớp 10 các trường chuyên. <br /> - Nội dung được xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 các trường chuyên của cả nước trong <br /> những năm qua. <br /> - Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm các thầy nổi tiếng có nhiều năm kinh nghiệm trong việc ôn luyện học <br /> sinh giỏi. <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> - Hệ thống bài giảng được biên soạn công phu, tỉ mỉ, phương pháp luyện thi khoa học, hợp lý mang lại kết <br /> quả tốt nhất. <br /> - Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên. <br /> - Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn. <br /> - Mỗi lớp từ 5 đến 10 em để được hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất. <br /> - Đặc biệt, các em còn hỗ trợ học tập thông qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên của HỌC247. <br /> <br /> <br />  https://www.facebook.com/congdonglop10chuyen<br /> <br /> Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807 <br /> <br /> Trang | 4<br /> <br />