Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán (Chuyên) năm 2016-2017 - ĐH KHTN (ĐHQG)

Chia sẻ: Tuyensinhlop10 Hoc247 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

79
lượt xem 13
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cùng tham khảo "Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán (Chuyên) năm 2016-2017 - ĐH KHTN (ĐHQG)” đây là tài liệu hay dành cho các bạn học sinh ôn tập và luyện thi vào lớp 10, các câu hỏi và bài tập bám sát chương trình, ngoài ra còn có các dạng bài tập nâng cao dành cho thí sinh hệ THPT chuyên. Chúc các bạn ôn tập và luyện thi đạt kết quả cao.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán (Chuyên) năm 2016-2017 - ĐH KHTN (ĐHQG)

Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên Môn: Toán học Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2016-2017 Môn thi: Toán (Dành cho thí sinh thi vào lớp Chuyên Toán) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Câu 1 (2,0 điểm) a) Cho các số a, b thỏa mãn 2a 2  11ab  3b2  0, b  2a, b  2a . Tính giá trị biểu thức a  2b 2a  3b . T  2a  b 2a  b b) Cho các số nguyên dương x, y, z và biểu thức ( x 2  y 2 )3  ( y 2  z 2 )3  ( z 2  x 2 )3 . P 2 x ( y  z )  y 2 ( z  x)  z 2 ( x  y )  2 xyz Chứng minh rằng P là số nguyên chia hết cho 6. Câu 2 (2,0 điểm) a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 2 x3  2 x 2 y  x 2  2 xy  x  10 . b) Cho 19 điểm phân biệt nằm trong một tam giác đều có cạnh bằng 3 , trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng luôn tìm được một tam giác có 3 đỉnh là 3 trong 3 19 điểm đã cho mà có diện tích không lớn hơn . 4 Câu 3 (2,0 điểm) a) Giải phương trình 2 x  1  x  3  2 .  2 x3  x 2 y  2 x 2  xy  6  0  b) Giải hệ phương trình  2  x  3 x  y  1.  Câu 4 (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) và dây cung BC cố định. Gọi A là điểm di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn. Bên ngoài tam giác ABC dựng các hình vuông ABDE , ACFG và hình bình hành AEKG . a) Chứng minh rằng AK = BC và AK  BC . b) DC cắt BF tại M. Chứng minh rằng A, K , M thẳng hàng. c) Chứng minh rằng khi A thay đổi trên cung lớn BC của (O; R) thì K luôn thuộc một đường tròn cố định. Câu 5 (1,0 điểm) Cho các số dương x, y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 (2 x  y )( x  2 y) 8 P    . 3 3 4 3( x  y ) (2 x  y)  1  1 ( x  2 y)  1 1 …………..HẾT………….. Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807 Trang | 1 Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên Môn: Toán học Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1 a) Cho các số a, b thỏa mãn 2a 2  11ab  3b 2  0, b  2a, b  2a . Tính giá trị biểu thức a  2b 2a  3b T  . 2a  b 2 a  b Ta có a  2b 2a  3b ( a  2b)(2a  b)  (2a  3b)(2a  b) 6a 2  11ab  b 2 T    2a  b 2 a  b (2a  b)(2a  b) 4a 2  b 2 Từ giả thiết suy ra 11ab  2a 2  3b 2 , thay vào T ta được: 6a 2  11ab  b 2 6a 2  2a 2  3b2  b2 2(4a 2  b 2 ) T    2. 4a 2  b2 4a 2  b 2 4a 2  b 2 b) Ta có: a3  b3  c3  3abc  (a  b  c)(a 2  b2  c 2  ab  bc  ca) Suy ra nếu a  b  c  0 thì a 3  b3  c 3  3abc Vì ( x 2  y 2 )  ( y 2  z 2 )  ( z 2  x 2 )  0 nên TT  ( x 2  y 2 )3  ( y 2  z 2 )3  ( z 2  x 2 )3  3( x 2  y 2 )( y 2  z 2 )( z 2  x 2 )  3( x  y)( y  z )( z  x)( x  y )( y  z )( z  x). MT  x 2 ( y  z )  y 2 ( z  x)  z 2 ( x  y )  2 xyz  ( x 2 y  y 2 x)  z 2 ( x  y )  (2 xyz  y 2 z  x 2 z )  xy ( x  y )  z 2 ( x  y )  z ( x  y) 2  ( x  y )( xy  z 2  zx  zy )  ( x  y )  x( y  z )  z ( y  z )   ( x  y)( y  z )( z  x). TT  3( x  y )( y  z )( z  x)   Trong ba số nguyên dương x, y, z luôn có hai số MT cùng tính chẵn lẻ, giả sử đó là x, y  ( x  y ) 2 . Vì P  3( x  y )( y  z )( z  x ) nên P 6 . Suy ra P  Câu 2 a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 2 x3  2 x 2 y  x 2  2 xy  x  10 (1). Ta có (1)  2 x 2 ( x  y)  2 x( x  y )  ( x 2  x)  10  2( x  y )( x 2  x)  ( x 2  x)  10  ( x 2  x)  2( x  y )  1  10 Nhận xét: +) 10  1.10  2.5  (1)( 10)  (2)(5) ; +) x 2  x  x( x  1) là số chẵn; 2( x  y )  1 là số lẻ; 2 1 1  +) x 2  x   x     1  x 2  x  0 . 2 4  Từ các nhận xét trên ta thấy chỉ có các trường hợp (TH) sau:  x 2  x  10 x2  x  2 hoặc   2( x  y )  1  1 2( x  y)  1  5 Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807 Trang | 2 Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên Môn: Toán học Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai  x 2  x  10 TH1  . Phương trình x 2  x  10 không có nghiệm nguyên 2( x  y )  1  1  x  1  x  1  2 x  x  2  y  2 H2     x  2     x  2 2( x  y)  1  5 x  y  3    y  5  Vậy có hai bộ số ( x; y ) thỏa mãn là: (1; 2), (2;5) . b) Giả sử 19 điểm nằm trong tam giác đều ABC cạnh bằng 3. Chia tam giác ABC thành 9 tam giác đều, có cạnh bằng 1 (gọi là tam giác nhỏ) như hình vẽ. A D E B F K I H G C 3 4 Vì có 19 điểm nằm trong 9 tam giác nhỏ nên có ít nhất 3 điểm cùng thuộc một hình tam giác nhỏ. Giả sử 3 điểm đó là I1 , I 2 , I 3 . Mỗi tam giác nhỏ có diện tích là S  Khi đó tam giác I1I 2 I 3 nằm trong một tam giác nhỏ nên SI1I 2 I3  3 . 4 Câu 3 a) Giải phương trình sau: 2 x  1  x  3  2 (1). Điều kiện: x  3. (1)  2 x  1  x  3  2 Ta có  2x  1  x  3  4 x  3  4  4 x3  x x  4 .  16( x  3)  x 2  x 2  16 x  48  0   x  12  Cả hai nghiệm trên đều thỏa mãn điều kiện. Vậy PT đã cho có hai nghiệm x  4; x  12.  2 x3  x 2 y  2 x 2  xy  6  0  (I ) b) Giải hệ phương trình:  2  x  3x  y  1  Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807 Trang | 3 Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên Môn: Toán học Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai ( x 2  x)(2 x  y)  6  Ta có ( I )   2 ( x  x)  (2 x  y )  1  ặt u  x 2  x; v  2 x  y . Hệ đã cho trở thành:  u  2  uv  6 v  3   u  v  1  u  3   v  2.  2 u  2  x  x  2 Với  . Hệ PT này vô nghiệm.  v  3 2 x  y  3  x2  x  3  x2  x  3  0 u  3 Với    v  2  2 x  y  2  y  2 x  2 .  1  13  1  13 x  x  Giải hệ này được 2 nghiệm:  . ; 2 2  y  13  1  y   13  1    1  13   1  13  Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm  ; 13  1  ;  ;  13  1 . 2 2     Câu 4 K G E C' B' A F D O M B H C       a) Ta có KEA  EAG  1800 , BAC  EAG  1800  KEA  BAC. Lại có: EK  AG  AC ; EA  AB  AEK  BAC  AK  BC. Ta có   AEK  BAC  EAK  ABC . Gọi H là giao điểm của KA và BC, ta có:     BAH  ABC  BAH  EAK  900  AH  BC . Vậy AK  BC .  ACB      ACB b) Vì KAC  KAG  900 ; BCF    900 mà KAG    KAC  BCF . Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807 Trang | 4 Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên Môn: Toán học Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai     Vì KA  BC ; AC  CF ; KAC  BCF  KAC  BCF  CKH  FBC. Ta lại có     CKH  KCH  900  FBC  KCH  900  BF  KC (1) . Tương tự ta có KB  CD (2) . Từ (1)(2) suy ra M là trực tâm KBC , suy ra M  KH . Vậy A, K, M thẳng hàng. c) Dựng hình vuông BCC ' B ' trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa cung lớn BC , suy ra B ' C ' cố định. Ta có AKB’B là hình bình hành (vì BB ', KA cùng vuông góc BC suy ra BB '  KA ;   BB '  KA  BC ). Do đó B ' K  BA  B ' KA  BAH Tương tự ta có AKC ' C là hình bình hành   AKC    suy ra KC '  AC  '  HAC Suy ra B ' KC '  B ' KA  '  BAH  HAC  BAC Vì khi A AKC  thay đổi trên cung lớn BC của đường tròn (O; R) thì K luôn nhìn đoạn B ' C ' cố định dưới  một góc không đổi   BAC . Do đó K thuộc quỹ tích cung chứa góc  dựng trên đoạn B ' C ' cố định. Câu 5: Đặt 2x+y=a; 2y+x=b a,b >0 thì ab 8  a3  1  1 b3  1  1 4 a  b a  1  a2  a  1 a2  2 a2 Ta có a 3  1  (a  1)(a 2  a  1)    a3  1  1  2 2 2 2 2 b 1 b  b 1 b  2 b2 3 2 3 Tương tự b  1  (b  1)(b  b  1)    b 1 1 2 2 2 4 1 1 8 2 2 Mặt khác      ab a b ab a b 2 P  2  Vậy P 4 4 ab 2 2  4 4 4 ab 2 2   4  ab 2 2  2      2  1   2  1    2     2Q 2 a b 4 a b a a b 4 a b  b  4 a b PQ  2 2 ab 2 2 ab    2  33 . .  2  1 a b 4 a b 4  a  1  a 2  a  1  2 b  1  b  b  1 4 4 2 Min( P)  1   2  2  1 a b 2 x  y  a 3 b  2 2 ab a  b  4  a  b Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807 Trang | 5