Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên môn Toán năm 2010-2011 - Sở GD&ĐT TP. Hồ Chí Minh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH<br /> <br /> KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10<br /> TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN<br /> NĂM HỌC 2010-2011<br /> KHÓA NGÀY 21/06/2010<br /> Môn thi: TOÁN ( chuyên)<br /> Thời gian làm bài : 150 phút<br /> (không kể thời gian giao đề)<br /> <br /> ĐỀ CHÌNH THỨC<br /> <br /> Câu 1: (4 điểm)<br />  1<br />  x +1 + y = 1<br /> <br /> 1) Giải hệ phương trình <br />  2 + 5y = 3<br />  x +1<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2) Giải phương trình :  2x2 - x  + 2x2 - x -12 = 0<br /> Câu 2: ( 3 điểm)<br /> Cho phương trình x2 – 2 ( 2m + 1) x + 4 m2 + 4 m – 3 = 0 ( x là ẩn số )<br /> Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2  x1  x2  thỏa<br /> x1 = 2 x2<br /> <br /> Câu 3: (2 điểm )<br /> Thu gọn biểu thức: A=<br /> <br /> 7+ 5 + 7- 5<br /> <br /> - 3- 2 2<br /> <br /> 7 + 2 11<br /> <br /> Câu 4: ( 4 điểm )<br /> Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O).Gọi P là điểm chính<br /> giữa của cung nhỏ AC.Hai đường thẳng AP và BC cắt nhau tại M.Chứng<br /> minh rằng :<br /> a) ABP = AMB<br /> b)MA.MP =BA.BM<br /> Câu 5 : ( 3 điểm )<br /> a) Cho phương trình 2x2 + mx + 2n+ 8 = 0 ( x là ẩn số và m, n là các số nguyên).Giả sử<br /> phương trình có các nghiệm đều là số nguyên. Chứng minh rằng m2 + n2 là hợp số<br /> b) Cho hai số dương a,b thỏa a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102 .Tính<br /> P= a2010 + b2010<br /> Câu 6 : ( 2 điểm )<br /> Cho tam giác OAB vuông cân tại O với OA=OB =2a.Gọi (O) là đường<br /> tròn tâm O bán kính a.Tìm điểm M thuộc (O) sao cho MA+2MB đạt giá trị<br /> nhỏ nhất<br /> Câu 7: ( 2 điểm)<br /> Cho a , b là các số dương thỏa a2 + 2b2  3c2 .Chứng minh<br /> <br /> 1 2 3<br /> + <br /> a b c<br /> <br /> SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH<br /> <br /> Câu<br /> <br /> KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10<br /> TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN<br /> NĂM HỌC 2010-2011<br /> KHÓA NGÀY 21/06/2010<br /> Môn thi: TOÁN ( chuyên)<br /> <br /> Hướng dẫn chấm<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> Câu:1: ( 4 điểm<br /> Câu 1<br /> <br />  1<br />  x +1 + y = 1<br /> <br /> 1) Giải hệ phương trình <br />  2 + 5y = 3<br />  x +1<br /> <br />  2<br />  1<br />  x +1  2y = 2 3y = 1<br />  x +1 + y = 1<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />  2<br /> + 5y = 3<br />  2 + 5y = 3<br />  2 + 5y = 3 <br />  x +1<br />  x +1<br />  x +1<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> x = 2<br /> <br /> <br /> <br /> y = 1<br /> <br /> <br /> 3<br /> <br /> 0,5 x4 đ<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2) Giải phương trình :  2x2 - x  + 2x2 - x -12 = 0<br /> Đặt t  2x 2  x , pt trở thành:<br /> t2 + t - 12 = 0  t=3 hay t=-4<br /> ( 4 đ)<br /> <br /> Câu 2<br /> <br /> t =3 => 2x 2  x  3  x  1 hay x <br /> <br /> 3<br /> 2<br /> <br /> t= -4 => 2 x2  x  4 ( vô nghiệm)<br /> Vậy pt có hai nghiệm là x =- 1 , x =3/2<br /> Câu 2 : (3 điểm )<br /> Cho phương trình x2 – 2 ( 2m + 1) x + 4 m2 + 4 m – 3 = 0 ( x là ẩn<br /> số ) (*)<br /> Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2  x1  x2 <br /> <br /> 0,5 đ<br /> 0,5 đ<br /> 0,5 đ<br /> 0,5 đ<br /> <br /> thỏa x1 = 2 x2<br /> 2<br /> <br /> ’=  2m  1   4m2  4m  3  4  0 , với mọi 1<br /> Vậy (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m<br /> x1 =2m-1 ; x2 =2m+3<br /> <br /> 0,5 đ<br /> 0.5 đ<br /> <br /> x1 = 2 x2  2m  1  2 2m  3<br /> <br /> (3 đ)<br /> <br /> 7<br /> <br />  2m  1  2  2m  3<br /> m   2<br /> <br /> <br /> m   5<br />  2m  1  2  2m  3<br /> <br /> <br /> <br /> 6<br /> <br /> 0,5 đ<br /> 1,5 đ<br /> <br /> Câu 3<br /> ( 2 đ)<br /> <br /> Câu 3 : ( 2 điểm)<br /> Thu gọn biểu thức: A=<br /> <br /> 7+ 5 + 7- 5<br /> <br /> - 3- 2 2<br /> <br /> 7 + 2 11<br /> <br /> Xét M =<br /> <br /> 7+ 5 + 7- 5<br /> 7 + 2 11<br /> <br /> Ta có M > 0 và M 2 <br /> <br /> 1đ<br /> <br /> 14  2 44<br />  2 , suy ra M = 2<br /> 7  2 11<br /> <br /> A= 2 -( 2 -1)=1<br /> Câu 4<br /> <br /> ( 4 đ)<br /> <br /> 1đ<br /> <br /> Câu 4 : ( 4 điểm)<br /> Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O).Gọi P là điểm<br /> chính giữa của cung nhỏ AC.Hai đường thẳng AP và BC cắt nhau<br /> tại M.Chứng minh rằng :<br /> a) ABP = AMB<br /> b)MA.MP =BA.BM<br /> A<br /> x<br /> P<br /> =<br /> <br /> =<br /> O<br /> <br /> x<br /> M<br /> <br /> B<br /> <br /> C<br /> <br /> 1<br /> 2<br /> <br /> 1<br /> 2<br /> <br /> a) AMB  ( s đ AB  s đ PC ) = ( s đ AC  s đ PC )=<br /> <br /> 1<br /> sđ<br /> 2<br /> <br /> 2đ<br /> <br /> AP = ABP<br /> <br /> b) PA  PC  CAP  ABP  AMB  CM  AC  AB<br /> MAC<br /> MBP (g-g)<br /> <br /> <br /> Câu 5<br /> <br /> MA MC<br /> <br />  MA.MP  MB.MC  MB. AB<br /> MB MP<br /> <br /> Câu 5: ( 3 điểm)<br /> a)Cho phương trình 2x2 + mx + 2n+ 8 = 0 ( x là ẩn số và m, n là các số<br /> nguyên).Giả sử phương trình có các nghiệm đều là số nguyên. Chứng<br /> minh rằng m2 + n2 là hợp số<br /> <br /> 1đ<br /> <br /> 1đ<br /> <br /> Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình  x1  x2  <br /> 2<br /> <br /> ( 3 đ)<br /> <br /> m<br /> , x1.x2  n  4<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 0,5 đ<br /> 0,5 đ<br /> <br /> 2<br /> 2 2<br /> 2 2<br /> m2 + n2 =  2 x1  2 x2    x1 x2  4  4x1  4 x2 x1  x2 x1  16<br /> 2<br /> 2<br /> =  x1  4 .  x2  4<br /> 2<br /> 2<br /> x1  4, x2  4 là các số nguyên lớn hơn 1 nên m2 + n2 là hợp số<br /> <br /> 100<br /> <br /> 100<br /> <br /> 101<br /> <br /> 101<br /> <br /> 102<br /> <br /> 0,5 đ<br /> <br /> 102<br /> <br /> b)Cho hai số dương a,b thỏa a + b = a + b = a + b .Tính<br /> P= a2010 + b2010<br /> Ta có 0  a100 + b100   a101  b101   a101  b101   a100 + b100 <br />  a100 1 a  b100 1 b  a101 1  a  b101 1 b<br />  a=b=1<br />  P= a2010 + b2010 =2<br /> <br /> Câu 6<br /> <br /> 1đ<br /> 0,5 đ<br /> <br /> Câu 6: ( 2 điểm)<br /> Cho tam giác OAB vuông cân tại O với OA=OB =2a.Gọi (O) là<br /> đường tròn tâm O bán kính a.Tìm điểm M thuộc (O) sao cho<br /> MA+2MB đạt giá trị nhỏ nhất<br /> <br /> ( 2 đ)<br /> <br /> Đường thẳng OA cắt (O) tại C và D, với C là trung điểm của OA.Gọi E<br /> là trung điểm của OC<br /> *Trường hợp M không trùng với C vá D<br /> Hai tam giác OEM và OMA đồng dạng ( do<br /> OM 1 OE<br />  <br /> )<br /> OA 2 OM<br /> ME OM 1<br /> <br /> <br />   MA  2.EM<br /> AM OA 2<br /> MOE  AOM ,<br /> <br /> * Trường hợp M trùng với C : MA=CA=2.EC=2.EM<br /> * Trường hợp M trùng với D: MA=DA=2.ED=2.EM<br /> Vậy ta luôn có MA=2.EM<br /> <br /> 1đ<br /> <br /> 0,5 đ<br /> <br /> Câu 7<br /> <br /> ( 2 đ)<br /> <br /> MA+2.MB=2(EM+MB)  2.EB = hằng số<br /> Dấu “=” xảy ra khi M là giao điểm của đoạn BE với đường tròn (O)<br /> Vậy MA +2.MB nhỏ nhất khi M là giao điểm của đoạn BE với đường<br /> tròn (O)<br /> Câu 7 : ( 2 điểm)<br /> Cho a , b là các số dương thỏa a2 + 2b2  3 c2 .Chứng minh<br /> 1 2 3<br /> + <br /> a b c<br /> 1 2<br /> 9<br /> Ta có:  <br /> 1   a  2b b  2a  9ab<br /> a b a  2b<br />  2a2  4ab  2b2  0  2  a  b  0 ( đúng)<br /> <br /> 0,5 đ<br /> <br /> 0,5 đ<br /> <br /> 2<br /> <br /> a+2b  3 a2  2b2 <br /> <br />  2   a  2b  3 a2  2b2 <br /> 2<br />  2a2  4ab  2b2  0  2  a  b  0 ( đúng)<br /> <br /> 0,5 đ<br /> <br /> Từ (1) và (2) suy ra<br /> 1 2<br /> 9<br /> 9<br /> 3<br />  <br /> <br />  ( do a2  2b2  3c2 )<br /> a b a  2b<br /> c<br /> 3 a2  2b2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 1đ<br /> <br />