S GIÁO D C VÀ ĐÀO T OỞ Ụ Ạ KỲ THI TUY N SINH L P 10 THPT Ể Ớ
HÀ N IỘNăm hoc: 2011 – 2012
Đ CHÍNH TH CỀ Ứ MÔN: TOÁN
Th i gian làm bài: 120 phút ờ
Bài I (2,5 đi m)ể
Cho
x 10 x 5
Ax 25
x 5 x 5
= − −
−
− +
, v i x ớ≥ 0 và x ≠ 25.
1) Rút g n bi u th c A.ọ ể ứ
2) Tìm giá tr c a A khi x = 9. ị ủ
3) Tìm x đ A < ể
1
3
.
Bài II (2,5 đi m)ể
Gi i bài toán sau b ng cách l p ph ng trình ho c h ph ng trìnhả ằ ậ ươ ặ ệ ươ :
M t đ i xe theo k ho ch ch h t 140 t n hàng trong m t s ngày quy đ nh.ộ ộ ế ạ ở ế ấ ộ ố ị
Do m i ngày đ i đó ch v t m c 5 t n nên đ i đã hoàn thành k ho ch s m h n th iỗ ộ ở ượ ứ ấ ộ ế ạ ớ ơ ờ
gian quy đ nh 1 ngày và ch thêm đ c 10 t n. H i theo k ho ch đ i xe ch hàng h tị ở ượ ấ ỏ ế ạ ộ ở ế
bao nhiêu ngày?
Bài III (1,0 đi m)ể
Cho parabol (P) : y = x2 và đ ng th ng (d) : y = 2x – mườ ẳ 2 + 9.
1) Tìm t a đ các giao đi m c a parabol (P) và đ ng th ng (d) khi m = 1.ọ ộ ể ủ ườ ẳ
2) Tìm m đ đ ng th ng (d) c t parabol (P) t i hai đi m n m v hai phía c aể ườ ẳ ắ ạ ể ằ ề ủ
tr c tung.ụ
Bài IV (3,5 đi m)ể
Cho đ ng tròn tâm O, đ ng kính AB = 2R. G i dườ ườ ọ 1 và d2 l n l t là hai ti pầ ượ ế
tuy n c a đ ng tròn (O) t i hai đi m A và B. G i I là trung đi m c a OA và E làế ủ ườ ạ ể ọ ể ủ
đi m thu c đ ng tròn (O) (E không trùng v i A và B). Đ ng th ng d đi qua đi m Eể ộ ườ ớ ườ ẳ ể
và vuông góc v i EI c t hai đ ng th ng dớ ắ ườ ẳ 1, d2 l n l t t i M, N.ầ ượ ạ
1) Ch ng minh AMEI là t giác n i ti p.ứ ứ ộ ế
2) Ch ng minh ứ
ﾷ
ﾷ
ENI EBI=
và
ﾷ
MIN
= 900.
3) Ch ng minh AM.BN = AI.BI.ứ
4) G i F là đi m chính gi a c a cung AB không ch a E c a đ ng tròn (O).ọ ể ữ ủ ứ ủ ườ
Hãy tính di n tích c a tam giác MIN theo R khi ba đi m E, I, F th ng hàng.ệ ủ ể ẳ
Bài V (0,5 đi m)ể
V i x > 0, tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: M = ớ ị ỏ ấ ủ ể ứ
2
1
4x 3x 2011
4x
− + +
.
BÀI GI IẢ
Bai I: (2,5 đi m) ể V i x ≥ 0 và x ớ
25 ta có :
1)
x 10 x 5
Ax 25
x 5 x 5
= − −
−
− +
=
( 5) 10 5( 5)
25 25 25
x x x x
x x x
+ −
− −
− − −
=
5 10 5 25
25 25 25
x x x x
x x x
+ −
− −
− − −
=
10 25
25
x x
x
− +
−
=
=
5
5
x
x
−
+
2) x = 9 ⇒ A =
9 5 1
4
9 5
−= −
+
3) A <
1
3
⇔
5
5
x
x
−
+
<
1
3
⇔
3 15 5x x− < +
⇔
2 20x<
⇔
10x<
⇔
0 100x
<
Bai II: (2,5 đi m) ể
Cách 1: G i x (ngày) (x ọ∈ N*) là s ngày theo k ho ch đ i xe ch h t hàngố ế ạ ộ ở ế
Theo đ bài ta có: ề
140 5 ( 1) 140 10x
x
� �
+ − = +
� �
� �
⇔ 140x + 5x2 –
140
x
- 5 = 150 ⇔ 5x2 – 15x – 140 = 0 ⇔ x = 7 hay x = -4 (lo i)ạ
V y đ i xe ch h t hàng theo k ho ch trong 7 ngày.ậ ộ ở ế ế ạ
Cách 2: G i a (t n) (a ọ ấ ≥ 0): s t n hàng m i ngày, ố ấ ỗ
b (ngày) (b ∈ N*) : s ngàyố
Theo đ bài ta có : ề
. 140
( 5)( 1) 140 10
a b
a b
=
+ − = +
⇔
. 140
5 15
a b
b a
=
− =
⇒ 5b2 – 15b = 140
⇔ b = 7 hay b = -4 (lo i). V y đ i xe ch h t hàng theo k ho ch trong 7ạ ậ ộ ở ế ế ạ
ngày.
Bai III: (1,0 đi m) ể
1) Ph ng trình hoành đ giao đi m c a (P) và (d) khi m = 1 là:ươ ộ ể ủ
x2 = 2x + 8 ⇔ x2 – 2x + 8 = 0 ⇔ (x + 2) (x – 4) = 0 ⇔ x = -2 hay x = 4
y(-2) = 4, y(4) = 16
V y t a đ giao đi m c a (P) và (d) khi m = 2 là : (-2; 4) và (4; 16).ậ ọ ộ ể ủ
2) Ph ng trình hoành đ giao đi m c a (P) và (d) là: xươ ộ ể ủ 2 = 2x – m2 + 9
⇔ x2 – 2x + m2 – 9 = 0 (1)
Ycbt ⇔ (1) có 2 nghi m phân bi t trái d u ệ ệ ấ ⇔ a.c = m2 – 9 < 0 ⇔ m2 < 9
⇔ m < 3 ⇔ -3 < m < 3.
Bai IV: (3,5 đi m) ể
1) Xét t giác MAIE có 2 góc vuông là góc A, và góc E (đ i nhau)ừ ố
nên chúng n i ti p trong đ ng tròn đ ng kính MI.ộ ế ườ ườ
2) T ng t ta có t giác ENBI n i ti p đ ng tròn đ ngươ ự ứ ộ ế ườ ườ
kính IN. V y góc ENI = góc EBI (vì cùng ch n cung EI)ậ ắ
T ng t góc EMI = góc EAI (vì cùng ch n cung EI)ươ ự ắ
Mà góc EAI + góc EBI = 900 (∆EAD vuông t i E)ạ
⇒góc MIN = 1800 – (góc EMI + góc ENI)
= 1800 – 900 = 900
3) Xét 2 tam giác vuông MAI và IBN
Ta có góc NIB = góc IMA (góc có c nh th ng góc)ạ ẳ
⇒ chúng đ ng d ng ồ ạ
⇒
AM AI
IB BN
=
⇔
AM.BN AI.BI
=
(1)
ME
I
AOB
F
G
N
4) G i G là đi m đ i x ng c a F qua AB. Ta có AM + BN = 2OG (2) (Vì t giácọ ể ố ứ ủ ứ
AMNB là hình thang và c nh OG là c nh trung bình c a AM và BN)ạ ạ ủ
Ta có : AI =
R
2
, BI =
3R
2
T (1) và (2) ừ⇒ AM + BN = 2R và AM.BN =
2
3R
4
V y AM, BN là nghi m c a ph ng trình Xậ ệ ủ ươ 2 – 2RX +
2
3R
4
= 0
⇒AM =
R
2
hay BN =
3R
2
. V y ta có 2 tam giác vuông cân là MAI cân t i A vàậ ạ
NBI cân t i B ạ⇒ MI =
R 2 R
22
=
và NI =
3R 2 3R
22
=
⇒ S(MIN) =
2
1 R 3R 3R
. .
2 4
2 2 =
Bai V: (0,5 đi m) ể
M =
2
1 1
4( ) 2010
2 4
x x x
− + + +
≥
1
2 . 2010 2011
4
xx+ =
khi x =
1
2
ta có M = 2011. V y giá tr nh nh t c a M là 2011.ậ ị ỏ ấ ủ
Ths. Hoàng H u Vinhữ
(Tr ng THPT Vĩnh Vi n – TP.HCM)ườ ễ