zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Điểm bất động trong không gian kiểu Metric

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Báo xấu

16
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong bài viết này, trước hết bài viết đưa ra hai bổ đề quan trong về Điểm bất động trong không gian kiểu metric, nó khái quát hóa và kéo theo nhiều kết quả khác. Thứ hai, đưa ra một số định lý về điểm bất động của ánh xạ co trên không gian kiểu metric đầy đủ. Thứ ba là chứng minh tính chất của phép lặp Picard. Các kết quả trong bài báo này được viết dựa trên tài liệu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Điểm bất động trong không gian kiểu Metric

SỐ 53/2020 KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUI Điểm bất động trong không gian kiểu Metric ThS. Nguyễn Thị Thu Hương1,* 1 Khoa Khoa học Cơ bản, Trường Đại học Công nghiệp Quảng Ninh Mobile: 0366450738; * Email: huongna2010@gmail.com Tóm tắt Từ khóa: Trong bài báo này, trước hết chúng tôi đưa ra hai bổ đề quan trong về Điểm bất Ánh xạ co; Dãy Cauchy; động trong không gian kiểu metric, nó khái quát hóa và kéo theo nhiều kết quả Điểm bất động; Không gian khác. Thứ hai, chúng tôi đưa ra một số định lý về điểm bất động của ánh xạ co trên kiểu metric;Phép lặp Picard. không gian kiểu metric đầy đủ. Thứ ba, chúng tôi chứng minh tính chất của phép lặp Picard. Các kết quả trong bài báo này được viết dựa trên tài liệu [2]. 1. Giới thiệu Hơn một thế kỉ qua, lý thuyết điểm bất động (3)  X , k, d  là không gian đầy đủ nếu mọi dãy được nhiều nhà toán học trên thế giới tìm cách cải Cauchy các phần tử trong X đều hội tụ trong nó. tiến trên các không gian trừu tượng khác nhau như: Định nghĩa 3[2]. Cho  X , k, d  là một Không gian 2- metric, không gian metric thứ tự, không gian b-metric, không gian metric nón,…. Tất không gian kiểu metric, x0  X và ánh xạ cả đều thiết lập mối liên hệ giữa phương pháp tiếp T:X  X , với F (T)  , trong đó F (T) là tập cận thuần túy và ứng dụng của nó. Đặc biệt, một số các điểm bất động của T. Khi đó, dãy lặp ứng dụng của lý thuyết điểm bất động đã được giới xn1  Txn với mọi n  N được gọi T- dừng đối thiệu để nghiên cứu và tính toán cho phương trình vi phân, phương trình tích phân…. Trong số đó, Định với T nếu lim xn  q  F (T) và nếu mỗi dãy n lý điểm bất động có tầm ảnh hưởng lớn và nổi tiếng nhất là nguyên lý ánh xạ co Banach được chứng  ynnN  X thỏa mãn lim d  yn1 ,T yn   0 n minh bởi nhà toán học Banach người Balan vào năm thì lim yn  q. 1922. Kể từ đó lý thuyết điểm bất động đã có một n bước phát triển nhanh chóng. Định nghĩa 4[2]. Cho  K ,   là một 2. Nội dung không gian metric bị chặn đầy đủ. Khi đó, điểm bất 2.1.Các định nghĩa và bổ đề động của ánh xạ T : K  K được xác định nếu Định nghĩa 1[1].Cho X là tập hợp khác rỗng và tồn tại duy nhất q  K : q  F T  và  yn  X : k  1 là một số thực cho trước. Hàm lim d  ym , Tyn   0 thì ta có lim yn  q.  n n d : X×X  được gọi là kiểu metric trên X nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: Bổ đề 1. Cho  X , k , d  là không gian 1) d  x, y   0  x  y, kiểu metric với hệ số k  1 . Giả sử dãy xn, yn  X hội tụ tới các điểm tương ứng 2) d  x, y   d  y, x  , x; y  X . Khi đó ta có: 3) d  x,z   kd  x, y   kd  y, z  , 1 d  x, y   liminfd  xn , yn   lim supd  xn , yn   k 2d  x, y  . x, y, z  X . Khi đó bộ ba  X , k , d  được gọi là k2 n n Nếu x  y thì lim d  xn , yn  = 0. không gian kiểu metric. n Định nghĩa 2[1]. Cho  X , k , d  là không Hơn nữa, với mỗi z  X ta có 1 d  x,z   liminfd  xn ,z   lim supd  xn ,z   k 2d  x,z  gian kiểu metric và xn là một dãy các phần tử k n n trong X. Khi đó: Chứng minh.Với mỗi n  1 , ta có: (1) Dãy xn được gọi là hội tụ đến x  X nếu d  x, y   k d  x, xn   d  xn , y  , d  xn , x   0 khi n   ; d  xn , y   k d  xn , yn   d  yn , y  , (2) Dãy xn  được gọi là dãy Cauchy nếu d  xn , yn   k d  xn , x   d  x, yn  , d  xm , xn   0 khi m, n   ; d  x, yn   k d  x, y   d  y, yn  . Suy ra 20 KH&CN QUI
KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUI SỐ 53/2020 1 1 d  xm , xn   kd  xm , xm1   kd  xm1, xn  d  x, y   d  x, xn   d  yn , y   d  xn , yn   kd  xm , xm1  2 k k  kd  x, xn   k 2d  y, yn   k 2d  x, y .  k 2 d  xm1 , xm2   k 2d  xm2 , xn  Cho n  ta thu được  kd  xm , xm1   k 2d  xm1 , xm2  1 d  x,y   lim infd  xn ,yn   lim supd  xn ,yn   k 2d  x,y  .  k 3d  xm2 , xm3   k 3d  xm3 , xn  k2 n n  kd  xm , xm1   k 2d  xm1 , xm2  Nếu x  y thì d ( x, y)  0. Suy ra lim d  xn , yn   0. n  k 3d  xm2 , xm3     Với mỗi z  X , ta có  k nm1d  xn2 , xn1   k nm1d  xn1 , xn  d  x, z   kd  xn , x   kd  xn , z  , n  1.  k  m d  x0 , x1   k 2 m1d  x0 , x1  Từ đó ta suy ra  k 3 m2 d  x0 , x1    1  k nm1 n2d  x0 , x1  d  x, z   d  xn , x   d  xn , z  k  k nm1 nm1d  x0 , x1   kd  xn , x   kd  x, z . 1  s  s 2 2     k  m  nm2 nm2 nm1 nm1  d  x0 , x1  Cho n  và sử dụng lim d  xn , x   0 ta thu được:  s  s   n 1 d  x, z   liminf d  xn , z   limsup d  xn , z   i  k  m   s   d  x0 , x1  k n n  i 0   kd  x, z . k m  d  x0 , x1   0  m    . Bổ đề 2. Cho  X , k , d  là không gian kiểu 1  k metric với hệ số k  1 và ánh xạ T : X  X . Giả Điều này chứng tỏ T n x0   n là dãy Cauchy. Hay sử xn  là một dãy các phần tử trong X xác định bởi xnn là dãy Cauchy. xn1  Txn sao cho d  xn ,xn+1   λd  xn-1 ,xn  , (2.1) 1  Trường hợp 2: Với    ,1 , k >1. Trong trường với mọi n  N trong đó và λ 0;1 . Khi đó  xn  là k  một dãy Cauchy. hợp này, ta có   0 khi n  , do đó tồn tại n 1 Chứng minh. Cố định x0  X và xây dựng dãy  xn  n0  sao cho  n0  . Theo Trường hợp 1, suy k bởi công thức xn1 =Txn ,n  N . Ta xét các trường T    hợp sau: ra n0 n x0 n0   xn0 , xn0 1, , xn0 n ,    1 là dãy Cauchy. Trường hợp 1: Với λ  0,  , k >1. Khi đó  k Theo (2.1), ta có: xnn0  x0 , x1, x2 , xn 1 xn , xn 1, xn 2 , xn n  0 0 0 0 0 d  xn ,xn+1   λd  xn-1 ,xn  là dãy Cauchy trong X. Trường hợp 3: Với k  1 . Chứng minh tương tự  λ 2 d  xn-2 ,xn-1  như Trường hợp 1, ta cũng có xnn là dãy ... Cauchy.  λ d  x0 ,x1  . n 2.2. Định lý Định lý 1. Cho  X, k, d  là không gian kiểu d  xn ,xn+1   λd  xn-1 ,xn  metric đầy đủ với hệ số k  1 và ánh xạ T : X  X  λ 2 d  xn-2 ,xn-1  thỏa mãn điều kiện d  x, Tx  d  y, Ty  ... d Tx, Ty   1d  x, y   2 1  d  x, y   λ n d  x0 ,x1  . d  x, Ty  d  y, Tx  d  x, Tx  d  x, Ty   3  4 Do đó, với mọi n,m  N và n  m ta có: 1  d  x, y  1  d  x, y  d  y, Ty  d  y, Tx   5 ,  2.2  1  d  x, y  trong đó 1, 2 , 3 , 4 và 5 là các hằng số không âm KH&CN QUI 21
SỐ 53/2020 KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUI và thỏa mãn 1  2  3  k4  k5  1 . Khi đó, T 1  2  k5  d  xn , xn1    1  k5  d  xn1, xn   2.4 có điểm bất động duy nhất x  X . Hơn nữa, với * Từ (2.3) và (2.4) ta có   mỗi x  X , dãy lặp T n x hội tụ về x*  X . d  xn , xn1   21  k4  k5 d  xn1, xn  2  22  k4  k5 Chứng minh.Chọn x0  X và xây dựng dãy lặp 21  k4  k5  xn  bởi công thức xn1  Txn  n  . Nếu tồn tại Đặt   . 2  22  k4  k5 n0  sao cho xn0  xn0 1 thì xn0  xn0 1  Txn0 , hay Vì 1  2  3  k4  k5  1 nên 0    1. Theo xn0 gọi là điểm bất động của T. Không mất tính tổng Bổ đề 2,  xn  là dãy Cauchy trong X. Hơn nữa quát, ta giả sử rằng xn  xn1, n  . Theo giả thiết ta có  X, k, d  là đầy đủ nên tồn tại x  X sao cho lim xn  x . (2.5) n d  xn , xn1   Txn1 , Txn  Tiếp theo, ta chỉ ra rằng x là điểm bất động của T. d  xn1 , Txn1  d  xn ,Txn   1d  xn1 , xn   2 Thật vậy 1  d  xn1 , xn  d  xn ,T x   d Txn , Tx  d  xn1 , Txn  d  xn ,Txn1  d  xn1 ,Txn1  d  xn1,Txn  d  xn , Txn  d  x , Tx  3  4 1  d  xn1 , xn  1  d  xn1, xn   1d  xn , x   2 1  d  xn , x  d  xn , Txn  d  xn ,Txn1   5 d  xn , Tx  d  x , Txn  d  xn , Txn  d  xn , Tx  1  d  xn1 , xn  3  4 1  d  xn , x   1  d  xn , x  d  xn1 , xn  d  xn , xn1   1d  xn1 , xn   2 d  x , Tx  d  x , Txn  1  d  xn1 , xn  5 1  d  xn , x  d  xn1 , xn1  d  xn , xn  d  xn1 , xn  d  xn1 , xn1   3  4 d  xn , xn1  d  x , Tx  1  d  xn1 , xn  1  d  xn1, xn   1d  xn , x   2 1  d  xn , x  d  xn , xn1  d  xn , xn  + d  xn , Tx  d  x , xn1  d  xn , xn1  d  xn ,T x  5 1  d  xn1 , xn  3  4 1  d  xn , x   1  d  xn , x   1d  xn1 , xn   2d  xn , xn1   k 4 d  xn1 , xn   d  xn , xn1  . d  x ,T x  d  x , xn1  5 1  d  xn , x  Điều này chứng tỏ rằng 1  2  k4  d  xn , xn1    1  k4  d  xn1, xn   2.3 Cho n  ta thu được lim d x ,Tx  0. n n1   Từ (2.2) ta có Từ đó suy ra lim x  Tx*. (2.6) . n n1 d  xn , xn1   d Txn ,Txn1   Từ (2.5) và (2.6) ta có Tx  x hay x là bất động d  xn , Txn  d  xn1 , Txn1  của T. Cuối cùng, chúng ta chỉ ra tính duy nhất của  1d  xn , xn1   2 điểm bất động. Thật vậy, gia sử có một điểm bất 1  d  xn , xn1  động y của T sao cho y  x , theo giả thiết ta có: * d  xn , Txn1  d  xn1 , Txn  d  xn ,Txn  d  xn ,Txn1  3 1  d  xn , xn1   4 1  d  xn , xn1  d  x , y   d Tx , Ty  d  xn1 , Txn1  d  xn1 , Txn  d  x , Tx  d  y , Ty  5  1d  x , y   2 1  d  xn , xn1  1  d  x , y   d  xn , xn1  d  xn1 , xn   1d  xn , xn1   2 d  x , Ty  d  y  , Tx  d  x ,Tx  d  x ,Ty   1  d  xn , xn1  3  4 1  d  x , y   1  d  x , y   d  xn , xn  d  xn1 , xn1  d  xn , xn1  d  xn , xn  3  4 1  d  xn , xn1  1  d  xn , xn1  d  y , Ty  d  y ,Tx  d  xn1 , xn  d  xn1 , xn1  5 5 1  d  xn , xn1  1  d  x , y    1d  xn1 , xn   2d  xn , xn1   k 5 d  xn1 , xn   d  xn , xn1  . d  x , y   d  x  , y    1d  x , y   3 1  d  xn , x    1  3  d  x , y  . Kéo theo 22 KH&CN QUI
KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUI SỐ 53/2020 Do 1  2  3  k4  k5  1 nên 1  3  1. d Tyn , x   d  T x ,T yn   Từ đó suy ra d x , y  0 hay x  y.  d  x , Tx  d  yn ,Tyn   1d  x , yn   2  Hệ quả 1. Cho  X , d  là không gian metric 1  d  x , yn  đầy đủ và ánh xạ T : X  X thỏa mãn điều kiện d  x , Tyn  d  yn ,Tx  d  x ,Tx  d  x ,Tyn  d  x, Tx  d  y, Ty  3  4 d Tx, Ty   1d  x, y   2 1  d  x , yn  1  d  x  , yn  1  d  x, y  d  yn , Tyn  d  yn ,Tx  d  x, Ty  d  y,Tx  d  x,Tx  d  x,Ty  5 3  4 1  d  x , yn  1  d  x, y  1  d  x, y  d  y, Ty  d  y, Tx   1d  x , yn   3d  x , Tyn   5d  yn ,Tyn  5   1  k 5  d  yn , x    3  k 5  d  x ,Tyn  . , 1  d  x, y  trong đó 1, 2 , 3 , 4 và 5 là các hằng số không âm Điều này kéo theo và 1  2  3  4  5  1 .Khi đó, T có duy nhất 1  3  k5  d  x ,Tyn    1  k5  d  yn , x .  2.8 T điểm bất động trong X. Hơn nữa, với mỗi x  X , ừ (2.7) và (2.8) suy ra   dãy lặp T n x  n  hội tụ về điểm cố định. 21  k4  k5 d  x , Tyn   d  yn , x . (2.9) Chứng minh: Hệ quả này suy ra từ Định lý 1 bằng 2  23  k4  k5 cách chọn k  1. k  21  k 4  k 5  Đặt h  . Định lý 2. Giả sử các điều kiện của Định lý 1 2  23  k 4  k 5 được thỏa mãn.   Nếu 2k 1  23  k  k 2  4  5   2 thì dãy   Vì 2k1  23  k  k 2 4  5   2 nên 0  h  1 . xn1  Txn  n   là T- dừng.   Đặt an  d yn , x , cn  kd  yn1,Tyn  . Chứng minh. Theo Định lý 1, ánh xạ T có điểm bất Từ (2.9), ta có : động duy nhất x  X . Giả sử  yn  là một dãy trong an1  d  yn1, x   kd  yn1,Tyn   kd Tyn , x   han  cn . X sao cho d  yn1 , Tyn   0 khi n  .Từ (2.2), ta Áp dụng Bổ đề 1, suy ra có an1  d  yn , x   0  n    . d Tyn , x   d Tyn ,T x    Điều này có nghĩa là yn  x  n    d  yn , Tyn  d  x , Tx   1d  yn , x   2 .Vậy dãy lặp xn1  Txn là T-dừng. 1  d  yn , x  Hệ quả 2. Giả sử các giả thiết của Hệ quả 1 d  yn , Tx  d  x , Tyn    d  yn , Tyn  d  yn ,Tx   được thỏa mãn. Khi đó dãy lặp xn1  Txn là T- 3  4 1  d  yn , x   1  d  yn , x   dừng. k  1 . Khi đó d  x , Tx  d  x , Tyn     Chứng minh. Trong Định lý 2 cho 5 2k1  23  (k  k )(4  5 )  2, 1  d  yn , x  2 kéo theo 1  3  4  5  1.  1d  yn , x   3d  x , Tyn   4 d  yn , Tyn  Theo Định lý 1 ta có điều phải chứng minh.   1  k 4  d  yn , x    3  k 4  d  x , Tyn  . Định lý 3. Cho  X, k, d  là không gian kiểu Điều này chứng tỏ metric với hệ số k  1 và ánh xạ T : X  X thỏa mãn điều kiện F T    và d Tx,T 2 x   d  x,Tx  2.10 1  3  k4  d  x ,Tyn    1  k4  d  yn , x   2.7  Mặt khác, ta có với x  X ,0    1 là một hằng số. Khi đó ánh xạ T có thuộc tính (P). Chứng minh. Hiển nhiên, khẳng định trên luôn đúng với n  1. KH&CN QUI 23
SỐ 53/2020 KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUI   Với n  1 , lấy z  F T n . Theo giả thiết, ta có 1  2  k5  d Tx,T 2 x    1  k5  d  x,Tx .  2.12  d  z, Tz   d TT n1z, T 2T n1z  Từ (2.11) và (2.12), ta có  2  22  k4  k5  d Tx,T 2 x    21  k4  k5  d  x,T x .    d T n1z, T n z  Do đó 21  k4  k5 d Tx,T 2 x   d  x,Tx  .   d TT n2 z, T 2T n2 z  2  22  k4  k5 21  k4  k5   2d T n2 z, T n1z  Đặt   2  22  k4  k5 .  Do 1  2  3  k4  k5  1 nên   1 . Khi đó   nd  z, Tz   0  n  . ánh xạ T thỏa mãn (2.10). Vậy ánh xạ T có tính chất (P). Do đó d  z, Tz   0 vậy Tz  z hay ánh xạ T có tính Hệ quả 3.Giả sử các điều kiện trong Hệ quả 1 chất (P). được thỏa mãn. Khi đó ánh xạ T có tính chất (P). Định lý 4. Giả sử các điều kiện của Định lý 1 được thỏa mãn. Khi đó ánh xạ T có tính chất P. Chứng minh.Vì Hệ quả 1 là trường hợp đặc biệt của Chứng minh. Ta chứng minh ánh xạ T thỏa mãn Định lý 1 và theo Định lý 4, ta có điều phải chứng (2.10).Thật vậy, với mỗi x  X ta có minh.   d Tx,T2 x  d  T x,TT x  3. Kết luận d  x, Tx  d  T x,TT x  Trong bài báo này chúng tôi trình bày lại một  1d  x,T x   2 1  d  x,T x  cách cụ thế khái niệm và một số kết quả trong không gian kiểu metric. Các kết quả này có một số ứng d  x,TT x  d Tx,T x  d  x,Tx  d  x,T Tx  dụng vào phương trình vi phân. Vì khuôn khổ bài 3  4 1  d  x,T x  1  d  x,T x  báo không cho phép nên việc ứng dụng chưa được d Tx,TTx  d Tx,Tx  trình bày. 5 1  d  x,T x  TÀI LIỆU THAM KHẢO  1d  x,T x   3d Tx, T 2 x   4d  x, T 2 x  [1]. S. Czerwik, (1993) “Contraction mappings in b-metric spaces”. Acta Math.   1  k 4  d  x,T x    2  k 4  d Tx, T 2 x  . Inform.Univ. Ostrav. 1, pp. 5–11. [2]. Huang, H., Radenovic, S., Deng, G. (2018), Điều này chứng tỏ   "Fixed point theorems in b- metric space with 1  2  k4  d Tx,T x   1  k4  d  x,Tx   2.11. 2 applications to differential equations."J. Fixed Point Mặt khác, ta có Theory Appl., doi.org/10.1007/s11784-018-0491-z.   d Tx, T 2 x  d Tx,TTx  d Tx, TTx  d  x, Tx   1d Tx, x   2 1  d Tx, x  d Tx, Tx  d  x,TTx  d Tx,TTx  d Tx,Tx  3  4 1  d Tx, x  1  d Tx, x  d  x, Tx  d  x,TTx  5 1  d Tx, x   1d Tx, x   3d Tx, T 2 x   5d  x,T 2 x    1  k5  d Tx, x    2  k5  d Tx,T 2 x  . Từ đó suy ra 24 KH&CN QUI

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.