Định lí điểm bất động cho dạng phi φ- co yếu suy rộng trong không gian kiểu mêtric

Chia sẻ: Bautroibinhyen17 Bautroibinhyen17 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

75
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong bài báo này, chúng tôi thiết lập và chứng minh một định lí điểm bất động cho dạng φ-co yếu suy rộng trong không gian kiểu-mêtric. Kết quả này là mở rộng kết quả chính của (Zhang & Song, 2009) sang không gian kiểu-mêtric.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Định lí điểm bất động cho dạng phi φ- co yếu suy rộng trong không gian kiểu mêtric

Journal of Science – 2014, Vol. 4 (3), 27 – 32 An Giang University ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO DẠNG   CO YẾU SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN KIỂU-MÊTRIC Nguyễn Văn Dũng1, Nguyễn Chí Tâm 2 1 TS. Khoa Sư phạm Toán-Tin, Trường Đại học Đồng Tháp ThS. Khoa Sư phạm Toán-Tin, Trường Đại học Đồng Tháp 2 Thông tin chung: Ngày nhận bài: 25/02/14 Ngày nhận kết quả bình duyệt: 29/04/14 Ngày chấp nhận đăng: 22/10/14 ABSTRACT Title: Fixed point theorems for generalized  - weak contractions mappings in metric-type spaces Trong bài báo này, chúng tôi thiết lập và chứng minh một định lí điểm bất động cho dạng -co yếu suy rộng trong không gian kiểu-mêtric. Kết quả này là mở rộng kết quả chính của (Zhang & Song, 2009) sang không gian kiểu-mêtric. In this paper, we state and prove a fixed point theorem for generalized - weak contractions mappings in metric-type spaces. This result generalizes the main result of (Zhang & Song, 2009) to the setting of metric-type spaces. TÓM TẮT Từ khóa: Điểm bất động, kiểu-mêtric, ánh xạ -co yếu suy rộng Keywords: Fixed point, metric-type, weak contractions - là một số thực và D : X X [0, hàm thoả mãn các điều kiện sau. 1. GIỚI THIỆU Định lí điểm bất động của Banach đối với ánh xạ co trên không gian mêtric đầy đủ là một kết quả nổi bật trong Giải tích, được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu và mở rộng cho nhiều ánh xạ trên nhiều không gian khác nhau (Agarwal, Meehan & O’Regan, 2004). Năm 2009, Zhang và Song (2009), các tác giả đã mở rộng ánh xạ co thành dạng -co yếu suy rộng trong không gian mêtric và đã chứng minh định lí điểm bất động cho dạng -co yếu này. (1) D(x, y) 0 khi và chỉ khi x y . D(y, x ) với mọi x, y X . (2) D(x, y) (3) D(x, z ) K[D(x, y1 ) D(y1, y2 ) với mọi x, y1, y2,..., yn , z ... D(yn , z )] X. Khi đó, D được gọi là một kiểu-mêtric trên X và (X, D, K ) được gọi là một không gian kiểu- Gần đây, Khamsi (2010) đã giới thiệu một khái niệm mêtric suy rộng mới gọi là kiểu-mêtric như sau. Định nghĩa 1.1 Cho X là tập khác rỗng, K ) là một mêtric. Ta có (X , d ) là một không gian mêtric khi chỉ khi (X , d,1) là một không gian kiểumêtric. 1 Chú ý 1.2. Nguyễn Trung Hiếu và Võ Thị Lệ 27 Journal of Science – 2014, Vol. 4 (3), 27 – 32 An Giang University Hằng (2013) đã chứng tỏ rằng kiểu-mêtric như Định nghĩa 1.1 là ánh xạ không liên tục (Nguyễn Trung Hiếu & Võ Thị Lệ Hằng, 2013, Example 2.1). Bên cạnh đó, Jovanovic, Kadelburg và Radenovic (2010) đã xét một không gian kiểu mêtric khác, trong đó điều kiện (3) của Định nghĩa 1.1 được thay bởi điều kiện sau (3’) D(x, z ) K[D(x, y) D(y, z )] với mọi Trong bài báo này, chúng tôi mở rộng định lí điểm bất động cho ánh xạ -co yếu trên không gian mêtric của Zhang và Song (2009) sang ánh xạ -co yếu suy rộng trong không gian kiểumêtric. Đồng thời, chúng tôi xây dựng ví dụ minh họa cho kết quả thu được. x, y, z Bổ đề 2.1. Cho (X, D, K ) là một không gian 2. KẾT QUẢ CHÍNH X. kiểu-mêtric. Nếu dãy {x n } hội tụ thì điểm giới Trong bài báo này, chúng tôi xét không gian kiểumêtric theo Định nghĩa 1.1. Một số khái niệm liên quan đến không gian kiểu-mêtric này được trích dẫn từ các bài báo của Khamsi (2010), Zhang và Song (2009). hạn của nó là duy nhất. Chứng minh. Giả sử {x n } hội tụ về x và y trong X . Khi đó với mọi n ta có Định nghĩa 1.3 Cho (X, D, K ) là một không gian kiểu-mêtric. Khi đó D(x, y) n x , nếu lim D(x n, x ) n Định lí 2.2. Cho xạ : [0, nếu mỗi dãy Cauchy trong (X, D, K ) là một dãy hội tụ. M (x, y ) x, y mọi M (x, y) ) M (x, y) , ở đây [0, max D(x, y ), D(Tx, x ), D(Sy, y ), 1 D(y,Tx ) 2K D(x, Sy ) . (1) 0 . Khi đó x  y là điểm bất động chung của T , S . Thật vậy M (x, y) 0 và M (x, y) (2) T được gọi là một ánh xạ d(x, y) với Chứng minh. Trường hợp 1: Tồn tại x, y sao cho mọi x, y  X . d(Tx,Ty) cho X là hai ánh x, y X ta có Khi đó S và T có duy nhất điểm bất động chung, nghĩa là, tồn tại duy nhất điểm u X sao cho u Tu Su. (1) T được gọi là một ánh xạ co nếu tồn tại k  (0,1) sao cho d(Tx,Ty)  kd(x, y) với : [0, ) [0, (t ) 0 với mọi t là một không gian là một không gian X là một ánh xạ. tại  X , D, K  ) là một hàm số nửa liên tục dưới, không giảm, (t ) 0 với mọi t (0, ) , (0) 0 và (3) Không gian (X, D, K ) được gọi là đầy đủ mêtric và T : X sao D(Tx, Sy) 0. Định nghĩa 1.4 Cho X , d y. kiểu-mêtric đầy đủ và T , S : X (2) Dãy {x n } được gọi là một dãy Cauchy nếu lim D(x n , x m ) 0 hay x Vậy điểm giới hạn của {x n } là duy nhất. 0 . Khi đó x được gọi là điểm giới hạn của dãy {x n } . n ,m D(x n , y) . Cho n   ta được D(x, y) (1) Dãy {x n } được gọi là hội tụ đến x  X , viết là lim x n K D(x, x n ) -co yếu nếu tồn ) sao cho 0, (0) d(x, y) 0 với D(x, y) và M (x, y), D(Tx, x ) M (x, y), nên D(x, y) D(Tx, x ) Điều này có nghĩa là mọi X. x Đồng thời, Zhang và Song (2009) đã thiết lập định lí điểm bất động cho dạng -co yếu trong không gian mêtric. y Tx Ty Sx D(Sy, y) D(Sy, y) M(x, y). 0. Sy. Trường hợp 2: Với mọi x, y ta có M (x, y ) 28 0. Journal of Science – 2014, Vol. 4 (3), 27 – 32 Bước 1: Xây dựng dãy lặp lim D(x n , x n 1 ) n Lấy x 0 x1 xn An Giang University Tiếp tục quá trình này ta chọn được xn  X sao thỏa mãn x 2n 2 Tx 2n 1, x 2n n 0. Giả sử n lẻ, từ (1) ta có cho 0. X đặt Sx 0, x 2 Tx1, x 3 D (Tx n , Sx n 1 ) Sx 2 , x 4 1 Sx 2n với mọi Tx 3 ,... D(x n 1, x n ) M (x n , x n 1 ) M (x n , x n 1 ) M (x n , x n 1 ) 1 D(x n 1, x n 1 ) D(x n , x n ) 2K 1 max D(x n , x n 1 ), D(x n 1, x n ), D(x n , x n 1 ), K D(x n 1, x n ) D(x n , x n 1 ) 2K = max D(x n 1, x n ), D(x n , x n 1 ) . max D(x n , x n 1 ), D(x n 1, x n ), D(x n , x n 1 ), Nếu tồn tại n lẻ sao cho max D(xn 1, xn ), D(xn , xn 1 ) thì M (xn , xn 1 ) D(xn 1, xn ) D(xn 1, xn ) D(x n 1, x n ) D(xn 1, xn ) D(x n 1, x n ) Điều này là vô lí. Vậy với mọi n lẻ , ta có D(xn 1, xn ) D(xn , xn 1 ). (2) 0 . Do đó Giả sử n chẵn, từ (1) ta có D(Tx n 1, Sx n ) D(x n , x n 1 ) M (x n 1, x n ) M (x n 1, x n ) M (x n 1, x n ) 1 D(x n , x n ) D(x n 1, x n 1 ) 2K 1 max D(x n 1, x n ), D(x n , x n 1 ), D(x n 1, x n ), K D(x n 1, x n ) D(x n , x n 1 ) 2K max D(x n , x n 1 ), D(x n 1, x n ) . max D(x n 1, x n ), D(x n , x n 1 ), D(x n 1, x n ), Nếu tồn tại n chẵn sao cho max D(xn , xn 1 ), D(xn 1, xn ) thì M (xn 1, xn ) D(xn , xn 1 ) D(xn , xn 1 ) D(x n , x n 1 ) Vì thế tồn tại r 0 sao cho lim D(x n , x n 1 ) lim M (xn , xn 1 ) D(x n , x n 1 ) n n r. (4) là hàm nửa liên tục dưới nên ta có  (r )  liminf  ( M ( xn , xn1 )) . Lưu ý rằng, với Vì 0 . Do đó n D(x n , x n 1 ) . mọi n ta có D(xn 1, xn ) Điều này vô lí. Vậy với mọi n chẵn, ta có D(xn , xn 1 ) D(xn , xn 1 ). (3) M (x n , x n 1 ) M (x n , x n 1 ) (5) Lấy giới hạn dưới khi n dụng (4) ta có Như vậy, từ (2) và (3) ta suy ra D(x n , x n 1 ) là r một dãy số thực không tăng và bị chặn dưới bởi 0. 29 r lim inf n M (x n , x n 1 ) trong (5) và sử r (r ) . Journal of Science – 2014, Vol. 4 (3), 27 – 32 Vậy (r ) Từ đó ta có (r ) 0 hay lim D(x n , x n 1 ) r n An Giang University 0 . Suy ra r  0 . dãy Cauchy. Giả sử rằng lim cn 0. Bước 2: Chứng minh dãy lặp xn D(xn 1, xn ) sup D(x j , x k ) : j, k cN n n0 ta có sup D(x j , x k ) : j, k , với mọi j, k Vậy D(x j , x k ) n n0 , khi đó với mọi D(x j , x k ) n . n0 . Điều này có nghĩa x n N 1 , 1 sao cho c 1 . (7) 1 D(x m , x n ) K D(x n , x n 1 ) D(x m , x m 1 ) c 3 K .(8) Mặc khác, từ (1) ta có D(x m , x n ) D(Tx m 1, Sx n 1 ) M (x m 1, x n 1 ) M (x m 1, x n 1 ) . (9) thì là một c ta suy ra 6 Áp dụng (8) và M (x m 1, x n 1 ) cN D(x m 1, x n 1 ) n. Chọn j, k . (6) Điều này kéo theo 0 tồn tại n 0 sao cho với mọi khác, với mỗi n 0 . Nói cách N D(xm , xn ) n  n c sup D(x m , x n ), m, n 1 tồn tại m, n lim cn  0 thì lim sup D(x j , x k ) : j, k và cn N ta có Vì n . Khi đó {cn } là một dãy không tăng. Nếu c , khi 6 0 . Chọn đó tồn tại N sao cho với mọi n là một dãy Cauchy. Đặt cn c n max D(x m 1, x n 1 ), D(x m , x m 1 ), D(x n , x n 1 ), 1 D(x n 1, x m ) 2K D(x m 1, x n ) D(x m 1, x n 1 ) c 3 K c . 2K c và 2K Vì M (x m 1, x n 1 ) là một hàm Từ c không giảm nên M (x m 1, x n 1 ) Mặc khác, M (xm 1, xn 1 ) với c . 2K m, n  N  1  c cN 1  cN     2K với c ra c thì cN . Do đó theo (9) ta có  c  D(x m , x n )  cN      2K  m, n  N  1 . Từ đó suy ra (6), Vậy c c (7) và (10) c . Cho 2K ta có 0 ta suy c . Điều này là vô lí vì c 2K 0. 0 , nghĩa là {x n } là một dãy Cauchy. Bước 3: Chứng minh dãy Cauchy {xn } hội tụ về mọi điểm bất động chung của S và T . Vì X là một không gian kiểu-mêtric đầy đủ nên u. Hơn nữa tồn tại u X sao cho lim x n   . (10)  n 30 Journal of Science – 2014, Vol. 4 (3), 27 – 32 lim x 2n n u , lim x 2n n An Giang University ra tồn tại N 1 u. 1 sao cho với mọi n N 1 , ta có Tiếp theo, ta chứng minh u Tu Su . Thật vậy, giả sử u Tu , khi đó D(u,Tu) 0 . Suy D(x 2n 1, u ) 1 D(u,Tu ) 2K 1 D(u,Tu ), D(x 2n , u ) 2 1 D(x 2n , x 2n 1 ) D(u,Tu ). 2 1 D(u,Tu ) 2K 1 D(u,Tu ), 2 Khi đó ta có D(u,Tu ) M (u, x 2n ) max D(u, x 2n ), D(u,Tu ), D(x 2n 1, x 2n ), 1 D(u, x 2n 1 ) 2K max D(u, x 2n ), D(u,Tu ), D(x 2n 1, x 2n ), 1 K D(u, x 2n ) D(x 2n , x 2n 1 ) +K D(x 2n , u ) D(u,Tu ) 2K D(x 2n ,Tu ) 1 D(u,Tu ) 1 1 1 max D(u,Tu ), D(u,Tu ), D(u,Tu ), K 2 2 2 2K 1 D(u,Tu ) 2 1 + D(u,Tu ) 2 D(u,Tu ) D(u,Tu ). Vậy M (u, x 2n ) D(Tu, x 2n 1 ) Suy ra D(u, v) D(u,Tu ) . Khi đó D(Tu, Sx 2n ) M (u, x 2n ) này là mẫu thuẫn với D(u,Tu) D(Tx,Ty) : [0, 0 . Vậy M (x, y ) D(Tu, Su ) M (u, u ) (M (u, u )) Từ đó D(u, Su) Tu ) M (x, y) , ở đây [0, max D(x, y ), D(Tx, x ), D(Ty, y ), 1 D(y,Tx ) 2K D(x,Ty ) Khi đó T có duy nhất điểm bất động, nghĩa là tồn tại duy nhất điểm u X sao cho u Tu. D(u, Su ) . 0 hay u M (x, y) ) là hàm số nửa liên tục dưới, không giảm, (t ) 0 với mọi và t (0, ), (0) 0 Tu. D(u, Su ) là một không gian kiểu-mêtric đầy đủ và T : X  X là một ánh xạ sao cho với mọi có x, y  X ta Ta lại có D(u, Su ) v. Hệ quả 2.3. Cho X , D, K M (u, x 2n ) D(u,Tu) D(u,Tu) . Lấy giới hạn khi n ta được D(Tu, u ) D(Tu, u ) D( ,u ) . Điều Tu u 0 . Vậy u Chứng minh. Hệ quả có được bằng cách thay S T trong Định lí 2.2. Su . Như vậy, từ Trường hợp 1 và Trường hợp 2 ta suy ra S và T có điểm bất động chung. Trong Định lí 2.2, nếu ta chọn K hệ quả như sau. Cuối cùng, ta chứng minh tính duy nhất của điểm bất động chung của S và T . Giả sử tồn tại v và v Tv Sv . Ta có Hệ quả 2.4. Cho (X , d ) là một không gian mêtric D(u, v ) với đầy đủ và T , S : X D(Tu, Sv ) mọi M (u, v ) M (u, v ) d(Tx, Sy) D(u, v ) D(u, v ) . : [0, dưới, 31 M (x, y) ) không [0, 1 thì ta được X là hai ánh xạ sao cho có x, y X ta M (x, y) , ở đây ) là hàm số nửa liên tục giảm,  (t )  0 với mọi