Khoá luận tốt nghiệp Đại học: Đường tán sắc của exciton-polariton hai chiều trong tương tác với phonon âm học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TPHCM

KHOA VẬT LÝ

TRẦN DƯƠNG ANH TÀI

ĐƯỜNG TÁN SẮC CỦA EXCITON-POLARITON

HAI CHIỀU TRONG TƯƠNG TÁC VỚI

PHONON ÂM HỌC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM VẬT LÝ

TP. HỒ CHÍ MINH – 2018

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TPHCM

KHOA VẬT LÝ

TRẦN DƯƠNG ANH TÀI

ĐƯỜNG TÁN SẮC CỦA EXCITON-POLARITON

HAI CHIỀU TRONG TƯƠNG TÁC VỚI

PHONON ÂM HỌC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM VẬT LÝ

MÃ NGÀNH: 102

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. PHẠM NGUYỄN THÀNH VINH

TP. HỒ CHÍ MINH – 2018

Lời cảm ơn

Đầu tiên, tôi xin dành lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến thầy hướng

dẫn khoa học của tôi, TS. Phạm Nguyễn Thành Vinh. Trong quá trình học tập

tại khoa Vật Lí, Trường Đại học Sư Phạm TPHCM, tôi may mắn được làm việc

với thầy khi còn là một sinh viên năm nhất. Thầy đã kiên trì hướng dẫn và tận

tình giúp đỡ khi tôi vừa bắt đầu thực hiện đề tài nghiên cứu đầu tiên, một điều

hoàn toàn mới mẻ với một sinh viên năm nhất khi đó. Thầy không chỉ dạy tôi

những kiến thức Vật Lí và kĩ năng cần thiết cho công việc nghiên cứu, trong quá

trình làm việc dưới sự hướng dẫn của thầy, thầy còn dạy tôi nhiều bài học quý giá

trong cuộc sống và luôn tạo điều kiện để tôi có thể phát triển bản thân một cách

tốt nhất. Những bài học bổ ích ấy đã giúp tôi gặt hái được nhiều thành tích và có

những trải nghiệm đáng nhớ trong suốt bốn năm đại học. Ngoài ra, tôi cũng học

tập ở thầy về thái độ làm việc nghiêm túc, cách làm hiệu quả, và một số kĩ năng

mềm. Suốt quãng thời gian thực hiện đề tài khoá luận tốt nghiệp, thầy luôn động

viên, khích lệ tinh thần, giúp tôi vượt qua những khó khăn để hoàn thành khoá

luận tốt nghiệp.

Khoá luận tốt nghiệp này có thể sẽ không hoàn chỉnh nếu thiếu những nhận

xét, góp ý của TS. Nguyễn Duy Vỹ, Viện Vật Liệu Tiên Tiến, Trường Đại học

Tôn Đức Thắng và TS. Tomotake Yamakoshi, Viện Khoa học LASER, Trường

Đại học Điện Tử–Viễn Thông (Institute for Laser Science, University of Electro–

Communications). Những nhận xét phản biện này không chỉ góp phần đảm bảo

tính chính xác về mặt khoa học cho khoá luận tốt nghiệp của tôi mà còn giúp tôi

hiểu rõ hơn về bức tranh Vật Lí của đề tài mà tôi đang thực hiện. Ngoài ra, trong

quá trình thảo luận với TS. Tomotake Yamakoshi, tôi học hỏi thêm về kĩ thuật lập

trình với ngôn ngữ FORTRAN 77 và một số phương pháp toán lý mới.

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong khoa Vật Lí, Trường Đại học Sư

Phạm TPHCM, những người đã tận tình giảng dạy, truyền đạt những kiến thức,

i

và kinh nghiệm quý giá trong bốn năm qua để tôi có thể hoàn thành khoá luận tốt

nghiệp này và có được hành trang tốt nhất cho công việc trong tương lai của tôi.

Ngoài ra, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn riêng đến TS. Phan Thị Ngọc Loan, người đã

dạy tôi học phần “Phương pháp nghiên cứu khoa học”, những bài giảng của cô đã

tạo cho tôi cảm hứng với việc nghiên cứu Vật Lí và thầy cố vấn học tập, TS. Hoàng

Văn Hưng, nhờ những buổi nói chuyện với thầy, tôi học hỏi thêm được nhiều điều

bổ ích bên cạnh giải toả áp lực trong học tập và nghiên cứu.

Tôi cũng cảm ơn những thành viên trong nhóm nghiên cứu của TS. Phạm

Nguyễn Thành Vinh. Trong quá trình làm việc, tôi luôn nhận được sự hỗ trợ tận

tình và động viên kịp thời từ các thành viên trong nhóm. Cùng với các thành viên

trong nhóm, tôi có những hành trình đáng nhớ, đặc biệt là chuyến đi tham quan

Vũng Tàu năm 2018 cùng với TS. Tomotake Yamakoshi.

Trong bốn năm học tập tại trường Đại học Sư Phạm TPHCM, tôi may mắn

được quen biết nhiều bạn bè cùng khoá và các anh chị khoá trên, những người

luôn bên cạnh và giúp đỡ tôi những lúc tôi gặp những vấn đề khó giải quyết. Tôi

trân trọng khoảng thời gian ôn tập cho những kì thi kết thúc học phần căng thẳng

cùng với các bạn Hồ Hoàng Huy, Nguyễn Tấn Phú, Nguyễn Thành Nhân, Trương

Ngô Bích Trâm. Tôi muốn gửi lời cảm ơn đến anh Trần Công Hiếu vì đã giúp đỡ

tôi trong kì thi tuyển sinh đại học năm 2014, hỗ trợ tôi hoàn tất thủ tục nhập học

và cung cấp tài liệu những học phần đại cương dành cho sinh viên năm nhất. Tôi

cũng xin cảm ơn chị Hoàng Khánh Linh, chị Nguyễn Mai Khanh đã lắng nghe và

cho tôi những lời khuyên để tôi vượt qua nhiều khó khăn trong lúc hoàn thành

khoá luận tốt nghiệp này. Tôi sẽ không quên những lời khuyên về cách học Vật Lí

và kinh nghiệm nghiên cứu được chia sẻ từ CN. Lê Đại Nam.

Cuối cùng nhưng không kém phần quan trọng, tôi xin cảm ơn ba mẹ của tôi.

Ba và mẹ tôi đã tạo mọi điều kiện để tôi có thể tập trung vào việc học tập suốt

bốn năm qua và luôn ủng hộ những quyết định của tôi. Tôi không thể thành công

như ngày hôm nay nếu không có sự hi sinh của ba, mẹ tôi. Tp.HCM, ngày 02 tháng 05, năm 2018

Sinh viên

Trần Dương Anh Tài

ii

Mục lục

Trang

Danh sách hình vẽ ii

Danh mục chữ viết tắt iii

Mở đầu 1

1 Cơ sở lý thuyết 4

1.1 Toán tử sinh và huỷ trong cơ học lượng tử . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Giả hạt Polariton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Định lý Floquet 12

3 Kết quả và thảo luận 15

3.1 Hướng tiếp cận sử dụng phương pháp gần đúng sóng quay . . . . . . 15

3.2 Hướng tiếp cận sử dụng định lý Floquet . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Kết luận và hướng phát triển 22

Tài liệu tham khảo 23

i

Danh sách hình vẽ

Trang

Hình 1.1: Hình vẽ thể hiện sự phụ thuộc năng lượng của LP và UP

theo độ lệch năng lượng giữa exciton và photon. . . . . . . . 11

Hình 1.2: Hình vẽ thể hiện đường tán sắc năng lượng của LP và UP

và sự phụ thuộc vào vector sóng song song của các hệ số

11 Hopfield tương ứng với các trường hợp a) ∆ = 2g0, b) ∆ = 0, c) ∆ = −2g0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Danh mục chữ viết tắt

Chữ viết tắt

Tiếng Việt

Tiếng Anh

BEC Ngưng tụ Bose – Einstein Bose–Einstein Condensation

HHG Sóng điều hoà bậc cao High Harmonic Generator

LA Sóng âm học dọc Longtitudinal Acoustic

LP Polariton nhánh dưới Lower Polariton

Light Amplification by Stimulated LASER La–de Emisson Radiation

RWA Phép gần đúng sóng quay Rotating Wave Approximation

SAW Sóng âm học bề mặt Surface Acoustic Wave

TA Sóng âm học ngang Tranverse Acoustic

Phương trình Schr¨odinger TDSE Time–Dependent Schr¨odinger Equation phụ thuộc thời gian

UP Polariton nhánh trên Upper Polariton

iii

Mở đầu

Từ khi ra đời vào năm 1960, LASER (viết tắt của cụm từ Light Amplification

by Stimulated Emisson Radiation) là một công cụ đắc lực giúp các nhà vật lý

nghiên cứu cấu trúc của nguyên tử, phân tử thông qua các hiệu ứng phi tuyến như

phát xạ sóng điều hòa bậc cao (HHG – High Harmonic Generation ) [1], quá trình

ion hóa nguyên tử, phân tử [2, 3] hay được dùng trong bẫy từ-quang (MOTs) [4,

5] để bẫy các nguyên tử cho các nghiên cứu sự biến đổi trạng thái của vật chất ở

pha ngưng tụ Bose–Einstein (BEC) [6–8] từ đó giúp chúng ta hiểu thêm về thế giới

tự nhiên. Với những tính chất đặc biệt như tính đơn sắc, kết hợp và có cường độ

cao, LASER được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác trong cuộc sống.

Tuy nhiên, các LASER được dùng trong các phòng thí nghiệm hiện nay đều được

tạo ra bằng cách tạo môi trường đảo mật độ sao cho electron trong các nguyên

tử chủ yếu ở trạng thái kích thích, khi các electron này trở về trạng thái cơ bản,

các photon phát ra phản xạ nhiều lần qua hệ cộng hưởng quang học và tạo thành

LASER. Phương pháp này đòi hỏi phải tạo ra môi trường đảo mật độ, và giữ các

electron ở trạng thái kích thích đủ lâu để có thể phát ra LASER, việc này tương

đối khó khăn vì thời gian sống của electron ở trạng thái kích thích ngắn, vào cỡ 10−8s. Ngoài ra, ngưỡng năng lượng để xảy ra sự phát xạ này tương đối lớn, chúng

ta phải cung cấp nhiều năng lượng để quá trình có thể xảy ra, do đó việc này gây

tốn kém.

Năm 1996, A. Imamoglu và cộng sự đã đưa khái niệm về một loại LASER

hoàn toàn mới mà không cần đến môi trường đảo mật độ [9]. Các tác giả đã sử

dụng các giả hạt polariton là sự kết hợp giữa exciton (cặp electron và lỗ trống)

và photon trong cấu trúc tinh thể của chất bán dẫn được cấu hình sẵn. Các hạt

polariton có spin nguyên do đó chúng có thể có cùng trạng thái lượng tử đơn (single

quantum state), như các hạt boson trong pha BEC, . . . và phát ra những photon

kết hợp và đơn sắc, đây chính là cơ sở để tạo nên polariton LASER. Quá trình

1

phát xạ polariton LASER xảy ra ở nhiệt độ thấp khoảng 4K, được quan sát lần

đầu tiên bởi L. S. Dang và các cộng sự vào năm 1998 [10]. Đến năm 2007, LASER

polariton với bơm quang học lần đầu tiên được tạo ra ở nhiệt độ phòng [11]. Tuy

Polartion LASER có nhiều ưu điểm như ngưỡng phát xạ thấp, không cần đến môi

trường đảo mật độ, tần số của LASER có thể kiểm soát một cách dễ dàng bằng

việc thay đổi tính chất của giếng lượng tử và vật liệu bán dẫn nhưng do công suất

phát xạ ở nhiệt độ phòng vẫn còn rất nhỏ [11], nên chưa thể ứng dụng vào thực tế.

Chúng tôi nhận thấy rằng việc tạo ra polariton LASER ở nhiệt độ phòng

có cường độ cao có ý nghĩa vô cùng to lớn. Nhằm thực hiện điều này, chúng tôi

thêm vào hệ các phonon âm học thông qua sóng âm học bề mặt (SAWs - Surface

Ascoustic Waves). Khi các hạt polariton tương tác với các phonon âm học, đường

tán sắc năng lượng bị thay đổi [12], do đó quá trình ngưng tụ BEC của các hạt

polariton có thể bị thay đổi từ đó làm tăng nhiệt độ chuyển pha và cường độ của

polariton LASER. Trong công trình [12], Ivanov và các cộng sự đã đưa ra phương

trình đường tán sắc năng lượng của các hạt polariton khi có mặt sóng âm học

(phương trình (4) [12]). Tuy nhiên, các tác giả chỉ trình bày kết quả cuối cùng mà

thiếu đi quy trình toán học chặt chẽ để đưa ra kết quả này. Do đó, việc tìm ra một

quy trình toán học phù hợp, chi tiết để dẫn dắt đến kết quả của Ivanov và cộng

sự [12] là vô cùng cần thiết cho việc thực hiện các nghiên cứu tiếp theo của chúng

tôi.

Với những nhận xét nêu trên, chúng tôi thực hiện đề tài “Đường tán sắc

của các exciton-polariton hai chiều trong tương tác với phonon âm học”

cho khóa luận tốt nghiệp này nhằm đưa ra quy trình toán học chặt chẽ để đưa ra

lại phương trình đường tán sắc năng lượng được nêu trong [12].

Khoá luận tốt nghiệp được trình bày thành ba chương, nội dung từng chương

• Chương 1: Những tìm hiểu về hình thức luận lượng tử hoá lần hai trong cơ

như sau:

học lượng tử, quá trình phát xạ polariton LASER và sóng âm học bề mặt

• Chương 2: Chúng tôi trình bày các phương pháp tính toán được sử dụng để

được trình bày trong chương này.

chéo hoá Hamiltonian mô tả sự tương tác giữa polariton và phonon âm học,

cụ thể là định lý Floquet.

2

• Chương 3: Các kết quả của khoá luận tốt nghiệp được trình bày trong chương

này. Kết quả tính toán cho thấy khi ta sử dụng phương pháp gần đúng sóng

quay để chéo hoá Hamiltonian thì kết quả thu được hoàn toàn khác với kết

quả được đưa ra bởi Ivanov và các cộng sự [12]. Do đó chúng tôi sử dụng

hướng tiếp cận khác, đó là sử dụng định lý Floquet kết hợp với phương trình

Schr¨odinger phụ thuộc thời gian, để kiểm tra lại các kết quả trước đó của

chúng tôi. Chúng tôi lại thu được kết quả hoàn toán khác hai kết quả trước

đó. Đồng thời, chúng tôi cũng phát hiện ra rằng kết quả sau khi chéo hoá

Hamiltonian trong công trình của Ivanov năm 2003 [12] hoàn toàn khác với

kết quả của chính tác giả nó được công bố vào năm 2001 [13].

3

Chương 1

Cơ sở lý thuyết

1.1 Toán tử sinh và huỷ trong cơ học lượng tử

Trong cơ học lượng tử, ngoài cách tiếp cận theo hướng giải tích, chúng ta có

thể tiếp cận theo hướng đại số, sử dụng toán tử sinh và huỷ. Hướng tiếp cận này

giúp ta tiết kiệm thời gian tính toán, thuận tiện trong việc tính toán các hệ nhiều

hạt do đó nó cũng thường được sử dụng nhiều bởi các nhà vật lý. Trong phần này,

chúng tôi trình bày tóm tắt về các tính toán với toán tử sinh và huỷ trong cơ học

lượng tử.

Đặt a và a† là hai toán tử tác động lên những trạng thái trong không gian

[a, a†] = 1

Hilbert, và thoả mãn giao hoán tử

(1.1)

trong đó “1” kí hiệu cho toán tử đơn vị trong không gian Hilbert. Toán tử a và a†

là các toán tử không tự liên hợp, hay nói cách khác các toán tử này không có tính chất Hermitic. Toán tử a† được gọi là toán tử sinh và a được gọi là toán tử huỷ.

a†a, có trị riêng là số thực α

a†a|α(cid:105) = α|α(cid:105).

Ta gọi |α(cid:105) là trạng thái được chọn sao cho vector riêng của toán tử Hermitic,

(1.2)

α = (cid:104)α|a†a|α(cid:105) = ||a|α(cid:105)||2 ≥ 0,

Do đó

(1.3)

trong đó chúng tôi sử dụng tiên đề cơ bản của cơ học lượng tử, rằng “norm” của

tất cả các trạng thái trong không gian Hilbert đều dương. Kết quả là trị riêng α của trạng thái riêng của a†a là một số thực không âm.

4

[AB, C] = A[B, C] + [A, C]B,

Thêm vào đó, với các toán tử A, B, C, ta luôn có

(1.4)

[a†

từ đây ra suy các giao hoán tử quan trọng của các toán tử sinh và huỷ

[a†

(1.5)

i ai, aj] = −ajδi,j, j] = a† i ai, a†

jδi,j,

(1.6)

trong đó δi,j là Kronecker delta.

Một trạng thái bất kỳ |n(cid:105) được biễu diễn thông qua trạng thái cơ bản |0(cid:105),

a|0(cid:105) = 0,

trạng thái bị huỷ bởi toán tử huỷ

(1.7)

1 √

|n(cid:105) =

(a†)n|0(cid:105),

qua biểu thức sau

n!

(1.8)

và nội tích của nó thoả

(cid:104)m|n(cid:105) = n!δm,n.

(1.9)

√

a†|n(cid:105) =

n + 1|n + 1(cid:105)

Tóm lại, các toán tử sinh và huỷ phải tuân theo các phương trình sau

√

a|n(cid:105) =

n|n − 1(cid:105)

(1.10)

a†a|n(cid:105) = n|n(cid:105)

(1.11)

(1.12)

√

(cid:104)m|a|n(cid:105) =

và do đó, các yếu tố ma trận lần lượt là

nδm,n−1

√

(cid:104)m|a†|n(cid:105) =

(1.13)

n + 1δm,n+1

(1.14)

Để minh hoạ việc vận dụng toán tử sinh và huỷ vào các bài toán vật lý lượng

tử, chúng tôi trình bày lời giải bài toán dao động tử điều hoà một chiều bằng cách

sử dụng toán tử sinh huỷ. Toán tử Hamilton mô tả một dao động tử điều hoà có

+

mω2 ˆx2

ˆH =

dạng như sau

ˆp2 2m

1 2

(1.15)

5

là toán tử động lượng, ˆx là toán tử toạ độ, m và ω lần lượt là

trong đó ˆp = −i(cid:126) d dx khối lượng và tần số của dao động tử điều hoà. Ta định nghĩa các toán tử sinh và

toán tử huỷ cho dao động tử điều hoà như sau

√

a† =

(mωx − ip) =

x −

,

(cid:18) (cid:19) (cid:126) (1.16)

d dx (cid:19)

mω (cid:126)

√

(mωx + ip) =

x +

.

a =

d dx

mω

1 2mω(cid:126) 1 2mω(cid:126)

(cid:18) (1.17) (cid:114) mω 2(cid:126) (cid:114) mω 2(cid:126)

Với định nghĩa toán tử sinh và huỷ như trên, các toán tử toạ độ và động lượng

ˆx =

được biểu diễn thông qua các toán tử sinh và huỷ như sau

(cid:0)a + a†(cid:1) , (1.18)

ˆp =

(cid:114)

(cid:0)a† − a(cid:1) i. (1.19) (cid:114) (cid:126) 2mω mω(cid:126) 2

Khi này, phương trình (1.15) được viết lại thành

ˆH = (cid:126)ω

a†a +

.

1 2

(cid:16) (cid:17) (1.20)

Với Hamiltonian biểu diễn theo các toán tử sinh và huỷ, trị riêng năng lượng của

dao động tử điều hoà được tìm phương trình Schr¨odinger dừng

⇔ (cid:126)ω

|n(cid:105) = En|n(cid:105)

a†a + (cid:16)

n +

⇔ (cid:126)ω

(cid:17)

|n(cid:105) = En|n(cid:105)

ˆH|n(cid:105) = En|n(cid:105) (cid:16) 1 2 (cid:17) 1 2

(1.21)

từ phương trình (1.21), ta suy ra trị riêng năng lượng của dao động tử điều hoà

n +

,

En = (cid:126)ω

1 2

(cid:16) (cid:17) (1.22)

kết quả này tương tự như kết quả thu được khi tính theo phương pháp giải tích.

Để đưa ra hàm sóng của dao động tử điều hoà, ta cần định nghĩa trạng thái chân

a|0(cid:105) = 0,

không trước, trạng thái chân không của dao động tử điều hoà được định nghĩa bởi

(1.23)

x +

ψ0(x) = 0.

mω

d dx

hay (cid:19) (cid:18) (cid:126) (1.24)

6

Phương trình (3.1) có nghiệm

−

,

ψ0(x) = A exp

mωx2 2(cid:126)

(cid:18) (cid:19) (1.25)

∞ (cid:90)

với A là hệ số chuẩn hoá được xác định từ điều kiện chuẩn hoá

|ψ0(x)|2dx = 1.

−∞

(1.26)

Hàm sóng chuẩn hoá trạng thái chân không của dao động tử điều hoà có dạng

−

.

ψ0(x) = 4

π(cid:126) exp

mωx2 2(cid:126)

(cid:18) (cid:19) (cid:114) mω (1.27)

Một trạng thái bất kỳ |n(cid:105) của dao động tử điều hoà được xây dựng bằng cách tác

4

1 √

−

x −

.

ψn =

d dx

π(cid:126) exp

mω

mωx2 2(cid:126)

n!

1.2 Giả hạt Polariton

(cid:18) (cid:19)(cid:21)n (cid:18) (cid:19) (cid:126) (cid:114) mω (1.28) động toán tử sinh lên hàm sóng trạng thái chân không (cid:20)(cid:114) mω 2(cid:126)

Polariton là một giả hạt trong chất rắn, được tạo ra bởi sự tương tác của ánh

sáng (photon) và vật chất. Hàm sóng của polariton là sự chồng chập lượng tử từ

hàm sóng mô tả photon và exciton, một sự kết cặp của một electron và một lỗ

trống trong chất bán dẫn

|ψ(cid:105) = X|ψx(cid:105) + C|ψc(cid:105),

(1.29)

trong đó ψc kí hiệu cho photon và ψx kí hiệu exciton. Các hệ số X, C được gọi là hệ số Hopfield đặc trưng cho tính chất của polariton. Chúng tôi giải thích cặn kẽ

hệ số Hopfield ở bên dưới. Tiếp theo, chúng tôi trình bày chi tiết cách xây dựng

đường tán sắc năng lượng của các hạt polariton.

Hamiltonian đặc trưng cho tương tác giữa photon và exciton trong vi hốc

quang học (optical microcavity) là tổng của Hamiltonian mô tả photon trong vi hốc ˆHcav, Hamiltonian biểu diễn cho exciton ˆHexc và thành phần Hamilotonian thể hiện sự kết cặp (coupling) giữa photon và exciton ˆHcoupling. Theo hình thức luận lượng tử hoá lần hai, Hamiltonian này có dạng như sau

ˆHpol = ˆHcav + ˆHexc + ˆHcoupling (cid:2)(cid:126)ωc

=

ˆb†ˆb + g0(ˆa†ˆb + ˆaˆb†)(cid:3)

pˆa†ˆa + (cid:126)ωx p

p

(cid:88) (1.30)

7

với ˆa† là toán tử sinh photon trong vi hốc quang học, ˆb† là toán tử sinh exciton, p và ωc ωx p lần lượt là tần số của photon và exciton, g0 là độ lớn lưỡng cực tương tác giữa exciton và photon và có độ lớn khác “không” với những mode có cùng vector

X C

=

(cid:35) sóng song song p. Lưu ý, ở đây chúng tôi dùng kí hiệu p để mô tả vector sóng song song, một số tài liệu khác có thể dùng kí hiệu p(cid:107) hoặc k(cid:107). Hamiltonian trên có thể được chéo hoá thông qua phép biến đổi tuyến tính sau của các toán tử huỷ (cid:34) (cid:35)

−C X

(1.31) (cid:35) (cid:34)ˆb ˆa (cid:34) ˆP ˆQ

.

=

(cid:35) trong đó các toán tử ˆP và ˆQ là các toán tử huỷ của một giả hạt (quasiparticle) mới, giả hạt này được đặt tên là polariton và X, C là các hệ số đặc trưng cho phép biến đổi tuyến tính. Từ định nghĩa các toán tử huỷ ˆP và ˆQ, ta suy ra định nghĩa các toán tử sinh ˆP † và ˆQ† như sau (cid:35) (cid:34)

X ∗ C∗ −C∗ X ∗

(1.32) (cid:35) (cid:34)ˆb† ˆa† (cid:34) ˆP † ˆQ†

[ ˆP , ˆP †] = [Xˆb + Cˆa, X ∗ˆb† + C∗ˆa†],

Xét giao hoán tử [ ˆP , ˆP †], ta có

(1.33)

sử dụng các tính chất của giao hoán tử của các toán tử sinh và huỷ cho bởi phương

[ ˆP , ˆP †] = |X|2[ˆb, ˆb†] + |C|2[ˆa, ˆa†] = |X|2 + |C|2

trình (1.1), phương trình (1.33) được viết lại thành

(1.34)

|X|2 + |C|2 = 1.

mặt khác, ta có [ ˆP , ˆP †] = 1 nên ta suy ra được

(1.35)

Ta cũng thu được kết quả tương tự nếu xét giao hoán tử [ ˆQ, ˆQ†]. Để biểu diễn Hamiltonian trong phương trình (1.30) theo các toán tử mới, ta biễu diễn các toán tử ˆa, ˆb theo ˆP , ˆQ

X C

C X

=

=

,

(cid:35) (cid:34) (cid:35) (cid:34) (cid:35)

−C X

X −C

(1.36) (cid:34)ˆb ˆa (cid:35)−1 (cid:34) ˆP ˆQ (cid:35) (cid:34) ˆP ˆQ

và ˆa†, ˆb† theo các toán tử ˆP †, ˆQ†

=

=

.

(cid:35) (cid:34) (cid:35) (cid:34) (cid:35)

X ∗ C∗ −C∗ X ∗

C∗ X ∗ X ∗ −C∗

(1.37) (cid:34)ˆb† ˆa† (cid:35)−1 (cid:34) ˆP ˆQ (cid:35) (cid:34) ˆP † ˆQ†

8

Thay các phương trình (1.36) và (1.37) vào phương trình (1.30), và thu gọn ta

được

ˆHpol =

p + |X|2(cid:126)ωx

p + 2g0XC) ˆP † ˆP + (|X|2(cid:126)ωc

p + |C|2(cid:126)ωx

p − 2XCg0) ˆQ† ˆQ

p

+ (cid:2)XC((cid:126)ωc

p − (cid:126)ωx

p ) + g0(|X|2 − |C|2)(cid:3) ( ˆP † ˆQ + ˆQ† ˆP )(cid:9) (1.38)

(cid:88) (cid:8)(|C|2(cid:126)ωc

Theo công trình [14], Hamiltonian sau khi chéo hoá sẽ có dạng như sau

ˆHpol =

p

(cid:88) (1.39) (cid:0)(cid:126)ωLP ˆP † ˆP + (cid:126)ωU P ˆQ† ˆQ(cid:1) ,

trong đó tần số ωLP đặc trưng cho nhánh năng lượng dưới (lower eigenenergy) tương ứng với polariton dưới (lower polariton) trong khi tần số ωU P đặc trưng cho nhánh năng lượng trên (upper eigenenergy) tương ứng với polariton trên (upper

polariton), do đó, hệ số của biểu thức thứ ba trong phương trình (1.38) phải thoả

XC((cid:126)ωc

mãn

p − (cid:126)ωx

p ) + g0(|X|2 − |C|2) = 0.

(1.40)

Toán tử ˆP † ˆQ hay ˆQ† ˆP thể hiện việc thay đổi trạng thái của giả hạt thu được từ việc chéo hoá Hamiltonian cho bởi phương trình (1.30), trong các thí nghiệm, hiện

tượng này chỉ xảy ra khi ta kích thích hệ rất “mạnh” và rất khó thực hiện, do đó

trong những tính toán lý thuyết, số hạng này thường được bỏ qua, ta xem như

không có sự nhảy trạng thái này. Điều đó giải thích ý nghĩa của phương trình

(1.40). Phương trình (1.39) cho ta thấy rằng ta có thể biểu diễn Hamiltonian mô

tả tương tác giữa các photon và exciton thông qua các toán tử là tổ hợp tuyến tính

của các toán tử mô tả photon và exciton. Do đó, các hạt polariton là sự chồng chất

của các hạt photon trong vi hốc và các hạt exciton trong cùng mặt phẳng vector

sóng. Ta có thể thấy rằng các hệ số X, C trong phép biến đổi tuyến tính đặc trưng

cho tỉ lệ pha trộn giữa photon và exciton. Bằng cách thay đổi tỷ lệ “trộn” photon

và exciton, người ta có thể điều khiển tương tác giữa ánh sáng và vật chất. Trong

thực nghiệm, điều này có thể là thực hiện được bằng cách dịch chuyển năng lượng

của vi hốc (bơm thêm một số loại khí) hoặc exciton (bằng cách thay đổi nhiệt độ

hoặc áp một điện trường ngoài). Từ phương trình (1.40), ta tìm được giá trị bình

9

phương module của các hệ số X, C

|X|2 =

1 +

,

(cid:32) (cid:33)

1 2

∆ (cid:112)∆2 + 4g2

0

(1.41)

|C|2 =

1 −

,

(cid:32) (cid:33)

1 2

∆ (cid:112)∆2 + 4g2

0

p − (cid:126)ωc

(1.42)

với ∆ = (cid:126)ωx p là độ lệch năng lượng giữa exciton và photon. Khi |X|2 < |C|2, điều này có nghĩa photon trong vi hốc đóng góp nhiều hơn các exciton trong việc

hình thành giả hạt polariton do đó, ta gọi các polariton này là photon-polariton

và ngược lại, ta sẽ gọi chúng là exciton-polariton. Trong giới hạn của khoá luận

1 2

tốt nghiệp này, chúng tôi chỉ khảo sát các exciton-polartion. Khi ∆ = 0, tương ứng với các giá trị |X|2 = |C|2 = , lúc này các photon và exciton đóng góp bằng nhau

để tạo thành các polariton. Đồng nhất hệ số phương trình (1.38) và (1.39) ta thu

được hệ thức biểu diễn đường tán sắc của các hạt polariton

4g2

,

ELP = (cid:126)ωLP =

p + (cid:126)ωx

p +

p − (cid:126)ωc

p)2

0 + ((cid:126)ωx

1 2

(cid:18) (cid:19) (cid:113) (cid:126)ωc (1.43)

.

4g2

EU P = (cid:126)ωU P =

p + (cid:126)ωx

p −

p − (cid:126)ωc

p)2

0 + ((cid:126)ωx

1 2

(cid:19) (cid:18) (cid:113) (cid:126)ωc (1.44)

Các phương trình (1.43) và (1.44) là phương trình mô tả đường cong tán sắc của các

p = ωc p − (cid:126)ωc

hạt polariton tương ứng với mức năng lượng nhánh dưới (LP - Lower Polariton)

và nhánh trên (UP – Upper Polariton). Khi các photon và exciton liên kết với nhau tại tần số cộng hưởng, ωx p, năng lượng của LP và UP sai khác nhau một lượng có giá trị nhỏ nhất, (cid:126)ωx p = 2g0, sự phân tách này tương tự như sự phân tách Rabi trong hệ hai mức năng lượng. Do đó, độ lớn lưỡng cực tương tác giữa

.

exciton và photon thường được đặc trưng bởi tần số Rabi, Ωc, theo công thức [12]

g0 =

i(cid:126)Ωc 2

(1.45)

Do sự kết cặp giữa exciton và photon, năng lượng của các polariton có xu hướng

p − (cid:126)ωc

chống lại sự dịch chuyển năng lượng từ photon sang năng lượng exciton. Đây là

một trong những dấu hiệu thể hiện sự kết cặp mạnh giữa photon và exciton và khi |(cid:126)ωx p| (cid:29) g0, ta không thể phân biệt exciton và photon một cách rõ ràng. Điều này được thể hiện rõ trong hình 1.1.

10

Hình 1.1: Hình vẽ thể hiện sự phụ thuộc năng lượng của LP và UP theo độ lệch

năng lượng giữa exciton và photon [14]. (Lưu ý: kí hiệu Ω trong hình vẽ tương ứng

là tần số Rabi Ωc mà chúng tôi trình bày ở trên.)

Hình 1.2: Hình vẽ thể hiện đường tán sắc năng lượng của LP và UP và sự phụ

thuộc vào vector sóng song song của các hệ số Hopfield tương ứng với các trường hợp a) ∆ = 2g0, b) ∆ = 0, c) ∆ = −2g0[14].(Lưu ý: kí hiệu k(cid:107) trong hình vẽ tương ứng là vector sóng song song p mà chúng tôi trình bày ở trên.)

11

Chương 2

Định lý Floquet

Năm 1883, nhà toán học Floquet đề xuất cách giải phương trình vi phân có

= A(t)x,

dạng

dx dt với A(t) là một hàm số liên tục theo biến số t và tuần hoàn với chu kì T ,

A(t) = A(t + T ).

(2.1)

(2.2)

Ngày nay, phương pháp này được gọi là định lý Floquet.

Từ phương trình (2.1), ta có thể thấy rằng nó tương đương về mặt toán học

với phương trình Schr¨odinger phụ thuộc thời gian (TDSE) có Hamiltonian tuần

H(t) = H(t + T ).

hoàn theo thời gian với chu kì T

(2.3)

Do đó, chúng tôi sử dụng định lý Floquet để giải quyết bài toán được đặt ra trong

khoá luận tốt nghiệp này theo đề xuất của TS. Tomotake Yamokoshi. Ngoài ra,

định lý Floquet là công cụ toán học mạnh để giải quyết các bài toán trong các

nghiên cứu về hệ lượng tử tuần hoàn do đảm bảo tính tuần hoàn của sự nhiễu loạn

của tất cả các mức gần đúng và tránh được những biểu thức phụ thuộc tuyến tính

hoặc không tuần hoàn theo thời gian. Ở đây, chúng tôi không trình bày chi tiết về

định lý Floquet mà chỉ đưa ra cách áp dụng vào việc giải TDSE có Hamiltonian

tuần hoàn theo thời gian, những tìm hiểu sâu hơn về định lý Floquet có thể tham

khảo các tài liệu [15, 16]. Xét phương trình Schr¨odinger phụ thuộc thời gian (để

đơn giản chúng tôi chỉ xét hệ một chiều không gian)

Ψ(x, t) = 0,

H(x, t) − i(cid:126) ∂ ∂t

(cid:20) (cid:21) (2.4)

12

trong đó

H(x, t) = H0(x) + V (x, t).

(2.5)

V (x, t) = V (x, t + T ).

Thành phần Hamiltonian không phụ thuộc thời gian H0(x) tương ứng với hàm riêng ψn(x) và trị riêng En và V (x, t) là thế năng tuần hoàn theo thời gian với chu kì T

(2.6)

Theo định lý Floquet, nghiệm của phương trình (2.4) có dạng như sau

Ψ(x, t) = exp(−iεαt/(cid:126))Φα(x, t),

(2.7)

trong đó Φα(x, t), Floquet mode, tuần hoàn theo thời gian cùng chu kỳ với V (x, t)

Φα(x, t) = Φα(x, t + T ).

(2.8)

Ở đây, εα là một thông số thực đặc trưng cho thành phần mũ. Do εα bằng bội số của (cid:126)ω với ω = 2π/T nên được gọi là giả năng lượng (quasienergy) tương tự như giả động lượng (quasimomentum) k, đặc trưng cho hàm sóng Bloch trong chất rắn.

Thay phương trình (2.7), vào phương trình (2.4), ta suy ra phương trình để

tìm trị riêng εα

HF (x, t)Φα(x, t) = εαΦα(x, t).

(2.9)

(cid:21) có tính chất Hermitic và được gọi là Hamiltonian với HF (x, t) = (cid:20) H(x, t) − i(cid:126) ∂ ∂t

Floquet. Từ phương trình (2.9), ta thấy rằng các Floquet mode

|Φα(cid:48)(x, t)(cid:105) = exp(inωt)|Φα(x, t)(cid:105) ≡ Φαn(x, t),

(2.10)

có nghiệm tương tự như nghiệm của phương trình (2.4) với dịch chuyển trong giả

năng lượng bởi phương trình

εα = εα(cid:48) + n(cid:126)ω = εαn,

< ε <

(2.11)

với n ∈ Z. Điều này cho ta thấy rằng kí hiệu α đang được sử dụng liên quan đến các lớp nghiệm tương ứng với α(cid:48) = (α, n) với n ∈ Z. Do đó nên ta có thể rút gọn một giả năng lượng bất kỳ về vùng Brillouin thứ nhất, − . Các vector (cid:126)ω 2 (cid:126)ω 2

13

+∞ (cid:90)

T (cid:90)

dt

Φ∗

riêng của toán tử HF (x, t) phải tuân theo điều kiện trực chuẩn trong không gian Hilbert, do đó

(cid:104)Φα(cid:48)(t)|Φβ(t)(cid:105) =

α(cid:48)(t)Φβ(t)dx = δα(cid:48)β(cid:48) = δα,βδn,m,

1 T

−∞

0

(2.12)

và tạo thành bộ đủ

Φ∗

αn(x, t)Φαn(y, t) = δ(x − y)δ(t − t(cid:48)).

α

n

(cid:88) (cid:88) (2.13)

14

Chương 3

Kết quả và thảo luận

3.1 Hướng tiếp cận sử dụng phương pháp gần đúng sóng

quay

học bề mặt (SAWs – Surface Acoustic Waves) có vector sóng k, tần số Ωac

Như đã đề cập ở trên, chúng tôi kích thích hệ photon và exciton bằng sóng âm k = vsk, với vs là tốc độ truyền âm và cường độ Iac. Trong trường hợp này, Hamiltonian tổng cộng của hệ được cho bởi [12]

=

(a†

k t − b†

k t)(cid:3),

pap + (cid:126)ωx

pbp +

pa†

p b†

pbp − b†

pap) + imx

pbp−ke−iΩac

k(b†

p−kbpeiΩac

ˆH = ˆHcav + ˆHexc + ˆHcoupling + ˆHpump i(cid:126)Ωc 2

p

(cid:88) (cid:2)(cid:126)ωc

(3.1)

N ph

x−ac (k)

k = mdp/pe

(cid:113)

trong đó mx 0 (k) là tham số liên kết giữa exciton và sóng âm học được bơm vào hệ, với mdp x−ac = Dx[(cid:126)k/(2ρvs)]1/2 là yếu tố ma trận thế năng biến dạng (deformation potential matrix element), và mpe x−ac ∝ e14k3/2 là yếu tố ma trận áp điện (piezoelectron matrix element) lần lượt đặc trưng cho sóng âm học dọc

(LA – Longtitudinal Acoustic) và sóng âm học ngang (TA – Tranverse Acoustic).

0 = Iac/((cid:126)vsΩkac).

Với, ρ là khối lượng riêng, Dx là thế năng biến dạng của tương tác giữa exciton và LA–phonon, e14 là tensor đặc trưng cho tương tác giữa TA–phonon và exciton. Số lượng phonon kết hợp được xác định bởi N ph

Để biến đổi Hamiltonian phụ thuộc thời gian trong phương trình (3.1) thành

Hamiltonian không phụ thuộc thời gian, chúng tôi sử dụng phương pháp gần đúng

sóng quay – RWA theo đề xuất của Ivanov trong công trình [12]. Trong hệ qui

15

(vs · p)(b†

pbp + a†

pap)(cid:3), chiếu quay, thông qua phép biến đổi chính tắc S = exp(cid:2)it k (k · p)/k2, trong đó vs và p lần lượt với vs = vsk/k do đó vs · p = vsk · p/k = Ωac là tốc độ truyền âm và vector sóng song song mặt phẳng, Hamiltonian không phụ

(cid:88) p

.

thuộc thời gian được suy ra từ Hamiltonian phụ thuộc thời gian bởi phương trình

ˆHT I = S ˆHS† − iS

∂S† ∂t

(3.2)

Các toán tử trong phương trình (3.1) được biến đổi bằng cách áp dụng công thức

exp(A)B exp(−A) = B + [A, B] +

[A, [A, B]] + ... +

1 2!

1 n!

[A, B] . . . ]. (3.3) [A, [A, A[A, . . . (cid:125) (cid:123)(cid:122) (cid:124) n

Baker–Hausdorff (Baker–Hausdorff identity)

và các tính chất của giao toán tử của các toán tử sinh huỷ cho bởi phương trình

(1.1), từ đó, ta suy ra các biểu thức sau

q-k)],

q )],

q − Ωac q-k − Ωac

bq → bqe−it(vs·q), aq → aqe−it(vs·q), qbq − b† a† qaq → a† b† qbq−k → b† q−kbq →, b† b†

qbq − b† qaq, q, bq−kexp[it(Ωac q−kbqexp[it(Ωac

(3.4)

và ta có

(a†

S ˆHS† =

pbp − b†

pap)+

p b†

pbp + (cid:126)ωc

pa†

pap +

i(cid:126)Ωc 2

p

p-k−Ωac

k teit(Ωac

p ))(cid:3)

+ imx

k teit(Ωac

p−k) − b†

pbp−ke−iΩac

p−kbpeiΩac

(cid:88) (cid:2)(cid:126)ωx

(a†

=

pap +

pap)+

pa†

pbp − b†

pbp + (cid:126)ωc

k(b† (cid:104)(cid:126)ωx p b†

p −Ωac i(cid:126)Ωc 2

p

p +Ωac

p +Ωac

k −Ωac

k −Ωac

p−k)t − b†

(cid:88)

.

+ imx

k(b† it (cid:80)

(vs·p)(b†

p−kbpei(Ωac pbp+a† pap)

pbp−ke−i(Ωac pbp+a† (vs·p)(b†

pap)

(cid:105) p-k)t) (3.5)

p

p

−iS

(−i)

−it (cid:80) e

= − ie

(vs · p)(b†

pbp + a†

pap)

∂S† ∂t

p

(cid:88)

= −

(vs · p)(b†

pap).

pbp + a†

p

(cid:88) (3.6)

16

Thay phương trình (3.5) và (3.6) vào phương trình (3.2), ta có

(a†

ˆHT I =

pbp − b†

pap)+

p − vs · p)b†

pbp + ((cid:126)ωc

p − vs · p)a†

pap +

i(cid:126)Ωc 2

p

(cid:88) (cid:20) ((cid:126)ωc

p +Ωac

p +Ωac

k −Ωac

k −Ωac

p−k)t − b†

p-k)t)

.

+imx

pbp−ke−i(Ωac

k(b†

p−kbpei(Ωac

(cid:105) (3.7)

Theo định luật bảo toàn năng lượng, ta có

p−k + Ωac Ωac

k = Ωac p ,

(3.8)

từ đó, suy ra được Hamilonian không phụ thuộc thời gian có dạng được cho bởi

biểu thức

ˆHT I =

p − vs · p)b†

pbp + ((cid:126)ωc

p − vs · p)a†

pap

p

+

(a†

pbp − b†

pap) + imx

pbp−k − b†

k(b†

p−kbp)(cid:3) (3.9)

i(cid:126)Ωc 2

(cid:88) (cid:2)((cid:126)ωx

Từ phương trình (3.9), ta thấy rằng năng lượng của photon và exciton bị dịch

chuyển một lượng vs · p, để đơn giản ta đặt các biến số năng lượng mới cho exciton và photon

p − vs · p,

p = (cid:126)ωx p = (cid:126)ωc

p − vs · p,

(cid:126)˜ωx (3.10) (cid:126)˜ωc

phương trình (3.9) được viết các biến số mới như sau

(a†

ˆHT I =

p b†

pbp + (cid:126)˜ωc

pbp − b†

pa†

pap) + imx

pap +

pbp−k − b†

k(b†

p−kbp)(cid:3).

i(cid:126)Ωc 2

p

(cid:88) (cid:2)(cid:126)˜ωx (3.11)

pcp bằng cách đặt

p

(cid:126)ωc† Một cách tương tự, chúng tôi chéo hoá ˆHT I bằng phép biến đổi tuyến tính để suy ra phương trình đường tán sắc năng lượng của polariton khi có thêm phonon âm học. Hamiltonian ˆHT I được chéo hoá thành ˆHc = (cid:80)

cp = ubp + vap ⇒ c†

p + v∗a† p.

p = u∗b†

(3.12)

[A, BC] = B[A, C] + [A, B]C, chúng tôi tính toán các giao hoán tử sau

Sử dụng các tính chất của các giao hoán tử [AB, C] = A[B, C] + [A, C]B và

[cq, ˆHc/(cid:126)] =

ωcpδpq = ωcq = ω(ubq + vaq),

(3.13)

(3.14) (cid:88) p [cq, ˆHT I /(cid:126)] =[ubq + vaq, ˆHT I /(cid:126)] = I0,

17

trong đó

[aq, ˜ωc

I0 =u

[bq, ˜ωx

p b†

pbp −

pbp−k − b†

pa†

pap +

pap + imx b†

a† pbp]

k(b†

p−kbp)] + v

iΩc 2

iΩc 2

p

p

(cid:88) (cid:88)

=u[˜ωx

imx

aq +

bq)

q bq −

q +

k(δpqbp−k − δp−k,qbp)] + v(aq ˜ωc

iΩc 2

iΩc 2

p

=u[˜ωx

aq + imx

bq)

q bq −

qaq +

k(bq−k − bq+k)] + v(˜ωc

iΩc 2

=(u˜ωx

)bq + (v ˜ωc

)aq + uimx

q + v

q − u

k(bq−k − bq+k).

iΩc 2 iΩc 2

iΩc 2

(cid:88)

Đồng nhất hệ số hai phương trình (3.13) và (3.14), ta có

ωubq =(u˜ωc

)bq + uimx

k(bq−k − bq+k),

ωv = − u

(3.15)

iΩc 2 + v ˜ωc q.

q + v iΩc 2

(3.16)

k = 0, mx

k ∝ k, ta có phương trình đường tán sắc thường

Với trường hợp k = 0 → mx

của polariton

u

q −

=

v

0

ω − ˜ωx iΩc 2

⇒ ω − ωx

= 0.

  (cid:35) (cid:34) (cid:34) (cid:35) 0 (3.17)  

q −

iΩc 2 ω − ˜ωc q Ω2 c 4(ω − ωc q)

(3.18)

Phương trình (3.18) cho nghiệm phù hợp với các tính toán tại mục 1.2, hai nghiệm

phân biệt này tương ứng với phương trình tán sắc mô tả Polariton nhánh dưới

(phương trình (1.43)) và nhánh trên (phương trình (1.44)). Tuy nhiên, phương

trình chúng tôi đưa ra lại khác bậc so với phương trình mà Ivanov đã đưa ra vào

4ω2

ω2 − (˜ωx

p )2 −

(ωΩc)2 ω2 − (˜ωc

p)2 −

ω2 − (˜ωx

p+k)2 −

= 0,

−

năm 2003 [12]. Kết quả trong công trình năm 2003 như sau

ω2 − (˜ωx

p−k)2 −

k|2 t |mx (ωΩc)2 p+k)2 − Mp+2k ω2 − (˜ωc k|2 t |mx 4ω2 (ωΩc)2 ω2 − (˜ωc

p−k)2 − Mp−2k

4ω2

(3.19)

ω2 − (˜ωx

p±nk)2 −

ω2 − (ωc

k|2 t |mx (ωΩc)2/4 p±nk)2 − Mp±(n+1)k

. Chúng tôi không thể giải với Mp±nk =

thích được sự khác biệt này. Sau đó, chúng tôi phát hiện kết quả khác về phương

18

trình đường tán sắc trong một công bố khác vào năm 2001 của chính tác giả Ivanov

ω − ˜ωx

[13]

− Mp+k − Mp−k = 0,

p −

, và kết quả này lại có bậc

(3.20)

ω − ˜ωx

− Mp±(n+1)k

p±nk −

Ω2 c/4 ω − ˜ωc p k|2 |mx Ω2 c/4 ω − ˜ωc

p±nk

trong đó Mp±nk =

phù hợp với kết quả tính toán của chúng tôi. Do đó, chúng tôi tiếp tục thực hiện

các tính toán với hi vọng rằng có thể dẫn ra phương trình đường tán sắc trong tài

liệu [13]. Tuy nhiên, chúng tôi không thể dẫn ra lại kết quả trong công trình [13] do

gặp khó khăn trong việc xử lý hiệu số bp−k − bp+k. Do đó, chúng tôi đã tham khảo ý kiến từ TS. Tomotake Yamakoshi về bài toán này. TS. Tomotake Yamakoshi đề

xuất dùng phương pháp khác dựa trên định lý Floquet để tiếp cận bài toán này

do Hamiltonian tuần hoàn với chu kỳ T . Hướng tiếp cận dựa trên định lý Floquet

3.2 Hướng tiếp cận sử dụng định lý Floquet

chính là nội dung của phần sau.

Trong phần này, chúng tôi trình bày tính toán nhằm đưa ra phương trình

đường tán sắc của polariton khi sóng âm học được đưa vào hệ. Chúng tôi dùng

phương trình Schr¨odinger phụ thuộc thời gian để đưa ra phương trình đường tán

= ˆHΨ,

sắc

i(cid:126)∂Ψ ∂t

(3.21)

để tiện theo dõi, chúng tôi viết lại Hamiltonian

(a†

k t − b†

k t)(cid:3).

=

pbp − b†

pap) + imx

pbp−ke−iΩac

pap + (cid:126)ωx

pbp +

pa†

p b†

k(b†

p−kbpeiΩac

ˆH = ˆHcav + ˆHexc + ˆHcoupling + ˆHpump i(cid:126)Ωc 2

p

(cid:88) (cid:2)(cid:126)ωc

(3.22)

+∞ (cid:88)

Ψ = e−iωnt

e−imΩac

Theo định lý Floquet, hàm sóng của Ψ có dạng như sau

k tφn m,

m=−∞

(3.23)

19

m là hàm sóng mô tả polariton trên cơ sở |I1, I2, p(cid:105)

trong đó φn

CI

φm m =

p |I1, I2, p(cid:105),

I,p

(cid:88) (3.24)

bp

với qui ước như sau exciton sẽ tương ứng với I = x, I1 = 1, I2 = 0, photon tương ứng với I = c, I1 = 0, I2 = 1. Các toán tử sinh và huỷ của exciton tác động lên cơ sở này theo qui tắc

b† p

(3.25) (cid:12) (cid:12)I1, I2, p(cid:48)(cid:11) = δI11δI20δp(cid:48)p |0, 0, p(cid:105) , (cid:12) (cid:12)I1, I2, p(cid:48)(cid:11) = δI10δI21δp(cid:48)p |1, 0, p(cid:105) ,

tương tự cho các toán tử sinh và huỷ của photon. Từ đó, ta dễ dàng suy ra các

(cid:48)(cid:48)

(cid:48)(cid:48)

(cid:48)

(cid:48)

phương trình sau

pbp

1 , I I

1, I

= δp(cid:48)(cid:48)pδI (cid:48)(cid:48)

1 1δI (cid:48)(cid:48)

2 0δp(cid:48)pδI (cid:48)

11δI (cid:48)

20,

(cid:48)(cid:48)

(cid:48)(cid:48)

(cid:48)

(cid:48)

(cid:68)

pap

1, I

= δp(cid:48)(cid:48)pδI (cid:48)(cid:48)

1 0δI (cid:48)(cid:48)

2 1δp(cid:48)pδI (cid:48)

10δI (cid:48)

21,

(cid:48)(cid:48)

(cid:48)(cid:48)

(cid:48)

(cid:48)

1 , I I (cid:68)

1 , I I

pbp

1, I

= δp(cid:48)(cid:48)pδI (cid:48)(cid:48)

1 0δI (cid:48)(cid:48)

2 1δp(cid:48)pδI (cid:48)

11δI (cid:48)

20,

(cid:68)

(cid:48)(cid:48)

(cid:48)(cid:48)

(cid:48)

(cid:48)

pap

1, I

= δp(cid:48)(cid:48)pδI (cid:48)(cid:48)

1 1δI (cid:48)(cid:48)

2 0δp(cid:48)pδI (cid:48)

10δI (cid:48)

21,

(cid:48)(cid:48)

(cid:48)

(cid:48)

(cid:48)(cid:48)

1, I

= δp(cid:48)(cid:48)p−kδI (cid:48)(cid:48)

1 1δI (cid:48)(cid:48)

2 0δp(cid:48)pδI (cid:48)

11δI (cid:48)

20,

(cid:48)(cid:48)

(cid:48)

(cid:48)

(cid:48)(cid:48)

.

1, I

2, p(cid:48)(cid:69) 2, p(cid:48)(cid:69) 2, p(cid:48)(cid:69) 2, p(cid:48)(cid:69) 2, p(cid:48)(cid:69) 2, p(cid:48)(cid:69)

(3.26) (cid:68)

2 , p(cid:48)(cid:48) (cid:12) (cid:12)b† 2 , p(cid:48)(cid:48) (cid:12) (cid:12)a† 2 , p(cid:48)(cid:48) (cid:12) (cid:12)a† 2 , p(cid:48)(cid:48) (cid:12) (cid:12)b† 1 , I I 2 , p(cid:48)(cid:48) (cid:12) (cid:12)b† (cid:12) p−kbp 2 , p(cid:48)(cid:48) (cid:12) (cid:12)b† pbp−k

= δp(cid:48)(cid:48)pδI (cid:48)(cid:48)

1 1δI (cid:48)(cid:48)

2 0δp(cid:48)p−kδI (cid:48)

11δ

I (cid:48) 20

(cid:68) I 1 , I (cid:68) 1 , I I (cid:12) (cid:12) I (cid:12) (cid:12) I (cid:12) (cid:12) I (cid:12) (cid:12) I (cid:12) (cid:12) (cid:12) I (cid:12) (cid:12) I

m có dạng tường minh như sau

Do đó, hàm sóng φn

m = Cx φn

p (n, m) |1, 0, p(cid:105) + Cc

p(n, m) |0, 1, p(cid:105).

(3.27)

+∞ (cid:88)

= e−iωnt

(−imΩac

Tính đạo hàm phương trình (3.23),

k tφn m

k − iωn).e−imΩac

∂Ψ ∂t

m=−∞

(3.28)

+∞ (cid:88)

+∞ (cid:88)

và đưa vào phương trình Schr¨odinger phụ thuộc thời gian (3.21), ta có

k )tφn

((cid:126)ωn + m(cid:126)Ωac

m =

p b†

pbp + (cid:126)ωc

pa†

pap

k )e−i(ωn+mΩac

m=−∞

m=−∞

p

+i

(a†

k t − b†

e−i(ωn+mΩac

(cid:88) (cid:2)(cid:126)ωx

pbp − b†

pap) + imx

pbp−k.e−iΩac

k t)φn m.

k(b†

(3.29) (cid:21) p−kbpeiΩac k t) (cid:126)Ωc 2

20

k )t và lấy tích phân trên

Cc

((cid:126)ωn + m(cid:126)Ωac

p (n; m) = (cid:126)ωx

p Cx

p (n; m) −

p(n; m)

k )Cx

Nhân hai vế của phương trình (3.29) với (cid:104)1, 0, p|e−i(ωn(cid:48) +m(cid:48)(cid:126)Ωac toàn miền thời gian, ta được phương trình

i(cid:126)Ωc 2 (cid:2)Cx p−k(n; m − 1) − Cx

p+k(n; m + 1)(cid:3) ,

+ imx k

k )t và lấy tích

(3.30)

Cx

tương tự, khi nhân hai vế phương trình (3.29) với (cid:104)0, 1, p|e−i(ωn(cid:48) +m(cid:48)(cid:126)Ωac phân trên toàn miền thời gian, ta được

((cid:126)ωn + m(cid:126)Ωac

p (n; m).

p(n; m) = (cid:126)ωc

pCc

p(n; m) +

k )Cc

i(cid:126)Ωc 2

(3.31)

p (n, m) và Cc

p(n, m)

1

Cc

Cx

Từ phương trình (3.31), ta suy ra mối liên hệ giữa Cx

p(n, m) =

p (n, m).

i(cid:126)Ωc 2

p

k − (cid:126)ωc

(3.32) (cid:126)ωn + m(cid:126)Ωac

Kết hợp phương trình (3.30) và (3.32), ta suy ra hệ thức truy hồi của hệ số khai

triển hàm sóng exciton

1

Cx

p +

p (n, m)

k − (cid:126)ωx

((cid:126)Ωc)2 4

p

k − (cid:126)ωc (cid:126)ωn + m(cid:126)Ωac (cid:2)Cx p−k(n, m − 1) − Cx = imx k

p+k(n, m + 1)(cid:3) (3.33)

(cid:21) (cid:20) (cid:126)ωn + m(cid:126)Ωac

Ta có thể thấy rằng, kết quả này khác biệt so với kết quả của Ivanov vào các năm

2001, 2003. Chúng tôi dự định thực hiện tính toán số để đánh giá các phương trình

tán sắc của chúng tôi đưa ra và của Ivanov nhưng do thời gian thực hiện khoá luận

có giới hạn nên chúng tôi chưa thực hiện được việc này.

21

Kết luận và hướng phát triển

Trong khoá luận tốt nghiệp này, chúng tôi thực hiện việc chéo hoá Hamiltonian

mô tả tương tác giữa các polariton và các phonon âm học theo phương pháp RWA

được đề xuất bởi Ivanov và các cộng sự vào năm 2003 để thu được phương trình

đường tán sắc của các polariton khi có mặt các phonon âm học. Tuy nhiên, chúng

tôi lại không thể thu được kết quả tương tự như phương trình (2) trong bài báo của

tác giả Ivanov [12]. Để chắc chắn những tính toán của chúng tôi là chính xác, chúng

tôi đề nghị TS. Nguyễn Duy Vỹ đưa ra những đánh giá về các kết quả chúng tôi.

TS. Nguyễn Duy Vỹ kết luận rằng kết quả của chúng tôi là chính xác. Điều này đã

gây khó khăn cho chúng tôi, và để giải quyết vấn đề này, chúng tôi nhờ đến sự giúp

đỡ của TS. Tomotake Yamakoshi. Theo đề xuất của TS. Tomotake Yamakoshi,

chúng tôi sử dụng định lý Floquet kết hợp với phương trình Schr¨odinger phụ thuộc

thời gian và tính toán lại để dẫn ra phương trình đường tán sắc do phương pháp

gần đúng sóng quay không phù hợp với quá trình tương tác đa photon (quan điểm

của TS. Tomotake Yamakoshi). Với hướng tiếp cận này, chúng tôi thu được một

phương trình mô tả đường tán sắc hoàn toàn khác so với kết quả trong công trình

[12]. Sau đó, chúng tôi phát hiện ra một phương trình đường tán sắc khác cũng

do chính tác giả Ivanov đưa ra vào năm 2001 [13]. Điều này đã làm chúng tôi rất

bất ngờ, khi chéo hoá cùng một Hamiltonian lại cho nhiều kết quả khác nhau. Vì

thời gian thực hiện khoá luận tốt nghiệp có giới hạn nên chúng tôi chưa thể đưa

ra câu trả lời cuối cùng để khẳng định kết quả nào chính xác. Tuy nhiên, đây cũng

là một kết quả thú vị đối với một khoá luận tốt nghiệp khi phát hiện ra sự “kì dị”

này, đặc biệt là những kết quả này được công bố trên tạp chí hàng đầu trên thế

giới trong lĩnh vực vật lý.

Hướng phát triển tiếp theo của đề tài này là tham khảo ý kiến của một số

chuyên gia để giải thích sự bất thường này. Ngoài ra, chúng tôi cũng sẽ tiến hành

giải số để đánh giá các kết quả hiện tại.

22

Tài liệu tham khảo

[1] M. Lewenstein, P. Balcou, M. Y. Ivanov, et al., “Theory of high-harmonic generation by low-frequency laser fields”, Phys. Rev. A, vol. 49, no. 3, p. 2117, 1994.

[2] V. Pham, O. Tolstikhin, and T. Morishita, “Molecular Siegert states in an electric field. II. Transverse momentum distribution of the ionized electrons”,

Phys. Rev. A, vol. 89, no. 3, p. 033 426, 2014.

[3] O. I. Tolstikhin, L. B. Madsen, and T. Morishita, “Weak-field asymptotic the-

ory of tunneling ionization in many-electron atomic and molecular systems”, Phys. Rev. A, vol. 89, no. 1, p. 013 421, 2014.

[4] E. Raab, M. Prentiss, A. Cable, et al., “Trapping of neutral sodium atoms with radiation pressure”, Phys. Rev. Lett., vol. 59, no. 23, p. 2631, 1987.

[5] S. Chu, L. Hollberg, J. E. Bjorkholm, et al., “Three-dimensional viscous con- finement and cooling of atoms by resonance radiation pressure”, Phys. Rev. Lett., vol. 55, no. 1, p. 48, 1985.

[6] M. Anderson, J. Ensher, M. Matthews, et al., “Observation of Bose-Einstein condensation in a dilute atomic vapor”, Science, vol. 269, no. 5221, pp. 198– 201, 1995.

[7] T. Yamakoshi and S. Watanabe, “Wave-packet dynamics of noninteracting ultracold bosons in an amplitude-modulated parabolic optical lattice”, Phys. Rev. A, vol. 91, no. 6, p. 063 614, 2015.

[8] S. Watanabe, S. Aizawa, and T. Yamakoshi, “Contrast oscillations of the Bose- Einstein-condensation-based atomic interferometer”, Phys. Rev. A, vol. 85, no. 4, p. 043 621, 2012.

[9] A. Imamoglu, R. J. Ram, S. Pau, et al., “Nonequilibrium condensates and lasers without inversion: Exciton-polariton lasers”, Phys. Rev. A, vol. 53, no. 6,

p. 4250, 1996.

23

[10] L. S. Dang, D. Heger, R. André, et al., “Stimulation of polariton photolu- minescence in semiconductor microcavity”, Phys. Rev. Lett., vol. 81, no. 18,

p. 3920, 1998.

[11] S. Christopoulos, H. Von H. Baldassarri, A. J. D. Grundy, et al., “Room- temperature polariton lasing in semiconductor microcavities”, Phys. Rev. Lett., vol. 98, no. 12, p. 126 405, 2007.

[12] A. L. Ivanov and P. B. Littlewood, “Resonant acousto-optics of microcavity

polaritons”, Semicond. Sci. Technol., vol. 18, pp. 428–434, 2003.

[13] A. L. Ivanov, “Acoustically Induced Stark Effect for Excitons in Intrinsic

Semiconductors”, Phys. Rev. Lett., vol. 87, no. 13, p. 136 403, 2001.

[14] D. Hui, H. Haug, and Y. Yamamoto, “Exciton-polariton Bose-Einstein con-

densation”, Rev. Mod. Phys., vol. 82, pp. 1489–1537, 2010.

[15] W. Magnus and S. Winkler, Hill’s equation. Courier Corporation, 2013.

[16] E. L. Ince, “Ordinary Differential Equations Dover, New York, 1956”, First

published by Longmans, Green and Co. in, 1926.

24

Tp.HCM, ngày tháng 05, năm 2018

Xác nhận của Phản Biện

Tp.HCM, ngày tháng 05, năm 2018

Xác nhận của Người Hướng Dẫn Khoa Học