ĐƯỜNG THẲNG TIẾP XÚC VỚI ĐƯỜNG CONG TẠI HAI TIẾP ĐIỂM PHÂN BIỆT

Chia sẻ: Nguyen Uyen | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:20

Thêm vào BST

Báo xấu

109
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong kỳ thi tuyển sinh vào các trường Cao Đẳng và Đai học ta thường gặp bài toán sau đây: “Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C). Tìm các điểm M để từ đó vẽ được 2 hoặc 3 tiếp tuyến phân biệt đến đường cong (C).”

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: ĐƯỜNG THẲNG TIẾP XÚC VỚI ĐƯỜNG CONG TẠI HAI TIẾP ĐIỂM PHÂN BIỆT

ĐƯỜNG THẲNG TIẾP XÚC VỚI ĐƯỜNG CONG TẠI HAI TIẾP ĐIỂM PHÂN BIỆT A. ĐẶT VẤN ĐỀ: Trong kỳ thi tuyển sinh vào các trường Cao Đẳng và Đai h ọc ta th ường gặp bài toán sau đây: “Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C). Tìm các đ iểm M để từ đó vẽ được 2 hoặc 3 tiếp tuyến phân biệt đến đường cong (C).” Tôi xin đơn cử ví dụ sau đây: x2  1  Ví dụ : “ Cho đường cong (C): y  . Tìm các điểm trên trục Ox để từ đó x vẽ được 2 tiếp tuyến phân biệt đến đư ờng cong (C).  Lời giải của đa số các sách tham khảo : Gọi M(x0,0) Ox, (d) là đường thẳng qua M và có hệ số góc k, phương trình của (d) là: y=k(x-x0). tiếp xúc với (C) hệ phương trình đây có (d) sau  x2  1  x  k ( x  x0 )  nghiệm:  2 (1)  x 1  k x 
x2  1 x2  1  2 ( x  x0 ) Thay (2) vào (1) được phương trình: x x x0x2 + 2x – x0=0 (x  0) (3) Từ M vẽ được 2 tiếp tuyến phân biệt đến đồ thị hàm số (3) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 : x  0    '(3)  0 trong đó g(x)= x0x2 + 2x – x0   g (0)  0 x  0  1  x0 2  0  x0  0  x  0 0  M ( x0 ,0) Kết luận : Các điểm cần tìm là:   x0  0 Rõ ràng lời giải trên thiếu chặt chẽ, bởi vì nếu phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 khác 0 và k(x1)=k(x2) thì ta chỉ tìm được 1 tiếp tuyến vẽ từ M đến đường cong (C) chứ không phải 2 tiếp tuyến phân biệt. Do đó, để tìm lời giải ch ặt chẽ cho ví dụ trên và các bài toán tương tự là 1 công việc cấp bách và cần thiết. Trong ph ạm vi của bài viết này, tôi xin bổ sung để bài giải cho loại toán này được chính xác, mong nhận được sự đóng góp ý ch ân tình của các bạn đồng nghiệp.
B.NOÄI DUNG, BIEÄN PHAÙP: I. Q uá trình phát triển kinh nghiệm: Trước đây khi giảng dạy đến dạng b ài tập n ày, tôi cũng thực hiện tương tự như lời giải trong sách tham khảo. Ưu điểm của cách giải trên là gọn gàng, n ếu học sinh nắm vững cách viết phương trình tiếp tuyến với đư ờng cong (C) đi qua 1 điểm cho trước thì có thể làm được dạng toán n ày. Nhược điểm lớn nhất của cách giải trên là thiếu chính xác, từ đó bản thân cảm thấy day dứt khi mình truyền đạt cho học sinh cách giải này. Đặc biệt, trong kỳ thi tuyển sinh vào trường Đại Học An Giang năm học 2001 có b ài tương tự và tôi có tham gia chấm. Những học sinh giải thiếu chính xác chỗ này bị trừ điểm rất nặng. II. Biện pháp mới thực hiện: Sau khi dạy xong bày “ Viết ph ương trình tiếp tuyến với đư ờng cong (C) đi qua 1 điểm cho trước” tôi làm theo các bước sau đây: 1. Bước 1: Cho học sinh các b ài tập sau đây về nhà chuẩn bị: 4 x  x2 Bài 1 : Cho đường cong (C) : y  . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) x 1 đi qua A(1, -4).
Bài 2 : Cho đường cong (C): y=x4-2x2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) đi qua A(0, -1). Bài 3 : Cho đường cong (C): y=x3-9x2+ 17x +3. Qua A(-2,6) có thể vẽ được mấy tiếp tuyến với (C). 2. Bước 2: Giáo viên và học sinh thực hiện tại lớp: Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Nếu cách viết phương - Gọi (d) là đường thẳng đi qua M0 và có hệ số - tiếp tuyến với góc k.(d): y= k(x-x0) +y0 trình đường cong (C): y= f(x) (d) tiếp xúc với (C) hệ phương trình sau đi qua điểm M0(x0,y0) đây có nghiệm: cho trước  f ( x)  k ( x  x0 )  y0 (1) (2)  f '( x)  k  Thay (2) vào (1) được phương trình: f(x)=f’(x).(x-x0) + y0 (3) Giải (3) tìm x, thay x tìm được vào (2) tìm k, từ Viết phương trình tiếp đó suy ra phương trình của (d). - tuyến với (C): y=x4-2x2. Gọi (d) là đường thẳng đi qua A(0,-1) và - đi qua A(0, -1). có hệ số góc k.
Bài giải n ày, giáo viên (d): y=kx-1 - cho học sinh nhận xét và (d) tiếp xúc (C) hệ phương trình sau đây có sau đó không xoá b ảng, nghiệm: vì còn để gợi ý cho bài  x 4  2 x 2  kx  1 tập tiếp theo  (1) (2) 3 4 x  4 x  k  - Th ầy nói: Trên nền tảng của bài toán này, các em hãy, suy Thay (2) vào (1) ta được: ngh ĩ và giải bài toán sau đây: x4-2x2=(4x3-4x)x-1 “Cho đường cong (C): 3x4-2x2-1=0 x2  1 y . Hãy tìm các điểm x x 1 M thuộc trục ho ành để từ đó vẽ x2=1  x  1  được 2 tiếp tuyến phân biệt đến đường cong (C).” Khi x=1 ta được k=0 - Để giúp học sinh giải bài toán Khi x=-1 ta được k=0 này, thầy có thể dựa trên h ệ Kết luận: Có 1 tiếp tuyến với (C) đi quan A(0,- thống câu hỏi sau đây: 1) là (d): y = -1 + Điểm M Ox có toạ độ như - Gọi M(x0,0)  Ox, (d) là đường thẳng qua M thế nào? và có hệ số góc k. + Khi thay (2) vào (1) thì ta (d): y= k(x-x0) được phương trình với ẩn là gì? (d) (C) h ệ phương trình sau có nghiệm: + Để vẽ được hai tiếp tuyến
phân biệt đến (C) phương  x 2  1  x  k ( x  x0 )  trình (3) ph ải như thế nào? 2  x 1  k x  - Th ầy cho các em khác nhận xét về cách giải bài toán trên Thế (2) vào (1) ta được: bảng. x2  1 x2  1  2 ( x  x0 ) x x - Nếu học sinh không phát hiện ra thì giáo viên hướng dẫn học x0x2 + 2 x – x0=0 (x  0) (3) sinh lại bài toán về nh à đ ã làm còn để trên b ảng, giáo viên nói, Từ M vẽ đư ợc 2 tiếp tuyến phân biệt đến đồ thị phương trình 3x2-2x2-1=0 có 2 hàm số (3) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 : nghiệm phân biệt x=1 và x=-1 x  0  nhưng khi tìm k chỉ có 1 giá trị  '(3)  0 trong đó g(x)= x0x2 + 2x   g (0)  0 duy nhất k=0, vì vậy chỉ có 1 tiếp tuyến duy nhất. – x0 - Đến đây thầy nói: “Từ M vẽ x  0  1  x0 2  0  x0  0 được 2 tiếp tuyến phân biệt vơi  x  0 0 (C) phương trình (3) ph ải giải như th ế n ào? Kết luận: Các điểm cần tìm là:  M ( x0 ,0)   x0  0 hay M  Ox và M  O
Trò trả lời: (3) có 2 nghiệm phân biệt x1, - x2 khác 0 và k(x1)=k(x2)  x0  0 '   (3)  0   g (0)  0 2 2  x1  1  x2  1  x1 x2   x0  0 22 2 22 2  x1 x2  x2  x1 x2  x1  x0  0  x0  0   2 2 ( x1  x2 )( x1  x2 )  0  x1  x2  0  x0  0  x0  0   vì x1  x2   2  x  0  x1  x2  0 0  x0  0 Gọi M(x0,1)  y=1 và (d) là đường thẳng qua M có hệ số góc k. => (d): y= k(x-x0) +1 (1) (d) tiếp xúc (C)  h ệ phương trình có nghiệm:
  x 3  3x 2  3  k ( x  x0 )  1  2 3 x  6 x  k  Thay (2) vào (1) ta được:  x3  3x 2  3  (3 x2  6 x)( x  x0 )  1  2 x3-3(x0+1)x2 + 6x.x0 -1 =0 2 -Thầy bổ sung cho bài giải đầy  (x-2) [2x +(1-3x0)x + 2] =0 (3) đủ. x  2  2  2x +(1-3x 0 )x + 2 =0 - Thầy nêu ví dụ 2: Tìm những điểm trên đường thẳng y=1 để Từ M vẽ đ ược 3 tiếp tuyến phân biệt đến (C)  từ đó vẽ đ ược 3 tiếp tuyến phân (3) có 2 ngiệm phân biệt x1, x2 khác 2 và biệt đến đường cong (C): k(x1)=k(x2) )=k(2) y   x3  3x 2  3 học cho  '(3)  0 sinh tự giải và gọi 1 học sinh   g (2)  0  lên bảng.   k ( x1 )  0 k ( x )  0 2  k ( x1 )  k ( x2 )  (1  3x0 ) 2  16  0  8  (1  3 x0 )2  2  0   k ( x1 ).k ( x2 )  0 k ( x )  k ( x ) 1 2
 x0  1 or x0  5/ 3 x  2 0  [-3x1 ( x1  2].[-3x2 ( x2  2)]  0  3x 2  6 x  3x 2  6 x 1 1 2 2  x0  1 or x0  5/ 3 x  2 0   x1.x2  0 ( x1  x2 )( x1  x2  2)  0   x0  1 or x0  5 / 3 x  2 0  2  0 2  3 x0  1  2)  0 ( 2   x0  1 or x0  5 / 3    x0  2  5 x  3  5   x0  1 or x0   3  x0  2  - Th ầy hỏi: Có nhận xét gì về Kết luận: Các điểm cần tìm là: hiệu x1-2 và x2-2  M ( x0 ,1)   5  x0  1 or x0  3 and x0  2 
-Gọi M(0,y0)  Oy và (d) đi qua M có hệ số góc k. => (d) : y=kx+y0 (d) tiếp xúc (C) Hệ phương trình sau có  x 4  x 2  2  kx  y0  nghiệm:   3 (1), (2) 4 x  2 x  k  Thế (2) vào (1) ta được: Thầy cho VD3: Tìm các điểm x4  x 2  2  4 x 4  2 x 2  y0 trên Oy để từ đó vẽ được 3 tiếp 4 2 tuyến phân biệt đến đường con  3x  x  y0  2  0 (3) (C): Đặt: t=x2 , đ k: t  0 y  x4  x2  2 (3) trở thành: 3t 2  t 2  y0  2  0 (4) - Giáo viên hỏi: Phương trình * Trường hợp 1: (3) là phương trình gì và Phương trình (4) có 1 nghiệm bằng 0. phương ph áp giải của nó? - Giáo viên h ỏi: Khi nào Khi đó: y0 = - 2 phương trình (3) có 3 nghiệm? t  0 Lúc đó phương trình các tiếp Lúc đó (4)   1  t= 3 tuyến với (C) vẽ từ M có tìm được không?
- Giáo viên h ỏi: Khi nào 1 Và (3) có 3 nghiệm x1=0, x2= , 3 phương (3) có 4 nghiệm phân biệt ? 1 . Thay x1, x2, x3 lần lượt vào (2) đư ợc x3= - 3 - Giáo viên hỏi: Khi (4) có 2 2 2 nghiệm phân biệt (0
- Giáo viên hỏi: Có nhận xét gì về biểu thức 2(x12+x1x2+x22) - 1? - Giáo viên hỏi: Có nhận xét gì về các nghiệm: - t2 , - t1 , t2 , t1 Khi đó: 4x13 -2x1=4x23 -2x2 2(x1- x2)(x12 + x1.x2 + x22) - (x1- x2) =0 (x1- x2)[2(x12 + x1.x2 + x22)]= 0 2(x12 + x1.x2 + x22) – 1 = 0 (6) Do tính đ ối xứng của biểu thức 2(x12 + x1.x2 +
x22) – 1 và tính đối xứng của 4 nghiệm  t 2 ,  t1 , t1 , t 2 qua 0 nên xét các kh ả năng sau đây: i) x1= t1 , x2= t 2 Khi đó (6) 2(t1+t2+ t1t 2 - 1 =0 y0  2 1 23 (lo ại 2(  ) = 1 y0   3 3 12 do (5)) (7) ii) x1= t1 , x2= - t1 Khi đó (6) 2(t1+t2+ t1t 2 - 1 =0 t1=1/2 31 9 Khi đó   y 0  2  0 y 0   (lo ại 42 4 do (5)) (8) iii) x1= - t1 , x2= t 2 Khi đó (6) 2(t1+t2+ t1t 2 )= 1 y0  2 y 2 1 1 ) = 1 0 2(   3 3 3 6 (VN) (9)
Từ (7) (8) (9) => nếu x1, x2 là nghiệm phân biệt của (3) th ì k(x1)  k(x2). Do đó trong trường hợp phương trình (3) có 4 nghiệm phân biệt th ì có 4 tiếp tuyến phân biệt với (C) vẽ từ M. Kết luận: Điểm cần tìm là: M(0,-2) 3. Chuyển biến của sự việc: - Học sinh hiễu rõ hơn bản chất của b ài toán viết phương trình tiếp tuyến với đường cong đi qua 1 điểm cho trước, cụ thể là từ số nghiệm của phương trình f(x)=f’(x).(x- x0) + y0 ta suy ra các giá trị k bằng cách thay thể x vào biểu thức k= f’(x). Do đó, nếu sử dụng mệnh đề “ Từ M vẽ được n tiếp tuyến phân biệt đến (C) phương trình f(x)=f’(x).(x-x0) + y0 có n nghiệm phân biệt” thì trước hết phải chứng minh rằng: “Nếu x1, x2 là 2 nghiệm phân biệt của phương trình f(x)=f’(x).(x-x0) + y0 thì k(x1)  k(x2) .” - Không khí lớp học rất sôi nổi, học sinh rất hứng thú suy nghĩ và đưa ra ý kiến của riêng mình.
- Trên cơ sở của 3 bài toán trên, các em có thể giải quyết các bài toán khác nhau như: Tìm M để từ đó vẽ ít nhất 1 tiếp tuyến, đúng 1 tiếp tuyến, 2 tiếp tuyến vuông góc đến (C). 4. Kiểm nghiệm kết quả thực hiện: Sau khi dạy xong phần này, tôi cho học sinh lớp 12A3 (lớp khá giỏi) làm bài kiểm tra 20 phút với nội dung sau đây: x2  9 “ Cho đường cong (C): y  . Tìm các điểm trên Ox để từ đó vẽ đúng 1 x 1 tiếp tuyến với (C).” Tôi thu được kết quả sau đây: a. Thống kê: Dưới Lớp TS Điểm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 TB TB Số 000000 3 6 8 13 10 7 47 lượng 12A3 47 Tỷ lệ 000000 6.38 12.77 17.02 27.66 21.28 14.89 100% b . Phân tích đánh giá kết quả : Trước khi phân tích đánh giá kết quả, tôi xin đưa ra đáp án sau đây:
Gọi M(x0, 0)  Ox và (d) đi qua M có hệ số góc k => (d): y=k(x-x0)  x2  9  k ( x  x0 )   x 1 (d) tiếp xúc (C) hệ phương trình sau có nghiệm:  2  x  2x  9  k  ( x  1)  x 2  9 x 2  2x  9 Thay (2) vào (1) ta được:  ( x  x0 ) x 1 ( x  1) ( x2- 9)(x+1)=(x2+2x+9)(x-x0) (1 -x0)x2 +2(9-x0)x+9-9x0 = 0 (x  -1) (3) (2đ) Để từ M vẽ được đúng 1 ph ương trình với (C), ta xét các trường hợp sau đây: i) 1-x0 = 0 x0=1 Khi đó (3) 16x = 0 x = 0  -1 Vậy x0 = 1 tho ả mãn đ ề b ài. ii) (3) coù moät nghieäm keùp khaùc 1 1  x  0 x  1    x 3     x  3  x  3      0   x  3 1  x  18  2 x  9  9 x  0  x  1      iii) (3) coù hai nghieäm phaân bieät trong ñoù coù moät nghieäm baèng 1 1  x  0  x  1      0   3  x  3 x  1 (2ñ)  1  x  18  2 x  9  9 x  0  x  1     
iv) (3) coù hai nghieäm phaân bieät x1 , x2 khaùc 1 vaø k x   k x  1 2 x  1   3  x  3  x  1  x  1    x  1   3  x  3 (1,5ñ)  x  x   x  x  2   0  x  2x  9 x  2x  9 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2   x1  1  x2  1    x  1  x  1  x  1  x  1  x  1  x  1        3  x  3   3  x  3   3  x  3 (heä VN)  x  x  2   0   2  0  0.x  16 2 x  9   1 2  1  x  Kết luận : M(x0,0) với x0 {1,-1,3,-3}. (0.5đ) Số học sinh đạt từ 8 trở lên rất cao, hầu hết các học sinh này xét đủ 4 trường - h ợp, nhưng trong quá trình làm có sai sót chút ít, có th ể khắc phục dần. Số học sinh đạt từ 7 trở xuống chiếm tỷ lệ 36.7%. Các học sinh này có th ực - h iện trường hợp thứ 4 nhưng khi biến đổi k(x1) = k(x2) th ành (x1-x2)( x1+x2+2) = 0 thì thực hiện sai sót do ngán ngại việc rút gọn nh ững biểu thức tương đối dài. Việc n ày giáo viên chỉ cần uốn nắn nhắc nhở nhiều lần. Hầu hết có xét trư ờng hợp thứ 4, điều này khẳng định các em hiểu rõ vấn - đ ề: “ Số nghiệm của phương trình f(x)=f’(x)(x-x0) + y0 và số tiếp tuyến tìm được chưa chắc là tương ứng một đối một.” Đó cũng chính là mục đích của tôi khi trình bày vấn đề n ày. II. Kieåm nghiệm lại kết quả:
1. K ết quả của cách giải mới: Như đã nói ở phần trên, cách giải mới giúp học sinh nắm đư ợc mối liên h ệ - giữa số ngiệm của phương trình f(x)=f’(x)(x-x0) + y0 và số tiếp tuyến tìm được. Cụ thể là: “Nếu n là số nghiệm của phương trình và m là số tiếp tuyến tìm được thì m
- Đư ợc sự giúp đỡ của các đồng nghiệp trong tổ Toán và sự động viên của Ban Giám Hiệu. - Trong k ỳ chấm thi vào Đại học An Giang năm 2001 vừa qua, th ấy các học sinh bị trừ điểm nặng khi giải toán thiếu chính xác loại toán này nên thôi thúc tôi thực hiện sáng kiến này. b. Nguyên nhân tồn tại: Do thời gian có hạn nên sáng kiến này có một ít sai sót - Nếu kiến thức về phương trình đại số ở lớp 10 bị hỏng th ì gặp khó khăn khi - học phần này. Do phân phối chương trình cho phần các bài toán liên hệ đến khảo sát hàm - số quá ít n ên việc truyền đạt cũng gặp rất nhiều khó khăn. 4. Bài học kinh nghiệm: Khám phá đư ợc cách giải chặt chẽ cho loại Toán này. - Đối với tổ nhóm chuyên môn, đây là một chuyên đề để anh em có thể trao - đổi để nâng cao trình độ chuyên môn cho cá nhân. C.KEÁT LUAÄN CHUNG: Khoa học tự nhiên nói riêng và khoa h ọc nói chung phải chính xác tuyệt đôi