Giải tích đại cương - Kỹ thuật giải & kinh nghiệm thi cuối kì 2

Chia sẻ: Lâm Hữu Minh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:35

Thêm vào BST

Báo xấu

65
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu Giải tích đại cương - Kỹ thuật giải & kinh nghiệm thi cuối kì 2 cung cấp cho các bạn một số kỹ thuật bổ sung ngoài những phương pháp cơ bản để phục vụ cho việc thi cuối kì môn Giải tích 2 và 3, bao gồm 4 phần quan trọng là tích phân bội, tích phân đường và tích phân mặt, chuỗi và phương trình vi phân.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giải tích đại cương - Kỹ thuật giải & kinh nghiệm thi cuối kì 2

GIẢI TÍCH ĐẠI CƯƠNG Kỹ thuật giải & Kinh nghiệm thi cuối kì II Lâm Hữu Minh∗ Ngày 7 tháng 6 năm 2016 Tóm tắt nội dung Tài liệu ngắn này sẽ cung cấp đến các bạn một số kỹ thuật bổ sung ngoài những phương pháp cơ bản để phục vụ cho việc thi cuối kì môn Giải tích II và III, bao gồm 4 phần quan trọng là: Tích phân bội, Tích phân đường và tích phân mặt, Chuỗi, và Phương trình vi phân. Tài liệu không mang tính hệ thống lại lý thuyết hay công thức, mà là sự khám phá mở rộng, gồm những kỹ thuật ghi nhớ công thức và một số phương pháp giải nhanh, bản chất công thức, hay lưu ý quan trọng khi làm bài. Đó đều là những kinh nghiệm của tôi trong quá trình học, nhưng do thời gian hạn hẹp nên không thể đưa hết vào đây được. Tài liệu đặc biệt thích hợp với những bạn theo học nghành Toán - Tin nói riêng và tất cả những ai có sự yêu thích đối với Toán học và đam mê khám phá nói chung. Một số phương pháp tôi đưa ra có thể ứng dụng vào việc lập trình những phần mềm liên quan đến việc tính toán, phân tích. Mong rằng các bạn sẽ thấy nó có ích cho kì thi cuối kì 2, và quan trọng là hãy chia sẻ cho bạn thân của mình! ∗ SV ĐH Bách Khoa HN, sherlockttmt@gmail.com 1
Mục lục Tóm tắt 1 1 TÍCH PHÂN BỘI 3 1.1 Cách vẽ miền D và V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Khó nhớ công thức đổi biến sang tọa độ cầu? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Lưu ý khi đổi sang tọa độ cực, tọa độ cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG - MẶT 11 2.1 Tham số hóa tích phân đường cong kín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Tích phân đường sang tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 Tìm hàm số có vi phân toàn phần đã biết trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.4 Làm gọn tích phân đường loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.5 Tính toán nhanh hơn trong tích phân mặt loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 CHUỖI 18 3.1 Tìm miền hội tụ chuỗi hàm bất kì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ∞ X lnp f1 (n) 3.2 Xét hội tụ của chuỗi p q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 n=1 f 2 (n) 3.3 Tính đạo hàm hoặc tích phân của chuỗi hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.4 Nhớ khai triển Maclaurin các hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.5 Xét tính hội tụ dạng chuỗi ∞ − ∞ và 0 − 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 23 4.1 PTVP không mẫu mực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.2 Đưa PTVP về dạng đẳng cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.3 Đưa PTVP về dạng toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.4 Tách phân thức hữu tỉ nhanh nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2
1 TÍCH PHÂN BỘI 1.1 Cách vẽ miền D và V Nhiều bạn hỏi: khi nào cần vẽ hình trong bài toán tích phân bội khi làm bài thi? Câu trả lời đơn giản thôi: vẽ được thì hãy vẽ ra, không vẽ nổi hoặc hình quá phức tạp thì thôi, cái quan trọng là tìm được cận, vì đôi khi, chỉ cần đổi biến số 1 phát là ra luôn tích phân mà không cần giải thích bằng hình, và trong ứng dụng thực tế, người ta cũng cố hạn chế việc phải dựa vào hình vẽ như vậy vì không phải cái gì cũng có thể thấy rõ ràng được mà phải tư duy trừu tượng! Nếu ở lớp 12 các bạn học hình không gian tốt (có thể vừa đọc đề vừa tưởng tượng, tính toán không cần nháp) thì mục này không quan trọng lắm đâu! Sau đây, tôi sẽ cung cấp cho các bạn một phương pháp đơn giản để phác thảo được hầu hết các mặt trong không gian mà bài toán tích phân bội trong đề thi có thể ra, tôi gọi nó là phương pháp tổng quát hóa. Tóm tắt: ta sẽ xây dựng một vài phần đơn giản của mặt, sau đó liên kết các phần với nhau và dùng trí nhớ của ta về những hình không gian mẫu đã từng thấy, sự liên hệ từ 2 chiều sang 3 chiều để đưa ra dạng đúng, hoặc dạng gần đúng (phác thảo) của mặt cần tìm. Nói cách khác: ta dựa vào một số tính chất đặc biệt để từ một vài nét riêng tổng quát thành hình đầy đủ! Đầu tiên, ta cần nắm các tính chất sau đây: ?) Xét mặt (S) trong không gian có PT z = f (x, y), (S) là mặt đối xứng qua: a) mp Oxz nếu f (x, −y) = f (x, y) b) mp Oyz nếu f (−x, y) = f (x, y) c) trục Oz nếu f (−x, −y) = f (x, y) (hay gặp (S) là mặt tròn quay trục Oz ). d) trục Ox nếu f (x, −y) = −f (x, y) e) trục Oy nếu f (−x, y) = −f (x, y) f) gốc tọa độ nếu f (−x, −y) = −f (x, y) (hay gặp (S) là mặt kín tâm ở gốc tọa độ). (Nếu cho PT dạng y = f (x, z) hay x = f (y, z) cũng tương tự). ?) Nếu mặt (S) đối xứng qua trục Oz , thì giao tuyến (nếu có) của nó với 2 mp Oxz và Oyz là các đường đối xứng qua Oz , giao tuyến của nó với mp Oxy (nếu có) là đường nhận gốc O làm tâm đối xứng (tương tự khi (S) đối xứng qua Oy , Oz ). ?) Nếu mặt (S) đối xứng qua mp Oxz , thì hình chiếu D của nó xuống mp Oyz và Oxy lần lượt nhận Oz và Ox làm trục đối xứng. ?) Mặt (S) là mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz khi PT của (S) không chứa z (tương tự với Ox, Oy ). 3
Sau đây ta xét vài VD vẽ mặt từ cơ bản đến phức tạp. Theo như tóm tắt phương pháp ở trên, ta cần phải nhớ hình dạng một số mặt cơ bản, và 6 VD đầu tiên là các mặt cơ bản (quy ước gọi tất cả các mặt trong 6 VD đó là mặt (S)). Vì lí do kỹ thuật nên tôi không thể đưa được bất cứ hình ảnh minh họa nào vào tài liệu này, vì thế các bạn hãy vẽ hình đàng hoàng ra giấy nháp và tưởng tượng theo hướng dẫn! x2 y2 Ví dụ 1. z = + với p, q > 0 p q x2 y2 Đặt f (x, y) = + , vì f (−x, −y) = f (x, y) nên mặt (S) nhận trục Oz làm trục đối xứng, do p q đó 2 giao tuyến của nó với Oxz và Oyz là đều là các đường đối xứng qua Oz . x2 Cho y = 0, ta được z = , đây là PT giao tuyến của (S) với mp Oxz , và là 1 parabol hướng p lên có đỉnh tại O (do p > 0). y2 Cho x = 0, ta lại được PT giao tuyến của (S) với mp Oyz : z = , cũng là 1 parabol tương tự q trên. Bây giờ, từ 2 giao tuyến đã tìm được, các bạn có thể sử dụng trí tưởng tượng của mình để tổng quát hóa nó thành toàn bộ mặt (S) của chúng ta được chứ? Vâng, nó chính là mặt Paraboloit eliptic, đây là 1 tên gọi ghép, thể hiện rằng nó là 1 parabol không gian, nhưng cái "miệng" của nó ở phía trên (là giao tuyến của nó với mp z = h > 0) thì là 1 elip. x2 y2 Ví dụ 2. z = − với p, q > 0 p q x2 y2 Đây cũng là mặt đối xứng qua Oz , giao tuyến với Oxz và Oyz lần lượt là z = và z = − , p q nhưng không đơn giản để liên kết 2 cái giao tuyến đó lại với nhau vì chúng ngược nhau! x2 h2 Nhận thấy, nếu cho y = h, thì z = − là 1 parabol hướng lên (tức theo hướng dương của p q Oz ) và nằm trong mp y = h. Điều đó có nghĩa là khi ta sử dụng 1 mp vuông góc với Oy cho quét qua mặt (S) thì các giao tuyến thu được luôn là 1 parabol hướng lên, đỉnh của nó trùng gốc O khi mặt phẳng quét nằm tại vị trí y = 0, và thấp hơn gốc O (z < 0) tại các vị trí khác. Đó là 1 họ các parabol hướng lên nằm trong mp song song với Oxz Bây giờ lại coi x là hằng số, nghĩa là khi ta quét (S) bằng mp x = k song song với Oyz , thì thu y2 k2 được 1 họ các parabol hướng xuống z = − + , đỉnh của nó trùng O khi x = 0 và cao hơn O tại q p các vị trí quét khác. Bằng cách vẽ khoảng 5 đường parabol trong mỗi họ trên (đường thứ nhất nằm chính giữa là giao tuyến của mặt quét với Oxz và Oyz ta đã vẽ từ đầu) là ta có thể tổng quát được hình dạng của mặt (S), mà nếu bảo các bạn đặt tên cho nó thì khá khó để người khác có thể hình dung ra được! Vâng, người ta gọi (S) là mặt Yên ngựa, nhưng tên chính xác là Paraboloit hypebolic! Sở dĩ lại có chữ "hype- 4
x2 y 2 bolic" ở đây vì khi cắt mặt này bằng mp z = h thì giao tuyến thu được nhìn chung là hypebol − =h p q x y Đặc biệt, giao tuyến của (S) với mp Oxy là cặp đường thẳng √ ± √ = 0 p q x2 y2 z2 Ví dụ 3. + + = 1 với a, b, c > 0 a2 b2 c2 Rất nhiều người đã biết đến mặt này, vì vậy chúng ta đi nhanh qua thôi. Nó là mặt Elipxoit, vì các giao tuyến của nó với các mp tọa độ đều là các elip có tâm là O (lần lượt cho x, y , z bằng 0 sẽ thấy ngay). Trường hợp đặc biệt của nó là mặt cầu quen thuộc, khi a = b = c = R x2 y2 z2 Ví dụ 4. + − = 1 với a, b, c > 0 a2 b2 c2 r x2 y 2 Dễ thấy mặt này nhận Oz làm trục đối xứng, vì nó gồm 2 mặt là z = ±c + 2 − 1, 2 mặt a2 b này lại đối xứng qua mp Oxy , thành thử (S) nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng! x2 y2 Cho z = 0, giao tuyến của (S) với Oxy là elip + = 1. Cho y = 0, (S) lại giao với Oxz a2 b2 x2 z 2 đường hypebol − 2 = 1, và giao tuyến của (S) với Oyz cũng là 1 hypebol tương tự. a2 c Giả sử dùng mp z = h song song với Oxy quét qua (S), tập các giao tuyến thu được đều là elip: x2 y 2 h2 x2 y2 + = 1 + ⇔ + =1 a2 b2 c2 h2 h2 a2 1 + 2 b2 1 + 2 c c r r h2 h2 Như vậy khi |h| tăng dần thì 2 bán trục a 1 + 2 và b 1 + 2 của elip trên cũng tăng dần, nhỏ c c nhất khi mặt quét nằm tại vị trí z = 0, đó là họ các elip nằm trong mp song song với Oxy , lớn dần khi càng ra xa gốc tọa độ. x2 y 2 Bằng cách vẽ tầm 5 elip của họ (elip đầu tiên là + = 1 đã vẽ rồi), ta dễ dàng tổng quát hóa mặt (S)! a2 b2 (S) được gọi là mặt Hypeboloit một tầng, để hiểu rõ hơn tên gọi này hãy làm tiếp VD5. Có lẽ nhiều người sẽ thấy khó tin khi biết rằng, mặt Hypeboloit 1 tầng uốn cong 1 cách mềm mại này thực chất được tạo bởi vô số đường thẳng! Mặc dù điều đó đã có nói trong sách Toán THPT. x2 y2 z2 Ví dụ 5. + − = −1 với a, b, c > 0 a2 b2 c2 Mặt này cũng nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng, nhưng không giao với Oxy mặc dù nó "có mặt" x2 y 2 ở cả phần dương và âm của Oz , vì khi z = 0 thì 2 + 2 = −1 vô nghĩa! a b 5
Như vậy ta chỉ cần vẽ (S) với z > 0, rồi lấy đối xứng qua mp Oxy là được toàn bộ mặt (S). x2 y2 z2 Ta có: + = − 1 ≥ 0 ⇔ z ≥ c, do đó khi ta cắt mặt (S) bằng mp z = h ≥ c thì giao a2 b2 c2 r x2 y2 z2 tuyến thu được là elip 2 + 2 = 1. Khi h càng tăng, thì 2 bán trục a − 1 và 2 z 2 z c2 a −1 b −1 r c2 c2 z2 b − 1 càng lớn. Bằng cách vẽ vài giao tuyến như thế (trong đó giao tuyến đầu tiên ứng với z = c c2 chỉ là 1 tiếp điểm), ta sẽ tổng quát thành công mặt (S). Cuối cùng, lấy đối xứng phần vừa vẽ được qua Oxy , ta sẽ được tầng thứ 2 của mặt (S), đó là lí do vì sao (S) có tên là mặt Hypeboloit hai tầng. x2 y2 z2 Ví dụ 6. + − = 0 với a, b, c > 0 a2 b2 c2 (S) có tâm đối xứng là gốc tọa độ, đó cũng là giao điểm duy nhất giữa nó và mp Oxy . Giao tuyến giữa x2 z 2 x z x z x z (S) và mp Oxz là 2 − 2 = 0 ⇔ − + = 0, đó là cặp đường thẳng ± = 0 đối xứng a c a c a c a c nhau qua Oz y z Tương tự, giao điểm giữa (S) và Oyz là cặp đường thẳng ± =0 b c Từ 4 đường thẳng này dễ dàng tổng quát hóa được mặt (S), nó giống như ta đem 2 cái nón đặt ngược đồng trục, dính chóp với nhau, nhưng thay vì mép của nó tròn thì ta bóp méo đi thành elip! Có thể tổng quát hóa theo 1 cách khác để thấy rằng mép của cái nón kia nó là một elip (đường tròn chỉ là trường hợp đặc biệt): ta dùng mp z = h quét qua (S), giao tuyến của nó với (S) có PT x2 y2 h2 ah bh 2 + 2 = 2 , rõ ràng đó là 1 elip với 2 bán trục và . Do đó khi h = 0 thì giao tuyến chỉ là 1 a b c c c điểm (gốc tọa độ), |h| càng lớn thì elip giao tuyến cũng càng lớn (đặc điểm của nón). Bằng cách vẽ vài elip như vậy là ta tổng quát hóa xong. Cũng như VD4, mặt nón này là quỹ tích của 1 đường thẳng, khi ta xoay đường thẳng đó quanh 1 trục không trùng với nó và đi qua 1 điểm cố định trên nó. Nếu trục xoay không cắt đường thẳng này, khi đó mặt tạo ra sẽ là Hypeboloit 1 tầng! p Trong các bài toán tích phân bội, người ta thường cho mặt này là z = x2 + y 2 Nhận xét. Nói chung, trong 6 VD đầu tiên này, mỗi VD đều có nhiều hơn 1 cách để tổng quát hóa, các bạn hãy tự làm thêm những cách khác, ngoài việc nắm thêm được nhiều tính chất thì còn giúp ta nhìn bài toán từ nhiều góc độ khác nhau, từ đó có thêm kinh nghiệm khi gặp phải những mặt "không mẫu mực"! √ Ví dụ 7. z = x+y 6
Nhìn đơn giản mà không đơn giản đâu nhé! Các bạn hãy thử vẽ nó xem sao, liệu có chút gì giống 6 mặt cơ bản phía trên chăng? Ta gọi nó là mặt (K) cho đỡ chán! Nó không có tính chất nào về đối xứng như lý thuyết đã nêu, ta tìm giao tuyến của nó với Oxy bằng cách cho z = 0 ⇒ y = −x, giao tuyến là 1 đường thẳng qua gốc tọa độ. √ √ Giao tuyến với Oxz và Oyz : lần lượt cho y = 0 và x = 0 ⇒ z = x và z = y Với 3 cái giao tuyến đã vẽ được, 1 thẳng 2 cong có vẻ méo liên quan gì đến nhau cả, liệu có thể tổng quát hóa được không? Ta sẽ quét 1 họ giao tuyến của (K) bằng mp y = k song song với Oxz , giao tuyến là nửa đường √ parabol z = x + k (do z ≥ 0). Vì điều kiện là x ≥ −k nên họ nửa đường parabol này đều có đỉnh nằm trên đường y = −x (chính là giao tuyến của (K) và Oxy ). Ta vẽ khoảng dăm ba đường trong họ này để tí nữa tổng quát hóa cho dễ. Tương tự, khi quét (K) bằng mp x = h song song với Oyz , ta cũng thu được họ nửa đường parabol √ z = y + h, cũng có đỉnh nằm trên đường y = −x, nói chung là giống y hệt họ kia chỉ khác là 2 họ nằm "vuông góc" nhau vì 2 mp quét vuông góc với nhau. Như thế là quá đủ để ta vẽ được chính xác mặt (K) rồi! Xem ra cũng không khó lắm, cái khó ở đây chỉ là sự khác biệt với 6 mặt cơ bản vì không có yếu tố đối xứng như lý thuyết đã nêu, do vậy khác hẳn với 6 VD trước đó. Dẫu sao vẽ mặt có sự đối xứng vẫn dễ hơn. √ Sau khi đã vẽ xong, ta lại nhận ra 1 tính chất như thế này: mặt z = x + y có thể có được bằng √ √ cách xoay mặt z = x hoặc z = y 1 góc 45o quanh trục Oz . Lí do vì 3 mặt đó giống nhau, đều √ hợp bởi các nửa parabol có đỉnh xuất phát từ 1 đường thẳng: mặt z = x là mặt trụ có đường sinh √ song song với Oy nên các đỉnh parabol nằm trên Oy , tương tự, mặt z = y có các đỉnh parabol nằm √ trên Ox, mặt z = x + y có các đỉnh nằm trên x+y = 0, mà đường x+y = 0 đều hợp với Ox, Oy góc 45o √ Nếu khám phá, có lẽ các bạn sẽ đặt câu hỏi: nếu chỉ quay như vậy thì liệu mặt z = x có trùng √ hoàn toàn với z = x + y hay không? Chắc chắn là có, vì khi cắt mặt (K) bằng mp z = h, ta được √ √ đường x + y = h2 , và khi cắt 2 đường parabol z = x và z = y cũng bằng z = h, 2 điểm cắt là √ (h2 ; 0; h) và (0; h2 ; h) cũng nằm trên x + y = h2 . Điều đó chứng tỏ 3 mặt trụ nửa parabol (K), z = x √ và z = y giống hệt nhau. Và vì vậy ta có thể xây dựng (K) bằng 1 phép xoay, dễ hình dung hơn nhiều!     x2 + y 2 = 2ax  Ví dụ 8. (V ) : x2 + y 2 = 2az    z = 0 Trường hợp còn lại a < 0 các bạn tự làm nhé, ở đây tôi xét a > 0 thôi. Một khi đã có mặt z = 0 thì 99% là miền V sẽ nằm phía trên (z ≥ 0). 7
x2 + y 2 = 2ax ⇔ (x − a)2 + y 2 = a2 là 1 mặt trụ có đường chuẩn là đường tròn tâm (a; 0) trên Oxy , đi qua O, còn x2 + y 2 = 2az là paraboloit, có đỉnh tại O, do đó giao tuyến của chúng chắc chắn đi qua O. Kết hợp 2 PT ta được x2 + y 2 = 2ax = 2az ⇒ giao tuyến đó nằm trên mp z = x, hay chính là giao của trụ x2 + y 2 = 2ax và mp z = x. Mp z = x là phân giác của 2 mp Oxy và Oyz , do đó vẽ đơn giản cái giao tuyến, nó là 1 elip.    0 ≤ x ≤ 2a  √  √ Vậy nếu hỏi cận thì ta có: − 2ax − x2 ≤ y ≤ 2ax − x2 x2 + y 2    0 ≤ z ≤  2a 2 2 2 2 2 = a x2 + y 2 − z 2 với a > 0 Ví dụ 9. (K) : x + y + z Dễ thấy mặt (K) đối xứng qua 3 mp tọa độ, do đó ta chỉ cần vẽ phần nằm trong góc phần tám thứ nhất của nó là ok! Điều kiện x, y, z ≥ 0 sẽ giới hạn các trường hợp lại. 2 Giao tuyến của (K) với Oxy là x2 + y 2 = a2 x2 + y 2 ⇔ x2 + y 2 x2 + y 2 − a2 = 0, đó là hình gồm điểm O và đường tròn x2 + y 2 = a2 (kì lạ?). Còn giao tuyến với 2 mp tọa độ kia thì giống 2 2 nhau: x2 + z 2 = a2 x2 − z 2 và y 2 + z 2 = a2 y 2 − z 2 , tuy nhiên vẽ chúng cũng không đơn giản! Ta sẽ làm khác với 6 VD đầu: xác định giao tuyến của (K) với 2 mp z = x và z = y . Thay lần 2 2 lượt z = x và z = y vào PT của (K) ta thu được y 2 + 2z 2 = a2 y 2 và x2 + 2z 2 = a2 x2 2 Ta có: y 2 + 2z 2 = a2 y 2 ⇔ y 2 + 2z 2 − ay y 2 + 2z 2 + ay = 0, đó là cặp đường y 2 + 2z 2 ± ay = 0. r −y 2 + ay Tuy nhiên đường y 2 + 2z 2 + ay = 0 chỉ là 1 điểm gốc vì y ≥ 0, do đó ta xét z = ⇒ zy0 = 2 −2y + a a p . Như vậy đường y 2 + 2z 2 − ay = 0 đồng biến với z khi 0 ≤ y ≤ , nghịch biến khi 2 2 2 (−y + ay) 2 a y > . Ta không cần vẽ chính xác, chỉ cần biết rằng nó gần giống 1 parabol quay bề lõm về phía z < 0, 2 a a xác định với y ∈ [0; a] và có đỉnh là ; √ . 2 2 2 Cuối cùng thì ta đã vẽ xong 3 cái giao tuyến của (K) với 3 mp Oxy , z = x và z = y trong góc phần tám thứ nhất, lần lượt có PT x2 + y 2 = a2 , y 2 + 2z 2 − ay = 0 và x2 + 2z 2 − ax = 0 (2 cái sau giống hệt nhau). Từ đây, ta bắt đầu tổng quát hóa. Trong góc phần tám thứ nhất, (K) giống như. . . 1 cái gì đó rất khó miêu tả nếu không có hình ảnh! Tuy nhiên sau khi lấy đối xứng nó qua các mặt phẳng tọa độ, thì toàn bộ mặt (K) giống như 1 chiếc bánh dầy, mép tròn, nhưng chính giữa bị đâm lõm vào đến tâm (gốc O), và trục Oz xuyên qua đó! Nó có thể quay quanh Oz như 1 chiếc bánh xe! Nhận xét. Những bài toán kiểu này rất thích hợp để rèn luyện tưởng tượng đấy! Việc tưởng tượng nằm ở bước tổng quát hóa, khi đó não ta phải tìm 1 hình dạng thích hợp nào đó để nó có thể sinh ra những giao tuyến đã vẽ được, nói chung là phải thỏa mãn đầy đủ các tính chất đã khảo sát. Phương 8
pháp quét mặt cần vẽ bằng 1 mặt phẳng có vector pháp tuyến cố định để xác định 1 họ giao tuyến có thể ứng dụng trong Đồ họa để lập trình vẽ các mặt trong không gian 3 chiều với PT cho trước! Tóm lại, sơ sơ mấy bài đơn giản như vậy để các bạn nắm bắt được phương pháp thôi, không cần phải dài dòng quá, vì trong đề thi sẽ không có 1 mặt nào có hình dạng quá quái gở đâu, hơn nữa có nhiều cách đổi biến để tìm được cận mà không cần phải xác định hình dạng mặt gốc. Chẳng hạn VD cuối, trong bài thi thực tế ta sẽ chuyển sang tọa độ cầu! 1.2 Khó nhớ công thức đổi biến sang tọa độ cầu? Ta có 3 bộ công thức đổi biến (đổi tọa độ) sau đây trong tích phân bội:      x = r cos ϕ   x = r cos ϕ sin θ x = r cos ϕ     ; y = r sin ϕ ; y = r sin ϕ sin θ y = r sin ϕ      z = z  z = r cos θ Ứng với 3 tọa độ chuyển sang là tọa độ cực, tọa độ trụ, và tọa độ cầu. Trong mục này tôi sẽ giúp những ai thấy khó nhớ hệ CT thứ 3 có thể viết ra nó một cách dễ dàng như hệ CT thứ nhất, thậm chí ngay cả khi không làm BT nhiều, vì thực ra cả 3 bộ đều có chung 1 quy tắc (bản chất)! Bây giờ tôi sẽ viết tắt "HTĐ" thay cho "hệ tọa độ". Đúng ra HTĐ thứ nhất ở trên phải gọi là tọa độ tròn thì đúng hơn là tọa độ cực, vì miền D sẽ được bao ở trong hình tròn x2 + y 2 ≤ r2 , và được biểu diễn qua các thông số của hình tròn đó. HTĐ thứ 2 với thứ nhất thực ra là một, vì thêm trục Oz vào thì hình tròn x2 + y 2 ≤ r2 sẽ được kéo dài theo Oz thành 1 hình trụ (tọa độ trụ), bản chất không khác gì nhau, đó là lí do tại sao định thức Jacobi của cả 2 hệ này đều là J = r! Tuy nhiên hệ CT thứ 3 thì lại có J = −r2 sin θ, đó là sự khác biệt, ta sẽ tìm ra điểm chung với 2 hệ kia. Dễ thấy điểm chung thứ nhất là cả 3 hệ đều liên quan đến hình tròn! HTĐ cực thì là hình tròn x2 + y 2 ≤ r2 trong mặt Oxy , HTĐ trụ thì là một hình trụ có trục là Oz . Hình chiếu của cả 2 hệ này lên Oxy đều là hình tròn x2 + y 2 ≤ r2 , tham số hóa đường tròn đó ta thu được x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. Vì HTĐ trụ khi chiếu hình trụ lên Oyz và Oxz đều không thu được hình tròn, nên đối với trục z chỉ giữ nguyên là z = z mà thôi. Như vậy khi 1 HTĐ chiếu lên 1 mặt phẳng tọa độ nào đó cho hình chiếu là 1 đường tròn, thì ứng x = r cos ϕ với mặt đó ta sẽ có hệ thức dạng (x ứng với cos vì góc ϕ lấy mốc quay từ Ox, tôi sẽ y = r sin ϕ gọi "ϕ là góc của Ox"). Muốn thấy trực quan hơn thì hãy vẽ đường tròn ra! Xét HTĐ cầu, theo HTĐ này, miền V sẽ nằm trọn trong hình cầu x2 + y 2 + z 2 ≤ r2 . Chiếu hình cầu này lần lượt lên 3 mp tọa độ Oxy , Oyz , Oxz ta đều thu được hình tròn, 3 đường tròn tương ứng 9
là x2 + y 2 = r2 , y 2 + z 2 = r2 và x2 + z 2 = r2 Lấy góc ϕ có mốc quay từ Ox trong mp Oxy , góc θ có mốc quay từ Oz trong 2 mặt phẳng thẳng đứng, do đó trong 3 đường tròn trên ta lần lượt thu được các hệ thức:    x = r cos ϕ z = r cos θ z = r cos θ ; ; y = r sin ϕ y = r sin θ x = r sin θ  z = r cos θ 2 hệ thức sau có thể viết gộp lại thành , kết hợp với hệ thức đầu, ta thu được kết x = y = r sin θ     x = r cos ϕ sin θ  quả lâu nay vẫn dùng (mà méo hiểu lắm!): y = r sin ϕ sin θ    z = r cos θ Vậy cái chung của 3 hệ CT ở đây là: góc của trục nào (có mốc quay từ trục đó) thì trục đó sẽ lấy cos, các trục còn lại phải lấy sin (tất nhiên các trục này phải nằm trong mặt phẳng của góc quay ấy). Nói tóm lại, để viết ra hệ CT đổi biến số sang HTĐ cầu, ta chỉ cần tưởng tượng mấy điều sau trong hệ tọa độ: + Góc ϕ là góc của Ox, nên chỉ x chứa cos ϕ, các trục còn lại phải lấy sin ϕ, tuy nhiên Oz không nằm trong mp của ϕ (là mp Oxy ) nên z không chứa sin ϕ, vậy: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ (như CT đổi tọa độ cực). + Góc θ là góc của Oz , nên chỉ z được lấy cos θ, tức là z = r cos θ, các trục còn lại phải lấy sin θ, do góc θ quay cả trong Oxz và Oyz , nên bổ sung thêm x = r cos ϕ sin θ, y = r sin ϕ sin θ. Xong! Nhận xét. Cái khó chịu khi học Toán Cao Cấp là có quá nhiều thứ khó hiểu mà không biết phải làm sao! Hãy tìm cách hiểu bản chất của nó, đó mới đúng là học Toán Cao Cấp, không như ở THPT ôn thi ĐH chủ yếu tập trung vào các kỹ thuật và công thức giải BT. 1.3 Lưu ý khi đổi sang tọa độ cực, tọa độ cầu ZZ 1. Khi tính f (x, y)dS , mà miền D chứa PT kiểu đường tròn (x − a)2 + (y − b)2 = R2 (hoặc D p elip), f (x, y) cũng chứa PT đường tròn (elip) nhưng khác, chẳng hạn (x − m)2 + (y − n)2 + p, thì không nên sử dụng tọa độ cực. x2 y2 Ví dụ 1. Tính diện tích σ của phần mặt x2 + y 2 + z 2 = 4 phía trong mặt + =1 4 1 Ta cần tính diện tích phần mặt cầu nằm trong 1 mặt trụ ellipse. Do tính đối xứng, ta chỉ p xét phần diện tích nằm trong góc phần tám Zthứ Z nhất, có PT z = 4 − x2 − y 2 q 2 2dxdy ⇒ 1 + zx02 + zy02 = p ⇒σ=8 p 4−x −y2 2 4 − x2 − y 2 D x2 y 2 Với D là hình chiếu của phần diện tích cần tính lên mp Oxy : + = 1; x ≥ 0, y ≥ 0 4 1 10
Đến đây sẽ có nhiều người nghĩ ngay đến việc chuyển sang tọa độ cực, vì thấy cả miền D lẫn hàm dưới dấu tích phân đều có thể "làm đẹp" trong tọa độ cực. Tuy nhiên miền D là PT của ellipse, hàm dưới dấu tích phân lại liên quan đến 1 đường tròn khác, do đó nếu đặt tọa độ cực p suy rộng theo D thì sẽ làm cho 4 − x2 − y 2 phức tạp thêm, và ngược lại. Vậy ta sẽ tính như bình thường thôi, tưởng tượng qua có vẻ sẽ cồng kềnh nhưng phải đặt bút rồi mới được nhận xét: q x2 Z2 Z1− Z2 q 4 2
1− x4 dy y
σ = 16 dx p = 16 arcsin √
dx 4 − x2 − y 2 4 − x2
0 0 0 0 Z2 1 16 = 16 arcsin dx = π (đvdt) 2 3 0 ZZZ 2. Bài toán f (x, y, z)dV có nhiều thành phần liên quan đến PT mặt cầu và đường tròn, nhưng V nếu chuyển sang tọa độ cầu mà không xác định được cận của r (kiểu như có cả r ≤ a và r ≤ b), thì 99% là đổi sang tọa độ trụ.  ZZZ z x2 + y 2 ≤ 2az Ví dụ 2. Tính I = p dxdydz với V : x2 + y 2 x2 + y 2 + z 2 ≤ 3a2 V Có thể thấy miền V là 1 paraboloid tròn xoay hướng lên (z ≥ 0), bị cắt trên bởi 1 mặt cầu, hàm dưới dấu tích phân cũng liên quan đến PT đường tròn, điều đó khiến nhiều người nghĩ đến tọa độ cầu!   x = r cos ϕ sin θ    r sin2 θ ≤ 2a cos θ 2a cos θ √ Đặt y = r sin ϕ sin θ ⇒ . Bây giờ thì r ≤ hay r ≤ a 3?   r2 ≤ 3a2 sin2 θ  z = r cos θ Chính vì lúng túng này, ta chỉ nên đổi sang tọa độ trụ thôi: √   0 ≤ r ≤ a 2 √ √ x = r cos ϕ  Z 2 −r2 3a √   a 2    Z2π Z   z 32π 2 3 Đặt y = r sin ϕ ⇒ 0 ≤ ϕ ≤ 2π ⇒I= dϕ rdr dz = a √ r 15 r2       0 0 r2 z = z   ≤ z ≤ 3a2 − r2 2a 2a Như vậy đôi khi để nguyên vẹn trục Oz sẽ tốt hơn tham số hóa tất cả! 11
2 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG - MẶT 2.1 Tham số hóa tích phân đường cong kín I Khi tính f ds bằng cách tham số hóa đường cong C , khi đó ta tham số sang dạng lượng giác, thì mới C có 2 giá trị của tham số để biểu thị cùng 1 điểm trên C (đường cong kín).  I p x2 + y 2 + z 2 = a2 Ví dụ 1. Tính 2 2 2y + z ds với C : x = y C C là đường tròn lớn trên mặt cầu x2 + y 2 + z 2 = a2 , cắt bởi mặt phẳng x = y qua gốc O a a Tham số hóa C : x = √ , y = √ sin t, z = a sin t; vì C kín nên 0 ≤ t ≤ 2π 2 cos t 2 r p a2 a2 02 02 02 Ta có: ds = x (t) + y (t) + z (t)dt = sin2 t + sin2 t + a2 cos2 tdt = adt 2 2 Z2π r 2 Z2π 2a 2 ⇒I= a 2 cos2 t + a2 sin tdt = a dt = 2πa2 2 0 0 2.2 Tích phân đường sang tích phân suy rộng Z Khi tính f ds từ A ,→ B , với C : x = x(t), y = y(t), z = z(t), mà không tìm được một số t nào để C biểu thị 2 điểm A, B trên C , khi đó ta cho t → ∞ để xác định, vì vậy tích phân sẽ trở thành tích phân +∞ Z p suy rộng f (x(t), y(t), z(t)) x02 (t) + y 02 (t) + x02 (t)dt −∞ Ví dụ 1. Tính độ dài s của đường x = aet cos t, y = aet sin t, z = aet từ (0; 0; 0) ,→ (a; 0; a) p p √ Ta có: ds = x02 (t) + y 02 (t) + z 02 (t)dt = a2 e2t ((cos t − sin t)2 + (cos t + sin t)2 + 1)dt = aet 3dt Tìm cận t: tại (0; 0; 0) ta có z = aet = 0 ⇒ t = ??? Rõ ràng không tìm được giá trị cụ thể nào của t! Do đó ta cho t → −∞, thì cả x, y, z → 0, vậy điểm (0; 0; 0) ứng với t = −∞. Còn điểm (a; 0; a) thì t = 0 rồi. Vậy tích phân như sau: Z Z0 √ √ s= ds = aet 3dt = a 3 (đvđd) C −∞ 2.3 Tìm hàm số có vi phân toàn phần đã biết trước Cái này là để phục vụ cho việc làm gọn tích phân đường loại 2. Sau đây là cách làm tổng quát cho 2 biến và 3 biến (nhiều biến dễ dàng suy ra công thức tương tự): 12
1. Tìm u biết du = P dx + Qdy , đã học bên PT vi phân toàn phần: Cách 1. Tính tích phân. Zx Zy Zx Zy u = P (x, y0 )dx + Q(x, y)dy + C = P (x, y)dx + Q(x0 , y)dy + C x0 y0 x0 y0 Cách 2. Tính nguyên hàm - đạo hàm riêng. Z Ta có: u = P dx + C(y) = F (x, y) + C(y) (C(y) là hàm cần tìm tiếp theo), do đó: Z uy = Fy (x, y) + C (y) = Q ⇔ C (y) = Q − Fy (x, y) ⇒ C(y) = (Q − Fy0 )dy 0 0 0 0 0 2. Tìm u biết du = P dx + Qdy + Rdz , tương tự: Cách 1. Tính tích phân. Zx Zy Zx u= P (x, y0 , z0 )dx + Q(x, y, z0 )dy + P (x, y, z)dz + C x0 y0 x0 Zx Zy Zx = P (x, y0 , z0 )dx + Q(x, y, z)dy + P (x, y0 , z)dz + C x0 y0 x0 Zx Zy Zx = P (x, y, z0 )dx + Q(x0 , y, z0 )dy + P (x, y, z)dz + C x0 y0 x0 Zx Zy Zx = P (x, y, z)dx + Q(x0 , y, z0 )dy + P (x0 , y, z)dz + C x0 y0 x0 Zx Zy Zx = P (x, y, z)dx + Q(x0 , y, z)dy + P (x0 , y0 , z)dz + C x0 y0 x0 Zx Zy Zx = P (x, y0 , z)dx + Q(x, y, z)dy + P (x0 , y0 , z)dz + C x0 y0 x0 Tận 6 cách tính, rất dồi dào! Nhưng liệu các bạn có phân biệt được không? Thực ra nó cùng 1 dạng với 2 công thức ở Cách 1 của du = P dx + Qdy cả thôi, để ý 1 tí phát hiện được quy luật ấy là lập tức nhớ ngay cả đống! Cách 2. Tính nguyên hàm - đạo hàm riêng. Z Ta có: u = P dx + C(y, z) = F (x, y, z) + C(y, z), ta phải tìm tiếp C(y, z): u0y = Fy0 + Cy0Z(y, z) = Q ⇔ Cy0 (y, z) = Q − Fy0 ⇒ C(y, z) = (Q − Fy0 )dy + K(z) = G(y, z) + K(z) Z ⇒ u0z = Fz0 + G0z 0 + K (z) = R ⇔ K (z) = R − 0 Fz0 − G0z ⇒ K(z) = (R − Fz0 − G0z )dz Bây giờ ta sẽ làm 2VD: (x2 + 1) cos y x Ví dụ 1. Tìm hàm u biết du = 2+ dx − dy sin y 2 sin2 y 13
Cách 1. Tính tích phân. π Chọn x0 = 0, y0 = , hàm u được tính như sau: 2 Zx Zy (02 + 1) cos y x2 + 1 x u= 2+ dx − dy + C = 2x + +K sin y π 2 sin2 y 2 sin y 0 2 Cách 2. Tính nguyên hàm - đạo hàm riêng. x2 Z x Ta có: u = 2+ dx + C(y) = 2x + + C(y) sin y 2 sin y x2 cos y 2 0 (y) = − (x + 1) cos y ⇒ C 0 (y) = − cos y ⇒ u0y = − + C 2 sin2 y 2 sin2 y 2 sin2 y Z cos y 1 ⇒ C(y) = − dy = +C 2 sin2 y 2 sin y x2 + 1 Vậy u = 2x + +C 2 sin y Ví dụ 2. Tìm hàm u sao cho du = y 2 cos xdx + (2y sin x + e2z )dy + 2ye2z dz Cách 1. Tính tích phân. Chọn x0 = y0 = z0 = 0, ta được: Zx Zy Zz 2 2.0 u= 0 cos xdx + (2y sin x + e )dy + 2ye2z dz + C = y 2 sin x + ye2z + C 0 0 0 Cách 2. Tính nguyên hàm - đạo hàm riêng. Z Ta có: u = y 2 cos xdx + C(y, z) = y 2 sin x + C(y, z) ⇒ u0y = 2y sin x + Cy0 (y, z) = 2y sin x + e2z Z ⇒ Cy0 (y, z) = e2z ⇒ C(y, z) = e2z dy + K(z) = ye2z + K(z) ⇒ u0z = 2ye2z + K 0 (z) = 2ye2z ⇒ K 0 (z) = 0 ⇒ K(z) = C Vậy: u = y 2 sin x + ye2z + C 2.4 Làm gọn tích phân đường loại 2 Z Khi tính P dx + Qdy , nếu tính vi phân hoặc tham số hóa thay vào ra tích phân cồng kềnh, khó tính, C thì hãy tìm cách làm gọn P dx + Qdy bằng cách tách ra các đại lượng là vi phân toàn phần của 1 hàm số nào đó: Z Z Z Z Z P dx + Qdy = P1 dx + Q1 dy + P2 dx + Q2 dy = P1 dx + Q1 dy + du C C C C C 14
Z Tích phân P1 dx + Q1 dy sau đó sẽ đơn giản hơn tích phân ban đầu rất nhiều. Đối với tích phân đường C Z loại 2 trong không gian 3 chiều P dx + Qdy + Rdz ta cũng làm tương tự. C Z p p Ví dụ 1. Tính I = x2 + y 2 dx + y xy + ln x + x2 + y 2 dy C Với C : x2 + y 2 + 3 = 4x, y ≤ 0, hướng từ A(1; 0) ,→ B(3; 0) Câu này trong đề thi cuối kì KSTN K59! Ta sẽ giải 3 cách, xem các bạn thấy cách nào đơn giản nhất và thông minh nhất! √ −x + 2 Cách 1. Tính vi phân. Ta có: y = −x2 + 4x − 3 ⇒ dy = √ dx, thay vào ta được: −x2 + 4x − 3 Z3 √ p p √ −x + 2 I= 4x − 3dx + −x2 + 4x − 3 x −x2 + 4x − 3 + ln x + 4x − 3 √ dx −x2 + 4x − 3 1 Z3 Z3 3 √ √ p Z = 4x − 3dx + 2 x(2 − x) −x + 4x − 3dx + (2 − x)ln x + 4x − 3 dx 1 1 1 Nói như PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo, chúng ta còn trẻ, chúng ta có sức khỏe, vì vậy cứ thoải mái trâu bò với 3 cái tích phân này! Tôi không được khỏe lắm nên thôi vậy! Cách 2. Tham số hóa. Ta có C : (x − 2)2 + y 2 = 1, do đó tham số C : x = 2 + cos t, y = sin t. Khi đó t : π ,→ 0 và dx = − sin tdt, dy = cos tdt, thay vào ta được: Z0 √ √ I= − 5 + 2 cos t sin tdt + sin t sin t(2 + cos t) + ln 2 + cos t + 5 + 2 cos t cos tdt π Có lẽ chúng ta nên đưa tích phân này cho các bạn lớp 12 tính để dành thời gian đọc cách 3! Cách 3. Rút gọn tích phân. Ta tách như sau: Z p p Z I= x2 + y 2 dx + yln x + x2 + y 2 dy + xy 2 dy ZC p C x y2 p y2 Z = d 2 2 2 2 x + y + ln x + x + y − + xy 2 dy 2 2 4 C C Dễ dàng tính được: y2 y2 Z p x 2 2 p 2 2 d x + y + ln x + x + y − 2 2 4 C p x y2 p y 2 B(3;0) = x2 + y 2 + ln x + x2 + y 2 − =4 2 2 4 A(1;0) Z Z0 2 π xy dy = sin2 t cos t(2 + cos t)dt = − (tách ra 2 cái là xong thôi!). 8 C π π Vậy: I = 4 − 8 15
Z Mấu chốt ở đây là khi tính P dx + Qdy , trước tiên ta so sánh Py0 và Q0x , nếu chúng bằng nhau thì C chỉ cần tìm hàm u sao cho du = P dx + Qdy là xong, nếu không thì xem xét tách bớt ra ngoài một số thành phần trong P và Q sao cho đống còn lại là 1 vi phân toàn phần của hàm u nào đó. Có lẽ nên làm thêm 1 VD nữa để so sánh các cách kỹ hơn. (2;2π) y2 Z y y y y Ví dụ 2. Tính I = 1− cos dx + sin + cos dy x2 x x x x (1;π) Đây cũng là 1 câu trong đề thi cuối kì của KSTN, K60! Đề cho cộc lốc thế này thì chỉ có thể là tích phân không phụ thuộc đường, nhưng cũng phải kiểm tra cho nó đầy đủ các giai đoạn. y2 y y y y 2 0 = Q0 = y sin y − 2y cos y , do đó tích Đặt P = 1 − cos , Q = sin + cos , ta có: Py x x2 x x x x x3 x x2 x phân không phụ thuộc đường. Vì vậy, ta chọn đường thẳng cho đơn giản: y = πx ⇒ dy = πdx, thay vào được: Z2 I= (1 + π 2 )dx − π 2 dx = 1 1 Nếu dùng cách 3 ở VD1 thì sao? (2;2π) Z y y