Giải tích nhiều biến số

Chia sẻ: Nguyễn Quốc Mạnh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

Thêm vào BST

Báo xấu

227
lượt xem 61
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'giải tích nhiều biến số', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giải tích nhiều biến số

Gi i tích nhi u bi n s Bài 7 PGS. TS. Nguy n Xuân Th o Chương II. TÍCH PHÂN B I § 1. Tính th tích b ng tích phân l p Tính di n tích b ng tích phân l p Tính th tích b ng tích phân l p (m c 20.1) Trong gi i tích m t bi n s chúng ta ã nghiên c u tích phân xác nh b ∫ f ( x ) dx . a Li u có th m r ng khái ni m trên cho hàm hai bi n s trên mi n ph ng nào ó c a m t ph ng? 1. Tính di n tích b ng tích phân l p a) R: y1(x) ≤ y ≤ y2(x), a ≤ x ≤ b Các hàm y1(x), y2(x) liên t c trên [a ; b] ã bi t công th c tính di n tích trên • mi n ph ng R: b ∫ S =  y 2 ( x ) − y 1 ( x )  dx   a • Có th vi t công th c nói trên dư i d ng khác ( ư c g i là tích phân l p) b  y2 ( x )  ∫∫ S=  dy  dx   a  y1 ( x )  b y2 ( x ) ∫∫ Hay Hình 20.2 (trái) S= dy dx a y1 ( x ) ó th t l y tích phân ư c xác nh b i th t các vi phân
x2 y 2 Ví d 1. S d ng tích phân l p tính di n tích c a Ellip: 2 + 2 ≤ 1 , a > 0, b > 0. a b x2 x2 E: − b 1 − 2 ≤ y ≤ b 1 − 2 , − a ≤ x ≤ a . a a x2 b 1− a2 a a a x2 x2 ∫∫ ∫ ∫ S= dy dx = 2b 1 − 2 dx = 4b 1 − 2 dx a a −a −a 0 2 x − b 1− a2 π t x = asint, 0 ≤ t ≤ , có 2 π /2 ∫ 1 − sin2 t . a cos t dt S = 4b 0 π /2 π /2 ∫ cos t dt = 2ab ∫ (1 + cos 2t ) dt 2 = 4ba 0 0 π π   sin 2t  2  = 2ab  2 + 0  = πab. = 2ab t +    2 0 b) Tương t ta cũng dùng tích phân l p tính di n tích mi n R sau R: x1(y) ≤ x ≤ x2(y), c ≤ y ≤ d, • các hàm x1(y), x2(y) liên t c trên [c ; d] d ∫ [ x ( y ) − x (y )] dy S= • 2 1 c  x2 ( y )  d x2 ( y ) d ∫∫ ∫∫ S=  dx  dy = dx dy •  x1 ( y )  c  c x1 ( y ) ó th t l y tích phân ư c xác nh b i th t các vi phân. Hình 20.2 (ph i) 2. Tính th tích b ng tích phân l p Ta ã bi t công th c tính th tích v t th trong không gian ba chi u: b ∫ V = S( x )dx a ó S(x) là di n tích ti t di n th ng t o b i v t th và m t ph ng vuông góc v i tr c Ox t i x.
Khi v t th trong không gian ba chi u là v t th hình tr : nó gi i h n b i m t ph ng z = 0, m t tr có ư ng sinh song song v i tr c Oz, m t cong z = f(x, y) sao cho m i ư ng th ng song song v i tr c Oz u c t nó t i không quá m t i m (t c z = f(x, y) xác nh m t hàm s ) Hình 20.1 Ti t di n: 0 ≤ z ≤ f(x, y), y1(x) ≤ y ≤ y2(x), a ≤ x ≤ b. Theo m c 1 ta có y2 ( x ) ∫( ) f ( x, y ) dy S( x ) = y1 x Do ó  y2 ( x )  b y2 ( x ) b ∫∫ ∫ ∫( ) f ( x, y ) dy dx V=  f ( x, y ) dy  dx =  y (x)  a 1  a y1 x Ví d 2. S d ng tích phân l p tính th tích t di n gi i h n b i các m t ph ng to và m t ph ng x + y + z = 1 . 0 ≤ z ≤ 1 – x – y, R: 0 ≤ y ≤ 1 – x, 0 ≤ x ≤ 1. 1 1− x ∫ ∫ (1 − x − y ) dy dx V= 0 0 1− x   1− x 1 1  y2  ∫∫ ∫ (1 − x − y ) dy  dx =  y − xy −  dx = 0 2 0 0  Hình 20.3   0 1  2 1 ∫ = 1 − x − x (1 − x ) − (1 − x )  dx   2 0
1 1 1 1 ∫ ∫ (1 − x ) d (1 − x ) 2 2 (1 − x ) dx = − = 2 2 0 0 31 1 (1 − x ) 1 1 [ 0 − 1] = 6 . =− . =− 2 3 6 0 Tương t khi ti t di n có d ng 0 ≤ z ≤ f(x, y), x1(y) ≤ x ≤ x2(y), c ≤ y ≤ d Ta có công th c tính th tích v t th ã cho như sau d  x2 ( y )  d x2 ( y ) ∫∫ ∫∫ V=  f ( x, y ) dx  dy = f ( x, y ) dx dy  x (y )  c1  c x1 ( y ) Ví d 3. Ta s gi i ví d 2 theo công th c m i nh n ư c, khi ó Ti t di n: 0 ≤ z ≤ 1 – x – y, 0 ≤ x ≤ 1 – y, 0 ≤ y ≤ 1.   1 1− y 1 1− y ∫∫ ∫∫ (1 − x − y ) dx dy =  (1 − x − y ) dx  dy V= 0 0    00 1− y 1 1     x2 1 ∫ ∫ 2 − xy  dy =  1 − y − (1 − y ) − y (1 − y )  dy = x −   0 2 0 2 0 1 1  2 1 1 ∫ ∫ (1 − y ) 2 2 = (1 − y ) − (1 − y )  dy = dy   2 2 0 0 1 1 1 1 1 31 ∫ 2 ( y − 1) d ( y − 1) = ( y − 1) 0 = ( 0 + 1) = . = 2 6 6 6 0 Ví d 4. Tính th tích v t th sau: 0 ≤ z ≤ xy2, 0 ≤ x ≤ 1, −2 ≤ y ≤ 3. 3 2  13 1 ∫∫ ∫∫ xy dy dx =  xy dy  dx 2 V= • 0  −2    0 −2  y3 3 1 1 1 ∫ ∫ x ( 27 − ( −8 ) ) dx = x  dx = •  3 −2  30   0 1 1 35 x 2 35 35 ∫ x dx = . . • = = 30 32 6 0 1x ∫ ∫ 2y dy dx Ví d 5. Tính tích phân l p sau: 0 x2
Hình 20.5 x  1 1 1 ∫∫ ∫ ∫(x x − x 4 ) dx I =  2 y dy  dx = y 2 2 dx = x2 0  x2    0 0 1  x3 x5  11 2 = −  = − = 5  0 3 5 15 3 Nh n xét. Ta có th tính b ng cách khác như sau y  y 1 1 ∫∫ ∫∫  2 y dx  dy I= 2 y dx dy = •   0y  0y 1 1 3  ∫ ( 2 xy ) ∫ y dy =  2 y 2 − 2 y 2  dy • = y 0  0 1 2 1 = 2  y 5/ 2 − y 3  • 5 3 0 2 1 2 • = 2 −  =  5 3  15 Ví d 6. Xác nh mi n l y tích phân c a tích phân l p và i th t l y tích phân (cho hàm f(x, y) có các i u ki n c n thi t) 24 ∫ ∫ f ( x, y ) dy dx I= −1 x 2 • Mi n l y tích phân: R: x2 ≤ y ≤ 4, −1 ≤ x ≤ 2 • Ta có R = R1 ∪ R2, ó R1: − y ≤ x ≤ y , 0 ≤ y ≤ 1 R2: −1 ≤ x ≤ y , 1 ≤ y ≤ 4 Hình 20.4
y y 1 4 ∫ ∫ f ( x, y ) dx dy + ∫ ∫ f ( x, y ) dx dy • I= 1 −1 0− y Chú ý C n n m v ng mi n l y tích phân ch n th t thích h p cho vi c tính tích phân l p tính tích phân l p, ngoài vi c ch n th t tính, còn c n thi t n m v ng cách tính tích phân xác nh Khi tính th tích c n chú ý cách s d ng các công th c: Tích phân xác nh và tích phân kép.
§ 2. TÍCH PHÂN B I HAI VÀ TÍCH PHÂN L P Tích phân b i hai (m c 20.2) Cách tính 1. nh nghĩa Cho hàm f(x, y) liên t c trên mi n R b ch n (gi i n i), óng trong m t ph ng xOy Xét lư i các ư ng th ng song song v i các tr c to , nh ng ư ng th ng này chia m t ph ng thành các hình ch nh t nh , các hình ch nh t n m tr n trong R có di n tích là ∆Ak, k = 1, n Ch n i m b t kì (xk, yk) trong hình ch nh t th k và l p t ng n ∑f (x , y ) ∆Ak k k k =1 G i d = max { ư ng chéo c a hình ch nh t th k} k =1, n n ∑f (x , y ) ∆Ak N u t ng ti n n m t gi i h n (h u h n) duy nh t khi n → ∞ k k k =1 sao cho d → 0 không ph thu c vào cách ch n lư i các ư ng th ng và cách ch n (xk ; yk) thì hàm f(x, y) kh tích trên R và ta b o gi i h n ó là tích phân b i c a hàm f(x, y) trên R và vi t n ∫∫ f ( x, y ) dA = lim ∑ f ( x , y ) ∆Ak k k k =1 R ∫∫ dA , Ví d 1. Tính ó R: 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2. R Xét lư i các ư ng th ng song song v i các tr c to chia mi n R thành các hình ch nh t có di n tích là ∆Ak, k = 1, n L y i m tuỳ ý (xk ; yk) ∈ ∆Ak, có f(x, y) = 1. n n ∑f ( x , y ∑ ∆A ) ∆Ak L p t ng = =2 k k k k =1 k =1 n ∑f (x , y ) ∆Ak Ta có lim = 2 , không ph thu c vào phép chia mi n R và k k k =1 ∫∫ dA = 2 cách ch n i m (xk ; yk), do ó ta có R
Chú ý ∫∫ f ( x, y ) dA N u f(x, y) liên t c trên R gi i n i thì t n t i R ∫∫ f ( x, y ) dx dy Do ∆A = ∆x.∆y nên thư ng s d ng cách vi t R N u f(x, y) > 0 trên R thì th tích (hình h c) v t th hình tr v i áy dư i là ∫∫ f ( x, y ) dx dy R, còn áy trên là z = f(x, y) là V = R ∫∫ dx dy Khi f(x, y) = 1 thì di n tích c a mi n ph ng R là S = R N u f(x, y) có d u thay i trên R thì công th c th tích i s c a v t th ∫∫ f ( x, y ) dx dy hình tr này là R 2. Tính ch t: Có các tính ch t tương t như tích phân xác nh a) Tuy n tính: ∫∫ α f ( x, y ) + β g ( x, y ) dx dy = α ∫∫ f ( x, y ) dx dy + β ∫∫ f ( x, y ) dx dy   R R R C ng tính: N u R = R1 ∪ R2, R1 và R2 không có i m trong chung thì có b) ∫∫ f ( x, y ) dx dy = ∫∫ f ( x, y ) dx dy + ∫∫ f ( x, y ) dx dy R R1 R2 B o toàn th t : N u f(x, y) ≤ g(x, y), ∀ (x ; y) ∈ R thì có c) ∫∫ f ( x, y ) dx dy ≤ ∫∫ g ( x, y ) dx dy R R Nói riêng: N u m và M tương ng là giá tr bé nh t và l n nh t c a hàm f(x, y) trong mi n R thì có ∫∫ f ( x, y ) dx dy ≤ M S , mS ≤ ó S là di n tích mi n R R nh lý giá tr trung bình. Hàm f(x, y) liên t c trên mi n R liên thông d) thì có ít nh t m t i m (x0 ; y0) ∈ R sao cho có: ∫∫ f ( x, y ) dx dy = f ( x , y ) S 0 0 R ó S là di n tích mi n R
3. Cách tính a) N u R là mi n th ng ng ơn gi n: y1(x) ≤ y ≤ y2(x), a ≤ x ≤ b Hàm f(x, y) liên t c trên R, các hàm y1(x), y2(x) liên t c trên [a ; b]. Khi ó ta có b y2 ( x ) ∫∫ f ( x, y ) dx dy = ∫ ∫( ) f ( x, y ) dy dx R a y1 x Hình 20.8 V í d 2. ∫∫ 2 xy dx dy , ó R gi i h n b i parabol x = y2 và ư ng th ng y = x. Tính R x = y 2 y = y 2 Tìm giao i m:  ⇔ x = y x = y  y = 0 hoÆc y = 1 x = 0 x = 1 ⇔ ⇔ ho c  x = y y = 0 y = 1 x 1 ∫∫ 2 xy dA = ∫ ∫ 2 xy dy dx R 0x 1 1 1 ∫ ∫(x ∫ x dx = x ( x − x ) dx = − x 3 ) dx 2 2 2 = xy Hình 20.10 x 0 0 0 1  x3 x4  11 1 = −  = − = 4  0 3 4 12 3 V í d 3. ∫∫ (1 + 2 x ) dA , ó R gi i h n b i parabol x = y2 và ư ng th ng x − y = 2 Tính R x = y 2 x = y 2  Tìm giao i m:  ⇔ 2 y − y − 2 = 0 x − y = 2  x = y 2  x = 1, y = −1 ⇔ ⇔  x = 4, y = 2   y = −1 hoÆc y = 2
∫∫ (1 + 2 x ) dA R x x 4 1 ∫ ∫ (1 + 2 x ) dy dx + ∫ ∫ (1 + 2 x ) dy dx = 1 x −2 0− x 1 4 ∫ ( y + 2 xy ) − ∫ ( y + 2 xy ) x −2 dx x x dx + = x 0 1 Hình 20.11 1 4 ∫ (2 ) dx + ∫  − 2 x ( x − 2 )  dx 3/2 3/ 2 x + 4x x − x + 2 + 2x =   0 1 1 4 2  2 ∫ (2x ) =  2. x 3 / 2 + 4. x 5 / 2  + 3/ 2 + x − 2 x 2 + 3 x + 2 dx 3 0 5 1 4 482  2 2 3 = + +  2. x 5 / 2 + x 3 / 2 − x 3 + x 2 + 2 x  355 1 3 3 2 4 8  4.32 16 128  4 2 2 3  = + + + − + 24 + 8  −  + − + + 2  3 55  5 3 3 2  3 3 136 108 4 3 132 3 132 3 = + 30 − −−= + 30 − 36 − = − −6 5 3 52 5 2 5 2 264 − 15 − 60 189 = = 10 10 b) N u R là mi n n m ngang ơn gi n: x1(y) ≤ x ≤ x2(y), c ≤ y ≤ d Hình 20.9 Hàm f(x, y) liên t c trên R, các hàm x1(y), x2(y) liên t c trên [c ; d]. Khi ó ta có d x2 ( y ) ∫∫ f ( x, y ) dx dy = ∫ ∫ ) f ( x, y ) dx dy ( R c x1 y
Ví d 4. Ta tính tích phân trong ví d 3 theo mi n n m ngang ơn gi n y 2 ≤ x ≤ y + 2 , −1 ≤ y ≤ 2 2 y +2 ∫∫ (1 + 2 x ) dA = ∫ ∫ (1 + 2 x ) dx dy • −1 y 2 R 2 2 y +2 ∫ (x + x ) ∫ y + 2 − y + ( y + 2 ) − y 4  dy 2 2 2 dy = •=   2 y −1 −1 2 2  1 5 ∫ = ( 6 + 5 y − y ) dy =  6 y + y 2 − y 5  4  5  −1 2 −1 Hình 20.11 15 33 180 + 75 − 66 5 1 • = 6.3 + .3 − .33 = 18 + − = 2 5 2 5 10 189 = 10 Ví d 5. Ta tính tích phân trong ví d 2 theo mi n n m ngang ơn gi n 1y ∫∫ 2 xy dA = ∫ ∫ 2 xy dx dy • 0 y2 R 1 1 1 ∫ ∫ ) dy = ∫ ( y y dy = y ( y − y − y 5 ) dy 2 2 4 3 • = yx Hình 20.10 y2 0 0 0 61 y4 y 111 •= − = −= 4 6 12 4 6 0 12 ∫∫ Ví d 6. Tính 2 4e x dx dy 0 2y 2 ∫ 2 4e x dx • Không th tính 2y • C n thay i th t tính ư c tích phân • V mi n R: 2y ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1 • T hình ta có bi u di n khác c a R: Hình 20.12 x 0≤y≤ ,0≤x≤2 2
x 12 22 ∫∫ ∫∫ 2 2 4e x dx dy = 4e x dy dx • 0 2y 00 2 2 2 x x ∫ ∫ ∫ x2 x2 2 dx = 2e x x dx • = 4e y dx = 4e 2 0 2 0 0 0 2 22 ∫ 2 • = ex d ( x2 ) = ex = e4 − 1. 0 0 Nh n xét N u R không có c d ng ng l n n m ngang thì tính như th nào? Ví d tính tích phân sau ∫∫ ( x ) 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4. 2 + y 2 dx dy , ó R: R Ghi nh Tu n này làm bài t p các m c 20.1 và 20.2. • Tu n t i h c lý thuy t các m c 20.4 và 20.9 ( i bi n s trong tích • phân kép). Bu i h c lý thuy t 15/3/08 chuy n sang 12/3/08 (theo k ho ch ã • thông báo c a phòng ào t o H & S H). Th y Nguy n H u Th d y thay, tôi d n oàn i thi Olympic toán qu c gia.