II
(cid:1) (cid:1)
(cid:1)
(cid:1)
2
1
2
1
y
(
x
)
b
a y x
(
)
y
(
x
)
b
a
y x
(
)
b
a
b
2
1
a
1
2
1
2
=
S
dy dx
=
S
dy dx
f x dx
=
−
•
Tính diện tích bằng tích phân lặp
Tính thể tích bằng tích phân lặp (mục 20.1)
Trong giải tích một biến số chúng ta đã nghiên cứu tích phân xác định
.
Liệu có thể mở rộng khái niệm trên cho hàm hai biến số trên miền phẳng nào
đó của mặt phẳng?
R: y
(x) ≤ y ≤ y
(x), a ≤ x ≤ b
Các hàm y
(x), y
(x) liên tục trên [a ; b]
• Đã biết công thức tính diện tích trên
miền phẳng R:
S
y x
y x dx
Có thể viết công thức nói trên dưới
dạng khác (được gọi là tích phân lặp)
Hay
Hình 20.2 (trái)
ở đó thứ tự lấy tích phân được xác định bởi thứ tự các vi phân
a)
1. Tính diện tích bằng tích phân lặp
(
)
(
)
(
)
§ 1. Tính thể tích bằng tích phân lặp
∫ ∫
∫
∫
∫
∫
Bài 7
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
Chương
. TÍCH PHÂN BỘI
Giải tích nhiều biến số
(cid:1)
(cid:1)
(cid:1)
(cid:1)
2
2
2
2
2
2
1
1
π
2
0
2
1
a
2
2
0
2
2
0
/
/
2
2
2
π
π
0
0
d
c
x
(
y
)
x
(
y
)
d
d
c
x y
(
)
c x y
(
)
b
a
2
2
2
2
x
−
b
1
a
a
a
2
2
−
a
a
x
−
−
b
1
a
−
π
/
2
2
2
2
1
2
2
1
sin
2
=
=
.
2
0
2
2
2
T
ng t
ta c
ng dùng tích phân l
p
tính di
n tích mi
n
sau
:
(
)
(
),
,
các hàm
(
),
(
) liên t
c trên [
;
]
(
)
(
)
ó th
t
l
y tích phân
c xác
nh b
i th
t
các vi phân.
Hình 20.2 (ph
i)
Ta
ã bi
t công th
c tính th
tích v
t th
trong không gian ba chi
u:
( )
ó
(
) là di
n tích ti
t di
n th
ng t
o b
i v
t th
và m
t ph
ng vuông góc
v
i tr
c
t
i
.
x − b dx 4 1 a
≤ ≤ x a t t
= − S b t a t dt
= + ba cos t dt ab cos t dt
t + + = ab t ab ab
R
• ≤ ≤ ≤ ≤ R x y x x y c y d
y x x y c d
• = − S x y x y dy
• = = S dx dy dx dy
= V S x dx
S x
x
x
−
−
≤
≤
−
− ≤
b
y
b
,
a
x a
≤ .
1
1
a
a
x
−
=
S
dy dx
=
b
dx
=
a
t
=
sin
, 0
, có
π
2
1
sin . cos
=
x
y
+
≤
a
, b
1
a
b
E
2
4
1
4
2
2
1
π
,
> 0
> 0.
Sử dụng tích phân lặp tính diện tích của Ellip:
:
Đặ
π
ươ
ự
ũ
ặ
để
ệ
ề
ụ
ở
đ
ứ
ự
ấ
đượ
đị
ở
ứ
ự
ả
đ
ế
ứ
ể
ậ
ể
ề
ở
đ
ệ
ế
ệ
ẳ
ạ
ở
ậ
ể
ặ
ẳ
ớ
ụ
ạ
Ox x
Ví dụ 1.
b)
2. Tính thể tích bằng tích phân lặp
(
)
[
]
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫ ∫
∫
∫
∫
∫
(cid:1)
(cid:1) (cid:1)
(cid:1)
(cid:1)
(cid:1)
2
1
2
2
1
1
1 1
0
0
−
1
−
1
1
1
2
0
0
0
0
1
2
0
y
x
y x
y
x
y
x
b
b
a
y x
a y x
−
x
x
x
1
2
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Khi v
t th
trong không gian ba chi
u là v
t th
hình tr
: nó gi
i h
n b
i m
t
ph
ng
= 0, m
t tr
có
ng sinh song song v
i tr
c
, m
t cong
(
) sao cho m
i
ng th
ng song song v
i tr
c
u c
t nó t
i
không quá m
t
i
m (t
c
(
) xác
nh m
t hàm s
)
Hình 20.1
Ti
t di
n: 0
(
),
(
)
(
),
.
Theo m
c 1 ta có
( )
( ,
)
Do
ó
1
1
2
1
1
1
1
2
z Oz
z = f x, y Oz
z = f x, y
≤ ≤ ≤ ≤ ≤ z f x, y y x y y x a x ≤ b
= S x f x y dy
= = V f x y dy dx f x y dy dx
x + y + z
≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ z x – y R y x x
= − − V x y dy dx
y − − = − − = x y dy dx y xy dx
( ,
)
( ,
)
S
d
ng tích phân l
p
tính th
tích t
i h
n b
i các m
t ph
ng to
và m
t
di
n gi
= 1.
ph
ng
0
1 –
,
: 0
1 –
, 0
1.
Hình 20.3
ậ
ể
ề
ậ
ể
ụ
ớ
ạ
ở
ặ
ẳ
ặ
đườ
ụ
ớ
ụ
ặ
đườ
ọ
ẳ
ụ
ớ
đề
ắ
ạ
ộ
đ
ể
ứ
đị
ộ
ố
ế
ệ
ụ
đ
ử
ụ
ặ
để
ể
ứ
ạ
ở
ớ
ặ
ẳ
ạ
độ
ặ
ệ
ẳ
= − − − − − x x x x dx
Ví dụ 2.
(
)
(
)
(
)
(
)
∫ ∫
∫
∫
∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
(cid:1)
(cid:1)
(cid:1)
2
2
1
1
2
1
1
2
2
0
0
x y
x
y
d
d
c
x y
c x y
−
−
y
y
1
1
1
1
0
0
0
0
−
y
1
1
1
2
2
0
0
0
1
1
2
2
2
0
0
1
2
0
−
−
−
x
x
13
0
13
0
1 3
1
3
2
2
0
2
2
0
3
1
1
3
2
0
0
1
12
0
0
1
0
1
2
2
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
1
1
1
2
2
= − = − − − x dx x d x
x− = − = − −
z f x, y x y x x y c y d
V f x y dx dy f x y dx dy
z x – y x y y
= − − = − − V x y dx dy x y dx dy 1 1
x 1 − − = − − − − − = x xy dy y y y y dy 1 1 1 2 2
1 1 − − − = − = y y dy y dy 1 1 1 2 2
1 1 1 1 − − = − = + = = y d y 1 1 1 0 1 6 6 6 2
≤ ≤ ≤ ≤ − ≤ ≤
= • =
1 • = − − = 27 8 3 3
35 35 35 • = = = 3 3 2 6
11
1
1
.
.
0 1
2
3
6
6
T
ng t
khi ti
t di
n có d
ng
0
(
),
(
)
(
),
Ta có công th
c tính th
tích v
t th
ã cho nh
sau
,
,
Ta s
gi
i ví d
2 theo công th
c m
i nh
n
c, khi
ó
Ti
t di
n: 0
1 –
, 0
1 –
, 0
1.
.
Tính th
tích v
t th
sau: 0
, 0
1,
2
3.
.
.
Tính tích phân l
p sau:
=
≤
≤
≤
≤
≤
≤
=
=
≤
≤
≤
≤
≤
≤
y
z
xy
x
y
V
xy dy dx
xy dy dx
y
x
dx
x
dx
x
x dx
y dy dx
ươ
ự
ế
ệ
ạ
ứ
ể
ậ
ể
đ
ư
ẽ
ả
ụ
ứ
ớ
ậ
đượ
đ
ế
ệ
ể
ậ
ể
2
Ví dụ 4.
ặ
Ví dụ 3.
Ví dụ 5.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
(
)
∫
∫
∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
∫
∫
∫ ∫
(cid:1)
(cid:1)
2
2
2
x
x
x
x
y
y
−
y
1
y
0
1
1
3
y
2
2
y
0
0
1
5 2
3
0
2 4
1
x
/
1
1
1
2
2
4
0
0
0
1
3
5
0
1
0
2
1
2
1
2
−
≤
≤
≤
≤
y
x
y
y
− ≤
≤
≤
≤
R
x
y
y
1
= = = − 2
1 1 2 = − = = − 3 5 15 3 5
• = 2
= y dx dy 2
= = − • xy dy y y dy 2 2 2
1 2 • = − y y 2 3 5
1 2 2 • = − = 2 3 15 5
f x,
y
= I f x y dy dx
• ≤ ≤ − ≤ ≤ R x y x
• ∪ R R R
Hình 20.5
Ta có th
tính b
ng cách khác nh
sau
Xác
nh mi
n l
y tích phân c
a tích
phân l
p và
i th
t
l
y tích phân (cho hàm
(
) có
các
i
u ki
n c
n thi
t)
,
Mi
n l
y tích phân:
4,
1
2
:
Ta có
=
,
ó
:
, 0
1
:
, 1
4
Hình 20.4
I
y dy dx
y
dx
x
x dx
x
x
I
y dx dy
ể
ằ
ư
đị
ề
ấ
ủ
ặ
đổ
ứ
ự
ấ
đủ
đ
ề
ệ
ầ
ế
ề
ấ
ở
đ
R
Nhận xét.
Ví dụ 6.
(
)
(
)
(
)
∫ ∫
∫ ∫
∫
∫
∫ ∫
∫
∫
∫ ∫
(cid:1)
(cid:1)
(cid:1)
−
−
y
y
1
4
0
1
1
y
•
=
+
I
f x y dx dy
f x y dx dy
,
,
C
n n
m v
ng mi
n l
y tích phân
ch
n th
t
thích h
p cho vi
c tính
tích phân l
p
tính tích phân l
p, ngoài vi
c ch
n th
t
tính, còn c
n thi
t n
m
v
ng cách tính tích phân xác
nh
Khi tính th
tích c
n chú ý cách s
d
ng các công th
c: Tích phân xác
nh và tích phân kép.
ầ
ắ
ề
ấ
để
ọ
ứ
ự
ợ
ệ
ữ
ặ
ặ
ệ
ọ
ứ
ự
để
ầ
ắ
ế
Để
đị
ữ
ầ
ử
ụ
ứ
ể
đị
Chú ý
(
)
(
)
∫ ∫
∫ ∫
(cid:1) (cid:1)
(cid:1)
(cid:1)
(cid:1)
(cid:1)
(cid:1)
(cid:1)
(cid:1)
(cid:1)
R
n
n
k
k
k
k
k
k
n
k
k
k
k
R
=
n
k
k
k
k
1
n
k
k
k
=
k
1
R
=
=
1
1
=
1
=
k
,
n
1
n
k
k
k
=
k
1
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
f
x, y
R
xOy
R
∆A
, k
∆
dA
R
x
y
R
A
, k =
n
x
y
A
f
x, y
f x y
A
A
f x y
A
R
x
y
dA =
2
Tích phân b
i hai (m
c 20.2)
Cách tính
Cho hàm
) liên t
c trên mi
n
b
ch
n (gi
i n
i),
óng trong m
t
(
ph
ng
Xét l
i các
ng th
ng song song v
i các tr
c to
, nh
ng
ng
th
ng này chia m
t ph
ng thành các hình ch
nh
t nh
, các hình ch
nh
t
n
m tr
n trong
có di
n tích là
=
=
∆
f x y dA
,
lim
f x y
,
A
Tính
,
ó
: 0 ≤
≤ 1, 0 ≤
≤ 2.
Xét l
i các
ng th
ng song song v
i các tr
c to
chia mi
n
thành
các hình ch
nh
t có di
n tích là ∆
,
L
y
i
m tu
ý (
;
) ∈ ∆
, có
(
) = 1.
∆
=
∆
=
L
p t
ng
,
∆
=
,
Ta có
lim
, không ph
thu
c vào phép chia mi
n
và
cách ch
n
i
m (
;
), do
ó ta có
=
d
max
{
ng chéo c
a hình ch
nh
t th
k}
∆
N
u t
ng
f x y
,
A
ti
n
n m
t gi
i h
n (h
u h
n) duy nh
t khi n → ∞
sao cho d → 0 không ph
thu
c vào cách ch
n l
i các
ng th
ng và cách
ch
n (x
; y
) thì hàm f(x, y) kh
tích trên R và ta b
o gi
i h
n
ó là tích phân b
i
c
a hàm f(x, y) trên R và vi
t
,n1
Ch
n
i
m b
t kì (x
, y
) trong hình ch
nh
t th
k và l
p t
ng
f x y
,
A
G
i
1
2
2
ộ
ụ
ụ
ề
ớ
ộ
đ
ị
ặ
ặ
ẳ
ướ
đườ
ẳ
ớ
độ
ữ
ụ
ạ
đườ
ẳ
ặ
ẳ
ữ
ậ
ỏ
ữ
ậ
ằ
ọ
ệ
ọ
đ
ể
ấ
ữ
ậ
ứ
ậ
ổ
ọ
đườ
ủ
ứ
ậ
ứ
ế
ổ
ế
đế
ộ
ớ
ữ
ạ
ạ
ấ
ọ
ướ
đườ
ẳ
ộ
ụ
ọ
ả
ớ
ạ
đ
ả
ộ
ủ
ế
ở
đ
ướ
đườ
ẳ
ớ
ụ
ạ
độ
ề
ậ
ữ
ệ
ỳ
ấ
đ
ể
ậ
ổ
ụ
ộ
ề
ọ
đ
ể
đ
Ví dụ 1.
1. Định nghĩa
§ 2. TÍCH PHÂN BỘI HAI VÀ TÍCH PHÂN LẶP
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
∫∫
∫∫
∑
∑
∑
∫∫
∑
∑
∑
(cid:1)
, f x y dA
R
(cid:1)
(cid:1)
(cid:1)
(cid:1)
1
2
R
R
R
R
R
R
R
R
0
0
R
R
R
R
R
R
1
2
1
2
0
0
f
x, y
R
∆A
∆x
∆y
f x y dx dy
,
α
β
α
β
N
u f(x, y) > 0 trên R thì th
tích (hình h
c) v
t th
hình tr
v
i
áy d
i là
=
R, còn
áy trên là z = f(x, y) là
V
f x y dx dy
,
=
Khi f(x, y) = 1 thì di
n tích c
a mi
n ph
ng R là
S
dx dy
N
u f(x, y) có d
u thay
i trên R thì công th
c th
tích
i s
c
a v
t th
hình tr
này là
f x y dx dy
,
Có các tính ch
t t
ng t
nh
tích phân xác
nh
a)
+
=
+
f x y
,
g x y dx dy
,
f x y dx dy
,
f x y dx dy
,
b)
N
u R = R
∪ R
, R
và R
không có
i
m trong chung thì có
f x y dx dy
,
= + f x y dx dy , f x y dx dy ,
c) N u f(x, y) ≤ g(x, y), ∀ (x ; y) ∈ R thì có
≤ f x y dx dy , g x y dx dy ,
Nói riêng: N u m và M t ng ng là giá tr bé nh t và l n nh t c a hàm
f(x, y) trong mi n R thì có
mS ≤ f x y dx dy M S≤ , , ó S là di n tích mi n R
d) Hàm f(x, y) liên t c trên mi n R liên thông
thì có ít nh t m t i m (x ; y ) ∈ R sao cho có:
= f x y dx dy , f x y S ,
N
u
(
) liên t
c trên
gi
i n
i thì t
n t
i
Do
=
.
nên th
ng s
d
ng cách vi
t
ế
ụ
ớ
ộ
ồ
ạ
ườ
ử
ụ
ế
ế
ể
ọ
ậ
ể
ụ
ớ
đ
ướ
đ
ệ
ủ
ề
ẳ
ế
ấ
đổ
ứ
ể
đạ
ố
ủ
ậ
ể
ụ
ấ
ươ
ự
ư
đị
ế
đ
ể
ế
ế
ươ
ứ
ị
ớ
ấ
ủ
ấ
ề
ở
đ
ệ
ề
ụ
ề
ấ
ộ
đ
ể
ở
đ
ệ
ề
ó S là di n tích mi n R
Chú ý
2. Tính chất:
Tuyến tính:
Cộng tính:
Bảo toàn thứ tự:
Định lý giá trị trung bình.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
(cid:1)
(cid:1)
(cid:1)
(cid:1)
(cid:1)
(cid:1)
2
1
y
x
b
a y x
R
R
x
x
R
x
x
R
2
2
1
0
1
1
1
2
2
2
3
0
0
0
1
3
4
0
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
(
)
(
)
2
−
N u R là mi n th ng ng n gi n:
y (x) ≤ y ≤ y (x), a ≤ x ≤ b
Hàm f(x, y) liên t c trên R, các hàm y (x), y (x)
liên t c trên [a ; b]. Khi ó ta có
= f x y dx dy , f x y dy dx ,
Tính xy dx dy , ó R gi i h n b i parabol x = y và ng th ng y = x.
Tìm giao i m:
ho c
Tính , ó gi i h n b i parabol và ng th ng = 2
Tìm giao i m:
Hình 20.8
x y y y = = ⇔ x y x y = =
= = y y x x 0 hoÆ c 1 0 1 = =
x y y y 0 1 ⇔ = ⇔ = =
= xy dA xy dy dx 2 2
= = − = − xy dx x x x dx x x dx Hình 20.10
x x 1 1 1 = − = = − 3 4 12 3 4
+ x dA R x = y x y 1 2
x y x y = =⇔ − = x y 2 − − = y y 2 0
ề
ẳ
đứ
đơ
ả
ế
ụ
ụ
đ
ở
đ
ớ
ạ
ở
đườ
ẳ
đ
ể
ặ
ở
đ
ớ
ạ
ở
đườ
ẳ
đ
ể
= = − x , y 1 1 x y = ⇔ = ⇔ = , y x 4 2 = − = y y 1 hoÆ c 2
a)
Ví dụ 2.
Ví dụ 3.
3. Cách tính
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
∫
∫
(cid:1)
(cid:1)
(cid:1)
2
1
R
x
x
x
x
x
x
x
x
x y
d
c x y
R
4
1
1
2
0
1
4
2
0
1
1
4
3 2
3 2
0
1
1
4
3 2
5 2
3 2
2
0
1
4
5 2
3 2
3
2
1
−
−
−
−
/
/
/
/
/
/
/
1
2
1
2
(
)
(
)
+ x dA 1 2
= + + + x dy dx x dy dx 1 2 1 2
= + + + y xy dx y xy dx 2 2
Hình 20.11
= + + − + + − − x x dx x x x x x dx 2 4 2 2 2 2
2 2 = + + + − + + . x . x x x x x dx 2 4 2 2 3 2 5 3
2 2 4 8 2 3 = + + + − + + . x x x x x 2 2 3 5 3 5 3 2
4 8 4 32 16 128 4 2 2 3 . − = + + + + + − + − + + 24 8 2 3 5 5 3 3 5 3 3 2
136 108 4 3 132 3 132 3 = + − − = + − − = − − − 30 30 36 6 5 3 5 2 5 2 5 2
− − 264 15 60 189 = = 10 10
N u R là mi n n m ngang n gi n: x (y) ≤ x ≤ x (y), c ≤ y ≤ d
Hình 20.9
Hàm f(x, y) liên t c trên R, các hàm x (y), x (y) liên t c trên [c ; d]. Khi ó ta có
= f x y dx dy , f x y dx dy ,
b)
ế
ề
ằ
đơ
ả
ụ
ụ
đ
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
∫∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫∫
∫ ∫
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
y
R
y
y
y
y
R
y
y
y
x
y
x
y
2
2
1
2
2
2
2
2
2
4
1
1
2
2
4
2
5
1
1
1
0
1
1
1
2
2
4
3
5
0
0
0
1
4
6
0
1 2
0 2
2
2
+
−
+
−
−
−
−
2
Ta tính tích phân trong ví d 3 theo mi n n m ngang n gi n
y ≤ x ≤ y + 2, −1 ≤ y ≤ 2
• + = + x dA x dx dy 1 2 1 2
= + = + − + + − • x x dy y y y y dy 2 2
5 1 = + − = + − y dy y y y 6 5y 6 2 5
+ − 5 1 15 33 180 75 66 = + − = + − = • 6 3 3 33 18 2 5 2 5 10
189 = 10
• = xy dA xy dx dy 2 2
• = = − = − yx dy y y y dy y y dy
y y 1 1 1 • = − = − = 4 6 12 4 6
e dx dy 4
• e dx 4
•
• ≤ ≤ ≤ ≤ R y x y
• R
Hình 20.11
.
.
.
Ta tính tích phân trong ví d
2 theo mi
n n
m
ngang
n gi
n
Hình 20.10
Tính
Không th
tính
C
n thay
i th
tính
c tích phân
t
V
mi
n
: 2
2, 0
1
T
hình ta có bi
u di
n khác c
a
:
Hình 20.12
0
, 0
2
ụ
ề
ằ
đơ
ả
ụ
ề
ằ
đơ
ả
ể
ầ
đổ
ứ
ự
để
đượ
ẽ
ề
ừ
ể
ễ
ủ
x ≤ ≤ ≤ ≤ y x 2
Ví dụ 4.
Ví dụ 5.
Ví dụ 6.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
∫∫
∫ ∫
∫∫
∫ ∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫ ∫
∫
2
2
2
2
2
2
2
x
1 2
2 2
x
x
y
0 2
0 0
2
2
2
x
x
x
x
2
0
0
0
0
2
2
x
2
4
0
0
x
2
2
2
2
R
•
= e dx dy e dy dx 4 4
x • = = = e y dx e dx e x dx 4 4 2 2
• = − e d x e= e= 1
R
+ ≤ ≤ x y dx dy R x y
•
•
.
u
không có c
d
ng
ng l
n n
m ngang thì tính nh
N
nào? Ví d
tính tích phân sau
th
,
ó
: 1
+
4.
Tu
n này làm bài t
p các m
c 20.1 và 20.2.
Tu
n t
i h
c lý thuy
t các m
c 20.4 và 20.9 (
i bi
n s
trong tích
phân kép).
Bu
i h
c lý thuy
t 15/3/08 chuy
n sang 12/3/08 (theo k
ho
ch
ã
thông báo c
a phòng
ào t
o
H & S
H). Th
y Nguy
n H
u Th
d
y
thay, tôi d
n
oàn
i thi Olympic toán qu
c gia.
ế
ả
ạ
đứ
ẫ
ằ
ư
ế
ụ
ở
đ
ầ
ậ
ụ
ầ
ế
ụ
ọ
ớ
đổ
ế
ố
ổ
ọ
ế
ể
ế
ạ
đ
ủ
đ
ạ
Đ
ầ
ễ
Đ
ữ
ọ
ạ
ẫ
đ
đ
ố
•
Nhận xét
Ghi nhớ
(
)
(
)
∫∫
∫ ∫
∫
∫
∫
∫
∫∫
