GIẢI TÍCH TỔ HỢP, HAI QUY TẮC ĐẾM

Chia sẻ: Trần Bá Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:15

Thêm vào BST

Báo xấu

718
lượt xem 222
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

GIẢI TÍCH TỔ HỢP Bài 1: HAI QUY TẮC ĐẾM 1. Quy tắc cộng Xét bài toán sau: “Có 7 trường ĐHSP và 3 trường KHTN tổ chức thi khối B. Hỏi có bao nhiêu cách chọn các trường thi khối B” Giải: Để chọn trường thi khối B thi ta chỉ chọn trường ĐHSP hoặc trường KHTN. Nếu chọn trường ĐHSP ta có 7 cách chọn, nếu chọn trường KHTN thì có 3 cách chọn và hi chọn trường này thì không chọn trường khác . Do vậy có 7+3=10 cách chọn trường thi khối B. Ví dụ trên là một...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: GIẢI TÍCH TỔ HỢP, HAI QUY TẮC ĐẾM

GIẢI TÍCH TỔ HỢP Bài 1: HAI QUY TẮC ĐẾM 1. Quy tắc cộng Xét bài toán sau: “Có 7 trường ĐHSP và 3 trường KHTN tổ chức thi khối B. Hỏi có bao nhiêu cách chọn các trường thi khối B” Giải: Để chọn trường thi khối B thi ta chỉ chọn trường ĐHSP hoặc trường KHTN. Formatted: Font: Bold Nếu chọn trường ĐHSP ta có 7 cách chọn, nếu chọn trường KHTN thì có 3 cách chọn và hi chọn trường này thì không chọn trường khác . Do vậy có 7+3=10 cách chọn trường thi khối B. Ví dụ trên là một minh họa cho quy tắc cộng, trong trường hợp tổng quát ta có định nghĩa sau: “ Xét một hành động A. Giả sử A có n phương án A1,A2,…, An thực hiện hành động A Nếu có m1 cách chọn đối tượngthực hiện phương án A1, có m2 cách chọn đối tượngthực hiện phương án m2A2,.., có mn cách chọn đối tượngthực hiện phương án An và nếumỗi cách chọn đối tượngthực hiện phương án xAi không trùng với bất kì Formatted: Font: Not Italic, Underline cách chọthực hiện phương án xAj (i≠j) thì có m1+m2+…+mn cách chọn một đối Formatted: Font: Not Italic, Underline tượng trong các đối tượng x1, x2, …,xnthực hiện hành động A”. 2. Quy tắc nhân Xét bài toán: “Có bao nhiêu số gồm ba chữ số khác nhau được lập từ các số 1,2,3”? Giải: Gọi số cần tìm có dạng abc khi đó ta có a: Có 3 cách chọn 1 trong 3 số 1,2,3. Khi đã chọn a thì có 2 cách chọn b từ 1 trong 2 số còn lại và sau cùng chỉ còn 1 cách chọn c. Vậy có 1.2.3=6 số thỏa mãn bài toán. Bài toán trên là một ví dụ về quy tắc nhân. Ta có định nghĩa về quy tắc nhận như sau “Nếu có m1 cách chọn đối tượng x1, sau khi chọn x1 có m2 cách chọn đối tượng m2,… sau khi chọn xn-1 có mn cách chọn đối tượng xn. Thì có m1.m2…mn cách chọn dãy x1x2…xn . Sau đây ta xét một số ví dụ. Ví dụ1: Trong một trận thi đấu bóng đá có 20 đội tham gia. Có ba huy chương 1 vàng, 1 bạc, 1 đồng. Hỏi có bao nhiêu cách trao giải (Biết khả năng các đội là như nhau) Ví dụ 2: Có bao nhiêu chữ số gồm bốn chữ số khác nhau được lập từ các số 0,1,2,4,5,6,8. Ví dụ 3: Một giáo viên có 5 bài toán Đại Số, 4 bài toán Số hoc, 3 bài toán hình học. Có bao nhiêu cách ra một đề thi gồm 4 câu trong đề phải có Đại Số, Số học và hình học. Ví dụ 4: Cho các chữ số 1,2,3,...,9. Từ các số đó co thể lạp được bao nhiêu số
a) Có 4 chữ số khác nhau nhỏ hơn 2026 b) Số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau và khong vượt quá 2006 c) Số có 5 chữ số mà khi mỗi số quay một góc 1800 thì ta được một số viết theo thứ tự ngược lại với số ban đầu Ví dụ 5: Từ thành phố A có m con đường đi đến thành phố B, tư thành phố A có n con đường đi đến thành phố C, từ B đến D có p con đường, từ C đến D có q con đường và không có con đường nào nối B với C. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến D. Bài 2: HOÁN VỊ 1. Giai thừa a) Định nghĩa: Với mọi số tự nhiên n ≠ 0, tích 1.2.3...n được gọi là n- giai thừa và kí hiệu n!. Vậy n!=1.2.3...n Ta quy ước 0!=1 b) Tính chất: *n!  n(n  1)! *n!  n(n  1)(n  2)...(n  k  1).k! c) Các ví dụ Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau 15! 1 1 7!4! 9! 11! 1) 2)  3) (  ) 13! n! (n  1)! 10! 4!5! 8!3! Ví dụ 2: Giải các phương trih sau n! (n  1)! n! (n  1)! 1)  20 2)   3n  2 3) 6 (n  2)! (n  3)! (n  1)! n! (n  1)! Ví dụ 3: Tìm n thỏa mãn các Bất phương trình sau (n  1)! 5n! n! 1) (n  1)!  15; 2)  72; 3)   5(n  2) (n  4) (n -1)! 4!(n - 3)! 12(n  3)(n  4)!2! 2. Hoán vị Formatted: Spanish (Spain, International Sort) a) Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử (n ≥ 1). Mỗi cách sắp xếp thứ tự n phần tử Formatted: Font: Not Italic, Spanish (Spain, International Sort) của A gọi là một hoán vị của n phần tử đó. Kí hiệu P n . VD: tập {1,2,3} có các hoán vị là: 123; 132; 231; 213; 312; 321 Formatted: Spanish (Spain, International Sort) b) Số hoán vị của tập n phần tử: Định lí: Ta có Pn  n! Field Code Changed Formatted: Spanish (Spain, International Sort) Chứng minh: Ta lần lượt chọn các phần tử của tập A và xếp chúng vào n vị trí theo thứ tự xác định. Ở vị trí 1: Ta có thể đặt bất kì phần tử nào của A suy ra có n cách chọn. sau khi đã chọn vọ trí thứ 1 thì
Ở vị trí 2: Ta có thể chọn bất kì phần tử nào của A trong n-1 phần tử còn lại suy ra có n-1 cách chọn….. ở vị trí thứ n có một cách chọn nên theo quy tắc nhân có cả thảy n(n-1)(n-2)…2.1=n! cách sắp xếp. Ví dụ 1: Tính số hoán vị của các tập sau Formatted: Spanish (Spain, International Sort) a) A gồm 5 phần tử khác nhau Formatted: Font: Not Italic, Spanish (Spain, International Sort) b) B gôm các chữ cái X,Y,Z,T Ví dụ 2: Từ các số 1,2,3,4,5 ta có thể lập được bao nhiêu số gồm: a) Gồm 5 chữ số khác nhau Formatted: Font: Not Italic, French (France) b) Gồm 5 chữ số khác nhau bắt đầu bằng chữ số 1 c) Gồm 5 chữ số khác nhau không bắt đầu bằng chữ số 1. Giải: Giả sử các số cần tìm có dạng a1a 2a 3a 4a 5 a) Số các số có 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1,2,3,4,5 chính là số các hoán vị của tập {1,2,3,4,5} suy ra có P5=5!=120 số thỏa mãn yêu cầu bài toán b) Vì a1=1 nên a1 có 1 cách chọn Các số còn lại là các hoán vị của tập {2,3,4,5}  có P4=4!=24 cách chọn cho 4 vị trí còn lại. Vậy có 24 số thoă mãn yêu cầu bài toán c) Số các số có 5 chữ số không bắt đầu bằng chữ số 5 chính bằng só các số có 5 chữ số trừ đi số các số có 5 chữ số bắt đầu bằng số 1. Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là : 120-24=96 số. Ví dụ 2: Có bao nhiêu số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau được lập từ các số 1,2,3,4? Giải: Vì các số cần lập là số chẵn nên chữ số hàng đơn vị phải là số 2 hoặc 4  có 2 cách chọn vị trí hàng đơn vị. Khi chọn hàng đơn vị rồi thì 3 vị trí còn lại chính là hoán vị của ba số còn lại nên có P3=3!=6 cách chọn. Vậy có 2.6=12 các số thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ví dụ 3: Tính tổng các chữ số gồm 5 chữ số được lập từ các số 1,2,3,4,5? Giải: Có 120 số có 5 chữ số được lập từ 5 chữ số đã cho. Bây giờ ta xét vị trí của một chữ số trong 5 số 1,2,3,4,5 chẳng hạn ta xét số 1. Số 1 có thể xếp ở 5 vị trí khác nhau, mỗi vị trí có 4!=24 số nên khi ta nhóm các các vị trí này lại có tổng là 24(105+104+103+102+10+1)=24.11111 Vậy tổng các số có 5 chữ số là 24.11111(1+2+3+4+5)=5599944. Nhận xét: Qua ba ví dụ trên ta thấy các dấu hiệu đặc trưng để giúp ta nhận dạng một hoán vị cảu n phần tử là: *Tất cả n phần tử đều phải có mặt * Mỗi phần tủ xuất hiện một lần * Có thứ tự giữa các phần tử
Ví dụ 4: Có 30 học sinh của trường X tham gia mít tinh, trong đó có 4 học sinh cùng một lớp 26 học sinh còn lại được chọn từ 13 lớp khác nhau mỗi lớp 2 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 30 học sinh thành một hàng sao cho các học sinh cùng một lớp thì đứng kề nhau. Giải: Những học sinh cùng một lớp ta xếp cùng một nhóm, ta có 14 nhóm khác nhau và ta có P14 cách sắp xếp các nhóm này thành một hàng. Trong mỗi nhóm 2 người thi ta có 2 cách xếp thành 1 nhóm và nhóm 4 người thì có 4!=24 cách xếp, như vậy với mỗi cách xếp 14 nhóm trên thì ta có 24.213 cách hoán vị các học sinh trong nhóm. Vậy có 24.213.P14 cách xếp. Ví dụ 5: Có bao nhiêu cách xếp n người ngồi xung quanh một bàn tròn? Giải: Do các chỗ ngồi xung quanh bàn tròn không có phần tử đầu và phần tử cuối nên người thứ nhất được ngồi tự do. Tiếp theo n-1 người con lại chính là số hoán vị của n-1 chỗ ngồi còn lại. Vậy số cách xếp là (n-1)! Chú ý: Một cách xếp n phần tử thành vòng tròn gọi là hoán vị vòng tròn. Số hoán vị vòng tròn của n phần tử là (n-1)!. Ví dụ 6: Chứng minh rằng tồn tại hai số khác nhau cso 5 chữ số, mỗi số được viết bởi đúng 5 chữ số 1,2,3,4,5 sao cho hiệu của chúng chia hết cho 120. Giải: Số các số có 5 chữ số khác nhau là 5!=120 số. Các số này không có số nào chia hết cho 120 (vì không có số nào tận cùng bằng 0) nên số dư của các số này khi chia cho 120 chỉ có thẻ là 1,2,3,4,…,119 nên theo nguyên lí Dirichlê tồn tại 2 số a,b trong 120 số đó sao cho a-b chia hết cho 120 (đpcm). Bài tập: 1) Xét các số có 7 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7. Hỏi: a) Có bao nhiêu số? b) Có bao nhiêu số bắt đầu bằng chữ số 1? c) Có bao nhiêu số bắt đầu bằng 12? d) Có bao nhiêu số chia hết cho 5? e) Có bao nhiêu số lẻ? 2) Có n cuốn sách và n cuốn vở . Hỏi có bao nhiêu cách xếp 2n vật trên vào 2n ô sao cho những cuốn sách được xếp vào ô có vị trí chẵn? 3) Trên một con tàu có 4 toa trống và có 40 nam, 40 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 80 người này lên tau biết rằng trong mỗi toa chỉ có nam hoặc nữ và số người mỗi toa là bằng nhau. 4) Cho 10 học sinh nam và 13 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách xếp 23 người này thành một hàng dọc sao cho đầu hàng là học sinh nam, cuối hàng là học sinh nữ?
5) Một thư viện có 70 cuốn sách tham khảo gồm 20 cuốn Toán, 13 cuốn Lý, 17 cuốn Hóa và 20 cuốn Tin. Hỏi cô thư viện có bao nhiêu cách xếp 70 cuốn sách này lên giá sách sao cho những cuốn sách cùng bộ môn phải xếp canh nhau. 6) Tìm tất cả các số thực k sao cho trong tất cả k! số có đúng k chữ số được lập từ 1,2,...,k luôn có hai số sao cho hiệu của hai số đó chia hết cho k? 7) Có bao nhiêu cách xếp 7 nam, 3 nữ xung quanh một bàn tròn sao cho không có hai nữ ngồi cạnh nhau? 8) Tìm tất cả các giá trị của n sao cho Pn
Ví dụ 3: Trong cuộc thi đấu cầu mây có 20 vận động viên tham gia. Kết thúc cuộc đấu người ta trao 1 giải nhất, 1 giải nhì và 2 giải 3. Hỏi có bao nhiêu khả năng xảy ra, biết khả năng đạt giải của các vận động viên là như nhau? Ví dụ 4: Trong mặt phẳng cho n điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu véc tơ khác véc tơ  0 mà điểm đầu và điểm cuối là 2 trong n điểm nói trên?. Ví dụ 5: Tìm n sao cho 1) A2  A1  8 n n 2)A6  10A5 n n 3)Pn 1.An  4  15Pn  2 4 Ví dụ 6: Chứng minh các đẳng thức sau: 1)An  2  An 1  k 2 An  k nk nk n k k 1 2)An  An 1  k.An 1 k Bài tập 1. Tìm số nguyên dương n biết a)A3  20n n b)A5  18A n  2 n 4 c)Pn  3  720A5 Pn  5 n 2. Giải các phương trình sau Bài 4: TỔ HỢP 1.Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử, mỗi tập hợp con của A gồm k phần tử ( 0  k  n ) gọi là tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu Cn . k 2. Số tổ hợp: n! Định lí : Ck  k!(n  k)! n
Bài tập tổng hợp Các bài toán đếm 1.Từ các số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3? 2. Từ các số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên ,mỗi số có 6 chữ số Và thỏa đk :sáu số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số Đầu nhỏ hơn tổng của 3 số sau một đơn vị 3. Từ các số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số 2 và 5 không đứng cạnh nhau . 4. Có 3 học sinh nữ và 2 hs nam .Ta muốn sắp xếp vào một bàn dài có 5 ghế ngồi Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp để : a) 3 hs nữ ngồi kề nhau b) 2 hs nam ngồi kề nhau 5. Xếp 6 người A,B,C,D,E,F vào một ghế dài .Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao Cho: a)A và F ngồi ở hai đầu ghế b) A và F ngồi cạnh nhau c) A và F không ngồi cạnh nhau 6. Có 4 nam và 4 nữ .Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp vào một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau .Mỗi ghế có 4 HS sao cho đối diện với mối nam là một nữ ? 7. Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau ,mỗi dãy có 4 ghế .Người ta muốn Xếp chỗ ngồi cho 4 HS trường A và 4 HS trường B vào bàn nói trên .Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho a)Bất cứ hai HS nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau đều khác trường với nhau b) Bất cứ hai HS nào ngồi đối diện nhau đều khác trường với nhau 8. Đội tuyển HSG của một trường gồm 18 em ,trong đó có 7 HS khối 12,6 HSK11 Và 5 HSK10.Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 cách cử 8 HS đi dự đại hội sao cho mỗi khối có ít nhất 1 HS được chọn. 9. Trong một môn học, Thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu khó ,10 câu trung bình và 15 câu dễ .Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra,mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau,sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ cả 3 câu ( khó,dễ,Trung bình) và số câu dễ không ít hơn 2? 10. Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người ,gồm 12 nam và 3 nữ .Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi ,sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và một nữ ? 11.Một cuộc họp có 13 người, lúc ra về mỗi người đều bắt tay người khác một lần, riêng chủ tọa chỉ bắt tay ba người. Hỏi có bao nhiêu cái bắt tay? 12. Cho đa giác đều A1 A2 ... A2n nội tiếp trong đường tròn tâm O. Biết rằng số tam giác có đỉnh là 3 trong 2n điểm A1, A2 ,..., A2n gấp 20 lần so với số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 2n điểm A1, A2 ,..., A2n . Tìm n? 13. Từ 9 số 0,1,2,3,4,5,6,7,8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số gồm 7 chữ số khác nhau?
14. Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 8? 15. Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm đồng ca gồm 8 người, biết rằng trong nhóm đó phải có ít nhất 3 nữ? 16. Đội thanh niên xung kích có của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong ba lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy? 17. Một lớp có 33 học sinh, trong đó có 7 nữ. Cần chia lớp thành 3 tổ, tổ 1 có 10 học sinh, tổ 2 có 11 học sinh, tổ 3 có 12 học sinh sao cho trong mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chia như vậy? 18. Cho tập A gồm n phần tử (n ≥ 4). Biết rằng số tập con 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm k{1,2,…,n} sao cho số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất? 19. Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số có 5 chữ số khác nhau trong đó có đúng hai chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ đứng cạnh nhau? 20. Cho hai đường thẳng d1 và d2 song song với nhau. Trên d1 có 10 điểm phân biệt, trên d2 có n điểm phân biệt (n ≥ 2). Biết có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm nói trên. Tìm n? 21. Mỗi phòng thi có 4 dãy ghế, mỗi dãy có 5 ghế. Có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh A và 10 học sinh B vào phòng thi sao cho hai học sinh ngồi cạnh nhau hoặc nối đuôi nhau phải khác lớp nhau? 22. Có bao nhiêu cách phát 5 món quà cho 3 người sao cho người nào cũng có ít nhất một món quà? 23. Một Thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 5 cuốn sách văn học, 4 cuốn sách âm nhạc và 3 cuốn sách hội hoạ. Ông muốn lấy 6 cuốn và tặng cho 6 học sinh A,B,C,D,E,F mỗi em một cuốn. a) Giả sử thày giáo muốn sau khi tặng sách cho những em học sinh trên những cuốn sách thuộc hai thể laoij văn học và âm nhạc. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? b) Giả sử thầy giao muốn sau khi tặng sách cho các em học sinh xong, mỗi một trong ba loại còn lại mỗi loại ít nhất một cuốn? 24. Có bao nhiêu số tự nhiên gôm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt hai lần, chữ số ba có mặt ba lần và các chữ số còn lại có mặt ít nhất một lần? 25. Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau tao thành từ các số 1,2,3,4,5,6 mà các số đó nhỏ hơn số 345? 26. Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và4 nhà vật lý nam. Lập một đoàn công tác ba người cần có cả nam và nũ, cần có cả nhà toán học và nhà vật lý. Hỏi có bao nhiêu cách ? 27 Giải pt và hệ pt 1.Giải các pt sau : a) C 3n  5C1n b) C n14  C n214  2C n114 ĐS:a) n = 7 b) n = 4, n = 8 2. Giải các pt sau : a) 3C 2n1  nP2  4 A2n b) C 2 n1  A2 n  4n3   A12 n  2
ĐS: a) n = 3 b) VN 3.Giải các pt sau : 5 2 14 a) C1x  6C 2 x  6C3 x  9x 2  14 x b)   C x5 C x6 C x7 ĐS: a) x = 7 b) x = 3 4.Giải các pt sau : a) Px A2 x  72  6  A2 x  2Px  b) C 2nC n2n  2C 2nC3n  C3nC n3n  100 ĐS: a) x=3 ,x=4 b) n = 4 5.Giải các hệ pt sau : 2 A y  5C y  90 a)  y x x b) C y 1x 1 : C y x 1 : C y 1x 1  5 : 5 : 3 5 A x  2C x  80 y  A3  C y  70 7.Giải hệ  xy x  2C x  A4 x  100 Các tính chất Chứng minh các đẳng thức sau: k 1 1) An 1  kAn 1  An k k k 1 2)kCn  nCn 1 k k 1 3)Cn 1  Cn 1  Cn k k 4)Cn  2  2Cn 1  Cn  Cn  2 k k k k (2  k  n) 5)Cn  4Cn 1  6Cn  2  4Cn  3  Cn  4  Cn  4 (4  k  n) k k k k k k 1 1 1 n 1 6) mọi n≥2 ta luôn có:   ...  2  A2 A32 2 An n An 1  3 An 4 3 7) Tính giá trị của biểu thức M  biết (n  1)! Cn 1  2Cn  2  2Cn  3  Cn  4  149 2 2 2 2 2 Cn Cnp n Cn 8. Tính tổng S  Cn  2 1  ...  p  ...  n 1 Cn Cnp 1 Cn 1 n Formatted: Spanish (Spain, International Sort)
NHỊ THỨC NEWTON 1. Công thức Newton Định lí: (a  b)n  Cn a n  Cna n 1b  Cn a n 2b2  ...  Cn 1abn 1  Cn bn 0 1 2 n n Formatted: Spanish (Spain, International Sort) Field Code Changed 2.Nhận xét Trong khai triển Newton (a+b)n có các tính chất sau * Gồm có n+1 số hạng Formatted: Spanish (Spain, International Sort) * Số mũ của a giảm từ n đến 0 và số mũ của b tăng từ 0 đến n Field Code Changed *Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n Field Code Changed *Các hệ số có tính đối xứng: Cn  Cn  k k n Formatted: Spanish (Spain, International Sort) * Số hạng tổng quát : Tk 1  Cn a n  k bk k Formatted: Spanish (Spain, International Sort) Field Code Changed VD: Số hạng thứ nhất T1  T01  Cn a n , 0 số hạng thứ k T( k 1) 1  Cn 1a n  k 1bk 1 k Formatted: Spanish (Spain, International Sort) Field Code Changed 3. Một số hệ quả Field Code Changed Hq: Ta có : (1  x)n  Cn  xCn  x2Cn  ...  x nCn 0 1 2 n Formatted: Spanish (Spain, International Sort)
Từ khai triển này ta có các kết quả sau * Cn  Cn  ...  Cn  2n 0 1 n Formatted: Spanish (Spain, International Sort) Field Code Changed * Cn  Cn  Cn  ...  (1)n Cn  0 0 1 2 n Formatted: Spanish (Spain, International Sort) 3. Các dạng toán thường gặp Field Code Changed Dạng 1: Xác định các yếu tố trong khai triển như *Xác định hệ số của xk trong khai triển * Xác định hệ số không chứa x PP: Dùng công thức khai triển , khi đó Tk 1  Cn a n  k bk k Field Code Changed 7 Formatted: Spanish (Spain, International Sort) VD1: Tìm hệ số của x trong khai triển biểu thức sau a) P( x)  (1  2 x)10 b) P( x)  x(2  3x)9 c) P( x)  (1  x)7  (1  x)8  (2  x)9 VD2: Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển sau 2 a) f ( x)  ( x  )12 (x  0) x 1 b) f ( x )  (  4 x3 )17 ( x  0) 3 2 x 1 2 VD3: Trong khai triển của (  x)10 thành đa thức 3 3 a0  a1 x  a2 x  ...  a9 x  a10 x10 , hãy tìm hệ số ak lớn nhất ( 0  k  10 ). 2 9 x 1 x x 1 x   VD4: Cho khai triển (2 2 2  Cn (2 3 )n 0 2 ) n  ...  C n (2 3 ) n (n là số nguyên n dương). Biết trong khai triển đó Cn  5Cn và số hạng thứ tư bằng 20n. Tìm x và n?. 3 1 VD5: Xét khai triển ( x  1)10 ( x  2)  x11  a1 x10  ...  a11 . Tính a5=? VD6: Với n là số nguyên dương, gọi a3n-3 là hệ số của x3n-3 trong khai triển thành đa thức của (x2+1)n(x+2)n. Tìm n để a3n-3=26n. n Dạng 2: Tính tổng T   ak Cnk bk k 0 PP: Dựa vào khai triển nhị thức Newton (1  x)n  Cn  xCn  x2Cn  ...  x nCn , ta 0 1 2 n chọn những giá trị x thích hợp Ví dụ 1.Cmr: a)C2n  C2n  ...  C2n  C2n  C2n  ...  C2n 1 0 2 2n 1 3 2n b)CmCn  CmCn 1  ...  CmCn  Cm  n 0 k 1 k k 0 k Ví dụ 2: Tính các tổng sau 1 1 1 2 1 a) Cn  Cn  Cn  ...  0 Cnn 2 3 n 1 b) Cn  2Cn  ...  nCn 1 2 n c) 2.1.Cn  3.2Cn  4.3Cn  ...  n(n  1)Cn 2 3 4 n
d ) C2007  22 C2007  24 C2007  ...  22006 C2007 0 2 4 2006 Ví dụ 3: Tìm số nguyên dương n sao cho: Cn  2Cn  4Cn  ...  2n Cn  243 0 1 2 n Ví dụ 4: Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của 1 ( 4  x7 )n , biết C2n 1  C2n 1  ...  C2n 1  220  1. 1 2 n x Ví dụ 5: Áp dụng khai triển nhi thức Newton của (x2+x)100, chứng minh rằng 1 1 99 1 100 1 100C100 ( )99  101C100 ( )100  ...  199C100 ( )198  200C100 ( )199  0 2 1 2 2 2 2 n 1 3 1 1 2 3 1 n Ví dụ 6: Tính tổng S  Cn  0 Cn  ...  Cn 2 n 1 1 Ví dụ 7: Tính tích phân I   x(1  x 2 )n dx và tính tổng 0 1 0 1 1 1 3 1 4 (1) n n S  Cn  Cn  Cn  Cn  ...  Cn 2 4 6 8 2(n  1) Bài tập 1 1. Xét khai triển (2 x  )20 x a) Viết số hạng thứ k+1 trong khai triển b) Số hạng nào trong khai triển không chứa x 2. Xác định hệ số của x4 trong khai triển f ( x)  (3x 2  2 x  1)10 3. Tìm hệ số không chứa x trong các khai triển sau 28  a ) f ( x)  ( x x  x 3 biết rằng Cn 1  Cn  2  78 với x>0. 15 ) n n n 1 b) f ( x)  ( 3 x  4 )7 với x>0 x 4. Giả sử n là số nguyên dương và (1  x)n  a0  a1 x  ...  an x n . Biết rằng tồn tại số a a a nguyên k ( 1  k  n  1)sao cho k 1  k  k 1 . Tính n=? 2 9 24 1 5. Tìm hệ số chứa x8 trong khai triển nhị thứ Newton của ( 3  x5 )n , biết rằng x n 1 Cn  4  Cn  3  7(n  3) n 6. Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của [1+x2(1-x)]8. a b 7. Trong khai triển nhị thức ( 3  3 )21 tìm hệ số của số hạng chứa a và b có b a số mũ bằng nhau. 22  1 1 2n 1  1 n 8. Cho n là số nguyên dương. Tính tổng S  Cn 0 Cn  ...  Cn 2 n 1
9. Tìm số nguyên dương n sao cho 2 n 1 C2n 1  2.2C2n 1  3.22 C2n 1  4.23 C2n 1  ...  (2n  1)2n C2n 1  2005 1 2 3 4 10. Tìm hệ số của x7 trong khai triển thành đa thức của (2-3x)2n, biết n là số nguyên 2 n 1 dương thỏa mãn C2n 1  C2n 1  C2n 1  ...  C2n 1  1024 . 1 3 5 11. Giả sử (1  2 x)n  a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n , biết rằng a0  a1  ...  an  729 . Tìm n và số lớn nhất trong các số a0,a1,…,an. 12. Cho tập A có n phần tử . Tìm n biết rằng trong số các tập con của A có đúng 16n tập con có số phần tử lẻ. 13. Tính tổng S  Cn  22 Cn  ...  n2Cn . 1 2 n 1 2.4.6....(2n  2)2n 14. Cho I   (1  x 2 )n dx  . Hãy tính tổng sau 0 1.3.5....(2n  1)(2n  1) 1 1 1 2 1 3 (1)n n S  1  Cn  Cn  Cn  ...  Cn 3 5 7 2n  1 15. Tính các tổng sau a) S  Cn  23 Cn  33 Cn  ...  n3Cn 1 2 3 n 22 2 23 3 2n n b) S  Cn  Cn  0 1 Cn  Cn  ...  Cn 3 4 n 1 c) S  Cn 3n 1  2Cn 3n  2  3Cn 3n  3  ...  nCn 1 2 3 n 16. .Vôùi moãi n laø moät soá töï nhieân,haõy tính toång: 1 1 1 2 1 3 1 Cn  Cn 2  Cn 22  Cn 23  ...  0 Cn 2n n 2 3 4 n 1 Formatted: Font: Times New Roman Formatted: Font: (Default) Times New Roman Formatted: Left Formatted: Font: (Default) Times New Roman NHỊ THỨC NEWTON Formatted: Font: (Default) Times New Roman Formatted: Font: (Default) Times New Roman 1. Công thức Newton Formatted: Font: Times New Roman Định lí: (a  b)n  Cn a n  Cna n 1b  Cn a n 2b2  ...  Cn 1abn 1  Cn bn 0 1 2 n n Formatted: Font: Times New Roman Formatted: Font: Times New Roman 2.Nhận xét Formatted: Font: (Default) Times New Roman Trong khai triển Newton (a+b)n có các tính chất sau Formatted: Font: (Default) Times New Roman
* Gồm có n+1 số hạng Formatted .. * Số mũ của a giảm từ n đến 0 và số mũ của b tăng từ 0 đến n Formatted .. *Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n Formatted .. *Các hệ số có tính đối xứng: Cn  Cn  k k n Formatted .. * Số hạng tổng quát : Tk 1  Cn a n  k bk k Formatted .. VD: Số hạng thứ nhất T1  T01  Cn a n , số hạng thứ k T( k 1) 1  Cn 1a n  k 1bk 1 0 k Formatted .. 3. Các dạng toán thường gặp Formatted .. Dạng 1: Xác định các yếu tố trong khai triển như Formatted .. *Xác định hệ số của xk trong khai triển Formatted .. * Xác định hệ số không chứa x Formatted .. PP: Dùng công thức khai triển , khi đó Tk 1  Cn a n  k bk k Formatted .. VD1: Tìm hệ số của x7 trong khai triển biểu thức sau Formatted .. a) P( x)  (1  2 x) 10 Formatted .. b) P( x)  x(2  3 x) 9 c) P( x)  (1  x)7  (1  x)8  (2  x)9 VD2: Xét khai triển Formatted: Font: (Default) Times New Roman 1 2 Formatted .. VD5: Trong khai triển của (  x)10 thành đa thức 3 3 a0  a1 x  a2 x 2  ...  a9 x9  a10 x10 , hãy tìm hệ số ak lớn nhất ( 0  k  10 ). x 1 x 1 x x Formatted ..   VD6: Cho khai triển 2 (2 2 Cn (2 0 2 ) n  ...  C n (2 3 ) n (n là số nguyên 3 )n n dương). Biết trong khai triển đó Cn  5Cn và số hạng thứ tư bằng 20n. Tìm x và n?. 3 1 VD7: Giả sử n là số nguyên dương và (1  x)n  a0  a1 x  ...  an x n . Biết rằng tồn tại Formatted .. ak 1 ak ak 1 số nguyên k ( 1  k  n  1)sao cho   . Tính n=? 2 9 24 VD8: Xét khai triển ( x  1)10 ( x  2)  x11  a1 x10  ...  a11 . Tính a5=? Formatted .. 1 Formatted .. VD9: Tìm hệ số chứa x8 trong khai triển nhị thứ Newton của ( 3  x5 )n , biết rằng x n 1 Cn  4  Cn  3 n  7(n  3) . VD 10: Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của [1+x2(1-x)]8. Formatted .. 1 Formatted .. VD11: Tìm hệ số không chứa xtrong khai triển ( 3 x  4 )7 với x>0 x Formatted .. a b 21 VD12: Trong khai triển nhị thức ( 3  3 ) tìm hệ số của số hạng chứa a và b b a có số mũ bằng nhau.
Tổng Formatted: Font: (Default) Times New Roman 1.tìm số nguyên dương n sao cho: Cn  2Cn  4Cn  ...  2n Cn  243 0 1 2 n Formatted .. 22  1 1 2n 1  1 n Formatted .. 2. Cho n là số nguyên dương. Tính tổng S  Cn  0 Cn  ...  Cn 2 n 1 3. Tìm số nguyên dương n sao cho Formatted .. 2 n 1 C2n 1  2.2C2n 1  3.22 C2n 1  4.23 C2n 1  ...  (2n  1)2n C2n 1  2005 1 2 3 4 Formatted .. 4. Tìm hệ số của x7 trong khai triển thành đa thức của (2-3x)2n, biết n là số nguyên Formatted .. 2 n 1 dương thỏa mãn C2n 1  C2n 1  C2n 1  ...  C2n 1  1024 . 1 3 5 5. Giả sử (1  2 x)n  a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n , biết rằng a0  a1  ...  an  729 . Formatted .. Tìm n và số lớn nhất trong các số a0,a1,…,an. 6. Cho tập A có n phần tử . Tìm n biết rằng trong số các tập con của A có đúng 16n Formatted .. tập con có số phần tử lẻ. 1 Formatted .. 7. Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của ( 4  x7 )n , x biết C2n 1  C2n 1  ...  C2n 1  220  1. 1 2 n 8. Áp dụng khai triển nhi thức Newton của (x2+x)100, chứng minh rằng Formatted .. 1 1 Formatted: Font: Times New Roman 99 1 100 1 100C100 ( )99  101C100 ( )100  ...  199C100 ( )198  200C100 ( )199  0 2 1 Formatted: Level 1 2 2 2 2 Formatted: Font: Times New Roman 9. Formatted: Centered, Level 1