Giáo trình Các mô hình xác suất và ứng dụng - Phần II: Quá trình dừng và ứng dụng (Phần 1)

Chia sẻ: Lê Thị Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:78

Thêm vào BST

Báo xấu

172
lượt xem 44
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 2 giáo trình trình bày về quá trình dừng. Nội dung phần này trình bày các khái niệm cơ bản, định nghĩa và tính chất, các ví dụ, biểu diễn phổ, biến đổi tuyến tính quá trình dừng,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Các mô hình xác suất và ứng dụng - Phần II: Quá trình dừng và ứng dụng (Phần 1)

47 Chương 2 QUÁ TRÌNH DỪNG Mỏr đ ầ u . Trong phần ì "Xích Markov và ứng dụng" ta đã nghiên cứu sự tiến triển theo thời gian của một hệ ngẫu nhiên mà trong đó tương lai chỉ phụ thuộc hiện tại và độc lập với quá khứ. Tuy nhiên, trong thực t ế đặc biệt là trong các lĩnh vực kinh tế, thợ trường chứng khoán, cơ học thống kê, khí tượng thủy văn ... ta thường gặp các hệ ngẫu nhiên mà quá khứ của nó có ảnh hường rất mạnh đến sự tiến triển của quá trình trong tương lai. Khi làm dự báo cho các quá trình như thế, ta cần phải tính đến không chỉ hiện t ạ i mà cả quá khứ nữa. Mô hình xác suất đề nghiên cứu các quá trình này là quá trình dừng. Khái niệm quá trình dừng do nhà toán học người Nga Khinchin (1894-1959) đ ư a ra lần đầu tiên vào năm 1934. Ngày nay, quá trình dừng đ ã trờ thành một trong những lĩnh vực quan trọng và có rất nhiều ứng dụng của lý thuyết xác suất. 2.1. Các khái niệm cơ bán 2.1.1 Đinh nghỉã và tính chất Đinh nghiã 1. Giả sử X(t),t € M. là một quá trình cấp 2. X{i) được gọi là một quá trình dùng nếu hàm trung bình m(t) là hằng số (không phụ thuộc vào t) và hàm tự tương quan r(s,t) chỉ phụ thuộc vào s-t . Như vậy X(t) , t € T là quá trình dừng khi và chỉ khi: a) m(t) = m = const . b) Tồn t ạ i hàm K(t) sao cho r{s,t) = K(s - í) , Vs,í e R .
48 Nói cách k h á c ( h o à n t o à n t ư ơ n g đ ư ơ n g v ớ i định nghiã t r ê n ) , q u á t r ì n h x(t) , í E M là q u á t r ì n h dừng nếu nó có cùng h à m trung bình và h à m t ự t ư ơ n g quan v ớ i q u á t r ì n h Y(t) = Xịt + h) , V7i € R . Đ i n h n g h ĩ a 2. Quá trình X(t) , í € R được gọi là quá trình dửng mạnh (hay dứng theo nghiã hẹp) nếu với mọi h € K, và với mọi í Ì < Í2, ••• < t n phân phối đồng thời của {X{h + h), X{t 2 +h ) , X { i n + h)} và của {X(ti),x(t2), ...,x(t )} n là nhu nhau. Điều n à y có n g h i ã là p h â n phối h ữ u hạn chiều không thay đ ổ i khi ta tịnh t i ế n bộ chỉ số t h ờ i gian (íi,Í2> •••ỉtn) • R õ r à n g m ộ t q u á trình dừng mạnh có moment cấp 2 là m ộ t q u á t r ì n h dừng. Điều n g ư ợ c l ạ i nói chung không đ ú n g . Tuy nhiên, n ế u m ộ t q u á trình dừng là q u á t r ì n h Gauss t h ì nó sẽ là q u á trình dừng m ạ n h . B ở i vì p h â n phối h ữ u h ạ n chiều của q u á t r ì n h Gauss hoàn toàn đ ư ợ c x á c đ ị n h b ở i h à m trung bình v à h à m t ự t ư ơ n g quan. Hàm K(t) cũng được gọi là h à m t ự t ư ơ n g quan của q u á t r ì n h dừng. Ta có t í n h chất sau đ â y của h à m K(t) . Đinh l ý 1. (i) K(t) là một hàm chẵn, 'tức là Kịt) = K(—t), Ví G R . (ii) \K{t)\ < K{0) , VÉ 6 R . (iii) K(t) là hàm xác định không âm, tức là vơi mọi ti,Í2, ...,tn EM. và với mọi bi,b2,---,b n € R thì TI n , »=13=1 . Ch n g m i n h d ễ d à n g suy t ừ t í n h chất của h à m t ự t ư ơ n g quan r(s,t) (theo định lý Ì , c h ư ơ n g ì ) .
49 2.1.2. Các ví d ụ Q u á t r ì n h dừng là một mô hình toán học thích hợp đ ể m ồ t ả nhiều hiện t ư ợ n g trong kinh t ế , khí tượng - t h ú y văn, vật lý, điện t ử - v i ễ n t h ô n g , v.v... V í d u 1. G i ả sử í/ và V là hai đ ạ i lượng ngẫu nhiên k h ô n g t ư ơ n g 2 2 1 quan v ớ i EU = EV = 0 , EU = EV = Ớ . V ớ i A là m ộ t số thủc, xét q u á trình X{t) = u COS Ải + v sin Ai . Hãy chứng t ồ X(t) là q u á t r ì n h dừng và t ì m h à m t ủ t ư ơ n g quan của nõ. Giải. Ta c ó m{t) = COS XtEU + s i n XtEV = 0 . r ( s , í ) = EX(s)X(t) =E {U COS As + V s i n Xs)(U COS Xt + V s i n Ai) = E u 2 cos As cos Ai + V2 sin As sin Ai + uV COS As sin A i + uv sin As cos Ai 2 1 = ơ ( c o s As cos Xt + sin Àssin Ai) = Ớ COS A(í — s) . 1 V ậ y X(t) là q u á trình dừng v ớ i h à m t ủ t ư ơ n g quan Kịt) = Ớ COS Ai. V í d u 2. T ổ n g q u á t h ơ n , giả sử Ui,Ư2,---,U n và Vi, V 2 , v n là các đ ạ i lượng ngẫu nhiên có EU =EV k k = 0,EU* = EVê = oị, EưịUk = Q(i^k), EVịVk = 0 ạ Ỷ k) , ®UịVj = 0 . Xét q u á t r ì n h n X{t) = Y^{Uk COS Afci + Vk sin Afcí) . fc=i trong đó Ai, A 2 , A n là các hằng số thủc. Bằng chứng minh t ư ơ n g tự ví dụ Ì trên, ta có Xịt) là q u á t r ì n h dừng v ớ i n m(t) = EX(t) = 0 , K{t) = trĩ COS Afci . fc=i
50 V í d ụ 3. Già sử N(t) , í > 0 là q u á t r ì n h Poisson v ớ i c ư ờ n g đ ộ A> 0 và L > 0 là một hằng số. Ta xét q u á t r ì n h sau X(t) = N(t + L) — N(t) . N h ư vậy, nếu N(t) là số biến cố xảy ra trong khoảng t h ờ i gian (0, í) thì X(t) là số biến cố xảy ra trong khoảng t h ờ i gian có đ ộ d à i L tính từ thời điểm í . Ta có m{t) = EX(t) = E[N(t + L) - N(t)] = (í + L)X - tx = XL = const . Bây giờ ta tính h à m t ự t ư ơ n g quan r(s, í) = Covịx(s), X(t)} của X(t). Ta có t h ể g i ả t h i ế t 0 < s < t v à p h â n biệt hai t r ư ờ n g hợp: a) t > s + L : Trong t r ư ờ n g hợp n à y 2 khoảng (5, s + L) và (í, t + L) là r ờ i nhau, do đ ó N(s + L) - N{s) v à . N(t + L ) - N(t) là độc lập, do v ậ y không t ư ơ n g quan, tức là r(s, í) = 0 . b) s < í < s + L : Trong t r ư ờ n g hợp n y ta có r{s, t) = ò o v N(s + L) - N(s), N(t + L) - N(t)ị = = Cov ĨN(s + L)- N{t) +. N(t) - N{s), N(t + L) — 7V(í)] = = Cov \N{S + L) - N{t), N(t + L)- N(t) (vì N{t) - N(s) và N(t + L) - N{t) là độc lập) . Lại có Cov [iV(s + L) - N(t), N(t + L) - N(t)ị = = C o v [ N ( S + L) - Nịt), N(t + L) - N(s + L) + N(s + L) - N(t)ị = = Cov [iV(s + L) - N(t), N(s + L)— Nịt)] = V a i [iV(s + L) - N(t)ị (vì N(s + L)- N(t) v à N(t + L) - N(s + L) la độc l ậ p ) . Vì t h ế r(s,t) = Var \N(S + L) - N(t)] =X(s + L - t ) = X[L - (í - s)] .
51 Tương tự với 0 < í < s v à do t í n h đ ố i xứng, cuối cùng ta được í A(L - lí - s|) nếu lí - s| < L , r(s,t) = < [ 0 nếu \t — s\> L . Vậy X(t) là m ộ t q u á trình dừng v ớ i h à m t ự t ư ơ n g quan ị Ằ(L - lủi) nếu \t\ < L , Kít) = ị ị 0 nếu | í | > L . V í d u 4. G i ả sử X(t) , t > 0 là q u á trình ngẫu nhiên chỉ nhận hai giá trị 0 và Ì x á c đ ị n h theo hai tham số d ư ơ n g A và ụ, n h ư sau: A a) P{X(t) = 0} = - Ị L - , P{X(t) = 1} = A + /i ' À + /i b) P { X ( í ) = y\X(s) = x}= p (txy - s) , (0 < s < í ị x,y € {0,1}), trong đ ó + e _ ( A + , l ) í poo(í) = rz- r ^ > A + /i A+ /X A + /Í A + /i Poi(
52 Ta có v ớ i 0 < s < t thì EX{s)X(t) = P{X(s) = Ì, Xịt) = 1} = = P{X(8) = l}.P{X(t) = l\X{s) = l} = P{X(s) = l}. P l l (t-s) Ả ụ, + _JÌ_. -(*+M)(t-«) e \ f i [lỹ \ + ụ, + ụ, A + ụ, Ằ Xu = ( Ý + ó t p-(A+/*)(i-«) 2 VA + / J (A + / i ) ' Vậy r(s,í) = Cov[X(s),X(í)] = EX(s)X(t) - m(s)m(t) = X / J l = C-(X+U)(ts) (A + ụ)'' Như t h ế X ( í ) là m ộ t q u á t r ì n h d ừ n g v ớ i h à m t r u n g b ì n h m{t) = A + /i Xụ. v à h à m t ự t ư ơ n g quan K(t) = — p . -(*+M)|t| e I 2.1.3. B i ể u diễn p h ổ Trong mục n à y c h ú n g t a sẽ chứng m i n h đ ị n h lý cơ b ả n của q u á t r ì n h dừng, gọi là đ ị n h lý b i ể u d i ễ n p h ổ . Cho đ ế n nay c h ú n g t a m ớ i chỉ x é t các đ ờ i l ư ợ n g ngẫu nhiên nhận giá trị thực. B â y g i ờ c h ú n g t a sẽ x é t các đ ờ i l ư ợ n g n g ẫ u n h i ê n n h ậ n cả giá trị phức. Việc n à y sẽ l à m cho n h i ề u công t h ứ c t r o n g lý t h u y ế t q u á t r ì n h dừng t r ờ nên đem giản h ơ n . Ký hiệu 1/2(íĩ,^", P) là k h ô n g gian các đ ờ i l ư ợ n g ngẫu nhiên X nhận giá trị phức sao cho E|X| 2 < oo . 1*2 ( í í , ĩ , P) l à k h ô n g gian Hilbert v ớ i tích
53 vô h ư ớ n g xác đ ị n h b ờ i < X,Y >= EXỸ . N ế u x(t) , t ÉT là m ộ t q u á t r ì n h n g ẫ u nhiên nhận giá t r ị phức sao cho X(t) € L2{ĩì,r,P) , Ví e T thì t a gọi X(t) l à L - q u á t r ì n h . H à m trung 2 bình m(t) = ÌZX(t) , còn h à m t ự t ư ơ n g quan đ ư ợ c đ ị n h nghĩa n h ư sau: r(s,t) = Cov[X(s),X(t)] = = (x(s) - m(s),X(t) - m(t)} = = E([X(s)-m(s)][X(t)-m(t)]) . T í n h chất đ ố i x ứ n g v à xác đ ị n h k h ô n g â m của r(s,t) giờ đ â y trờ thành (i) r(s,t) = r(t,s) , Vs,teT . (ii) Vn € N , y h , t 2 ,...,t n e T , Vzi,z ,...,Zn2 e c thì n n. 1=1 j=i Nếu , t ÉT l à q u á t r ì n h dừng, t h ì t í n h chất đ ố i x ứ n g v à xác định không â m của h à m t ự t ư ơ n g quan K(t) nay t r ồ t h à n h . (i) K(-t) = Kịt) , Ví € T . (ii) \fneN , yt t ,...,t eT u 2 n , Vz z ,...,z eC u 2 n thì n n 5 ^ ^2 ZiZ]K(ti - tỳ) > 0 . 1=1 j=i Trước hết, t a có đ ị n h lý quan trọng sau đ â y :
54 Định lý 2. (i) Trường hợp t h ờ i gian r ờ i rạc, T = z : Nếu K(n) , n G z là hàm tụ tương quan của quá trình dừng X(n) thì tồn tại duy nhất một độ đo hữu hạn /i trên [—7T,7r] sap cho có biểu diễn tích phân inx K(n) = J e dịx(x) (li) T r ư ờ n g hợp t h ờ i gian liên tục, T = R : Nếu Kịt) , t € K là hàm tự tương quan của quá trình dùng X(t) và X(t) là L2 - liên tục, thỉ tồn tại duy nhất một độ đo hữu hạn ụ, trên R sao cho có biểu diễn tích phân 00 itx K{t) = Ị e dn(x) . Chứng minh ix (i) D O K(n) là xác định không â m nên v ớ i Zj = e~ i ta có TI n n—Ì K i x { j k ) ixm 212 ( ị - k)e- - .=. ỵ2 K{m)e- (n - \m\) , Vx . j = l kt=l m=-(n-l) Đ ặ t f (x) n = 1 Ẹ K(m)e-^(l - M). m=—(n—1) Ta có f (x) n > 0 , Vz 7T ÍT và J fn(x)ầx = K{0) (vì y e- i m i d x = 0 nếu m^O). — 7T —7T Gọi /in là đ ộ đo trên Ị—7T,7r] với hàm mật độ fn(x) . Họ {ịin} là compact yếu nên ta trích ra được một dãy con {fi n k } hội t ụ y ế u t ớ i đ ộ đ o hữu hạn ụ, . Ta chứng t ò rằng / i chính là đ ộ đ o cần tìm.
55 T h ậ t vậy v ớ i m ỗ i m cố định ta có 7r 7T J e i m x d f x n k ( x ) = J e i m x f n k ( x ) d x = — Tỉ —lĩ = K(m)(l — , với ĩifc > |m| . V n k ) Cho Uk —• oo ta được m x y é d ụ ị x ) r = /í(~n) Độ đ o n là duy nhất. T h ậ t vậy, già sử có hai đ ộ đ o ụ, và ỉ/ sao cho #(n) = ị é n x ảịi(x) = J inx e du(x) . — lĩ — lĩ Vì mọi h à m liên tục g(x) hoàn toàn có t h ể x ấ p xỉ đ ề u bằng các đ a thức n lượng giác ^2 Cke ikx , do đó ta suy ra ĩĩ lĩ Ị g(x)dn(x) — J g(x)dư(x) , với mọi h à m liên tục g(x) . — Tỉ —ÍT V ậ y ta có fi = V . Kít) (ii) Đ ặ t ự>(t) = V. . K h i đ ó ip(t} là h à m liên tục, xác định không K{0) â m v à
56 được gọi là h à m mật đ ộ phổ. K h i ấy ta có lĩ i n x K(n) = J e f ( x ) d x , nếu r = z , —lĩ oa Kịt) = J itx e f{x)dx , nếu T = R . V ớ i một số điề u kiện nhất định, có t h ể t ì m được mật đ ộ phổ t ừ h à m t ự t ư ơ n g quan. Cụ t h ể ta có kết quả sau (không chúng minh): Đ ị n h l ý 3. oo (í) Nếu ^ < 0 0 thì độ đo phổ ụ, có mật độ f ( x ) và n = —00 1 °° 2TT —00 00 (li) Nếu Ị \K{t)\dt < 00 thì độ đo phổ ụ có mật độ f ( x ) vá —00 00 itx f ( x ) = ệ- Ị e- K(t)dt . —00 Chú ý. Nếu X(t) là q u á trình nhận giá trị thực, thì K(n) (hay là Kịt)) nhận giá trị thực. T h à n h t h ử khi đ ó ta có K(n) = J cos nxdfi(x) , nếu T = z , — 7T 00 K(t) = Ị costxdptịx) , nếu T = R . V í d ụ 5. G i ả sử X(t) là q u á t r ì n h dừng xét ờ ví d ụ 4 . H à m t ự t ư ơ n g quan c a nó có dạng K(i) = ae~^ , (với a,p là các hằng số d ư ơ n g nào đ ó ) .
57 Vì oo oo J \K{t)\dt = 2 a j e-^dt < oo , -oo 0 nên m ậ t độ phố f ( x ) là oo itx /(*) = ệ. Ị e- e-^dt . —oo Ta có e -(0+ix)t itx }t [e- e-f dt= fe-w+^'dt- l n J J -{0 + ix) 0 /? + IX ồ ồ 0 0 (P—ix)t itx pt e 0 Ì e- e dt itx = / e^-^dt y e- e^dt= Ị p — ix -oa /3 — ỉx —oo —oo Nên ft \ — ía Ì Ì \ — a(3 2 2 7Tr(/? + X ) " + ~~ 2 ^ \ 0 + ix 0 - i x ) ~ B â y giờ chúng ta p h á t biểu và chứng minh định lý vè biểu diễn phổ của q u á t r ì n h dừng: Định lý 4. (i) Trường hợp t h ờ i gian r ờ i rạc, T = z : Giả sử X(n) là quá trình dừng (nhận giá trị phức). Khi đó tồn tại độ đo ngẫu nhiên trực giao z (cố thề nhận giá trị phúc) trên [—7r,7r] sao cho 7T inX X{n) = J e dZ{\) , Vn € z . (li) Trường hợp t h ờ i gian liên tục, T = R : Giả sú x(t) là quá trình dừng (nhận giá trị phức), X(t) là Li2 - liên tục. Khi đó tồn tại độ đo ngẫu nhiên trực giao z (có thề nhận giá trị phúc) trên (—00,00) sao cho 00 itx xụ) = J e dZ{\) , Ví
58 Độ đ o z được gọi l à đ ộ đ o phổ ngẫu nhiên của q u á t r ì n h X(t) . C h ứ n g minh. Ta chứng minh cho t r ư ờ n g hợp t h ờ i gian liên tục ( t r ư ờ n g hợp t h ờ i gian r ờ i rạc chứng minh t ư ơ n g t ự ) . n Ký hiệu M là t ậ p hợp t ấ t cà các t ổ hợp t u y ế n t í n h hữu hạn c Ỵ2 kX{tk), ! trong đ ó Cfc G c , ífc € R . Gọi H(X) là bao kín của M trong L {Sl,F,P), 2 ụ, là đ ộ đ o phổ của X(t) . Xét á n h x ạ s : M —> L2(M,/x) xác định như sau: f t A s(£ C f c X(i ))=5> e * f c f c k=l k=l Ta có n 7 1 n 2 J 2 c X ( t k k ) ị = (5>A-(í ),J>*(íj)) = fc k=i 3=1 n n = ^^C^
59 Như vậy s là m ộ t song á n h đ ằ n g c ự g i ư ã H(X) v à Z/2(K,/i) . K h i ấ y 1 giả sư S ' : L (M.,n) 2->• HỤC) , t a đ ặ t Z{A) = S ' ^ I A ) . Ta chứng t ồ z l à m ộ t đ ộ đ o n g ẫ u n h i ê n t r ự c giao. T h ậ t v ậ y : a) < Z ( A ) , Z { B ) >=< S - ^ I A ) , S ' ^ I B ) >= m ( A n B) . co b) Nếu A = ỊJ A k , trong đ ó A r\Aj k = 0 , fc=i oo oo thì l = ^2l A Ak trong L ( R , / i ) , do đó 2 S^OU) = £ 5 _ 1 Q U J . hay là oo Z ( 4 ) = J ^ Z ( A f c ) t r o n g L (to,r,P) 2 . fc=i T i ế p t h e o t a sẽ c h ứ n g m i n h v ớ i m ọ i /€l/2(K,/Li) thì oo 1 5- (/)= I /(A)dZ(A) T h ậ t vậy, nếu / l à h à m đ ơ n g i ả n t h ì c ô n g t h ứ c t r ê n l à đ ú n g do định nghía 1 S - ( Ĩ A ) = Z(A)= J ĩ A d Z ( X ) Với / b ấ t kỳ trong 1/2 thì tồn t ạ i dãy h à m đ ơ n giản {/„} hội t ụ trong L2(R,/x) tới / . Khi đó oo _ 1 s (/n) = J /„(A)dZ( ). —oo oo Cho n - > oo ta thu được = J f(X)dZ(X) . —oo ỉ i t x M ặ t k h á c do c á c h đ ị n h n g h í a á n h x ạ 5 t a có s~ (e ) = X(t) . oa tx Vậy ta được X(t) = J é dZ{\) . —ao Đ ị n h lý đ ư ợ c c h ứ n g m i n h x o n g . D
60 Sau đ â y t a n ê u r a m ộ t ứ n g d ụ n g đ ầ u t i ê n c ủ a đ ị n h lý b i ể u d i ễ n p h ổ : G i ả sử X(t) , í e R là q u á t r ì n h d ừ n g v ớ i đ ộ đ o p h ổ ịi . T a sẽ d i ễ n tả, điều kiện cần v à đ ủ đ ể X(t) l à Li2 - k h ả v i t h ô n g q u a đ ộ đ o p h ố ụ, . Ta có xạ + h)- X{t) _ 7f e ihX et 1 A _- ÌÌ d Z h = / k ^ • ™ v , . X(t + h)- XU) v . „ , , „ T ừ đ ó suy r a l.i.m 7 t ô n t ạ i n ê u v à chi n ê u h-io h eih\ _ ỵ hôi t u khi h —• 0 trong L 2 ( R , ụ-) • h eih\ _ ị Mát khác lim • = iX . fi->0 h Do đ ó sờ h ộ i t ụ n à y là hội t ụ trong L 2 ( M , ụ) n ế u v à chỉ n ế u oo oo 2 2 Ị \i\\ dịi{\) = Ị \ dn(\) < oo . —oo —oo oo < oo . Vậy X(t) là Li2 - k h ả v i n ế u v à chỉ n ế u Ị 2 À (i/i(A) —oo Trong t r ư ờ n g hợp ấy x'(t) cũng l à m ộ t q u á t r ì n h d ừ n g v ớ i 00 tX x'(t) = J é i\dZ{\) . —oa Chú thích. G i ả sử X(t) , í € T là q u á t r ì n h n g ẫ u nhiên n h ậ n giá trị thờc. Ta có t h ể p h â n tích Z(A) = U(A) - iV{A) , trong đ ó u, V l à c á c đ ộ đ o n g ẫ u n h i ê n n h ậ n giá t r ị t h ờ c , k h ô n g t ư ơ n g quan, nghiã là < U(A), V(B) >= 0 , v ớ i m ọ i t ậ p A, B đ o đ ư ợ c .
61 K h i đ ó ta có 7T X{n) = J COSXndU(X) + J sinXndV(X) , —lĩ —lĩ trong t r ư ờ n g hợp T = z ,và oo oo X(t) = 2Ị COS XtdU(X) + 2J s i n XtdV(X) , 0 0 trong t r ư ờ n g hợp T = R . 2.2. Biến dổi tuyến tính quá trình dừng Đ i n h nghỉã 3. Giả sú xịt) , t ÉT là quá trinh dừng với độ đo phổ ụ, và độ đo phổ ngẫu nhiên z . (i) T r ư ờ n g h ợ p t h ờ i gian r ờ i rạc, T = z : Cho trước hàm g(X) € 1*2 [ — 7T,7r] , tức là lĩ Ta xác định một quá trình mới bằng công thúc sau Quá trình Y(n) được gọi là quá trình nhận được từ X(n) bằng phép biến đổi tuyến tính với hàm đặc trung tần số g(X) . (li) T r ư ờ n g hợp t h ờ i gian liên tục, T =R Cho trước hàm g(X) € L2(M,/x) , tức là co
62 Phép biến đổi tuyến tính X{t) với hàm đặc trưng tần số g(X) là một quá trình mới Y(t) được xác định theo công thức sau ca Y{t) = Ị g(\)e dZ(\) itx . Đinh lý 5. Y(t) là một quá trình dừng với dô đo phổ V là 2 dv{\) = b(A)| đ (A) . M Do đó nếu X(t) có mật độ phổ /j>í(A) thì Y(t) có mật độ phổ là 2 MX) = b(A)| /x(A) . Chứng minh. Từ tính chất của tích phân ngẫu nhiên đối với độ đo ngẫu nhiên trực giao ta có r(s,t) = Cov(r( ),K(t)) = < Y(s),Y(t) a > oo oo = / A 5(A)e" ^Ã)e- itÀ d (A) - M Ị |p(A)| e 2 i(s_í)À d/x(A) . —oo — ao Vậy Y(t) là quá trình dừng với hàm t ự tương quan là oo oo Ky(t) = Ị e | (A)| d/i(À) = Ị itA 5 2 itX e du(X) . —00 —eo Ví dụ quan trọng nhất về phép biến đ ổ i tuyến tính quá trình dừng là bộ lọc. Đinh nghiã 4. Giả sú X(t) là một I>2-
63 Trường hợp thời gian rời rạc thì hàm truyền xung là dãy {n(n)}, với n = 0, ± 1 , ± 2 , . . . và phép biến đổi có dạng sau đây oo CX(n) = Y(n)= h{n-m)X{m), m=—oo ãuợc gọi là một bộ lọc. G i ả sử t ạ i đ ầ u v à o của bộ lọc ta có một d ã y tín hiệu {X(n)} , trong đ ó x(n) l à t í n hiệu v à o t ạ i t h ờ i đ i ể m n . G i ả t h i ế t rằng t ạ i m ỗ i t h ờ i đ i ể m m do t á c đ ộ n g của b ộ lọc, ở đ ầ u ra t ạ i t h ờ i đ i ế m n là tín hiệu h(n — m)X(m). V ậ y t h ì ờ đ ầ u ra t ạ i t h ờ i đ i ể m n ta nhận được tín hiệu oo Y(n) = ]T h(n- m)X(m) , m=—oo v ớ i đ i ề u kiện bộ lọc của t a là t u y ế n tính. M ê n h đ ề 1. Giả sử c là một bộ lọc với hàm truyền xung h(s),s € T, trong đó h G Li (—00,00) . Khi đó c là một phép biến đổi tuyến tính với hàm đặc trung tần số là 00 isX g(X) = J h(s)e- ds , với T = R , •, —00 hoặc 00 imX g(X) = J2h(m)e- , vớiT =z . —00 Nói cách khác, hàm đặc trung tăn số là biến đổi Fourier của hàm truyền xung. D ĩ n h i ê n k h ô n g p h ả i m ọ i p h é p biến đ ỉ i t u y ế n tính đ ề u là một bộ lọc, vì nói chung p h é p biến đ ỉ i Fourier không nhất t h i ế t k h ả nghịch. Chứng minh. Ta chỉ chứng minh cho t r ư ờ n g hợp liên tục (trường hợp rơi rạc chứng minh t ư ơ n g t ự ) .
64 Ta có oo oo oo oo isX iaX Y{t)= J h(t-s)ds J e dZ(Ằ)= J dZ(Ằ) J e h(t-s)ds —ca —oo —oo —oo oo oo itx s)x = J e dZ{\) J e-^- h(t-s)ds —oo —oo oo oo i U ivX = J e dZ(À) J e- h{v)dv . Đặt oo ivX g(X) = J e- h(v)dv , ta suy ra —oo oo tX Y(t) = J g{\)é dZ(\) .• V í d u 6. G i ả sử x(t) là q u á trình dừng v ớ i b i ể u diễn p h ổ oo tx X(t) = Ị è dZ{\) . —oo Gọi ụ, là đ ộ đ o phổ của X(t) . N h ư ta đ ã t h ấ y (xem ứng dụng của định oo lý 4) nếu Ị 2 \ dịi(\) < 0 0 thì X(t) là 1,2-khả v i v à —oo oo itx x'{t) = Ị iXe dZ{\) . N h ư vậy t o á n t ừ đ o h à m cấp Ì là một p h é p biến đ ổ i t u y ế n t í n h của X(t) v ớ i h à m đặc t r ư n g t ầ n số g(X) = iX . Toán t ử này không phải là một bộ loe.
65 B ằ n g p h ư ơ n g p h á p q u y n ạ p t o á n học t a có t h ể d ễ d à n g c h ứ n g m i n h đ ư ợ c oo rằng, nếu J 2n Ằ dfi(X) < co t h ì đ ạ o h à m c ấ p ri (theo n g h i ã Li) của Xịt) t ồ n t ạ i v à t a có oo n itx x ^ i t ) = J (í\) e dZ{\) T h à n h t h ừ t o á n t ừ đ ạ o h à m c ấ p Tí l à p h é p b i ế n đ ô i t u y ế n t í n h v ớ i h à m đ ặ c t r ư n g t ầ n số g(X) --- (v!A)" . n M ộ t cách t ố n g q u á t , ta xét toán t ờ v i p h â n ^ộ s vào quá trình X(t) theo c ô n g t h ứ c Y(t) = p(±)x(t) = ỵ t a k X W ( t ) . fc=o T ừ công thức biểu diễn x ^ ( t ) đ ã có ờ t r ê n t a suy ra oo itx Y(t) = J P(i\)e dZ(X) , —oo trong đó P(x) là đ a t h ứ c bậc n « 7 _ k 2 P(x) = ^ a k x , thoà mãn / \P(i\)\ d(i(X) < ỉ A J Như vậy toán t ừ -P(^r) là phép biến đ ổ i t u y ế n tính v ớ i h à m đặc t r ư n g t ầ n số g(X) = P(ì\) • Trong trường hợp h(t) = 0 với ì < 0 , tức là t Y(t) = Ị hụ- s)X(s)ds , với T = E , — co hoặc n oo y(n) = ]T h(n - m)X{m) = h{m)X(n — m) , với T = z , m= — oo m=0
66 ta gọi bộ lọc là t h ể hiện được hay là bộ lọc k h ả t h i . Đôi khi n g ư ờ i t a còn d ù n g thuật ngữ Y(n) là trung b ì n h t r ư ợ t (moving average) của x(n) . Đ ố i v ớ i bộ lọc này ờ m ỗ i t h ờ i đ i ể m t , t í n hiệu đ ầ u ra Y(t) đ ư ợ c xác định chỉ theo các giá t r ị của t í n hiệu đ ầ u v à o ờ t r ư ớ c v à ờ chính t h ờ i đ i ể m í m à thôi. Trong nhiều v ừ n đ ề của thực t i ễ n , n g ư ờ i t a quan t â m t ớ i bài t o á n sau đây: K h i nào một q u á t r ì n h dừng có t h ể được xem như là đ ầ u r a của một bộ lọc k h ả t h i v ớ i đ ầ u vào là một dãy "ồn trắng" ? Để giải bài t o á n n à y t a cần p h â n biệt hai trường h ợ p trong việc định nghiã khái niệm "ồn trắng". A . T r ư ờ n g h ợ p t h ờ i gian r ờ i r á c ( T = Z) : D ã y đ ạ i lượng ngẫu nhiên {W(rc)}£L_oo được gọi là m ộ t d ã y "ồn t r ắ n g " nếu EW(n) = 0 v à { 0 nếu n Ỷ m ) í Ì nếu n = m . N h ư vây h à m t ư t ư ơ n g quan r(m,n) của d ã y { W ( n ) Ị là { 0 nếu n Ỷ m > Ì nêu n = m . Trong t r ư ờ n g hợp {w(n)} là d ã y Gauss, t a có { W ( n ) } là dãy các đ ạ i lượng ngẫu nhiên độc lập cùng p h â n phối xác suừt ÌV(0,1) . Bài t o á n đ ặ t ra là: V ớ i điều kiện n à o t h ì q u á trình dừng X{n) có b i ể u diễn trung bình t r ư ợ t .X{n) = ^2h W(n-k) k , Mu e n (2.1) fc=o Đ i n h l ý 6. Già sú Xin) có hiểu diễn (2.1) . Khi đó X(n) cố mật 2 độ phổ / ( A ) và mật độ này có dạng f ( X ) = |/i(A)| , trong đó 2 /i(A) = 4=y>*e- 2 ĩ r < f c A , vài Y> | fc < oe . ^ fc=o fc=o