Giáo trình Các mô hình xác suất và ứng dụng - Phần II: Quá trình dừng và ứng dụng (Phần 2)

Chia sẻ: Lê Thị Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:48

Thêm vào BST

Báo xấu

220
lượt xem 45
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 1 giáo trình trình bày quá trình cấp 2. Nội dung phần này trình bày quá trình cấp 2, định nghĩa, hàm trung bình và hàm tự tương quan, liên tục,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Các mô hình xác suất và ứng dụng - Phần II: Quá trình dừng và ứng dụng (Phần 2)

ĐẠI H Ọ C VINH T R U N G TÂM THÔNG TIN-THƯVIỆN 519.2 NGUYỄN DUY TIẾN (Chủ biên) NT 5622(2)c/ 05 ĐẶNG HÙNG THẮNG GT.005745 CÁC Mộ HÌNH XÁC SUẤT VÀ ÚNG DUNG PHẢN l i QUÁ TRÌNH DỪNG VÀ ỨNG DỤNG COG Hà Nội NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NÔI
NGUYỄN DUY TIẾN (chủ biên) ĐẶNG HÙNG THẮNG C Á C MO HÌNH XÁC SU AT VÀ ÚNG DỤNG PHẦN li: QUÁ TRÌNH DỪNG VÀ ỨNG DỤNG (In lần thứ hai) NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
3 L Ờ I NÓI ĐÂU Xác suất Thống kê là lĩnh vực toán ứng dụng, nó đòi hồi một cơ sờ t o á n học sâu sắc. Ngày nay các mô hình xác suất đ ã thực sự được ứng dụng rộng rãi trong khoa học t ự nhiên cũng như trong khoa học xã hội. Tuy nhiên, ờ V i ệ t Nam có r ấ t ít những tài liệu về các mô hình xác suất v à ứng dụng của chúng. Đó là lý do chính chúng tôi v i ế t giáo trình này. N h ằ m phục vụ các độc giớ trong nhiều lĩnh vực khác nhau (toán học, v ậ t lý, cơ học, sinh học, khoa học trái đ ấ t , kinh t ế , y học, nông nghiệp, v.v...) nên giáo trình được viết theo tinh thần: chính xác về lý thuyết t ớ i mức độ nhất định, nhiều ví dụ ứng dụng cụ t h ể thường gặp trong thực tế và t ư ơ n g đ ố i dễ hiểu. Giáo trình C á c m ô h ì n h x á c suất v à ứng dung do GS.TSKH. Nguyễn Duy T i ế n chủ biên bao gồm: Phần ì. X í c h Markov v à ứng dụng , GS.TSKH. Nguyễn Duy T i ế n viết. Phần l i . Q u á t r ì n h dừng v à ứng d ụ n g , PGS.TSKH. Đặng Hùng Thắng viết. Phần III. G i ả i t í c h n g ẫ u n h i ê n , GS.TSKH. Nguyễn Duy T i ế n v i ế t . Các t h à n h viên của B ộ môn Xác suất Thống kê, Khoa Toán - Cư - T i n học, Đ H K H T N - ĐHQGHN đ ã nhiều n ă m giớng dạy quá trình ngẫu nhiên v à tích lũy được nhiều kinh nghiệm đ ể v i ế t giáo trình này d ư ớ i dạng mô hình ứng dụng phục vụ cho đông đớo bạn đọc. Tuy nhiên, đ â y không phới là giáo trình sơ cấp. Vì vậy đ ể đ ạ t được hiệu quớ cao, bạn đọc cần phới có kiến thức toán cuớ hai n ă m đ ầ u đ ạ i học và đặc biệt phới có kiến thức xác suất cổ đ i ể n (chằng hạn như trong Đào H ữ u H ồ [1], Đặng Hùng Thắng [2], hoặc Nguyễn V i ế t P h ú , Nguyễn Duy T i ế n [3]).
4 Chúng tôi hy vọng giáo trình này sẽ có ích cho nhiều bạn đọc, phục ^ vụ tốt cho ứng dụng, giảng dạy và nghiên cứu. Chắc chắn giáo trình còn nhiều thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý và chỉ bảo của bạn đọc. Chúng tôi xin chân thành cám ơn. Cuối cùng chúng tôi xin cám ơn Ban Giám hiệu ĐHKHTN - ĐHQGHN, Khoa Toán - Cơ - Tin học, Bộ môn Xác suất Thống kê ĐHKHTN - ĐHQGHN và Nhà Xuất Bản ĐHQGHN đã động viên, cổ vũ và tận tình giúp đ chúng tôi khi biên soạn giáo trình này. Hà Nội mùa thu năm 1999 C á c t á c giả
5 MỤC LỤC Phần l i : Q U Á T R Ì N H D Ừ N G V À Ứ N G D Ụ N G Lời nói đầu 3 M ờ đầu 7 Chương 1. Quá trình cấp 2 1.1. Quá trình cấp 2 l i 1.1.1. Định nghiã l i 1.1.2. Hàm trung bình và hàm t ự tương quan 13 1.1.3. L/2 - liên tục 15 1.2. Phép tính vi tích phân cho quá trình cấp 2 17 1.2.1. L a - k h á vi 17 1.2.2. L - 2 khả tích 19 1.2.3. Khai triển Karunen - Loève 28 1.3. Độ đo ngẫu nhiên và tích phân ngẫu nhiên 31 1.3.1. Độ đo ngẫu nhiên 31 1.3.2. Tích phân đối với một độ đo ngẫu nhiên 33 Bài tập 42 Chương 2. Quá trình dừng 2.1. Các khái niệm cơ bản 47 2.1.1. Định nghía và tính chất 47
6 2.1.2. Các ví dụ 49 2.1.3. Biểu diễn phổ 52 2.2. Biến đ ổ i tuyến tính quá trình dừng 61 2.3. Phương trình vi phân ngẫu nhiên và dự báo quá . . . . 74 trình dừng 2.3.1. Phương trình vi phân ngẫu nhiên 74 2.3.2. Dự báo quá trình dừng 82 2.4. Tính chất ergodic 89 Bài tập 107 Vài nét về lịch sử 113 Tài liệu tham khảo 119
7 M Ở ĐÂU Xét không gian xác suất cớ sờ (ũ, F, P) , trong đó: ũ là khô ng gian mẫu gồm t ấ t cá các kết cục có thể xảv ra của phép thử ngẫu nhiên. M ỗ i kết cục WỄÍÌ gọi là một điểm mẫu hay là một biến cố sơ cấp. Người ta cũng còn gọi íĩ là khô ng gian các biến cố sơ cấp. T là cr-đại số (ơ-trường) các biến cố. Tức là T là một họ các tợp con của ũ thoà mãn 3 điều kiện sau +) +) nếu A 0 với mọi A € ĩ , +) P(fi) = l , +) nếu A ,A ,... 1 2 £T và Ai n Aj = 0 (ỉ ^ ì) co oo thì P({jA n )= ^P(A ). n n=l n=l Đại lượng ngẫu nhiên hay biến ngẫu nhiên X là ánh xạ X : ũ —>• R sao cho {I
8 H à m số này có các t í n h chất (cần v à đ ủ ) sau: (i) đ ơ n điệu không giám, (li) liên tục bên t r á i , (in) l i m F(x) = 0 , l i m F(x) = 1. x-»-oo X-Í-+00 Xét h à m giá trị thực (hoặc phức) X(uJ,t) với u € ũ và t ÉT. N ế u cố định teT thì ta được X(UJ,») là một đ ạ i lượng ngẫu nhiên hay b i ế n ngẫu nhiên. N ế u cố định U) € Í2 thì ta được X(»,í) là một h à m của biến t e T . Hàm x( x (t) w được gọi là một quỹ đạo của x(t) , còn gọi là một t h ể hiện hay một h à m chọn của X(t). P h â n phối h ữ u hạn chiều của q u á t r ì n h ngẫu nhiên X(t) , í € T được xác định n h ư sau Ft t ...t (xi,V2,.~,x ) l 3 n v = P\X(ti)
9 H a i q u á t r ì n h n g ẫ u n h i ê n X i (í) v à X2(t) v ớ i c ù n g m ộ t t ậ p chỉ số t h ờ i gian T ( n h ư n g có t h ể x á c đ ị n h t r ê n hai k h ô n g gian x á c s u ấ t c ơ sờ k h á c n h a u ) đ ư ợ c g ọ i là t ư ơ n g đ ư ơ n g n g ẫ u n h i ê n y ế u , n ế u c h ú n g c ó c ù n g p h â n p h ố i h ữ u h ạ n chiều. H a i q u á t r ì n h n g ẫ u n h i ê n Xi(t) v à X2(t) v ớ i c ù n g m ộ t t ậ p chỉ số t h ờ i g i a n T v à x á c đ ị n h t r ê n c ù n g m ộ t k h ô n g gian x á c s u ấ t c ơ sờ được g ọ i là: •f) T ư ơ n g đ ư ơ n g n g ẫ u n h i ê n hay c h ú n g l à b ả n sao c ủ a n h a u , n ế u t a có p ự i ( t ) = x (t)) 2 = Ì đ ố i VỚI m ẳ i í € T. R õ r à n g là "Bằng nhau" =>• " T ư ơ n g đ ư ơ n g ngẫu nhiên" =>• "Tương đ ư ơ n g ngẫu nhiên y ế u " . Ta t h ấ y rằng t ậ p At = {u E n\X\(u, t) = X2(cư,t)} p h ụ thuộc v à o í € T và { u ; 6 í ỉ | J f i ( w , í ) = x (cj,t) 2 , Ví € T } = Pl Át. Vì t h ế , n ế u T đ ế m được, t h ì hai q u á t r ì n h t ư ơ n g đ ư ơ n g k h i v à chỉ k h i c h ú n g b ằ n g n h a u . T u y n h i ê n , n ế u T k h ô n g đ ế m đ ư ợ c t h ì đ i ề u k h ẳ n g đ ị n h v ừ a r ồ i k h ô n g đ ú n g . C h ằ n g h ạ n , với íì = [0,1] , T l à ơ- t r ư ờ n g Borel của [0,1] , p l à đ ộ đ o Lebesgue t h ô n g t h ư ờ n g , T = [0,1] và Xi{u,t) = 0 , Vo; € [0,1] , V í € [0,1] , Dễ dàng thấy rằng hai q u á t r ì n h n à y t ư ơ n g đ ư ơ n g n g ẫ u nhiên, n h ư n g k h ô n g b ằ n g nhau. Q u á trình ngẫu nhiên x(t) , t 6 T đ ư ợ c g ọ i l à liên t ụ c n g ẫ u n h i ê n tại í 0 € T , r i ế u Ve>0 t hì P{\x(t) - X(t )\ Q > e) - > 0 khi t -> í . 0
li Chương Ì QUÁ TRÌNH C Ấ P 2 C h ư ơ n g nàv trình bàv những khái niệm cơ bản và công cụ toán hoe cần thiết, đ ể nghiên cứu quá trình dừng bao gồm khái niệm q u á trình cấp hai, h à m t ư ơ n g quan, phép t í n h tích p h â n , v i p h â n cho q u á trình cấp hai v à tích p h â n ngẫu nhiên đ ố i v ớ i đ ộ đ o ngẫu nhiên gia số trỉc giao. 1.1. Quá trình cấp 2 G i ả sử X(t) , t € T là một quá trình (ngẫu nhiên), trong đ ó T là t ậ p chỉ số t h ờ i gian. T ậ p chỉ số T có t h ể là R = (-00, +oo) , R + = [0, +oo) , + Z = {0,±1,±2 ..:}, z > = {0,1,2,...}. Nếu T = K hoặc T = M + thì ta có một q u á trình với t h ờ i gian liên tục. + Nếu T —z hoặc r = z thì ta có một quá trình với thời gian r ờ i rạc hay còn gọi là một d ã y ngẫu nhiên. 1.1.1. Đinh nghiã Quá trình X(t) ,t € T đuợc gọi là một quá trinh cấp 2 nếu E p f ( í ) | < oo 2 , Víer.
12 : Ký hiệu L2(Ũ,J ,P) là. không gian Hilbert các đ ạ i lượng ngẫu r nhiên X sao cho E | X | < oo. Tích vô hướng trong L2(ĩl,J ,P) 2 là = E(XY) = J X { u ) Y { u ) d P . íì Sự h ộ i t ụ trong L2(ũ, T, P) được gọi là hội t ụ bình p h ư ơ n g trung bình. Nếu x n h ộ i t ụ bình p h ư ơ n g trung bình t ớ i X thì ta v i ế t l.i.mX n = X . n—>oo Ta có mệnh đ ề sau đ â y : Mệnh đ ề 1. Giả sử {X ) n là dãy đại luợng ngẫu nhiên với 2 E|X | n < oo. Diêu kiện cần và đủ đề tồn tại l.i.mln = X là: n—yoo (Ì) Tồn tại l i m EX n = EX. n—¥oo (li) Tồn tại l i m Cov(X , n x m ) = VarX. n—>oo m—>oo Chứng minh. G i ả sử t ồ n t ạ i l . i . m X = X. n n—yoo Khi đ ó theo b ấ t đằng thức Schwarz ta có 2 lim | E X - EX\ = l i m | E ( X - EX)\ < l i m ựE\X -X\ n n n = 0. n-*oo n—>oo n—>oo Mặt k h á c Cov(X ,X ) n m = < x n , x m > ~(EX )(EX ) n m , nên t a có 2 lim Cov{X ,X ) n m = -(EX) n—»oo m—>oo 2 2 = E X - (EX) = VarX . Ngược l ạ i , g i ả sử (i) v à (li) được thoả mãn. K h i đ ó tồn t ạ i lim < x n , x m > = lim Cov(X ,X ) n m ri—>oo n—too m—>oo m—>oo + ( l i m EX )( n l i m EX ) m = c. n—¥oo m—>oo
13 Ta l ạ i có E|X n — XmỸ' = < X n — X m , X n — X m >= = —2 < X, X n m >+ . Do đ ó 2 lim E\x - x \ n m = c-2c + c= 0. n—>oo 771-40O Vậy tồn t ạ i ì.i.mXn -• X. n—>oo M ệ n h đ ề được chứng m i n h . ũ M ộ t q u á trình cấp 2 X(t) có t h ể định nghĩa n h ư l à m ộ t á n h x ạ X : T -> L ( Í Ì , ^ , P ) .2 1.1.2. H à m trung b ì n h v à h à m t ư t ư ơ n g q u a n H à m trung bình m(t) được định nghĩa bởi công thức sau m{t) = EX(t) . H à m t ự t ư ơ n g quan r(s, í) được định nghiă b ờ i công thức sau r(s t) t = Cov[X(s),Xtt)]=Eịx(s)-m(sỸ)(x(t)-mitỸ) = = EX(s)X(t) - m(s)m(í) . Vì V a r X ( í ) = Cov[X(t),X(t)] nên t a có V a r X ( í ) = r(t, í ) . Đ i n h l ý 1. Hàm tự tương quan r(s,t) là đối xứng và xác định không âm, tức là (i) r ( a , t ) = r(t,sị , Vs.teT. (ii) VneN, V í i Í 2 , - , * n e T , V 6 i Ò 2 , . . . , f c „ € R thì > > n n 535^6*6^,^) > 0 . i=i j = i C h ứ n g minh. T í n h chất đ ố i xứng là hiển nhiên.
14 T a chứng minh ( l i ) . Ta có TI n u 0 < Vaxị^biXặi)) =Cov[^6 X(í ),5^6 X(í ) i i i i i=l i=l i= l TI Tí ri ri i—Ì j = l i= l j = l Chú ý. T í n h chất đ ố i x ứ n g v à x á c đ ị n h k h ô n g â m là t í n h chất đ ặ c t r ư n g cho c á c h à m t ự t ư ơ n g quan. N ế u cho t r ư ớ c h à m r(s, í) đối x ứ n g v à x á c đ ị n h k h ô n g â m , t h ì luôn t ồ n t ạ i m ộ t q u á t r ì n h cấp 2 X{t) nhận r(s,t) là h à m t ự t ư ơ n g quan. H ơ n n ư a có t h ể c h ọ n X(t) là m ộ t q u á t r ì n h Gauss ( b ạ n đ ọ c t ự c h ứ n g m i n h l ậ p l u ậ n n à y ) . Ví dụ Ì (Quá trình Wiener). Q u á trình W(t) , t > 0 được 2 g ọ i l à m ộ t q u á t r ì n h Wiener v ớ i t h a m số ơ nếu nó thoả m ã n các tính chất sau: (i) W(0) = 0. (ii) V ớ i mọi 0 < s < t thì W(t) - W(s) là đ ạ i lượng ngẫu n h i ê n có p h â n phối chuửn v ớ i kỳ vọng 0 v à p h ư ơ n g sai 2 ơ (t — s). (iii) W(t) l à q u á t r ì n h v ớ i gia số đ ộ c l ậ p , t ứ c l à với mọi 0 < Í1 < Í2 < ••• < t n các đ ạ i lượng ngẫu nhiên W(t )2 - W(h) , W(t ) 3 - W(t ) 2 , W ( t n ) - W{t ^) n là đ ộ c l ậ p . R õ r à n g W(t) l à m ộ t q u á t r ì n h c ấ p 2 vì w(t) là đ ạ i l ư ợ n g n g ẫ u n h i ê n + c ó p h â n p h ố i c h u ử n N(0,t). V ậ y h à m t r u n g b ì n h mịt) — 0,Ví € K . T a t í n h h à m t ự t ư ơ n g q u a n của W(t) : g i ả sử 0 < s < t , khi đó r(s,t) = EW{s)W(t) = EW{s)[W{s) + w{t) - W{s)\ = 2 = E|W(s)| +E[W(a) - W(0)][W(t) - W{s)ị 2 = E\W{s)\ + E[W(s) - W{ồ))E[W(t) - W{s)) 2 = E\W(s)\ +EW(s)E{W(t) - W{s)} 2 2 = Ơ S + m(s)E[W(t) - W(s)} = ƠS . 2 Vậy r(s,t) = ơ min(s,í).
15 V í d ụ 2 ( Q u á trình Poisson). Q u á trình x ( t ) , í > 0 được g ọ i l à q u á t r ì n h Poisson v ớ i c ư ờ n g đ ộ A > 0 n ế u n ó t h o ả m ã n c á c t í n h c h ấ t sau: (i) X(0) = 0. (ri) V ớ i mọi 0 < s < t thì X(t) — X(s) là đ ạ i lượng n g ẫ u n h i ê n c ó p h â n p h ố i Poisson v ớ i t h a m số Xịt — s). (iii) X(t) l à q u á t r ì n h v ớ i gia số đ ộ c l ậ p , t ứ c l à v ớ i mọi 0 < í Ì < Í2 < ... < t n các đ ạ i lượng ngẫu nhiên X{t ) 2 - X ( t i ) , Xiu) - X(t ) 2 , X { t n ) - X ( t n ^ ) là độc l ậ p . Rõ ràng X(t) là m ộ t q u á t r ì n h cấp 2 vì x(t) = X(t) — X(0) là đ ạ i l ư ợ n g n g ẫ u n h i ê n có p h â n p h ố i Poisson v ớ i t h a m số Ai. Do đó m ( í ) = EX{t) = Ai. T a t í n h h à m t ự t ư ơ n g quan của W(t) : g i ả sử 0 < s < ị , khi đ ó r{s,t) = Cov(x(s),X(tỶ) = Cov(x(s),[X{s) + X(t) - X(s)Ỹ) = = Cov(x(s),X(s)) + C o v ( x ( s ) , [X{t) - X(s)Ỷ) = V a r X ( s ) + C o v ( [ X ( s ) - X{0)1 ịx(t) - X(s)ỶJ = Xs . Vậy r(s, t) — Arain(s, í ) . 1.1.3. Li2 - l i ê n túc Xét trường hợp T = R hoặc T = R+. Q u á t r ì n h cấp 2 Xịt) , t € T đ ư ợ c g ọ i l à Lỉ2 - liên t c (hay liên t c bình p h ư ơ n g trung bình) t ạ i đ i ể m ío nếu L i . m X ( í ) = X(to) , t—>to tức là 2 l i m E\X(t)-X{t )\ 0 = 0 . t-¥to Nếu X(t) l à L 2 - liên t c t ạ i m ọ i đ i ể m í € T , t h ì t a nói X{t) là 1/2 - liên t c .
16 Định lý sau đ â y cho ta tiêu chuẩn đ ể b i ế t t í n h L 2 - liên tục của X(t) t h ô n g qua tính liên tục của h à m t r u n g bình v à h à m t ự t ư ơ n g quan. Đ i n h l ý 2. Quá trình Xịt) là L2 - liên tục khi và chỉ khi hàm trung bình m(t) và hàm tự tương quan r(s,t) là liên tục. C h ứ n g minh. Điêu kiện cần: G i ả sử X(t) là L2 - liên tục. T ừ bất đằng thức Schwartz ta có \m(t) - m(to)\ = |E(X(Í) - X{to)) ị < < E\X(t) - X(to)\ < ựE\X(t)- X(t )\* 0 . Suy ra m(t) là liên tục. Ta l ạ i có r(s, í) = EX(s)X(t) - m(s)m(t) = = < X(s),X(t) > - m(s)m{t) . khi s - > So và í -»ío thì X(s) -> X(s ) 0 và X(t) -> x ( t ) 0 r trong L 2 ( í 2 , ^ , P). Do tính chất liên tục của tích vô h ư ớ n g ta suy ra lim < X(s),X{t) > = < X(s ),*(to) > 0 . s—>so í->to V ậ y ta được lim r(s, t) = < X(s ),X(t ) 0 0 > - m(s )m(to) 0 = r(s ,t ) 0 0 . s—>So Í-+ÍO Diều kiện đủ: G i ả sư m(t) và r ( s , í) là liên tục. Ta có 2 2 E|X(í) - X ( s ) | = (E[X(Í) - X(s)]) + V a r [ X ( í ) - X{s)\ = 2 = m (í) - m ( s ) ] + VarX(í) - 2Cov(X(í),X(a)) + VarX(s) = 2 = |m(í) - m(s) I + r ( í , ỉ ) - 2r(t, s) + r{s, s) . 2 Khi t -> s thì |m(í) - m ( s ) | -> 0 và lim (r{t, t) - 2r(t, s) + r(s, s)) = 0 . i—>S \ / Vì vậy ta được 2 limE|X(í)-X(s)| = 0 .
17 Định lý đ ư ợ c chứng minh đ ầ y đ ủ . n Định lý t r ê n cho p h é p ta k ế t l u ậ n quá trình Wiener v à quá t r ì n h Poisson là Z/2 - liên tục. C h ú ý. Cần p h â n b i ệ t khái n i ệ m L-1 - liên tục v ớ i khái niệm liên tục theo quỹ đ ạ o . Ta n h ớ l ạ i r ằ n g x(t) được gọi là liên tục theo quỹ đ ạ o n ế u v ớ i hầu h ế t Lú € fì t h ì quỹ đạo Xu : ị —> x^t) là một h à m liên tục. Việc t ì m tiêu chuẩn nhận biết tính liên tục theo quỹ đạo của m ộ t q u á t r ì n h X(t) là m ộ t bài t o á n khó hơn r ấ t nhiều. Q u á t r ì n h Wiener có các quỹ đ ạ o là h à m liên tục, trong khi các quỹ đ ạ o của q u á t r ì n h Poisson l ạ i là các h à m bậc thang gián đ o ạ n . C h ú ý r ằ n g h à m t ả t ư ơ n g quan của hai q u á t r ì n h n à y có dạng hoàn t o à n giống nhau. N h ư v ậ y việc b i ế t h à m t ả t ư ơ n g quan của một q u á t r ì n h cấp 2 c h ư a đ ủ t h ô n g t i n đ ể cho p h é p k ế t luận về tính liên tục theo quỹ đạo của q u á t r ì n h đ ó . 1.2. Phép tính vi tích phân cho quá trình cấp 2 1.2.1. L 2 - khả vi Q u á t r ì n h cấp 2 X(t) , t ÉT đ ả ợ c gọi là Z/2 - k h ả v i t ạ i đ i ể m to n ế u t ồ n t ạ i giới h ạ n X(tọ + h)-X(to) 1.1.m 7 . /i->0 h G i ớ i hạn n à y đ ư ợ c ký h i ệ u là X'(to) v à được gọi là Li2 - đạo h à m của q u á t r ì n h X(t) tại điểm to- Ta nói r ằ n g q u á t r ì n h x(t) là 1/2 - k h ả v i nếu tồn t ạ i L-1 - đạo hàm x'(t) t ạ i mọi điểm t ÉT. Đ ị n h l ý 3. Quá trình x(t) là L/2 - khả vi tại điểm to nếu và chỉ nếu: (i) Hàm trung bình m(t) khả vi tại í = to- (ii) Tòn tại giới hạn lim \r(to + h,t 0 + k) - r(t 0 + h,to) - r(t ,t 0 0 + k)+ r(t ,t ) 0 0 /i->-0 hk í fc->0
18 Chiêng minh. Áp dụng mệnh đ ề Ì ờ trên ta có X(t), là Z/2 - k h ả v i khi v à chỉ khi: (i) Tồn tại X(tọ + h)- X(tọ) m(tọ + h) - m(tọ) lim E = lim /1-^0 h h-»0 h ' Điều này t ư ơ n g đ ư ơ n g v ớ i m(t) khả v i t ạ i í = to (li) Tồn tại 'X{t 0 + h)-X{t ) 0 X(t0 + k)-X{t )0 lim Covf- h-io \ h k ) - fc->0 lim -7- r ( í 0 + h, to + k ) - r(to + h, to) - r(t ,t 0 Q + k) + r(t , 0 to) h->0 hk fc->0 Định lý được chứng minh.D V í d u 3. Q u á trình Wiener không L2 - khả v i ờ b ấ t cứ đ i ể m nào. T h ậ t vậy, q u á trình Wiener có hàm t ự t ư ơ n g quan là 2 . r(s, t) = 0 ta có lim -^r r(t Q + h,t 0 + h) — r(to + h,to) - r(t ,to 0 + h) + r(t ,to) 0 1 2 Ớ. . ,. cr lim — r -to + h - to - to + to = l i m — 2 00 . /wò h h-*0 h T ư ơ n g t ự q u á trình Poisson cũng không L2 - k h ả v i ờ bất cứ đ i ể m não. Chú ý. T í n h L2 - k h ả v i không có liên quan gì đ ế n tính k h ả v i của h à m chốn. T h ậ t vậy, h à m chốn của q u á trình Poisson là một h à m bậc thang do đ ó nó chỉ không k h ả v i t ạ i các đ i ể m bước nhẩy. Đ ố i v ớ i q u á t r ì n h Wiener, bằng một chứng minh r ấ t khó v à tinh t ế n g ư ờ i ta đ ã chỉ ra rằng h à m chốn của q u á trình Wiener là hàm liên tục n h ư n g không k h ả v i ờ b ấ t cứ đ i ể m nào.