Giáo trình phân tích cấu tạo lý thuyết trường và phương thức sử dụng toán tử divergence p3
Thêm vào BST
Báo xấulượt xem 4
download
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
Các hàm g và h theo giả thiết thoả m~n điều kiện Dirichlet do đó khai triển đ−ợc thành chuỗi Fourier hội tụ đều và có các chuỗi đạo hàm hội tụ đều trên đoạn [0, l]. Suy ra chuỗi hàm (7.7.7) với các hệ số a k và b k tính theo công thức (7.7.8) là hội tụ đều và các chuỗi đạo hàm riêng đến cấp hai của nó cũng hội tụ đều trên miền H. Do vậy có thể đạo hàm từng từ hai lần theo x, theo t trên miền H. Kiểm tra trực...
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Giáo trình phân tích cấu tạo lý thuyết trường và phương thức sử dụng toán tử divergence p3
- h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k b(x, y) ∫ a(x, y) dx + C y(x) = §æi biÕn b(x, y) ∫ a(x, y) dx v ξ=y- η = η(x, y) sao cho J(x, y) ≠ 0 §−a vÒ d¹ng chÝnh t¾c cña ph−¬ng tr×nh parabole ∂2u ∂u ∂u = F2(ξ, η, u, , ) (7.1.6) ∂ξ ∂η ∂η 2 3. NÕu ∆(x, y) = b2(x, y) - a(x, y)c(x, y) th× ph−¬ng tr×nh (7.1.4) cã nghiÖm phøc b(x, y) ± i − ∆(x, y) ∫ dx + C = α(x, y) ± iβ(x, y) + C y(x) = a(x, y) §æi biÕn − ∆(x, y) b(x, y) ∫ a(x, y) dx v η = ∫ ξ=y- dx a(x, y) §−a vÒ d¹ng chÝnh t¾c cña ph−¬ng tr×nh ellipse ∂2u ∂2u ∂u ∂u = F2(ξ, η, u, + , ) (7.1.7) ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η 2 2 VÝ dô §−a vÒ chÝnh t¾c ph−¬ng tr×nh sau ®©y ∂2u ∂2u ∂2u ∂u ∂u 2 +3 + +3 -3 - 9u = 0 ∂x∂y ∂x ∂y ∂x ∂y 2 2 Gi¶i ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng 1 2 y ′ 2 − 3y ′ + 1 = 0 , y = x + C, y = x +C 2 §æi biÕn 1 3 1 ξ+η=y- x, ξ - η = y - x Suy ra ξ = y - x, η = x 2 4 4 3 ∂ξ ∂ξ ∂η 1 ∂η ∂u 3 ∂u 1 ∂u ∂u ∂u =− , =− = 1, =, = 0, + , = 4 ∂y ∂x ∂x 4 ∂y ∂x 4 ∂ξ 4 ∂η ∂x ∂ξ 9 ∂2u 3 ∂ 2u 1 ∂2u ∂ 2 u 3 ∂2u 1 ∂ 2u ∂ 2 u ∂2u ∂2u − + =− + = , , = 16 ∂ξ2 8 ∂ξ∂η 16 ∂η2 ∂x∂y 4 ∂ξ2 4 ∂ξ∂η ∂y 2 ∂x 2 ∂ξ 2 D¹ng chÝnh t¾c cña ph−¬ng tr×nh l ∂2u ∂2u ∂u ∂u − 2 =2 +2 - 8u ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η 2 . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 115
- h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k §2. Ph−¬ng tr×nh vËt lý - to¸n Ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng • Cho sîi d©y rÊt m¶nh, cã ®é d i l, hai mót cè ®Þnh, dao ®éng bÐ trong mÆt ph¼ng Oxu theo P3 u(x, t) ph−¬ng trôc Ou. Lóc kh«ng dao ®éng d©y n»m T trªn ®o¹n [0, l] v ®é d i cña d©y kh«ng thay ®æi P P M2 M1 1 2 trong suèt qu¸ tr×nh dao ®éng. B i to¸n ®ßi hái x1 x x2 x¸c ®Þnh ®é lÖch u(x, t) t¹i ®iÓm ho nh ®é x v o 0 l thêi ®iÓm t. • Gi¶ sö d©y rÊt dÎo, ® n håi víi lùc c¨ng T(x, t) h−íng theo ph−¬ng tiÕp tuyÕn cña sîi d©y v do ®ã cã hÖ sè gãc l u ′ . Do ®é d i cña sîi d©y kh«ng thay ®æi trong lóc dao x ®éng nªn lùc c¨ng T(x, t) kh«ng phô thuéc v o thêi gian. Gäi P1 l h×nh chiÕu cña lùc c¨ng trªn cung M1M2 lªn trôc Ou x2 ∂2u P1 = ∫ T (x) 2 dx ∂x x1 Gäi F(x, t) l mËt ®é cña ngo¹i lùc t¸c ®éng v P2 l h×nh chiÕu cña ngo¹i lùc trªn cung M1M2 lªn trôc Ou x2 ∫ F(x, t )dx P2 = x1 Gäi ρ(x) l mËt ®é vËt chÊt cña sîi d©y, u ′t′t l gia tèc cña chuyÓn ®éng v P3 l h×nh chiÕu cña lùc qu¸n tÝnh trªn cung M1M2 lªn trôc Ou x2 ∂2u P3 = - ∫ ρ(x) dx ∂t 2 x1 Theo nguyªn lý c©n b»ng lùc P1 + P2 + P3 = 0 suy ra x2 ∂2u ∂2u ∫ T(x) ∂x 2 + F(x, t ) − ρ(x) ∂t 2 dx = 0 x1 Do x1, x2 l tuú ý nªn ∀ (x, t) ∈ [0, l] × [0, +∞) ta cã ∂2u ∂2u ρ(x) = T(x) 2 + F(x, t) ∂t 2 ∂x NÕu sîi d©y ®ång chÊt th× ρ(x) v T(x) l c¸c h»ng sè. §Æt a2 = T / ρ > 0 gäi l vËn tèc truyÒn sãng v f(x, t) = F(x, t)/ρ l ngo¹i lùc t¸c ®éng. Khi ®ã ®é lÖch u(x, t) l nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ∂2u ∂2u = a2 2 + f(x, t) (7.2.1) ∂t 2 ∂x gäi l ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng trong kh«ng gian mét chiÒu. Trong tr−êng hîp dao ®éng tù do kh«ng cã ngo¹i lùc t¸c ®éng : f(x, t) = 0, ph−¬ng tr×nh . Trang 116 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
- h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k (7.2.1) l ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt. Tr−êng hîp dao ®éng c−ìng bøc : f(x, t) ≠ 0, ph−¬ng tr×nh (7.2.1) l ph−¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt. Ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt • XÐt ph©n bè nhiÖt trªn vËt r¾n, thÓ tÝch D, truyÒn nhiÖt S F ®¼ng h−íng trong kh«ng gian Oxyz. B i to¸n ®ßi hái x¸c ρ ®Þnh nhiÖt ®é u(M, t) t¹i ®iÓm M(x, y, z) v o thêi ®iÓm t. M n ρ • Gäi k(M) l hÖ sè truyÒn nhiÖt, n l h−íng truyÒn nhiÖt v D Q1 nhiÖt l−îng ®i qua mÆt kÝn S = ∂D tõ thêi ®iÓm t1 ®Õn t2 t2 t2 ∂u Q1 = ∫ dt ∫ k (M ) ρ dS = ∫ dt ∫ div( kgradu)dV ∂n t1 S t1 D Gäi Q2 l nhiÖt l−îng sinh bëi nguån nhiÖt trong cã mËt ®é F(M, t) tõ thêi ®iÓm t1 ®Õn t2 t2 ∫ dt ∫ F(M, t )dV Q2 = t1 D Gäi ρ(M) l mËt ®é vËt chÊt, c(M) l nhiÖt dung v Q3 l nhiÖt l−îng cÇn ®Ó vËt r¾n D thay ®æi tõ nhiÖt ®é u(M, t1) ®Õn u(M, t2) t2 ∂u ∫ c(M)ρ(M)(u(M, t ) − u(M, t 2 ))dV = ∫ dt ∫ c(M)ρ(M) ∂t dV Q3 = 2 D t1 D Theo nguyªn lý c©n b»ng nhiÖt Q1 + Q2 - Q3 = 0 suy ra t2 ∂u ∫ dt ∫ div (kgradu) + F(M, t ) − c(M)ρ(M) ∂t dV = 0 t1 D Do t1, t2 tuú ý nªn ∀ (M, t) ∈ D × [0, +∞) chóng ta cã ∂u c(M)ρ(M) = div(k(M)gradu) + F(M, t) ∂t NÕu vËt r¾n l ®ång chÊt th× c(M), ρ(M) v k(M) l c¸c h»ng sè. §Æt a2 = k / cρ > 0 gäi l vËn tèc truyÒn nhiÖt v f(M, t) = F(M, t) / cρ l nguån nhiÖt trong. Khi ®ã nhiÖt ®é u(M, t) l nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ∂2u ∂2u ∂u ∂2u = a2( 2 + + ) + f(x, y, z, t) (7.2.2) ∂t ∂x ∂z 2 ∂y 2 gäi l ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt trong kh«ng gian ba chiÒu. Trong tr−êng hîp kh«ng cã nguån nhiÖt trong : f(M, t) = 0, ph−¬ng tr×nh (7.2.2) l ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt. Tr−êng hîp cã nguån nhiÖt trong : f(M, t) ≠ 0, ph−¬ng tr×nh (7.2.2) l ph−¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt. Ph−¬ng tr×nh Laplace • XÐt ph©n bè nhiÖt trªn vËt r¾n truyÒn nhiÖt ®¼ng h−íng, nhiÖt ®é u(x, y, z, t) t¹i ®iÓm M(x, y, z) v o thêi ®iÓm t tho¶ m n ph−¬ng tr×nh (7.2.2). NÕu ph©n bè nhiÖt kh«ng phô . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 117
- h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k thuéc thêi gian th× u ′t = 0 v khi ®ã ph−¬ng tr×nh (7.2.2) trë th nh ∂2u ∂2u ∂2u + + = g(x, y, z, t) (7.2.3) ∂z 2 ∂x 2 ∂y 2 gäi l ph−¬ng tr×nh Laplace. Trong tr−êng hîp kh«ng cã nguån nhiÖt trong : g(x, y, z, t) = 0, ph−¬ng tr×nh (7.2.3) l ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt. Tr−êng hîp cã nguån nhiÖt trong : g(x, y, z, t) ≠ 0 ph−¬ng tr×nh (7.2.3) l ph−¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt cßn gäi l ph−¬ng tr×nh Poisson. §3. C¸c b i to¸n c¬ b¶n B i to¸n tæng qu¸t • Cho c¸c miÒn D ⊂ 3n, H = D × 3+ v c¸c h m u ∈ C2(H, 3), f ∈ C(H, 3). KÝ hiÖu ∂2u n ∑ ∂x 2 ∆u = i =1 i gäi l to¸n tö Laplace. C¸c b i to¸n VËt lý - Kü thuËt th−êng dÉn ®Õn viÖc gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh ®¹o h m riªng tuyÕn tÝnh cÊp 2 cã d¹ng tæng qu¸t nh− sau. ∂2u = a2∆u + f(x, t) (x, t) ∈ H0 (7.3.1) ∂t 2 ∂u = a2∆u + f(x, t) (x, t) ∈ H0 (7.3.2) ∂t ∆u = f(x) x ∈ D0 (7.3.3) V× vËy c¸c ph−¬ng tr×nh trªn ®−îc gäi l c¸c ph−¬ng tr×nh VËt lý - To¸n. Ph−¬ng tr×nh Hyperbole (7.3.1) xuÊt hiÖn trong c¸c b i to¸n dao ®éng, truyÒn sãng gäi l ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng. Ph−¬ng tr×nh Parabole (7.3.2) xuÊt hiÖn trong c¸c b i to¸n truyÒn nhiÖt, ph©n bè nhiÖt gäi l ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt. Ph−¬ng tr×nh Ellipse (7.3.3) xuÊt hiÖn trong c¸c b i to¸n vÒ qu¸ tr×nh dõng gäi l ph−¬ng tr×nh Laplace. C¸c ph−¬ng tr×nh VËt lý - To¸n th−êng cã v« sè nghiÖm, ®Ó x¸c ®Þnh ®óng nghiÖm cÇn t×m cÇn ph¶i cã thªm c¸c ®iÒu kiÖn phô. - §iÒu kiÖn ban ®Çu cho biÕt tr¹ng th¸i cña hÖ thèng v o thêi ®iÓm t = 0. ∂u ut=0 = g, t=0 = h (7.3.4) ∂t - §iÒu kiÖn biªn cho biÕt tr¹ng th¸i cña hÖ thèng trªn biªn ∂D. ∂u ∂u + λu)∂D = q u∂D = h, ∂D = p, ( (7.3.5) ∂n ∂n Trong thùc tiÔn c¸c ®iÒu kiÖn phô ®−îc x¸c ®Þnh b»ng thùc nghiÖm v do ®ã cã sai sè. V× vËy khi thiÕt lËp c¸c b i to¸n vÒ ph−¬ng tr×nh VËt lý - To¸n chóng ta yªu cÇu . Trang 118 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
- h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k - B i to¸n cã nghiÖm duy nhÊt : Ph−¬ng tr×nh cã ®óng mét nghiÖm tho¶ m n c¸c ®iÒu kiÖn phô cho tr−íc. - B i to¸n cã nghiÖm æn ®Þnh : Sai sè nhá cña c¸c ®iÒu kiÖn phô dÉn ®Õn sai sè nhá cña nghiÖm. B i to¸n tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh VËt lý - To¸n ph¸t biÓu nh− sau : T×m nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh cña ph−¬ng tr×nh VËt lý - To¸n tho¶ m n c¸c ®iÒu kiÖn phô cho tr−íc. • Trong gi¸o tr×nh n y chóng ta xem xÐt c¸c b i to¸n sau ®©y - B i to¸n Cauchy : T×m nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh cña ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng (truyÒn nhiÖt) tho¶ m n c¸c ®iÒu kiÖn ban ®Çu - B i to¸n hçn hîp : T×m nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh cña ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng (truyÒn nhiÖt) tho¶ m n c¸c ®iÒu kiÖn ban ®Çu v ®iÒu kiÖn biªn - B i to¸n Diriclet : T×m nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh cña ph−¬ng tr×nh Laplace tho¶ m n ®iÒu kiÖn biªn u∂D = g - B i to¸n Neuman : T×m nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh cña ph−¬ng tr×nh Laplace tho¶ ∂u m n ®iÒu kiÖn biªn u∂D = g v ∂D = h ∂n C¸c b i to¸n víi ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt gäi t¾t l b i to¸n thuÇn nhÊt, víi ph−¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt gäi l b i to¸n kh«ng thuÇn nhÊt. §Ó ®¬n gi¶n trong gi¸o tr×nh n y chóng ta chØ giíi h¹n c¸c b i to¸n trong ph¹m vi kh«ng gian mét hoÆc hai chiÒu. Tuy nhiªn c¸c ph−¬ng ph¸p gi¶i v c«ng thøc nghiÖm cã thÓ më réng tù nhiªn cho tr−êng hîp kh«ng gian n chiÒu. Cô thÓ chóng ta sÏ lÇn l−ît nghiªn cøu c¸c b i to¸n sau ®©y. B i to¸n Cauchy (CH) B i to¸n hçn hîp (HH) T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng ∂2u 2∂ u ∂2u 2∂ u 2 2 =a + f(x, t) =a + f(x, t) ∂x 2 ∂x 2 ∂t 2 ∂t 2 v ®iÒu kiÖn ban ®Çu v c¸c ®iÒu kiÖn phô ∂u ∂u ut=0 = g(x), t=0 = h(x) ut=0 = g(x), t=0 = h(x), u∂D = p(t) ∂t ∂t B i to¸n Cauchy (CP) B i to¸n hçn hîp (HP) T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ∂u 2∂ u ∂u 2∂ u 2 2 =a + f(x, t) =a + f(x, t) ∂t ∂t ∂x 2 ∂x 2 v ®iÒu kiÖn ban ®Çu v c¸c ®iÒu kiÖn phô ∂u + λu)∂D = h(t) ut=0 = g(x) ut=0 = g(x), ( ∂n .Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 119
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Giáo trình phân tích cấu tạo căn bản của Mosfet với tín hiệu xoay chiều và mạch tương đương với tín hiệu nhỏ p1
5 p | 
146
| 
15
-
Giáo trình phân tích cấu tạo và nguyên tắc hoạt động của hệ thống tự động khép kín p9
5 p | 111
| 13
-
Giáo trình phân tích cấu tạo và nguyên tắc hoạt động của hệ thống tự động khép kín p2
5 p | 99
| 7
-
Giáo trình phân tích cấu tạo và nguyên tắc hoạt động của hệ thống tự động khép kín p3
5 p | 97
| 7
-
Giáo trình phân tích cấu tạo các tỷ lệ chất khí trong không khí ẩm qua quá trình điều hòa p7
5 p | 64
| 5
-
Giáo trình phân tích cấu tạo đường đi vận tốc ánh sáng bằng thuyết tương đối bức xạ nhiệt p4
5 p | 73
| 5
-
Giáo trình phân tích cấu tạo trong giao thức kết tuyến theo trạng thái chuẩn IETF p6
6 p | 73
| 5
-
Giáo trình phân tích cấu tạo và nguyên tắc hoạt động của hệ thống tự động khép kín p7
5 p | 88
| 5
-
Giáo trình phân tích cấu tạo và nguyên tắc hoạt động của hệ thống tự động khép kín p6
5 p | 95
| 5
-
Giáo trình phân tích cấu tạo và nguyên tắc hoạt động của hệ thống tự động khép kín p1
5 p | 87
| 5
-
Giáo trình phân tích cấu tạo và nguyên tắc hoạt động của hệ thống tự động khép kín p5
5 p | 138
| 4
-
Giáo trình phân tích cấu tạo các tỷ lệ chất khí trong không khí ẩm qua quá trình điều hòa p10
5 p | 64
| 4
-
Giáo trình phân tích cấu tạo trong giao thức kết tuyến theo trạng thái chuẩn IETF p8
6 p | 78
| 4
-
Giáo trình phân tích cấu tạo các tỷ lệ chất khí trong không khí ẩm qua quá trình điều hòa p9
5 p | 69
| 3
-
Giáo trình phân tích cấu tạo các tỷ lệ chất khí trong không khí ẩm qua quá trình điều hòa p6
5 p | 92
| 3
-
Giáo trình phân tích cấu tạo các tỷ lệ chất khí trong không khí ẩm qua quá trình điều hòa p2
5 p | 62
| 3
-
Giáo trình phân tích cấu tạo các tỷ lệ chất khí trong không khí ẩm qua quá trình điều hòa p1
5 p | 50
| 3
-
Giáo trình phân tích cấu tạo liên kết tán đinh trong liên kết không đối xứng p2
5 p | 60
| 3
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn
Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.
