intTypePromotion=1
ADSENSE

Giáo trình phân tích cấu tạo lý thuyết trường và phương thức sử dụng toán tử divergence p4

Chia sẻ: Ewtw Tert | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

54
lượt xem
4
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'giáo trình phân tích cấu tạo lý thuyết trường và phương thức sử dụng toán tử divergence p4', kỹ thuật - công nghệ, điện - điện tử phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Giáo trình phân tích cấu tạo lý thuyết trường và phương thức sử dụng toán tử divergence p4

  1. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k B i to¸n Diriclet (DE) B i to¸n Neumann (NE) T×m h m u ∈ C(D, 3) tho¶ m n T×m h m u ∈ C(D, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh Laplace ph−¬ng tr×nh Laplace ∂2u ∂2u ∂2u ∂2u + = f(x, y) + = f(x, y) ∂x 2 ∂y 2 ∂x 2 ∂y 2 v ®iÒu kiÖn biªn v c¸c ®iÒu kiÖn biªn ∂u ρ ∂D = h(x, y) u∂D = g(x, y) u∂D = g(x, y), ∂n §4. B i to¸n Cauchy thuÇn nhÊt B i to¸n CH1a Cho c¸c miÒn D = 3, H = D × 3+ v h m h ∈ C(D, 3). T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng ∂2u ∂2u = a2 2 víi (x, t) ∈ H0 (7.4.1) ∂t 2 ∂x v ®iÒu kiÖn ban ®Çu ∂u u(x, 0) = 0, (x, 0) = h(x) (7.4.2) ∂t • §æi biÕn ξ = x + at, η = x - at TÝnh c¸c ®¹o h m riªng b»ng c«ng thøc ®¹o h m h m hîp ∂u ∂u ∂u ∂u  ∂u ∂u  = + = a −  ,  ∂ξ ∂η  ∂x ∂ξ ∂η ∂t   ∂2u ∂2u ∂2u  ∂2u ∂2u ∂2u  ∂2u ∂2u + 2 , 2 = a2 2 −2 + = 2 +2   ∂ξ ∂ξ∂η ∂η 2  ∂ξ∂η ∂η ∂t ∂x 2 ∂ξ   ThÕ v o ph−¬ng tr×nh (7.4.1), nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh ∂2u =0 ∂ξ∂η TÝch ph©n hai lÇn u(ξ, η) = ϕ(ξ) + ψ(η) Trë vÒ biÕn cò u(x, t) = ϕ(x + at) + ψ(x - at) ThÕ v o ®iÒu kiÖn ban ®Çu (7.4.2) u(x, 0) = ϕ(x) + ψ(x) = g(x) v u ′t (x, 0) = a[ϕ’(x) - ψ’(x)] = h(x) . Trang 120 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  2. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k TÝch ph©n ph−¬ng tr×nh thø hai, ®−a vÒ hÖ ph−¬ng tr×nh x 1 a∫ ϕ(x) + ψ(x) = 0, ϕ(x) - ψ(x) = h(ξ)dξ 0 Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh trªn t×m ϕ(x) v ψ(x) v suy ra nghiÖm cña b i to¸n x + at 1 ∫ h(ξ)dξ u(x, t) = (7.4.3) 2a x − at §Þnh lý Cho h m h ∈ C1(D, 3). B i to¸n CH1a cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (7.4.3) Chøng minh • Do h m h ∈ C1(D, 3) nªn h m u ∈ C2(H, 3). KiÓm tra trùc tiÕp ∂u 1 ∀ (x, t) ∈ H, = a[h(x + at) + h(x - at)] ∂t 2 2∂ u ∂2u 2 1 = a[h’(x + at) + h’(x - at)] = a ∂t 2 ∂x 2 2 ∂u ∀ x ∈ D, u(x, 0) = 0, (x, 0) = h(x) ∂t ∂2u ∂2u ∂u • NÕu ui l nghiÖm cña b i to¸n = a2 2 , u(x, 0) = 0, (x, 0) = hi ∂t ∂t ∂x 2 2∂ u ∂2u ∂u 2 th× u = u1 - u2 l nghiÖm cña b i to¸n =a , u(x, 0) = 0, (x, 0) = h1 - h2 = h ∂t ∂t ∂x 2 2 Víi mçi T > 0 cè ®Þnh, kÝ hiÖu B = [x - aT, x + aT] v HT = B × [0, T]. Tõ c«ng thøc (7.4.3) chóng ta cã −íc l−îng sau ®©y ∀ (x, t) ∈ HT , | u(x, t) | ≤ T supB | h(ξ) | Tõ ®ã suy ra h = h1 - h2 = 0 ⇒ u = u1 - u2 = 0. || h || = || h 1 - h 2 || < δ ⇒ | | u || = || u 1 - u 2 || < ε = T δ VËy b i to¸n cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh trªn HT víi mçi T cè ®Þnh. Do tÝnh liªn tôc cña nghiÖm suy ra b i to¸n cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh trªn H. B i to¸n CH1b Cho c¸c miÒn D = 3, H = D × 3+ v h m g ∈ C(D, 3). T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng ∂2u ∂2u = a2 2 víi (x, t) ∈ H0 ∂t 2 ∂x v ®iÒu kiÖn ban ®Çu ∂u u(x, 0) = g(x), (x, 0) = 0 ∂t . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 121
  3. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k ∂v §Þnh lý Cho g ∈ C2(D, 3) v v(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n CH1a víi (x, 0) = g(x) ∂t B i to¸n CH1b cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh x¸c ®Þnh theo c«ng thøc sau ®©y x + at ∂v 1∂ ∫ g(ξ)dξ u(x, t) = (x, t) = (7.4.4) ∂t 2a ∂t x − at Chøng minh • Do h m g ∈ C2(D, 3) nªn h m v ∈ C3(H, 3) suy ra h m u ∈ C2(H, 3). KiÓm tra trùc tiÕp ∂ 2 ∂v ∂ ∂2v ∂ 2 ∂v ∂2u ∀ (x, t) ∈ H, = a2 = a2 2 =2 ∂t ∂t ∂t ∂x 2 ∂x ∂t ∂t 2 ∂2v ∂v ∂u ∀ x ∈ D, u(x, 0) = (x, 0) = a2 2 (x, 0) (x, 0) = g(x), ∂t ∂t ∂x • TÝnh duy nhÊt v æn ®Þnh cña nghiÖm suy ra tõ b i to¸n CH1a. §5. B i to¸n Cauchy kh«ng thuÇn nhÊt B i to¸n CH1c Cho c¸c miÒn D = 3, H = D × 3+ v h m f ∈ C(H, 3). T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng ∂2u ∂2u = a2 2 + f(x, t) víi (x, t) ∈ H0 ∂t 2 ∂x v ®iÒu kiÖn ban ®Çu ∂u u(x, 0) = 0, (x, 0) = 0 ∂t §inh lý Cho h m f ∈ C(H, 3) v v(x, τ, t) l nghiÖm cña b i to¸n CH1a trªn H × 3+ víi ∂v v(x, τ, 0) = 0 v (x, τ, 0) = f(x, τ) ∂t B i to¸n CH1c cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh x¸c ®Þnh theo c«ng thøc sau ®©y. t ∫ v(x, τ, t − τ)dτ u(x, t) = (7.5.1) 0 Chøng minh • Do h m f ∈ C(H, 3) nªn h m v ∈ C1(H × 3+, 3) suy ra h m u ∈ C2(H, 3) KiÓm tra trùc tiÕp . Trang 122 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  4. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k ∂v ∂v ∂u t t ∫ ∂t (x, τ, t − τ)dτ = ∫ ∂t (x, τ, t − τ)dτ ∀ (x, t) ∈ H, = v(x, t, 0) + ∂t 0 0 ∂v ∂v ∂u ∂v t t 2 2 2 ∫ ∂t (x, τ, t − τ)dτ = a2 ∫ (x, τ, t − τ)dτ + f(x, t) = (x, t, 0) + ∂t ∂x 2 ∂t 2 2 0 0 ∂u ∀ x ∈ D, u(x, 0) = 0, (x, 0) = 0 ∂t • TÝnh duy nhÊt v æn ®Þnh cña nghiÖm suy ra tõ b i to¸n CH1a. B i to¸n CH1 Cho c¸c miÒn D = 3, H = D × 3+, c¸c h m f ∈ C(H, 3) v g, h ∈ C(D, 3). T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng 2∂ u ∂2u 2 + f(x, t) víi (x, t) ∈ H0 =a ∂t 2 ∂x 2 v ®iÒu kiÖn ban ®Çu ∂u u(x, 0) = g(x), (x, 0) = h(x) ∂t • T×m nghiÖm cña b i to¸n CH1 d−íi d¹ng u(x, t) = ua(x, t) + ub(x, t) + uc(x, t) víi uα(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n CH1α. KÕt hîp c¸c c«ng thøc (7.4.3), (7.4.4) v (7.5.1) suy ra c«ng thøc sau ®©y. x + at x + at x + aτ 1 ∂  t  f (ξ, t − τ)dξ  ∫ g(ξ)dξ + ∫ h(ξ)dξ + ∫ dτ ∫ u(x, t) = (7.5.2) 2a  ∂t    x − at x − at x − aτ 0 §Þnh lý Cho c¸c h m f ∈ C(H, 3), g ∈ C2(D, 3) v h ∈ C1(D, 3). B i to¸n CH1 cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (7.5.2). ∂2u ∂2u = a2 2 + 2xe-t víi (x, t) ∈ 3 × 3+ VÝ dô Gi¶i b i to¸n ∂t 2 ∂x ∂u u(x, 0) = cosx, (x, 0) = 2x ∂t Theo c«ng thøc (7.5.2) chóng ta cã x + at x + at t x + aτ 1 ∂   cos ξdξ + ∫ 2ξdξ + ∫ ∫ 2ξe τ − t dξdτ  ∫at u(x, t) = 2a  ∂t x −    x − at 0 x − aτ = cosxcosat + 2xt(2t - 1 + e-t) NhËn xÐt B»ng c¸ch kÐo d i liªn tôc c¸c h m liªn tôc tõng khóc, c«ng thøc (7.5.2) vÉn sö dông ®−îc trong tr−êng hîp c¸c h m f, g v h cã ®¹o h m liªn tôc tõng khóc. . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 123
  5. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k §6. B i to¸n gi¶ Cauchy B i to¸n SH1a Cho c¸c miÒn D = 3+ , H = D × 3+ , c¸c h m f ∈ C(H, 3) v g, h ∈ C(D, 3). T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng ∂2u ∂2u = a2 2 + f(x, t) víi (x, t) ∈ H0 ∂t 2 ∂x ®iÒu kiÖn ban ®Çu ∂u u(x, 0) = g(x), (x, 0) = h(x) ∂t v ®iÒu kiÖn biªn u(0, t) = 0 • T− t−ëng chung ®Ó gi¶i b i to¸n SH l t×m c¸ch chuyÓn vÒ b i to¸n CH t−¬ng ®−¬ng. Gäi f1, g1 v h1 t−¬ng øng l kÐo d i cña c¸c h m f, g v h lªn to n 3, cßn v(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n Cauchy sau ®©y. ∂2v ∂2v ∂v (x, 0) = h1(x) víi (x, t) ∈ 3 × 3+ = a2 2 + f(x, t), v(x, 0) = g1(x), ∂t ∂t ∂x 2 Theo c«ng thøc (7.5.2) chóng ta cã x + aτ x + at t 1 1 1 ∫ath 1 (ξ)dξ + 2a ∫ dτx −∫aτf1 (ξ, t − τ)dξ v(x, t) = [g1(x + at) + g1(x - at)] + 2 2a x − 0 ThÕ v o ®iÒu kiÖn biªn aτ t at 1 1 1 ∫ath 1 (ξ)dξ + 2a ∫ dτ−∫aτf1(ξ, t − τ)dξ = 0 v(0, t) = [g1(at) + g1(-at)] + 2 2a − 0 Suy ra c¸c h m f1, g1 v h1 ph¶i l c¸c h m lÎ. Tøc l  g( x ) x ≥ 0 f(x, t) x ≥ 0  h(x) x ≥ 0 f1(x, t) =  - f(-x, t) x < 0 , g1(x) = - g(-x) x < 0 v h1(x) = - h(-x) x < 0    §Þnh lý Cho h m f ∈ C(H, 3), h m g ∈ C2(D, 3) v h m h ∈ C1(D, 3) tho¶ m n f(0, t) = 0, g(0) = 0 v h(0) = 0 B i to¸n SH1a cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh x¸c ®Þnh theo c«ng thøc x + at x + at x + aτ 1 ∂  t    ∂t ∫ g 1 (ξ)dξ + ∫ h 1 (ξ)dξ + ∫ dτ ∫ f 1(ξ, t − τ)dξ  (7.6.1) u(x, t) = 2a  x − at  x − at x − aτ 0 víi f1, g1 v h1 t−¬ng øng l kÐo d i lÎ cña c¸c h m f, g v h lªn to n 3. . Trang 124 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2