Giáo trình Toán kinh tế: Phần 2 - Trường ĐH Kinh doanh và Công nghệ Hà Nội

Chia sẻ: Minh Quan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:39

Thêm vào BST

Báo xấu

16
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tiếp nội dung phần 1, Giáo trình Toán kinh tế: Phần 2 cung cấp cho người học những kiến thức như: Bài toán tối ưu; phân tích động; phương pháp giải một số loại phương trình vi phân cấp một;...Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Toán kinh tế: Phần 2 - Trường ĐH Kinh doanh và Công nghệ Hà Nội

Chương 3 BÀI TOÁN TỐI ƢU 1. CỰC TRỊ HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ 1.1. Cực trị 1. Định nghĩa Hàm số y = f(x) đƣợc gọi là đạt cực đại (cực tiểu) tại a  Df nếu tồn tại một lân cận V(a) nào đó của điểm a, V(a)  Df' , sao cho f(x) < f(a) (f(x) > f(a)), x  V(a) \ a Các giá trị cực đại, cực tiểu đƣợc gọi chung là các cực trị. Cực trị của một hàm số mang tính chất địa phương, vì chỉ đƣợc xét trong một lân cận V(a). 2. Điều kiện cần Định lý Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại a thì y'(a) = 0 hoặc không tồn tại y'(a) Những điểm mà y'(a) = 0 đƣợc gọi là các điểm dừng. Các điểm dừng và các điểm mà tại đó không tồn tại đạo hàm đƣợc gọi là điểm ngờ (có cực trị). Cho nên muốn tìm các cực trị, ta chỉ cần xét trên tập hợp các điểm ngờ. 3. Điều kiện đủ a. Định lý (Điều kiện đủ thứ 1) Giả sử hàm số y = f(x) xác định và liên tục trong V(a), có đạo hàm (hữu hạn) trong V(a) (có thể trừ tại a) và a là một điểm ngờ.  Nếu f '(x) đổi dấu từ + sang - khi x chuyển qua a thì hàm số đạt cực đại tại x=a,  Nếu f '(x) đổi dấu từ - sang + khi x chuyển qua a thì hàm số đạt cực tiểu tại x=a. b. Định lý (Điều kiện đủ thứ 2) Giả sử f '(a) = f”(a) = .... = f(n-1)(a) = 0 và f(n)(a)  0 (nN và n2). Khi đó:  Nếu n là một số chẵn thì hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x=a:  Hàm số đạt cực đại tại x=a nếu f(n)(a) < 0  Hàm số đạt cực tiểu tại x=a nếu f(n)(a) < 0  Nếu n là một số lẻ thì hàm số y = f(x) không đạt cực trị tại x=a. 1.2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 1. Xét hàm số y = f(x) trên [a,b]. Nếu hàm số liên tục trên [a,b], theo Weierstrass, hàm số đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên [a,b]. Các điểm này hoặc là các điểm ngờ trong (a,b) hoặc 2 đầu mút a và b. Vì vậy để tìm giá trị lớn nhất (maxy), giá trị nhỏ nhất (miny) của hàm số trên [a,b], ta xét tập các giá trị của hàm số tại các điểm ngờ trong (a,b) và f(a), f(b). Sau đó, trên tập các giá trị vừa tìm đƣợc, ta chọn ra maxy và miny. 2. Ví dụ Tìm maxy, miny của y = x4 - 2x2 + 1 trong [-2, 2] 57
Ta tìm các điểm dừng trên (-2, 2) Cho y' = 0 hay 4x3 - 4x = 0 ta có x1 = 0, x2 = - 1, x3 = 1 và x1, x2, x3  (-2; 2) Tính: f(-2) = 9; f(2) = 9; f(1) = 0; f (-1) = 0 f(0) = 1; Vậy maxy = 9 và miny = 0 1.3. Bài toán tối ƣu Bài toán tối ƣu trong kinh tế là bài toán tìm cực đại hoặc cực tiểu các hàm kinh tế. Các hàm này đƣợc gọi là hàm mục tiêu. Chẳng hạn cần tìm cực tiểu của hàm chi phí C, tìm cực đại của hàm lợi nhuận  ,... 1. Cực tiểu giá thành Xét hàm C = C(Q) là hàm tổng chi phí để sản xuất ra Q đơn vị sản phẩm. C(Q) Khi đó hàm giá thành P(Q) = AC(Q) = . Cần tìm mức sản xuất Q thích hợp, để hàm Q giá thành đạt cƣc tiểu. Muốn tìm điểm dừng Qo , ta giải phƣơng trình 1 C(Q) P'(Q) = 2 [C'(Q).Q - C(Q)] = 0  C '(Q) =  MC(Q) = P(Q) (*) Q Q Nhƣ vậy nghiệm Q0 của (*) là hoành độ giao điểm hai đƣờng MC(Q) và P(Q). Sử dụng điều kiện đủ để xét giá trị Qo có phải là điểm làm cho P đạt cực tiểu hay không. 2. Cực đại lợi nhuận Hàm lợi nhuận đƣợc tính là hiệu giữa hàm tổng doanh thu R và hàm tổng chi phí C:   R C Trên thị trƣờng cạnh tranh R = p.Q và C = C(Q) (p là giá bán một đơn vị sản phẩm, Q là số lƣợng sản xuất và bán đƣợc trên thị trƣờng). Ta có  = p.Q - C(Q) Khi đó cần tìm mức sản xuất Q để hàm  đạt cực đại. Chú thích  Điểm Q mà tại đó hàm  = 0 đƣợc gọi là điểm hòa vốn.  Nếu  >0 thì sản xuất có lãi, nếu  0) Khi đó hàm chi phí cận biên MC(Q) = C ' = 3Q2 - 24Q + 60 C Hàm giá thành P(Q) = AC(Q) =  Q2  12Q  60 Q P’= 2Q - 12 P’= 0  2Q - 12 = 0  Q = 6 P"= 2, P”(6) > 0. Vậy tại Q = 6 thì P đạt cực tiểu và P(6) = 62-12.6+60 = 24. Ta có: MC(6) = 3.62 -24.6 + 60 = 24 58
Điểm A(6, 24) (điểm cực tiểu của P(Q)) là giao điểm hai đồ thị hàm P(Q) và hàm MC(Q), hay đồ thị MC(Q) đi qua điểm cực tiểu của P(Q). 2. CỰC TRỊ HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC VÀ BÀI TOÁN TỐI ĐA LỢI NHUẬN 2.1. Khái niệm cực trị và điều kiện cần Giả sử hàm số w = f(x1, x2,... ,xn) xác định, liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục theo tất cả các biến độc lập trong miền D = { M(x1, x2,... ,xn): ai < xi < bi, i = 1, 2,... , n 1. Định nghĩa Ta nói rằng hàm số w = f (x1, x2,..., xn) đạt giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) tại điểm M  x1 , x 2 ,..., x n   D nếu tồn tại số  >0 đủ nhỏ sao cho bất đẳng thức f(x1, x2,... ,xn) < f( x1 , x 2 ,..., x n ) ( f(x1, x2,... ,xn) > f( x1 , x 2 ,..., x n ) ) đƣợc thỏa mãn tại mọi điểm M(x1, x2,... ,xn)  M  x1 , x 2 ,..., x n  của miền D có khoảng cách d(M, M ) <  . 2. Định lý Điều kiện cần để hàm số w = f(x1, x2,... ,xn) đạt cực trị (cực đại hoặc cực tiểu) tại điểm M(x1 , x 2 ,..., x n )  D là tại điểm đó tất cả các đạo hàm riêng cấp 1 triệt tiêu:  w 'xi  fi  x1 , x 2 ,..., x n   0  (1) i  1, 2,..., n Điểm M thỏa mãn điều kiện (1) đƣợc gọi là điểm dừng của hàm số. 2.2. Điều kiện đủ 1. Trƣờng hợp hàm số 2 biến số a. Giả sử Mo(xo,yo) là một điểm dừng của hàm số w = f(x, y) và tại điểm đó hàm số có tất cả các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục. Xét định thức: 59
a11 a12 D=  a11a 22  a12a 21 a 21 a 22 trong đó a11  f xx" (x o , yo ), a12  f xy" (x o , y o ), a 21  f yx" (x o , y o ), a 22  f yy" (x o , y o ) Định lý  Nếu D > 0 và a11 > 0 thì hàm số w = f(x, y) đạt giá trị cực tiểu tại điểm Mo(xo, yo),  Nếu D > 0 và a11 < 0 thì hàm số w = f(x, y) đạt giá trị cực đại tại điểm Mo(xo, yo),  Nếu D < 0 thì hàm số không đạt cực trị tại điểm Mo(xo, yo). Chú ý 2 Với các giả thiết nêu trên, ta luôn có a12 = a21. Do đó, khi D = a11 a22 - a12 > 0 thì a11.a22 > 0. Vậy a11 và a22 có dấu nhƣ nhau. b. Ví dụ Ví dụ Tìm cực trị của hàm số w = 8x3 + 2xy - 3x2 + y2 Trƣớc hết ta tính các đạo hàm riêng cấp 1 và cấp 2: w 'x  24x 2  2y  6x, w 'y  2x  2y w "xx  48x  6, w "xy  w "yx  2, w "yy  2 Các điểm dừng của hàm số đƣợc xác định từ hệ phƣơng trình:  w 'x  0 12x 2  y  3x  0  '    w y  0 x  y  0 1 1 Hệ phƣơng trình này có 2 nghiệm (x=0, y=0) và (x= , y   ) . Theo định lý về điều kiện 3 3 cần, hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm này. Ta sử dụng định lý về điều kiện đủ để kiểm tra lần lƣợt từng điểm. Với x = 0 và y = 0 ta có: a11 =- 6, a12 = a21 = 2, a22 = 2, D = (-6) 2-22 =-16 < 0 Vậy tại điểm này hàm số không có cực trị. 1 1 Tại điểm (x = , y   ) ta có a11 = 10 > 0, a12 = a21 = 2, a22 = 2, D = 20 - 4 > 0 3 3 1 1 Vậy, theo định lý về điều kiện đủ, hàm số đạt cực tiểu tại điểm ( ,  ) . 3 3 60
1 1 4 Dễ dàng tính đƣợc wmin = w  ,     3 3 27 2. Trƣờng hợp hàm số n biến số a. Giả sử M  x 1, x 2 ,..., x n  là một điểm dừng của hàm số w = f(x1, x2,... , xn) và tại điểm đó hàm số có tất cả các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục. Lập ma trận H vuông cấp n với các phần tử là các đạo hàm riêng cấp hai của w tại điểm dừng M (Ma trận H có tên gọi là ma trận Hess hay Hessian)  a11 a12 ... a1n     a 21 a 22 ... a 2n  H=  ...................     a n1 a n 2 ... a nn  trong đó 2w aij = (x1 , x 2 ,..., x n )  f ij (x1 , x 2 ,..., x n ) x i x j Với mỗi k = 1, 2,... , n ta gọi Hk là định thức con tạo thành từ k dòng đầu và k cột đầu của ma trận H: a11 a 12 ... a1k a 21 a 22 ... a 2k Hk = ................... a k1 a k 2 ... a kk Các định thức H1, H2,., Hn đƣợc gọi là các định thức con chính của ma trận H (Hn = |H| ). Định lý  Nếu Hk > 0 với mọi k = 1, 2,... , n thì hàm số w = f(x1, x2,... , xn) đạt giá trị cực tiểu tại điểm M  x1 , x 2 ,..., x n  .  Nếu (-1)k Hk > 0 với mọi k = 1, 2,... , n thì hàm số w = f(x1, x2,... ,xn) đạt giá trị cực đại tại điểm M  x1 , x 2 ,..., x n  b. Ví dụ y2 z 2 2 Tìm cực trị của hàm số w x    x  0, y  0, z  0  4x y z Tính các đạo hàm riêng cấp một và cấp hai: y2 y z2 2z 2 w  1 2 , wy  ' x '  2 , w 'z   , 4x 2x y y z2 y2 1 2z 2 2 4 w " xx  3 , w yy  "  3 , w "zz   3 , 2x 2x y y z 61
y 2z w"xy  w"yx   2 , w "xz  w "zx  0, w "yz  w "zy   2 . 2x y Giải hệ phƣơng trình w x  w y  w z = 0 với x > 0, y > 0, z > 0 ' ' ' 1 Ta đƣợc một nghiệm: x = , y = 1, z = 1. 2 Thay các giá trị này vào các đạo hàm riêng cấp 2 ta có: a11 = 4, a22 = 3, a33 = 6, a12 = a21 = - 2, a13 = a31 = 0, a23 = a32 = -2  4 2 0    H =  2 3 2   0 2 6    Các định thức con chính: 4 2 0 4 2 H1 = 4 > 0, H2 =  8  0, H3  2 3 2  32  0 2 3 0 2 6 1 Vậy hàm số đạt giá trị cực tiểu khi x = , y = 1, z =1 và 2 1  wmin = w  ,1, 1  4 2  2.3. Bài toán tối đa lợi nhuận Bài toán: Tìm giá trị tối đa của hàm lợi nhuận:  = f(x1, x2,... ,xn) Các biến độc lập x1, x2,... ,xn đƣợc gọi là các biến chọn, tức là ta phải lựa chọn các giá trị thích hợp của chúng để mục tiêu đặt ra đƣợc thực hiện một cách tốt nhất. 1. Trƣờng hợp một hãng cạnh tranh thuần túy sản xuất một loại sản phẩm Mục tiêu của hãng là thu lợi thuận tối đa trên cơ sở áp dụng hợp lý của yếu tố đầu vào là lao động và vốn (với giả thiết các yếu tố khác giữ nguyên). Vì là hãng cạnh tranh thuần túy nên hãng phải chấp nhận giá thị trƣờng, kể cả giá đầu vào và giá đầu ra. Gọi p là giá thị trƣờng của loại sản phẩm do hãng sản xuất, w L và wK là giá thuê một đơn vị lao động và giá thuê một đơn vị vốn. Nếu Q = f(L, K) là hàm sản xuất của hãng thì hàm lợi thuận có dạng:  = p.f(L, K) - (wLL + wKK). trong đó p.Q = p.f(K, L) là tổng doanh thu và wLL + wKK là tổng chi phí. Điều kiện cần của cực trị trong trƣờng hợp này là: 62
 f  f p  w L  0 và p  wK  0 L L K K hay f p  w L và (2) L Điều kiện (2) có nghĩa là điều kiện cần để thu lợi nhuận tối đa là hãng phải sử dụng các yếu tố đầu vào ở mức mà giá trị bằng tiền của sản phẩm cận biên của lao động bằng giá thuê một đơn vị lao động và giá trị bằng tiền của sản phẩm cận biên của vốn bằng giá thuê một đơn vị vốn. Điều kiện đủ của cực đại trong trƣờng hợp này là: 2  2f  2  2f  p  0,  p 0 L2 L2 K 2 K 2 2 2   2  2  2   2f  2  2  f  f 2 và .    p  .   0 L2 K 2  LK   L K 2 2  LK   Do p > 0 nên điều kiện này tƣơng đƣơng với điều kiện. QLL < 0, QKK < 0 (3) và QLL QKK - 2 Q LK 0 (4) trong đó ta dùng các ký hiệu  2f  2f  2f  2f QLL  2 , Q KK  , QLK    QKL L K 2 LK KL (với giả thiết hàm sản xuất có các đạo hàm cấp 2 liên tục). Chú ý Điều kiện (3) biểu hiện quy luật lợi suất thu đƣợc giảm dần. Tuy nhiên, chỉ riêng lợi suất thu đƣợc giảm dần chƣa đảm bảo lợi nhuận tối đa, mà phải tính đến điều kiện (4) nữa. Hàm lợi nhuận không đạt giá trị cực đại tại điểm thỏa mãn điều kiện cần nếu giá trị tuyệt đối của QLK lớn hơn so với giá trị tuyệt đối của QLL và QKK (khi đó QLL QKK - Q LK  0) . Điều này có nghĩa 2 là, mặc dù lợi suất thu đƣợc giảm dần tại điểm dừng, lợi nhuận tối đa vẫn chƣa đạt đƣợc nếu sự thay đổi của yếu tố đầu vào này lại ảnh hƣởng mạnh hơn tới sản phẩm cận biên của yếu tố đầu kia so với ảnh hƣởng đối với sản phẩm cận biên của chính yếu tố đầu vào đó. 2. Trƣờng hợp một hãng cạnh tranh thuần túy sản xuất 2 loại sản phẩm a. Giả sử tổng chi phí đựơc tính theo số lƣợng sản phẩm đƣợc sản xuất: C = C(Q1 , Q2) trong đó Q1 là số lƣợng sản phẩm thứ nhất và Q2 là số lƣợng sản phẩm thứ hai. Do tính chất cạnh tranh, hãng phải chấp nhận giá thị trƣờng của các sản phẩm đó. Với p 1, p2 là giá thị trƣờng của 2 loại sản phẩm do hãng sản xuất, hàm tổng lợi nhuận có dạng:  = p1Q1 + p2Q2 - C(Q1, Q2) Bài toán đặt ra trong trƣờng hợp này là chọn một cơ cấu sản xuất (Q1 , Q 2 ) để hàm tổng lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất. 63
b. Ví dụ Giả sử hàm tổng chi phí của hãng là C = 6Q 1 3Q 2  4Q1Q 2 và giá sản phẩm là 2 2 p1= 60, p2 = 34. Tìm mức sản xuất Q1 và Q2 để hãng thu đƣợc lợi nhuận lớn nhất. Giải Hàm tổng lợi nhuận của hãng sẽ là  = 60Q1 + 34Q2 - 6Q 12 3Q22  4Q1Q2 . Điều kiện cần:    Q  60  12Q1  4Q 2  0 Q1  4  1       Q 2  3   34  4Q1  6Q 2  0    2Q Ta lại có: 2  2  2 11   12,    6, 12   4 Q12 Q22  Q1Q2 22 Điều kiện đủ 1122  12  0, 11  0 đƣợc thỏa mãn với mọi Q1 và Q2 , do đó lợi nhuận sẽ 2 lớn nhất nếu hãng sản xuất 4 đơn vị sản phẩm thứ nhất và 3 đơn vị sản phẩm thứ hai. 3. Trƣờng hợp một hãng độc quyền sản xuất 2 loại sản phẩm a. Giả sử hàm tổng chi phí của hãng là C = C(Q1, Q2) Vì hãng độc quyền nên có thể lựa chọn giá p1, p2 cho các sản phẩm của mình và giả sử lƣợng cầu của sản phẩm này không những phụ thuộc vào giá của sản phẩm đó mà còn phụ thuộc vào giá của sản phẩm khác, tức là Q1 = f(p1, p2), Q2 = g(p1, p2). Từ hệ trên rút ra p1 = D1(Q1, Q2) và p2 = D2(Q1, Q2). Hàm tổng lợi nhuận là  = p1Q1 + p2Q2 - C(Q1, Q2) = D1(Q1, Q2).Q1 + D2(Q1, Q2). Q2 - C(Q1, Q2) Hãng cần chọn giá bán (p1 , p 2 ) để hàm tổng lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất. Trƣớc hết cần xác định đƣợc mức sản xuất (Q1 , Q 2 ) để  đạt tối đa, sau đó tìm đƣợc (p1 , p 2 ) b. Ví dụ Giả sử hàm tổng chi phí của hãng là C  Q1  5Q1Q 2  Q 2 và hàm cầu của các loại hàng hóa 2 2 1 1 đó là Q1 = 14 - p1 ; Q2 = 24 - p 2 4 2 Giải: Trong ví dụ này lƣợng cầu của mỗi loại sản phẩm chỉ phụ thuộc vào giá của loại sản phẩm đó, có nghĩa là loại hàng hóa do hãng độc quyền sản xuất không có quan hệ với nhau. 64
Đảo ngƣợc các hàm cầu đã cho, ta có: p1 = 56 - 4Q1, p2 = 48 - 2Q2 Do đó hàm tổng lợi nhuận sẽ là:   p1Q1  p 2Q 2  Q12  5Q1Q 2  Q 22  (56  4Q1 )Q1  (48  2Q2 )Q 2  Q12  5Q1Q 2  Q 22 = 56Q1 + 48Q2 - 5 Q1  3Q 2  5Q1Q 2 2 2 Bài toán đặt ra ở đây là lựa chọn p1, p2 để hàm tổng lợi nhuận  đạt cực đại. Giải bài toán cực trị ta xác định đƣợc mức sản xuất để đạt lợi nhuận tối đa là 96 40 Q1  , Q2  , 35 7 từ đó xác định giá bán ̅̅̅ ̅̅̅ ; ̅̅̅ ̅̅̅ 3. CỰC TRỊ HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ CÓ ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC Ta đã xét bài toán cực trị của hàm số w = f(x1, x2,... ,xn) với các biến chọn x1, x2,... xn độc lập với nhau, tức là giá trị của biến số này không ảnh hƣởng đến các biến số khác. Trên thực tế, nhiều khi ta phải lựa chọn phƣơng án tối ƣu trong bối cảnh các biến chọn chi phối lẫn nhau bởi những điều kiện ràng buộc nhất định. 3.1. Cực trị có điều kiện với hai biến chọn và một phƣơng trình ràng buộc 1. Bài toán Tìm cực trị của hàm số w = f(x, y) (1) với điều kiện g(x, y) = b (2) Điều kiện (2) còn đƣợc gọi là ràng buộc. Với sự có mặt của phƣơng trình ràng buộc (2), miền biến thiên của cặp biến chọn (x, y) bị thu hẹp. 2. Phƣơng pháp trực tiếp a. Nếu từ (2) ta biểu diễn được y dưới dạng y=  (x) thì bài toán cực trị có điều kiện (1)-(2) quy về bài toán cực trị tự do của hàm số một biến số x: w = f  x, (x)   F(x) Phƣơng pháp vừa nêu đƣợc gọi là phương pháp trực tiếp. b. Ví dụ Tìm cực trị của hàm số: w = xy + 2x (3) với điều kiện 8x + 4y = 120 (4) Từ hệ thức (4), ta rút ra y = 30 - 2x. Do đó có thể loại bớt biến số y và biểu diễn hàm mục tiêu (3) dƣới dạng hàm số một biến số x: w = x(30-2x) + 2x = 32x - 2x2 (5) 65
Dễ dàng thấy rằng hàm số (5) đạt giá trị cực đại khi x = 8, khi đó y = 30 - 16 = 14. Vậy hàm số (3), với điều kiện (4) đạt giá trị cực đại khi x = 8, y = 14. 3. Phƣơng pháp nhân tử Lagrange. a. Trong phƣơng pháp trực tiếp nêu trên, ta xem một trong hai biến chọn là biến độc lập và biến kia phụ thuộc vào nó. Hơn nữa, khi ràng buộc (2) phức tạp thì việc áp dụng phƣơng pháp thế để loại bớt biến phụ thuộc sẽ gặp khó khăn. Lagrange đề ra một phƣơng pháp (Phương pháp nhân tử Lagrange) cho phép đƣa bài toán cực trị có điều kiện về bài toán cực trị tự do mà vẫn giữ vai trò bình đẳng của các biến chọn. b. Xuất phát từ hàm mục tiêu (1) và điều kiện (2) ta lập hàm số, gọi là hàm Lagrange: L = L(λ, x, y) = f(x,y) + λ[b - g(x, y)] (6) Hàm số (6) có thêm một biến chọn  , gọi là nhân tử Lagrange. Chú ý rằng với tất cả các điểm M(x, y) thỏa mãn điều kiện (2), hàm mục tiêu w đồng nhất với hàm số L. Có thể chứng minh đƣợc rằng: Nếu hàm số (1) với điều kiện (2) đạt cực trị tại điểm (x0, y0) thì tồn tại số λ0 sao cho bộ ba số thực  = λ0, x = x0, y = y0 thỏa mãn hệ phƣơng trình: L    b  g  x, y   0   L f g    0 (7)  x x x  L f g  y  y   y  0  Nhƣ vậy, điều kiện cần để hàm số (1) với điều kiện (2) đạt cực trị quy về điều kiện cần để hàm số Lagrange (6) đạt cực trị không điều kiện. Điều lý thú là phƣơng trình đầu của hệ điều kiện (7) chính là điều kiện ràng buộc của bài toán cực trị có điều kiện. c. Ví dụ Trở lại bài toán tìm cực trị của hàm số (3) với điều kiện (4). Hàm số Lagrange trong trƣờng hợp này là L = xy + 2x + λ(120 - 8x - 4y) Để tìm điều kiện cần, ta giải hệ phƣơng trình. L    120  8x  4y  0   L   y  2  8  0  x  L  y  x  4  0  Hệ phƣơng trình này cho một nghiệm duy nhất: λ = 2, x = 8, y = 14 Vậy hàm số (3) với điều kiện (4) chỉ có thể đạt cực trị tại điểm (x = 8, y = 14). 66
Để có đƣợc kết luận cuối cùng về cực trị ta phải dùng điều kiện đủ để kiểm tra. 4. Điều kiện đủ a. Giả sử (λ0, x0, y0) là một điểm dừng của hàm số Lagrange, tức là một nghiệm của hệ phƣơng trình (7). Xét ma trận H vuông cấp 3 sau: 0 g1 g2    H   g1 L11 L12   g2 L 21 L 22   trong đó g g g1  (x 0 , y0 ), g2  (x 0 , y 0 ) x y 2L 2L 2L  2L L11  (  , x , y ), L  (  , x , y )  (  , x , y )  L , L  (0 , x 0 , y 0 ) x 2 xy yx y 2 0 0 0 12 0 0 0 0 0 0 21 22 Định lý Nếu định thức H > 0 ( H < 0) thì hàm số w = f(x,y) với điều kiện g(x,y) = b đạt giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) tại điểm (xo, yo). b. Ví dụ Trở lại bài toán tìm cực trị của hàm số w = xy + 2x với điều kiện 8x + 4y = 120 Nhƣ đã nêu ở trên, hàm số Lagrange L = xy + 2x +  (120 - 8x - 4y) có một điểm dừng duy nhất (  = 2, x=8, y=14) Tại điểm dừng trên, ta có g g g1  (8,14)  8, (8,14)  4 x y 2L 2L L11  (2,8,14)  0, L12  (2,8,14)  1, x 2 xy 2L 2L L21  (2,8,14)  1, L22  (2,8,14)  0; yx y 2 0 8 4 H  8 0 1  64  0 4 1 0 Vậy hàm số đã cho đạt cực đại có điều kiện khi x = 8, y = 14 67
3.2. Cực trị có điều kiện với n biến chọn và một phƣơng trình ràng buộc 1. Bài toán: Tìm cực trị của hàm số w = f(x1, x2,... ,xn) (8) với ràng buộc g(x1, x2,... , xn) = b (9) Các nội dung đã trình bày về bài toán cực trị có điều kiện trong trƣờng hợp 2 biến chọn đƣợc phát triển tƣơng tự cho trƣờng hợp n biến chọn nhƣ sau: 2. Hàm số Lagrange: L = L(, x1 , x 2 ,..., x n )  f (x1 , x 2 ,..., x n )   b  g(x 1, x 2 ,..., x n )  3. Điều kiện cần Điểm (x1 , x 2 ,..., x n ) mà tại đó hàm số (8) có khả năng đạt cực trị với điều kiện (9) đƣợc tìm cùng với một giá trị    của nhân tử Lagrange từ hệ phƣơng trình  L   b  g(x1 , x 2 ,..., x n )  0    L f g  (10)   0  x i x i  x i i  1, 2,..., n tức là (, x1 , x 2 ,..., x n ) là điểm dừng của hàm số Lagrange. Chú ý rằng phƣơng trình đầu của hệ phƣơng trình (10) chính là điều kiện ràng buộc (9) của bài toán. 4. Điều kiện đủ. Tại những điểm thỏa mãn điều kiện cần, ta lập ma trận H vuông cấp (n+1) 0 g1 g2 ... gn     g1 L11 L12 ... L1n  H   g2 L 21 L 22 ... L 2n     ... ... ... ... ...  g L nn   n L n1 L n 2 ... trong đó g gk  (x1 , x 2 ,..., x n )  k  1, 2,..., n  x k 2L Li j  (, x1 , x 2 ,..., x n ) i, j  1, 2,..., n  x i x j Tính các định thức con chính H2, H3,... ,Hn của ma trận H : 68
0 g1 g2 ... gk g1 L11 L12 ... L1k Hk  g2 L 21 L 22 ... L 2n (k = 2, 3,... , n). ... ... ... ... ... gk L k1 L k 2 ... L kk Hk là định thức con chính cấp (k+1), có phần tử cuối trên đƣờng chéo chính là Lkk và Hn là H . Định lý  Nếu Hk < 0 với mọi k = 2, 3,... , n thì hàm số (8) với điều kiện (9) đạt giá trị cực tiểu tại điểm (x1 , x 2 ,..., x n ) .  Nếu H2 > 0, H3 < 0,... , (-1)n Hn > 0, tức là (-1)k Hk > 0 với mọi k = 2, 3,... , n thì hàm số (8) với điều kiện (9) đạt giá trị cực đại tại điểm (x1 , x 2 ,..., x n ) . 5. Ví dụ Tìm cực trị của hàm số w = x + y + z với điều kiện xyz = 8 Hàm số Lagrange trong trƣờng hợp này là L = x + y + z +  (8 - xyz) Để tìm các điểm thỏa mãn điều kiện cần, ta giải hệ phƣơng trình:  L    8  xyz  0   L  1  yz  0  x  L   1  xz  0  y   L  1  xy  0  z 1 Hệ phƣơng trình này có 1 nghiệm duy nhất:   , x  y  z  2. 4 Để kiểm tra điều kiện đủ ta tính các đạo hàm riêng cấp 1 của hàm số g(x, y, z) = xyz và các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số Lagrange: gx= yz, gy= xz, gz= xy; Lxx = Lyy = Lzz = 0, Lxy = Lyx = -  z, Lxz = Lzx = -  y, Lyz = Lzy = -  x 1 Tại điểm dừng   , x  y  z  2 , ta có: 4 g1 = g2 = g3 = 4, L11 = L22 = L33 = 0, L12 = L21 = L13 = L31 = L23 = L32 = -1/2 và 69
0 4 4 4    4 0 1/ 2 1/ 2  H  4 1/ 2 0 1/ 2     4 1/ 2 1/ 2 0  Khi đó: 0 4 4 H2  4 0 1/ 2  16  0, H 3  H  12  0. 4 1/ 2 0 Theo định lý về điều kiện đủ, hàm số đạt giá trị cực tiểu tại điểm (x = 2, y = 2, z = 2) và w min  6 3.3. Ý nghĩa của nhân tử Lagrange Trong mô hình bài toán cực trị có điều kiện (8)-(9), ta phân biệt vai trò của các biến số x1, x2,... , xn, w với tham số b. Các biến chọn x1, x2,... , xn và biến mục tiêu w đƣợc gọi là các biến nội sinh, do bản thân mô hình quyết định thông qua phƣơng pháp nhân tử Lagrange. Khác với các biến nội sinh, giá trị của tham số b đƣợc cho trƣớc, không do mô hình quyết định. Ngƣời ta gọi b là biến ngoại sinh của mô hình. Sự thay đổi giá trị của b đặc trƣng cho sự thay đổi của ngoại cảnh, làm nới rộng hoặc thu hẹp ràng buộc, dẫn đến sự thay đổi lời giải tối ƣu của bài toán. Nói cách khác, phƣơng án chọn tối ƣu ( x1 , x 2 ,..., x n ) của bài toán và giá trị tối ƣu w của hàm mục tiêu phụ thuộc vào b: x1  x1 (b), x 2  x 2 (b), ..., x n  x n (b); w  f (x1 , x 2 ,..., x n )  w(b) Theo phƣơng pháp nhân tử Lagrange, phƣơng án chọn tối ƣu nói trên đƣợc xác định cùng với một giá trị của nhân tử Lagrange     b  và L  L(, x1 ,...x n )  f (x1 ,...x n )  w  b  Với giả thiết các hàm số f và g thỏa mãn một số điều kiện nhất định có thể chứng minh đƣợc rằng: dw dL   . db db Nhƣ vậy,  chính là giá trị w - cận biên của b, tức là khi b tăng một đơn vị thì giá trị tối ưu w của hàm mục tiêu xê dịch một lượng bằng xấp xỉ |  | (tăng khi  >0, giảm khi 
4. BÀI TOÁN TỐI ƢU VỚI ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC 4.1. Cực đại lợi ích tiêu dùng 1. Bài toán: Cực đại hàm lợi ích U = U(x1, x2) với điều kiện p1x1 + p2x2 = m trong đó p1, p2 là giá thị trƣờng của hai mặt hàng trong cơ cấu mua sắm (x1, x2); m là lƣợng tiền trích từ thu nhập dành cho việc mua sắm. Hàm Lagrange: L = L(λ, x1, x2) = U(x1, x2) + λ [m – (p1x1 + p2x2 )] Phƣơng pháp nhân tử Lagrange cho phép xác định một cơ cấu hàng hóa (x1, x2) làm cho ngƣời tiêu dùng thỏa mãn nhất trong phạm vi túi tiền của mình (ràng buộc về ngân sách). Nhân tử  phản ánh ảnh hƣởng của thu nhập đối với lợi ích tối đa U của ngƣời tiêu dùng. Với đặc trƣng của hàm U(x1, x2), giá trị tìm đƣợc cho  sẽ dƣơng, vậy khi có thêm 1 đồng thu nhập, lợi ích tối đa của ngƣời tiêu dùng sẽ tăng thêm khoảng  đơn vị. 2. Ví dụ Giả sử sở thích của ngƣời tiêu dùng đƣợc phản ánh thông qua hàm lợi ích U = 4 x1 x 2 Giá của 2 mặt hàng tƣơng ứng là p1 = 20, p2 = 5 (ngàn đồng) và thu nhập dành cho tiêu dùng là 600 ngàn đồng. Hãy xác định cơ cấu mua sắm tối đa hóa lợi ích. Giải: Ràng buộc về ngân sách sẽ là: 20x1 + 5x2 = 600 Hàm số Lagrange: L  4 x1x 2    600  20x1  5x 2  Điều kiện cần: Giải hệ  L x   2 2  20  0  x1 x1   L x   2 1  5  0  x 2 x2  L   600  20x1  5x 2  0   ta tìm đƣợc x1  15, x 2  60,   0, 2. Điều kiện đủ cũng đƣợc thỏa mãn khi x1 = 15, x2 = 60: 71
0 20 5 0 20 5 x2 1 2 1 40 H  20   20   0 x13 x1 x 2 15 30 3 1 1 1 x1 5  5  3 20 x1 x 2 x 32 Nhƣ vậy, trong khuôn khổ ràng buộc về ngân sách, giỏ hàng mà ngƣời tiêu dùng ƣa chuộng nhất là  x1  15, x 2  60  . Nhân tử Lagrange  = 0,2 chứng tỏ khi có thêm 1 ngàn đồng thu nhập (tức là khi m tăng từ mức 600 lên 601) thì lợi ích tối đa của ngƣời tiêu dùng sẽ tăng thêm khoảng 0,2. 4.2. Tối thiểu chi tiêu 1. Bài toán: Giả sử ngƣời tiêu dùng với hàm lợi ích U = U(x1, x2) phải mua sắm hàng hóa với giá cả (p1, p2) cho một đơn vị hàng hóa tƣơng ứng. Nếu ngƣời tiêu dùng đó muốn chọn giỏ hàng  x1 , x 2  ít tốn kém nhất mà vẫn giữ đƣợc mức độ lợi ích U = Uo cố định thì bài toán đƣợc đặt ra nhƣ sau: Cực tiểu hàm số m = p1x1 + p2x2 với điều kiện U(x1, x2) = U o 2. Ví dụ Cho biết U  x1 x 2 , p1  5, p 2  3, U o  120,850,2 , hãy xác định cơ cấu mua sắm với 0,8 0,2 chi phí ít nhất. Bài toán đặt ra là: Cực tiểu hóa hàm số m = 5x1+3x2 với điều kiện x10,8 x 00,2  120,850,2 Giải bài toán này theo phƣơng pháp nhân tử Lagrange ta tìm đƣợc: x1  12, x 2  5 4.3. Sản xuất với sản lƣợng tối đa. 1. Bài toán: Một hãng cạnh tranh sản xuất một loại sản phẩm với hàm sản xuất: Q = f(L, K) 72
Giả sử hãng tiến hành sản xuất với một ngân sách b cố định chi cho việc mua các yếu tố sản xuất K và L. Trong trƣờng hợp này mục tiêu tối đa hóa lợi nhuận đồng nhất với mục tiêu tối đa hóa sản lƣợng. Bài toán đƣợc đặt ra nhƣ sau: Cực đại các hàm số: Q = f(L, K) với điều kiện wLL + wKK = b trong đó wL là giá thuê một đơn vị lao động và wK là giá thuê một đơn vị vốn. 2. Ví dụ Với Q = L0,6K0,25, wL = 8, wK = 5 và b = 680 hãng phải lựa chọn một tổ hợp yếu tố sản xuất (L, K) để đạt mức sản xuất lớn nhất trong điều kiện ngân sách có hạn, tức là Cực đại hóa hàm số Q = f(L, K) = L0,6K0,25 với điều kiện 8L + 5K = 680 Giải bài toán này theo phƣơng pháp nhân tử Lagrange ta tìm đƣợc: L  60, K  40 4.4. Sản xuất với chi phí tối thiểu. 1. Bài toán: Xét trƣờng hợp hãng cạnh tranh với hàm sản xuất Q = f(L, K) Giả sử hãng lập kế hoạch sản xuất một lƣợng sản xuất cố định Qo. Khi đó mục tiêu tối đa hóa lợi nhuận đồng nhất với mục tiêu tối thiểu hóa chi phí sản xuất, tức là: Cực tiểu hóa hàm số C = wLL + wKK với điều kiện f(L, K) = Qo. 2. Ví dụ Với Q = 25L0,5K0,5, wL = 3, wK = 12 và Qo = 1250, bài toán đặt ra là: Cực tiểu hóa hàm số C = 3L + 12K với điều kiện 25L0,5K0,5 = 1250 Giải bài toán này ta tìm đƣợc phƣơng án sử dụng các yếu tố sản xuất vớii chi phí tối thiểu là L  100, K  25 4.5. Hãng độc quyền sản xuất một loại sản phẩm nhƣng tiêu thụ hàng hóa đó ở hai thị trƣờng riêng biệt 1. Bài toán: Với loại sản phẩm của hãng độc quyền, giả sử hàm cầu trên hai thị trƣờng là 73
Q1 = D1(p1), Q2 = D2(p2) và hàm tổng chi phí là C = C(Q1, Q2). -1 -1 Từ hai hàm cầu, rút ra p1 = D1 (Q1) và p2 = D 2 (Q2). Khi đó hàm lợi nhuận sẽ là  = p1Q1 + p2Q2 - C(Q1, Q2) = D1-1 (Q1).Q1 + D-12 (Q2).Q2 - C(Q1, Q2) Hãy xác định lƣợng hàng hóa bán ra Q1, Q2 và giá bán p1, p2 để hãng thu lợi nhuận lớn nhất trong hai trƣờng hợp:  phân biệt giá bán;  không phân biệt giá bán ở hai thị trƣờng. Khi phân biệt giá bán ở hai thị trƣờng, ta có bài toán cực trị không có điều kiện ràng buộc của hàm hai biến  =  (Q1, Q2). Khi không phân biệt giá bán ở hai thị trƣờng, ta có bài toán cực trị của hàm hai biến  =  (Q1, Q2) với ràng buộc p 1 = p2 hay D1-1 (Q1) = D-12 (Q2). 2. Ví dụ Giả sử hàm cầu trên hai thị trƣờng nhƣ sau:  thị trƣờng 1: Q1 = 21 - 0,1p1,  thị trƣờng 2: Q2 = 50 - 0,4p2 và hàm chi phí của hãng là C = 2000 + 100Q, trong đó Q = Q1 + Q2. Hãy xác định lƣợng hàng hóa bán ra Q1, Q2 và giá bán p1, p2 để hãng thu lợi nhuận lớn nhất trong hai trƣờng hợp:  phân biệt giá bán;  không phân biệt giá bán ở hai thị trƣờng. Để giải bài toán đặt ra, trƣớc hết ta đảo ngƣợc các hàm cầu: p1 = 210 - 10Q1, p2 = 125 - 2,5Q2 Trong cả hai trƣờng hợp, tổng doanh thu trên cả hai thị trƣờng là R = p1Q1 + p1Q2 = (210-10Q1) Q1 + (125- 2,5Q2) Q2 Tổng lợi nhuận thu đƣợc là:   R  C  (210  10Q1 )Q1  (125  2,5Q 2 )Q 2  2000  10(Q1  Q 2 )  = 200Q1 + 115Q2 - 10Q 1 2,5Q 2  2000 2 2 Bài toán đặt ra là lựa chọn Q1, Q2 để hàm tổng lợi nhuận  đạt giá trị lớn nhất, nhƣng có sự khác nhau giữa trƣờng hợp phân biệt giá và trƣờng hợp giá bán ở hai thị trƣờng nhƣ nhau. * Trong trƣờng hợp phân biệt giá bán, các biến chọn Q1, Q2 độc lập với nhau, tức là không có điều kiện ràng buộc. Điều kiện cần của cực trị là:   1   200  20Q1  0, 2   115  5Q2  0 Q1 Q2 74
Từ đây ta xác định đƣợc Q1  10, Q 2  23 . Dễ dàng thấy rằng điều kiện đủ của cực đại đƣợc thỏa mãn với mọi Q1, Q2, do đó hãng thu đƣợc lợi nhuận tối đa khi bán 10 sản phẩm ở thị trƣờng thứ nhất và 23 sản phẩm ở thị trƣờng thứ hai. Giá bán tƣơng ứng là: p1  210  10Q1  110, p2  125  2,5Q 2  67,5 Tổng lợi nhuận thu đƣợc là:   322,5 * Trong trƣờng hợp không phân biệt giá bán, ta phải giải bài toán cực đại hóa hàm tổng lợi nhuận  với điều kiện ràng buộc: p1 = p2  210 - 10Q1 = 125 - 2,5Q2  10Q1 - 2,5Q2 = 85 Hàm số Lagrange trong trƣờng hợp này là: L  200Q1  115Q2  10Q12  2,5Q22  2000    85  10Q1  2,5Q2  Điều kiện cần của cực trị là L1  200  20Q1  10  0 Q1  13, 4   L 2  115  5Q2  2,5  0  Q2  19, 6 L  85  10Q  2,5Q  0    1 2   6,8 Điều kiện đủ trong trƣờng hợp này cũng đƣợc thỏa mãn. Vậy nếu không phân biệt giá bán ở hai thị trƣờng thì hãng thu lợi nhuận tối đa khi bán 13,4 sản phẩm ở thị trƣờng thứ nhất p1  p2  76 và lợi nhuận thu đƣợc là  =178. 75
Câu hỏi và Hướng dẫn ôn tập Chương 3 1. Nêu điều kiện cần và điều kiện đủ tìm cực trị hàm số một biến số 2. Áp dụng tìm cực tiểu giá thành. 3. Với hàm lợi nhuận = Q), phân tích điểm hòa vốn, điểm để đạt cực đại 4. Nêu điều kiện cần để hàm số nhiều biến số đạt cực trị 5. Nêu điều kiện đủ để hàm 2 biến số đạt cực trị tại điểm dừng M0 6. Nêu điều kiện đủ để hàm số nhiều biến số đạt cực trị tại điểm dừng M0. Chú ý trƣờng hợp hàm 3 biến số. 7. Thiết lập và cách giải bài toán tối đa lợi nhuận trong hai trƣờng hợp sau: a) Một hãng cạnh tranh thuần túy sản xuất một loại sản phẩm b) Một hãng cạnh tranh thuần túy sản xuất hai loại sản phẩm 8. Lập bài toán cực trị có điều kiện đối với hàm hai biến và một phƣơng trình ràng buộc. 9. Nêu phƣơng pháp nhân tử Lagrange. Với hàm Lagrange 3 biến, nêu điều kiện cần và điều kiện đủ để hàm Lagrange đạt cực trị. 10. Lập bài toán cực đại lợi ích tiêu dùng khi mua hai loại hàng hóa với ràng buộc về ngân sách chi tiêu cho trƣớc. Cách giải quyết bài toán này. 11. Lập bài toán cực tiểu chi tiêu khi mua hai loại hàng hóa vớiràng buộc về mức độ thỏa mãn cố định cho trƣớc. Cách giải quyết bài toán này. 12. Lập bài toán cực đại lƣợng hàng hóa sản xuất với ràng buộc về vốn cho trƣớc. Cách giải quyết bài toán này. 13. Lập bài toán cực tiểu chi phí với rang buộc về lƣợng hang hóa sản xuất cố đinh cho trƣớc.Cách giải quyết bài toán này. 14. Một hãng sản xuất một loai sản phẩm, nhƣng tiêu thụ ở hai thị trƣờng riêng biệt. Thiết lâp bài toán tối đa lợi nhuận trong hai trƣờng hợp sau: a) Phân biệt giá bán b) Không phân biệt giá bán 76