Giáo trình Toán kinh tế: Phần 1 - Trường ĐH Kinh doanh và Công nghệ Hà Nội (năm 2022)

Chia sẻ: Minh Quan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:59

Thêm vào BST

Báo xấu

13
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình Toán kinh tế: Phần 1 trang bị những kiến thức tối thiểu về ma trận, định thức, cách giải hệ phương trình tuyến tính nhiều ẩn số nhằm hướng tới việc xử lý các mô hình tuyến tính trong kinh tế như Cân bằng thị trường, Cân bằng kinh tế vĩ mô, nhất là mô hình I/O của Léontief. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Toán kinh tế: Phần 1 - Trường ĐH Kinh doanh và Công nghệ Hà Nội (năm 2022)

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KINH DOANH VÀ CÔNG NGHỆ HÀ NỘI PHAN ĐỨC CHÂU (Chủ biên) – LÊ ĐÌNH THÚY TOÁN KINH TẾ Giáo trình dùng cho Sinh viên Kinh tế (Có bổ sung và chỉnh lý) HÀ NỘI - 2022 1
2
MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU…………………………………………………………………………………7 Chƣơng 1 CÁC MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ 1. MA TRẬN VÀ CÁC PHÉP TOÁN TUYẾN TÍNH………………………………………...9 1.1. Các khái niệm cơ bản..……………………………………………………………………..9 1.2. Các phép toán tuyến tính trên ma trận……………………………………………………10 1.3. Phép chuyển vị……………………………………………………………………………10 2. ĐỊNH THỨC………………………………………………………………………………..11 2.1. Khái niệm và cách tính……………………………………………………………………11 2.2. Các tính chất cơ bản của định thức….……………………………………………………13 3. PHÉP NHÂN MA TRẬN VÀ MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO………………………………..14 3.1. Phép nhân ma trận với ma trận…….……………………………………………………..14 3.2. Ma trận nghịch đảo……………………………………………………………………….16 4. HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH……………………………………………………..18 4.1. Các khái niệm cơ bản……………………………………………………………………..18 4.2. Hệ Cramer………………………………………………………………………………...18 5. CÁC MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ…….………………….20 5.1. Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô…………...……………………………………………..20 5.2.Mô hình I/O (Input/Output) của Léontief…...………………………………...…………..21 Câu hỏi và Hướng dẫn ôn tập Chương 1…………………..………………………………… 25 BÀI TẬP CHƢƠNG 1………….……………………………………………………………..26 Chƣơng 2 HÀM SỐ, ĐẠO HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ÁP DỤNG TRONG KINH TẾ 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ………………………………………………………………….28 1.1. Các khái niệm cơ bản…………………………………………………………………….28 1.2. Các phép tính trên hàm số…………………….………………………………………….28 2. CÁC HÀM SỐ THƢỜNG DÙNG…………………………………………………………29 2.1. Các hàm số thƣờng dùng…………………………………………………………………29 2.2. Một số hàm số kinh tế thƣờng dùng ……………………………………………………..30 3. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ…………………………………………….………………….30 3.1. Hàm số hai biến số……………………………………………………….……………….30 3.2. Hàm số n biến số……………………………………………………….…………………32 3.3. Các hàm số nhiều biến số quan trọng trong phân tích Kinh tế …………………………...32 3
4. MÔ HÌNH CÂN BẰNG THỊ TRƢỜNG….………………………………………………..34 4.1. Thị trƣờng một loại hàng hóa…….…………………………….…………………………34 4.2. Thị trƣờng nhiều hàng hóa……………………………………………………….……….34 5. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ…………………………….……….35 5.1. Đạo hàm………………………………………………………………………….……….35 5.2. Vi phân…………………………….…………………………………………….………..36 5.3. Đạo hàm cấp cao……………………………………………………………….…………37 5.4. Áp dụng trong Kinh tế…………………………………………………………..………..37 6. ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ…….................................39 6.1. Đạo hàm riêng cấp 1…………………….. ……..……………………..…………………39 6.2. Vi phân toàn phần cấp 1………………………………..………………………….……..41 6.3. Đạo hàm riêng cấp 2………………………………………………………….…..………42 6.4. Áp dụng trong Kinh tế………………………………………..…………………………..43 7. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH………………………………………………………………….46 7.1. Nguyên hàm và tích phân bất định…………………………………..……………………46 7.2. Bảng tích phân cơ bản………………………………………………….…………………47 7.3. Tính chất………………………………………………………………….………………47 7.4. Một số phƣơng pháp tính tích phân bất định ……………………………………….……47 7.5. Áp dụng trong Kinh tế………………………..…………………………………………..48 8. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH…………………………………………………………….…….49 8.1. Định nghĩa……………………………………………..………………………………….49 8.2. Tính chất………………………………………………………………………………….50 8.3. Công thức Newton – Leibnitz……………………………………………….……………51 8.4. Một số phƣơng pháp tính tích phân xác định…….………………………………………51 8.5. Áp dụng trong Kinh tế………………………..…………………………………………..51 Câu hỏi và Hướng dẫn ôn tập Chương 2…………...……………………………………… ...54 BÀI TẬP CHƢƠNG 2…………………………….…………………………………………..55 Chƣơng 3 BÀI TOÁN TỐI ƢU 1. CỰC TRỊ HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ…………………………………………………….…60 1.1. Cực trị……………………………………………………………………………….…….60 1.2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số……..…………………………………….60 1.3. Bài toán tối ƣu…………………………………………………………………………….61 2. CỰC TRỊ HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC VÀ BÀI TOÁN TỐI ĐA LỢI NHUẬN……………………………………………………62 2.1. Khái niệm cực trị và điều kiện cần……………………………..…………………………62 2.2. Điều kiện đủ……………………….…………………………………….………………..62 2.3. Bài toán tối đa lợi nhuận…………………………………………………………….……65 4
3. CỰC TRỊ HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ CÓ ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC…………..……..68 3.1. Cực trị có điều kiện với hai biến chọn và một phƣơng trình ràng buộc…………...……..68 3.2. Cực trị có điều kiện với n biến chọn và một phƣơng trình ràng buộc………...………….71 3.3. Ý nghĩa của nhân tử Lagrange……………………………………………..……………..73 4. BÀI TOÁN TỐI ƢU VỚI ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC…………………………..………..74 4.1. Cực đại lợi ích tiêu dùng…………………………………………………………….……74 4.2. Tối thiểu chi tiêu………………………………………………………………….………75 4.3. Sản xuất với sản lƣợng tối đa……………………………………………………….…….75 4.4. Sản xuất với chi phí tối thiểu…………………………………………………….……….76 4.5. Hãng độc quyền sản xuất một loại sản phẩm nhƣng tiêu thụ hàng hóa đó ở hai thị trƣờng riêng biệt…………………………………………………………..…….76 Câu hỏi và Hướng dẫn ôn tập Chương 3...................................................................................79 BÀI TẬP CHƢƠNG 3……………………………………………………….………………..80 Chƣơng 4 PHÂN TÍCH ĐỘNG 1. PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN …………………………………………….………………..83 1.1. Khái niệm chung về phƣơng trình vi phân………………………………..………………83 1.2. Phƣơng trình vi phân thƣờng cấp một……………………………………………...……..83 2. PHƢƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ LOẠI PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT…….....85 2.1. Phƣơng trình phân ly biến số……………………………………………………..………85 2.2. Các phƣơng trình đƣa đƣợc về dạng phân ly biến số ……………………………………86 2.3. Phƣơng trình tuyến tính và phƣơng trình Bernoulli……………………..……………….88 3. ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ………………………………..………….91 3.1. Tìm hàm cầu khi biết độ co dãn của cầu theo giá……………………………..………….91 3.2. Phân tích thị trƣờng ………………………………………………………………………92 4. MÔ HÌNH TĂNG TRƢỞNG ……………………………………………………………...93 4.1. Mô hình tăng trƣởng Domar……………………………………………..……………….93 4.2. Mô hình tăng trƣởng Solow ……………………………………………………………...94 Câu hỏi và Hướng dẫn ôn tập Chương 4….………………………………………..………....96 BÀI TẬP CHƢƠNG 4……………………………..………………………………………….97 TÀI LIỆU THAM KHẢO….…..………………………………………………….…….…..98 PHỤ LỤC Sử dụng Casio fx-570 để tính toán ma trận và định thức..……………..……………..99 5
6
LỜI NÓI ĐẦU Để giải quyết một số vấn đề trong Kinh tế, các nhà kinh tế thiết lập mô hình kinh tế và sử dụng các công cụ Toán thích hợp để xử lý các mô hình đó. Giáo trình này cung cấp một số phương pháp cơ bản trong Toán Kinh tế. Những kiến thức Toán nêu trong Giáo trình đều là những kiến thức cơ bản và được cân nhắc khi chọn lựa. Nguyên tắc chọn lựa là ngắn gọn, thiết thực và dễ hiểu. Chương 1 trang bị những kiến thức tối thiểu về ma trận, định thức, cách giải hệ phương trình tuyến tính nhiều ẩn số nhằm hướng tới việc xử lý các mô hình tuyến tính trong kinh tế như Cân bằng thị trường, Cân bằng kinh tế vĩ mô, nhất là mô hình I/O của Léontief…. Chương 2 và 3 của Giáo trình tập trung vào việc giải quyết các mô hình kinh tế nhờ các kiến thức trong Giải tích hàm số một biến số và nhiều biến số. Các bài toán tối ưu của các hàm mục tiêu được đề cập và giải quyết bằng công cụ Toán. Chương 4 đề cập đến Phân tích động. Giáo trình cung cấp những kiến thức thật cơ bản về Phương trình vi phân, hướng đến giải quyết được một số mô hình kinh tế qua việc thiết lập quỹ đạo thời gian. Trong Giáo trình đã đề cập đến việc Phân tích thị trường và hai mô hình tăng trưởng Domar và Solow. Phần Phương trình sai phân không được đưa vào nội dung của môn học, do thời lượng quá ít. Sau mỗi chương đều có phần Câu hỏi và Hướng dẫn ôn tập và Bài tập. Các bài tập chỉ mang tính gợi ý, có tính điển hình. Nhóm biên soạn đã nhận được sự hỗ trợ tích cực của Khoa Toán Trường Đại học Kinh doanh và Công nghệ Hà Nội. Mặc dù các tác giả đã cố gắng nhưng không tránh khỏi các hạn chế và thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những nhận xét góp ý của bạn đọc để tiếp tục hoàn thiện hơn nữa về nội dung cũng như hình thức của Giáo trình nhằm nâng cao hiệu quả sử dụng trong học tập và nghiên cứu. Hà Nội, tháng 03 năm 2021 Nhóm biên soạn 7
8
Chương 1 CÁC MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ Trong một số mô hình tuyến tính quan trọng trong phân tích kinh tế như mô hình I/O của Léontief (hay còn gọi là mô hình cân đối liên ngành), mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô, mô hình cân bằng thị trường nhiều hàng hóa liên quan… ta phải giải hệ các phương trình tuyến tính nhiều ẩn số. Công cụ để xử lý vấn đề trên là sử dụng các kiến thức về ma trận và định thức của Đại số tuyến tính. 1. MA TRẬN VÀ CÁC PHÉP TOÁN TUYẾN TÍNH 1.1. Các khái niệm cơ bản 1. Một bảng số gồm m.n số thực xếp thành m dòng và n cột đƣợc gọi là ma trận cấp mxn và đƣợc ký hiệu nhƣ sau:  a11 a12 ... a1n  a a 22 ... a 2n  A   21 hoặc A = (aij)mxn  ... ... ... ...    a m1 a m2 ... a mn  Các số aij đƣợc gọi là các phần tử của ma trận A. Cụ thể hơn: aij là phần tử nằm trên dòng thứ i và cột thứ j của ma trận A. 2. Hai ma trận cùng cấp A = (aij)mxn và B = (bij)mxn đƣợc coi là bằng nhau nếu tất cả các phần tử tƣơng ứng của chúng đôi một bằng nhau: aij = bij (i = 1,..., m; j = 1,..., n). 3. Ma trận có tất cả các phần tử bằng 0 đƣợc gọi là ma trận không. Ma trận không cấp mxn đƣợc ký hiệu bằng Omxn hoặc đơn giản là O. 4. Ma trận cấp nxn, tức là ma trận có số dòng và số cột bằng nhau, đƣợc gọi là ma trận vuông cấp n. Trong ma trận vuông:  a11 a12 ... a1n  a ... a 2n   21 a 22  ... ... ... ...    a n1 a n 2 ... a nn  các phần tử a 11, a22 ,..., a nn đƣợc gọi là các phần tử nằm trên đường chéo chính. 5. Ma trận đơn vị cấp n đƣợc ký hiệu bằng chữ En là ma trận sau: 1 0 ... 0  0 1 ... 0  En   ... ... ... ...   0 0 ... 1  nxn 9
1.2. Các phép toán tuyến tính trên ma trận 1. Cộng hai ma trận cùng cấp Tổng của hai ma trận cùng cấp A = (aij)mxn và B = (bij)mxn là một ma trận ký hiệu là A + B và đƣợc xác định nhƣ sau: A + B = (aij+bij)mxn 2. Nhân một ma trận với một số Tích của ma trận A = (aij)mxn với một số  là một ma trận ký hiệu là  A và đƣợc xác định nhƣ sau:  A = (  aij)mxn Chú thích: Tích (-1)A đƣợc ký hiệu là ma trận –A và đƣợc gọi là ma trận đối của ma trận A 3. Phép cộng ma trận và phép nhân ma trận với một số có các tính chất cơ bản sau: a) A + B = B + A b) (A + B) + C= A + (B + C) c) A + O = A d) A + (-A) = O e)  (A + B) =  A +  B f) (  + β)A =  A + βA g) (  β)A =  (βA) trong đó A, B, C là các ma trận cùng cấp,  ,  là các số thực bất kỳ. 4. Phép trừ hai ma trận cùng cấp Phép trừ hai ma trận cùng cấp đƣợc xác định nhƣ sau: A - B = A + (-B) = A + (-1)B Ma trận A - B đƣợc gọi là hiệu của ma trận A và ma trận B. 1.3. Phép chuyển vị Cho ma trận bất kỳ  a11 a12 ... a1n  a a 22 ... a 2n  A   21  ... ... ... ...    a m1 a m2 ... a mn  Chuyển các dòng của ma trận A thành các cột với thứ tự tƣơng ứng (khi đó các cột trở thành các dòng với thứ tự tƣơng ứng) ta đƣợc ma trận  a11 a 21 ... a m1  a a 22 ... a m2  A '   12  ... ... ... ...    a1n a 2n ... a mn  10
Ma trận A' đƣợc gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A. Phép biến đổi ma trận A thành ma trận A' đƣợc gọi là phép chuyển vị ma trận. Ví dụ: A=[ ] ; A’ = * + 2. ĐỊNH THỨC 2.1. Khái niệm và cách tính Xét các ma trận vuông A 1. Định thức cấp 1 Xét ma trận vuông cấp 1: A = [a] (Ma trận A chỉ có một phần tử a) Định thức của ma trận A ký hiệu là det(A) hay |A| và đƣợc xác định nhƣ sau det(A) = |A| = a Ví dụ: det([-2]) = -2, det([6]) = 6 2. Định thức cấp 2. Xét ma trận vuông cấp 2: a a  A   11 12  a 21 a 22  Định thức của ma trận A đƣợc ký hiệu và xác định nhƣ sau: det(A) = |A| = a11a22 – a12a21 Ví dụ: 1 2 = 1.3 - (-2).5 = 13 5 3 3. Định thức cấp 3  a11 a12 a13  A  a 21 a 22 a 23   a 31 a 32 a 33  Định thức của ma trận A đƣợc ký hiệu và xác định nhƣ sau: det(A) = |A| = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32 Để tính định thức cấp 3 ta lập các thành phần theo quy tắc đƣờng chéo: (Quy tắc Sarus)  Ba thành phần mang dấu (+) là: tích các phần tử thuộc đƣờng chéo chính; tích của 2 phần tử nằm trên mỗi đƣờng song song với đƣờng chéo chính với phần tử nằm ở góc đối diện.  Ba thành phần mang dấu (-) đƣợc thành lập tƣơng tự theo đƣờng chéo thứ hai. Sơ đồ sau đây biểu diễn trực quan cách thành lập 2 nhóm thành phần nói trên: 11
Ví dụ: 1 2 3 1 5 2 = [1.5.2+2.(-2).4+3.(-1).(-3)] – [3.5.4+1.(-2)(-3)+(-1).2.2] 4 3 2 = 3 – 62 = -59 4. Tính định thức cấp n bằng cách khai triển định thức theo dòng hoặc theo cột (Khai triển Laplace) Xét ma trận A vuông cấp n. Định thức của A đƣợc ký hiệu là d a11 ... a1j ... a1n ... ... ... ... ... d  a i1 ... a ij ... a in ... ... ... ... ... a n1 ... a nj ... a nn Trong định thức d nếu xóa đi dòng thứ i và cột thứ j (dòng và cột chứa phần tử a ij) thì nhận đƣợc một định thức cấp (n-1), ký hiệu là Mij. Định thức Mij đƣợc gọi là phần bù và Aij = (-1)i+jMij đƣợc gọi là phần bù đại số của phần tử aij. Công thức khai triển Laplace: Định thức d bằng tổng của n số hạng, trong đó mỗi số hạng là tích của từng phần tử của một dòng (hoặc một cột) cố định với phần bù đại số của nó, tức là: d = ai1Ai1 + ai2Ai2 +... + ainAin (i = 1, 2,...n) (1) d = a1jA1j + a2jA2j +... + anjAnj (j = 1, 2,...n) (2) Các công thức (1) và (2) đƣợc gọi là các công thức khai triển định thức theo dòng thứ i và theo cột thứ j. Chú thích: Sử dụng công thức khai triển Laplace, ta tính đƣợc một định thức cấp cao bằng cách chuyển qua tính các định thức cấp thấp hơn. Ví dụ Tính định thức cấp 4 sau: 1 1 2 2 3 1 5 1 d 2 5 0 0 2 1 3 1 12
Chọn dòng hay cột nào có nhiều phần tử 0. Khai triển định thức đã cho theo dòng thứ ba, ta đƣợc: d = -2A31 + 5A32+ 0.A33 + 0.A34 1 2 2 1 2 2 3 1 3 2 d   2(1) 1 5 1  5.(1) 3 5 1 1 3 1 2 3 1 Sau khi tính các định thức cấp 3 ta đƣợc kết quả: d = -2.8 - 5 (-48) = 224 2.2. Các tính chất cơ bản của định thức 1. Tính chất 1 Định thức của ma trận chuyển vị A' bằng định thức của ma trận A: |A’| = |A| Từ tính chất 1 ta suy ra rằng các dòng và các cột trong định thức có vai trò nhƣ nhau, tức là mọi điều khẳng định đối với các dòng đều đúng đối với các cột và ngƣợc lại. Các tính chất còn lại của định thức đề cập chung đến các dòng và các cột, nhƣng ta chỉ phát biểu cho các dòng. 2. Tính chất 2 Nếu một dòng của định thức có tất cả các phần tử bằng 0 thì định thức bằng 0. 3. Tính chất 3 Nếu trong định thức ta đổi chỗ hai dòng và giữ nguyên vị trí của các dòng còn lại thì định thức đổi dấu. 4. Tính chất 4 Nếu định thức có 2 dòng giống nhau thì định thức bằng 0. 5. Tính chất 5 Thừa số chung của các phần tử của một dòng có thể đƣa ra ngoài dấu định thức a11 a12 ... a1n a11 a12 ... a1n ... ... ... ... ... ... ... ... a i1 a i2 ... a in  . a i1 a i2 ... a in ... ... ... ... ... ... ... ... a n1 a n 2 ... a nn a n1 a n 2 ... a nn 6. Tính chất 6 Nếu định thức có 2 dòng tỷ lệ với nhau thì định thức bằng 0. 7. Tính chất 7 Định thức không thay đổi nếu ta cộng vào các phần tử của một dòng các phần tử tƣơng ứng của một dòng khác sau khi đã nhân với cùng một số. 13
3. PHÉP NHÂN MA TRẬN VÀ MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 3.1. Phép nhân ma trận với ma trận Cho một ma trận A cấp mxn và một ma trận B cấp nxp (Số cột của A bằng số dòng của B)  b11 b12 ... b1p   a11 a12 ... a1n    a ... a 2n  a 22  b 21 22 ... b 2p  A = (aij)mxn =  21  ... ... ... ...  , B = (bjk)nxp =  ... ... ... ...      a m1 a m2 ... a mn   b n1 b n 2 ... b np  1. Định nghĩa Ta gọi tích của ma trận A với ma trận B là một ma trận cấp mxp ký hiệu là AB và đƣợc xác định nhƣ sau:  c11 c12 ... c1p     c21 c 22 ... c 2p  AB = (cik)mxp =  ... ... ... ...    cm1 cm2 ... cmp  trong đó: n cik   a ijb jk  a i1b1k  a i2 b2k  ...  a in bnk j1 (i = 1, 2,..., m; k = 1, 2,..., p) Công thức trên có thể phát biểu thành quy tắc: Phần tử nằm ở dòng thứ i và cột thứ k của ma trận AB bằng tổng của n số hạng trong đó mỗi số hạng là tích của một phần tử thuộc dòng thứ i của ma trận A với phần tử tƣơng ứng thuộc cột thứ k của ma trận B  b1k    b cik = (ai1 ai2 ... ain)  2k  = ai1b1k + ai2b2k + ..... + ainbnk  ....     b nk  2. Ví dụ Cho hai ma trận  2 2    1 3 A= 5  6  , B   12 7   7 4  Theo định nghĩa ta có: 14
 2. 1  ( 2) (7) 2.3  ( 2).4   16 2  AB =  5.1  6.(7) 5.3  6.4    37 39      12.1  7.(7) 12.3  7.4   37 64  3. Chú ý Trong tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n, tích AB và BA luôn luôn có nghĩa và cũng là các ma trận vuông cấp n. Tuy nhiên, nói chung AB  BA, tức là phép nhân ma trận không có tính chất giao hoán. Ví dụ  1 2  3 1 Với A   , B   ta có:  1 0   1 1   1 1 4 6 AB    , BA     3 1  2 2 4. Các tính chất cơ bản. Phép nhân ma trận với ma trận có các tính chất cơ bản sau đây: a) Tính kết hợp: (AB)C = A(BC) trong đó A, B, C là các ma trận cấp mxn, nxp, pxq. b) Tính phân phối đối với phép cộng: i. A(B + C) = AB + AC ii. (B + C)D = BD + CD trong đó A là ma trận cấp mxn, B và C là các ma trận cấp nxp, D là ma trận cấp pxq. c) (AB)  (A)B  A(B), trong đó A, B là các ma trận cấp mxn và nxp,  là số thực bất kỳ. d) AE = A, EB = B, trong đó A là ma trận bất kỳ cấp mxn, E là ma trận đơn vị cấp n, B là ma trận bất kỳ cấp nxp. Đặc biệt với A là một ma trận vuông cấp n bất kỳ ta luôn có: AE = EA = A e) Định thức của tích hai ma trận vuông cùng cấp bằng tích của các định thức của các ma trận đó: AB  A . B Chú ý:  Tính chất kết hợp của phép nhân ma trận cho phép ta đề cập đến tích của một số hữu hạn ma trận: ABC, ABCD,... trong đó mỗi ma trận đứng trƣớc có số cột bằng số dòng của ma trận đứng sau nó.  Với A là một ma trận vuông ta định nghĩa lũy thừa nguyên dƣơng của ma trận A nhƣ sau: An = AA... A (n lần)  Tính chất e) có thể mở rộng cho trƣờng hợp tích của một số hữu hạn các ma trận 15
An  A n vuông cùng cấp. Đặc biệt, ta có: 3.2. Ma trận nghịch đảo 1. Khái niệm ma trận nghịch đảo Cho ma trận vuông A. Định nghĩa Một ma trận vuông X cùng cấp với ma trận vuông A đƣợc gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A nếu AX = XA = E. (E là ma trận đơn vị cùng cấp với ma trận A) 2. Mệnh đề Nếu một ma trận vuông có ma trận nghịch đảo thì nó chỉ có một ma trận nghịch đảo duy nhất. Thật vậy, nếu X và Y cùng là ma trận nghịch đảo của ma trận A thì: (XA)Y = EY = Y X(AY) = XE = X Vì phép nhân ma trận có tính chất kết hợp (XA)Y = X(AY) nên từ đây suy ra X = Y Chú thích Ta ký hiệu ma trận nghịch đảo của ma trận A là A-1. Theo định nghĩa, ta có AA-1 = A-1A = E 3. Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo Định lý Điều kiện cần và đủ để một ma trận vuông A có ma trận nghịch đảo là d= A 0 (Ma trận có định thức khác 0 đƣợc gọi là ma trận không suy biến). 4. Công thức tìm ma trận nghich đảo 1 A 1  A* d trong đó '  A11 A12 ... A1n   A11 A 21 ... A n1  A A 22 ... A 2n  A A 22 ... A n2  A  (A ij ) 'nxn *   21   12  ... ... ... ...   ... ... ... ...       A n1 A n2 ... A nn   A1n A 2n ... A nn  Ở đâyAij là phần bù đại số của phần tử aij trong định thức A . Ma trận A* = (Aịj)' đƣợc gọi là ma trận phụ hợp của ma trận A. 16
5. Ví dụ a. Ví dụ 1 Cho ma trận: 1 2 3  A = -1 0 -2     0 2 1  Ma trận này không có ma trận nghịch đảo vì A = 0. b. Ví dụ 2 Cho ma trận:  1 3 4  A   0 1 2    0 1 5  Ma trận này có d = A = -3  0, do đó A có ma trận nghịch đảo. Để tìm ma trận nghịch đảo của ma trân A, trƣớc hết ta tìm ma trận phụ hợp A*. Ta có: A11 = 3, A12 = 0, A13 = 0; A21 = -11, A22 = -5, A23 = 1; A31 = 2, A32 = 2, A33 = -1.  A11 A 21 A31  3 11 2 A  * A A 22 A32   0 5 2  12     A13 A 23 A33   0 1 1  Vậy ma trận nghịch đảo của ma trận đã cho là:  1 11  2  3 3   1 1 * 1 *  5 2 A  A  A  0  d 3  3 3  1 1  0    3 3  c. Ví dụ 3 Cho các ma trận vuông cấp 2 A=* + ; B=* + ; C=* + Giải các phƣơng trình ma trận: a) AX = B b) XA = C 17
c) XA = B Giải : Ta có det(A) = -2. Ma trận A là ma trận không suy biến, nên có ma trận nghịch đảo A-1 và A-1 = * + a) AX = B A-1AX = A-1B (Nhân trái 2 vế của phƣơng trình đã cho với A-1) X = A-1B = * + x* +=* + b) XA = C XAA-1 = CA-1 (Nhân phải 2 vế của phƣơng trình đã cho với A-1) X = CA-1 = * +x * +=* + c) XA = B XAA-1 = BA-1 (Nhân phải 2 vế của phƣơng trình đã cho với A-1) X = BA-1 = * +x* +=[ ] 4. HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 4.1. Các khái niệm cơ bản. 1. Hệ phƣơng trình tuyến tính Hệ phương trình tuyến tính m phƣơng trình, n ẩn số là hệ phƣơng trình dạng:  a11x1 + a12 x 2 +...+ a1n x n = b1  a x + a x +...+ a x = b  21 1 22 2 2n n 2  (1)  ......................................  a m1x1 + a m2 x 2 +...+ a mn x n = b m trong đó x1, x2,... xn là các ẩn số, aij và bi (i = 1, 2,..., m) là các số thực cho trƣớc. Số aij là hệ số của ẩn xj trong phƣơng trình thứ i và bi là số hạng tự do của phƣơng trình thứ i. Ứng với hệ phƣơng trình (1) ta lập bảng số:  a11 a12 .... a1n   a 21 a 22 .... a 2n  A=  ...................     a m1 a m2 .... a mn  Bảng số A đƣợc gọi là ma trận hệ số của hệ phƣơng trình tuyến tính đã cho. 4.2. Hệ Cramer 1. Định nghĩa Một hệ phƣơng trình tuyến tính có ma trận hệ số là một ma trận vuông không suy biến đƣợc gọi là hệ Cramer. 18
2. Cách giải (Phƣơng pháp ma trận) Xét hệ Cramer sau: a11x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1 a x  a x  ...  a x  b  21 1 22 2  2n n 2 (2) ............................................... a n1x1  a n 2 x 2  ...  a nn x n  b n Sử dụng phép nhân ma trận với ma trận ta có thể viết hệ phƣơng trình (2) dƣới dạng: AX = B (2’) trong đó  a11 a12 ... a1n   x1   b1  a a 22 ... a 2n  x  b  A  , X   , B   21 2 2  ... ... ... ...   ...   ...  a       n1 a n 2 ... a nn   xn   bn  Theo giả thiết ma trận A không suy biến (d = A  0), do đó nó có ma trận nghịch đảo A-1. Nhân trái (2') với A-1, ta có: A-1(AX) = A-1B X = A-1B Ngƣợc lại, nếu thay X = A-1B vào (2') thì ta đƣợc đẳng thức đúng: AX = B  A(A-1B) = B  (AA-1)B = B  EB = B  B = B 3. Kết luận Hệ Cramer có một nghiệm duy nhất và cột nghiệm của nó đƣợc xác định theo công thức: X = A-1B 4. Quy tắc Cramer (Phƣơng pháp định thức) a. Định lý Nghiệm duy nhất của hệ Cramer đƣợc xác định theo công thức: dj xj   j 1, 2,..., n  , (3) d trong đó d là định thức của ma trận hệ số, dj là định thức nhận đƣợc từ định thức d bằng cách thay cột thứ j bằng cột số hạng tự do B (các cột khác giữ nguyên): a11 ... a1j ... a1n a11 ... b1 ... a1n d a 21 ... a 2 j ... a 2n ; dj  a 21 ... b 2 ... a 2n ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... a n1 ... a nj ... a1nn a n1 ... b n ... a nn Quy tắc xác định nghiệm của hệ Cramer theo công thức (3) đƣợc gọi là quy tắc Cramer. 19
b. Ví dụ Giải hệ phƣơng trình sau:  x1  3x 2  2x 3  3  2x1  x 2  3x 3  6 3x  x  4x  11  1 2 3 Ta có: 1 3 2 3 3 2 d 2 1 3  20; d1  6 1 3  40; 3 1 4 11 1 4 1 3 2 1 3 3 d2  2 6 3   20; d3  2 1 6  20; 3 11 4 3 1 11 Áp dụng quy tắc Cramer ta tìm đƣợc nghiệm duy nhất của hệ phƣơng trình đã cho: d1 d2 d3 x1   2, x2    1, x3  1 d d d 5. CÁC MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ 5.1. Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô a. Gọi Y là tổng thu nhập quốc dân (National Income) và E là tổng mức chi tiêu kế hoạch (Planned Expenditure) của nền kinh tế. Trạng thái cân bằng đƣợc biểu diễn dƣới dạng phƣơng trình Y=E (1) Trong một nền kinh tế khép kín, tổng chi tiêu kế hoạch E của toàn bộ nền kinh tế gồm các thành phần sau:  C : Tiêu dùng (Consumption) của các hộ gia đình,  G : Chi tiêu của Nhà nƣớc theo kế hoạch của chính phủ (Government),  I : Chi tiêu cho đầu tƣ của các nhà sản xuất (Investment). Ta giả sử rằng đầu tƣ theo kế hoạch là cố định I = I0 và chính sách tài khoá của chính phủ là cố định G = G0 , còn tiêu dùng của các hộ gia đình phụ thuộc vào thu nhập dƣới dạng hàm bậc nhất C = aY + b ( 0 < a < 1, b > 0 ) Hệ số a biểu diễn tỉ phần dành cho tiêu dùng khi có thêm $1 thu nhập, đƣợc gọi là xu hướng tiêu dùng cận biên, còn b là mức tiêu dùng tự định, tức là mức chi tiêu khi không có thu nhập. Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô có dạng hệ phƣơng trình tuyến tính: 20