intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Giới hạn hàm số Giới hạn hàm số I. Lý thuyết 1. Định nghĩa: 1.1. Giới hạn

Chia sẻ: Nguyễn Tất Thu | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:19

Thêm vào BST
Báo xấu
494
lượt xem 70
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giới hạn hàm số Giới hạn hàm số I. Lý thuyết 1. Định nghĩa: 1.1. Giới hạn hàm số: Cho khoảng K chứa điểm x 0 . Ta nói rằng hàm số f(x) xác định trên K (có thể trừ điểm x 0 ) có giới hạn là L khi x dần tới x 0 nếu với dãy số (x n ) bất kì, x n Î K \ {x 0 } và x n ® x 0 , ta có: f(x n ) ® L . Ta kí hiệu: lim f(x) = L hay f(x) ® L khi x...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giới hạn hàm số Giới hạn hàm số I. Lý thuyết 1. Định nghĩa: 1.1. Giới hạn

  1. Giới hạn hàm số Giới hạn hàm số I. Lý thuyết 1. Định nghĩa: 1.1. Giới hạn hàm số: Cho khoảng K chứa điểm x 0 . Ta nói rằng hàm số f (x) xác định trên K (có thể trừ điểm x 0 ) có giới hạn là L khi x dần tới x 0 nếu với dãy số (x n ) bất kì, x n Î K \ {x 0 } và x n ® x 0 , ta có: f(x n ) ® L . Ta kí hiệu: lim f(x) = L hay f (x) ® L khi x ® x 0 . x ® x0 1.2.Giới hạn một bên: * Cho hàm số y = f (x ) xác định trên (x 0 ; b) .Số L gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f (x ) khi x dần tới x 0 nếu với mọi dãy (xn ) : x 0 < xn < b mà xn ® x 0 thì ta có: f (xn ) ® L . Kí hiệu: lim f (x ) = L . + x ®x 0 * Cho hàm số y = f (x ) xác định trên (a; x 0 ) .Số L gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f (x ) khi x dần tới x 0 nếu với mọi dãy (xn ) : a < xn < x 0 mà xn ® x 0 thì ta có: f (xn ) ® L . Kí hiệu: lim f (x ) = L . - x ®x 0 lim f (x ) = L Û lim f (x ) = lim f (x ) = L . Chú ý: x ®x 0 x ®x + x ®x - 0 0 1.3. Giới hạn tại vô cực * Ta nói hàm số y = f (x ) xác định trên (a; +¥) có giới hạn là L khi x ® +¥ nếu với mọi dãy số (xn ) : xn > a và xn ® +¥ thì f (xn ) ® L . Kí hiệu: lim f (x ) = L . x ®+¥ * Ta nói hàm số y = f (x ) xác định trên (-¥; b ) có giới hạn là L khi x ® -¥ nếu với mọi dãy số (xn ) : xn < b và xn ® -¥ thì f (xn ) ® L . Kí hiệu: lim f (x ) = L . x ®-¥ 1.4.Giới hạn vô cực * Ta nói hàm số y = f (x ) có giới hạn dần tới dương vô cực khi x dần tới x 0 nếu với mọi dãy số (xn ) : xn ® x 0 thì f (xn ) ® +¥ . Kí hiệu: lim f (x ) = +¥ . x ®x 0 * Tương tự ta cũng có định nghĩa giới hạn dần về âm vô cực * Ta cũng có định nghĩa như trên khi ta thay x 0 bởi -¥ hoặc +¥ . 2. Các định lí về giới hạn Định lí 1: Gới hạn của tổng, hiệu, tích, thương (mẫu số dẫn về L ¹ 0 ) khi x ® x 0 (hay x ® +¥; x ® -¥ ) bằng tổng, hiệu, tích, thương của các giới hạn đó khi x ® x 0 (hay x ® +¥; x ® -¥ ) . Chú ý: Định lí trên ta chỉ áp dụng cho những hàm số có giới hạn là hữu hạn. Ta không áp dụng cho các giới hạn dần về vô cực Định lí 2: (Nguyên lí kẹp) Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa -1-
  2. Giới hạn hàm số Cho ba hàm số f (x ), g(x ), h(x ) xác định trên K chứa điểm x 0 (có thể các hàm đó không xác định tại x 0 ). Nếu g (x ) £ f (x ) £ h (x ) "x Î K và lim g(x ) = lim h(x ) = L thì lim f (x ) = L . x ®x 0 x ®x 0 x ®x 0 3. Một số gới hạn đặc biệt x 2k +1 = +¥ (-¥) x 2k = +¥ lim lim * ; x ®+¥ x ®+¥ (x ®-¥) (x ®-¥) k * lim f (x ) = +¥ (-¥) Û lim = 0 (k ¹ 0) x ® x 0 f (x ) x ®x 0 sin x x tan x x = lim = 1 , từ đây suy ra lim = lim = 1. * lim x ®0 x x ® 0 sin x x ®0 x x ® 0 tan x 1 ex - 1 ln(1 + x ) 1 lim (1 + )x = e Þ lim = lim =1 * lim (1 + x ) = x x x ®0 x x x ®0 x ®0 x ®±¥ Chú ý : Ta thường sử dụng các giới hạn đặc biệt trên để tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực, giới hạn các hàm số lượng giác và giới hạn hàm lũy thừa, mũ và logarít. CÁC DẠNG GIỚI HẠN THƯỜNG GẶP Dạng 1: Tìm lim f (x ) biết f (x ) xác định tại x 0 . x ®x 0 Phương pháp: * Nếu f(x) là hàm số cho bởi một công thức thì giá trị giới hạn bằng f (x 0 ) * Nếu f(x) cho bởi nhiều công thức, khi đó ta sử dụng điều kiện để hàm số có giới hạn ( Giới hạn trái bằng giới hạn phải). Ví dụ 1: Tìm giới hạn các hàm số sau: ln2 (x + 2) - x + 1 x2 - x + 1 2 tan x + 1 1)A1 = lim 3)A3 = lim 2) A2 = lim x +1 3x + 1 p sin x + 1 x ®1 x ®0 x® 6 Giải: x2 - x + 1 1 - 1 + 1 1 1) Ta có: A1 = lim = = . x +1 1+1 2 x ®1 p 2 tan + 1 2 tan x + 1 3 +6 4 6 2) A2 = lim = = . sin x + 1 p 9 p sin + 1 x® 6 6 ln2 (x + 2) - x + 1 = ln2 2 + 1 . 3) A3 = lim 3x + 1 x ®0 Ví dụ 2: Xét xem các hàm số sau có giới hạn tại các điểm chỉ ra hay không? Nếu có hay tìm giới hạn đó? Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa -2-
  3. Giới hạn hàm số ì2 ïx + 12x + 2 ï ï khi x < 1 1) f (x ) = ï x 2 + 2 khi x ® 1 . í ï ï3x + 2 khi x ³ 1 ï ï î ì ï2x 2 + 3x + 1 khi x ³ 0 ï 2) f (x ) = ï khi x ® 0 . í2 ï-x + 3x + 2 khi x < 0 ï ï î Giải: 1) Ta có: lim f (x ) = lim (3x + 2) = 5 . x ®1+ x ®1+ x 2 + 12x + 2 lim f (x ) = lim = 5 Þ lim f (x ) = lim f (x ) = 5 . x2 + 2 x ®1- x ®1- x ®1+ x ®1- 5 Vậy lim f (x ) = . 3 x ®1 2) Ta có: lim f (x ) = lim (2x 2 + 3x + 1) = 1 . x ® 0+ x ® 0+ 2 lim f (x ) = lim (-x + 3x + 2) = 2 Þ lim f (x ) ¹ lim f (x ) . x ® 0- x ® 0- x ® 0+ x ® 0- Vậy hàm số f (x ) không có giới hạn khi x ® 0 . Ví dụ 3: Tìm a để hàm số sau có giới hạn khi x ® 2 ì2 ïx + ax + 1 khi x > 2 ï f (x ) = ï í2 . ï2x - x + 1 khi x £ 2 ï ï î Giải: Ta có: lim f (x ) = lim (x 2 + ax + 2) = 2a + 6 . x ® 2+ x ® 2+ lim f (x ) = lim (2x 2 - x + 1) = 7 . x ® 2- x ® 2- 1 Yêu cầu bài toán Û lim f (x ) = lim f (x ) Û 2a + 6 = 7 Û a = . 2 x ® 2+ x ® 2- 1 Vậy a = là giá trị cần tìm. 2 Bài tập: Bài 1: Tìm các giới hạn sau sin2 2x - 3 cos x x +1 1) B1 = lim 2) B2 = lim tan x x ®-2 x 2 p +x +4 x® 6 ln(2x 2 - x + 1) - 22x + 3 3x + 1 - 2 3) B3 = lim 4) B4 = lim x ®1 3 3x + 1 - 2 2 x ®1 e 3x -2 Bài 2: Xét xem các hàm số sau có giới hạn tại các điểm chỉ ra hay không ? Nếu có hãy tìm giới hạn đó ? Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa -3-
  4. Giới hạn hàm số ì2 ï3x - 5x + 1 khi x ³ 1 ï 1) f (x ) = ï khi x ® 1 . í ï-3x + 2 khi x < 1 ï ï î ì3 ïx - 8 ï ï khi x > 2 khi x ® 2 . 2) f (x ) = ï x - 2 í ï ï2x + 1 khi x £ 2 ï ï î Bài 3: Tìm a để hàm số sau có giới hạn khi x ® 0 . ì2 ï5ax + 3x + 2a + 1 khi x ³ 0 ï f (x ) = ï 3 í . ïe 3x -2x + ln(x 2 + x + 2) ï khi x < 0 ï î f (x ) 0 trong đó f (x 0 ) = g(x 0 ) = 0 . Dạng này ta gọi là dạng vô định . Dạng 2: Tìm A = lim 0 x ® x 0 g (x ) Để khử dạng vô định này ta sử dụng định lí Bơzu cho đa thức: Định lí: Nếu đa thức f (x ) có nghiệm x = x 0 thì ta có : f (x ) = (x - x 0 )f1 (x ) . *Nếu f (x ) và g (x ) là các đa thức thì ta phân tích f (x ) = (x - x 0 )f1 (x ) và g(x ) = (x - x 0 )g1 (x ) . f (x ) 0 Khi đó A = lim 1 , nếu giới hạn này có dạng thì ta tiếp tục quá trình như trên. 0 x ® x 0 g1(x ) Chú ý :Nếu tam thức bậc hai f (x ) = ax 2 + bx+c có hai nghiệm x1, x 2 thì ta luôn có sự phân tích ax 2 + bx + c = a(x - x1 )(x - x 2 ) . * Nếu f (x ) và g (x ) là các hàm chứa căn thức thì ta nhân lượng liên hợp để chuyển về các đa thức, rồi phân tích các đa thức như trên. Các lượng liên hợp: 1. ( a - b )( a + b ) = a - b 3 3 2. (3 a ± 3 b )( a 2 m 3 ab + b 2 ) = a - b n n n 3. (n a - n b )( a n -1 + a n -2b + ... + bn -1 ) = a - b * Nếu f (x ) và g (x ) là các hàm chứa căn thức không đồng bậc ta sử dụng phương pháp tách, chẳng hạn: Nếu n f (x ), m g(x ) ® c thì ta phân tích: n f (x ) - m g(x ) = (n f (x ) - c) - (m g (x ) - c) . Trong nhiều trường hợp việc phân tích như trên không đi đến kết quả ta phải phân tích như sau: n f (x ) - m g(x ) = (n f (x ) - v(x )) - (m g(x ) - v(x )) , trong đó v(x ) ® c . * Một đẳng thức cần lưu ý: a n - bn = (a - b )(a n -1 + a n -2b + ... + ab n -2 + bn -1 ) . Ví dụ 1: Tìm các gới hạn sau Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa -4-
  5. Giới hạn hàm số (1 + 3x )3 - (1 - 4x )4 x 3 - 3x 2 + 2 2) A5 = lim 1) A4 = lim x x 2 - 4x + 3 x ®0 x ®1 x 4 - 5x 2 + 4 (1 + x )(1 + 2x )(1 + 3x ) - 1 3) A6 = lim 4) A7 = lim . x x3 - 8 x ®2 x ®0 Giải: 1) Ta có: (x - 1)(x 2 - 2x - 2) x 3 - 3x 2 + 2 x 2 - 2x - 2 3 A4 = lim = lim = lim = (x - 1)(x - 3) x -3 2 x ®1 x 2 - 4x + 3 x ®1 x ®1 (1 + 3x )3 - 1 (1 - 4x )4 - 1 2) A6 = lim - lim x x x ®0 x ®0 3x [(1 + 3x )2 + (1 + 3x ) + 1] -4x (2 - 4x )[(1 - 4x )2 + 1] = lim - lim x x x ®0 x ®0 = lim 3[(1 + 3x )2 + (1 + 3x ) + 1] + lim 4(2 - 4x )[(1 - 4x )2 + 1] = -7 x ®0 x ®0 (x 2 - 1)(x 2 - 4) x 4 - 5x 2 + 4 3) A6 = lim = lim x3 - 8 x 3 - 23 x ®2 x ®2 (x 2 - 1)(x - 2)(x + 2) (x 2 - 1)(x + 2) = lim = lim = 1. x ® 2 (x - 2)(x 2 + 2x + 4) x ® 2 x 2 + 2x + 4 6x 3 + 11x 2 + 6x (1 + x )(1 + 2x )(1 + 3x ) - 1 4) A7 = lim = lim = 6. x x x ®0 x ®0 Ví dụ 2: Tìm các giới hạn sau: xn - 1 1) A8 = lim (m, n Î ¥*) . x ®0 x m - 1 n 1 + ax - 1 2) A9 = lim (n Î ¥*, a ¹ 0) . x x ®0 Giải: (x - 1)(x n -1 + x n -2 + ... + x + 1) x n -1 + x n -2 + ... + x + 1 n 1) A8 = lim = lim = . x ® 0 (x - 1)(x m -1 + x m -2 + ... + x + 1) x ® 0 x m -1 + x m -2 + ... + x + 1 m 2) Cách 1: Nhân liên hợp (n 1 + ax - 1)(n (1 + ax )n -1 + n (1 + ax )n - 2 + ... + n 1 + ax + 1) A9 = lim x ®0 x (n (1 + ax )n -1 + n (1 + ax )n - 2 + ... + n 1 + ax + 1) a a = lim = . n x ®0 n (1 + ax )n -1 + n (1 + ax )n - 2 + ... + n 1 + ax + 1 Cách 2: Đặt ẩn phụ Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa -5-
  6. Giới hạn hàm số tn - 1 Đặt t = n 1 + ax Þ x = và x ® 0 Û t ® 1 a t -1 t -1 a Þ A9 = a lim = a lim =. t ®1 (t - 1)(t n -1 + t n + ... + t + 1) n t ®1 t n - 1 Ví dụ 3: Tình các giới hạn sau n 1 + ax 3 1 + b x 4 1 + g x - 1 1 + ax - 1 1) A10 = lim 2) A11 = lim x x ® 0 m 1 + bx - 1 x ®0 Giải: 1) Áp dụng bài toán trên ta có: n 1 + ax - 1 x a m am A10 = lim . lim =.= . x x ® 0 m 1 + bx - 1 n b bn x ®0 1 + ax 3 1 + bx 4 1 + g x - 1 = 2) Ta có: = 1 + a x 3 1 + b x (4 1 + g x - 1) + 1 + a x ((3 1 + b x - 1) + ( 1 + a x - 1) . 41 + gx 31+ bx - 1 -1 A11 = lim ( 1 + a x 3 1 + b x ) 1 + ax + lim x x x ®0 x ®0 1 + ax - 1 + lim x x ®0 gba ( Áp dụng kết quả bài A9 ). A11 = ++ 432 Ví dụ 4: Tìm các giới hạn sau: 3 3x + 2 - x 2x - 1 - x 2) A13 = lim 1) A12 = lim x2 - 1 3x - 2 - 2 x ®2 x ®1 Giải: 2x - 1 - x 2 -(x - 1) 1) A12 = lim = lim = 0. x ®1 (x - 1)(x + 1)( 2x - 1 + x ) x ®1 (x + 1)( 2x - 1 + x ) (3x + 2 - x 3 )( 3x - 2 + 2) -(x 2 + 2x + 1)( 3x - 2 + 2) 2) A13 = lim = lim . 3 3 x ®2 x ®2 2 2 3 3 3(x - 2)( (3x + 2) + 2 3x + 2 + 4) 3( (3x + 2) + 2 3x + 2 + 4) Þ A13 = -1 . Ví dụ 5: Tìm các giới hạn sau 3 x + 2 - 3 x + 20 7x + 1 - 5x - 1 1) A14 = lim 2) A15 = lim . x -1 4 x ®1 x ®7 x +9 -2 Giải: 3 3 7x + 1 - 2 - ( 5x - 1 - 2) 7x + 1 - 2 5x - 1 - 2 1) A14 = lim = I +J . = lim + lim x -1 x -1 x -1 x ®1 x ®1 x ®1 Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa -6-
  7. Giới hạn hàm số 7(x - 1) 7 I = lim = . 12 (x - 1)(3 (7x - 1)2 + 2 3 7x - 1 + 4) x ®1 5(x - 1) 5 5 J = lim = lim = 3 x ®1 (x - 1)( 5x - 1 + 1) 5x - 1 + 1 x ®1 9 Vậy A14 = . 4 x + 2 - 3 3 x + 20 - 3 - x + 2 - 3 x + 20 x -7 x -7 2) Ta có: A15 = lim = lim 4 4 x ®7 x ®7 x +9 -2 x +9 -2 x -7 x +2 -3 1 1 mà: lim = lim = x -7 6 x ®7 x + 2 + 3 x ®7 3 x + 20 - 3 1 1 lim = lim = . x -7 27 x ® 7 (3 x + 20)2 + 3 3 x + 20 + 9 x ®7 4 x +9 -2 1 1 lim = lim = . x -7 32 x ® 7 (4 x + 9)3 + 2(4 x + 9)2 + 4 4 x + 9 + 8 x ®7 11 - 6 27 = 112 . Vậy A15 = 1 27 32 Bài tập: Tìm các giới hạn sau: 2x 2 - 5x + 2 x 4 - 3x + 2 1) B5 = lim 2) B6 = lim x ® 2 x 3 - 3x - 2 x ®1 x 3 + 2x - 3 3 x +1 -1 2x + 3 - x 4) B8 = lim 3) B7 = lim x ® 0 4 2x + 1 - 1 x 2 - 4x + 3 x ®3 1 + 2x - 3 1 + 3x 3 4x - 1 - x + 2 6) B10 = lim 5) B9 = lim x2 4 x ®0 x ®7 2x + 2 - 2 (x + 1)(2x + 1)(3x + 1)(4x + 1) - 1 7) B11 = lim . x2 - 1 x ®1 3 3 4 - 2x + x 2 - 4 + 2x + x 2 8) B12 = lim . 2+x - 2-x x ®0 Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa -7-
  8. Giới hạn hàm số f (x ) ¥ Dạng 3: Tìm B = lim , trong đó f (x ), g(x ) ® ¥ , dạng này ta còn gọi là dạng vô định . x ®±¥ g (x ) ¥ Phương pháp: Tương tự như cách khử dạng vô định ở dãy số. Ta cần tìm cách đưa về các giới hạn: lim x 2k = +¥ lim x 2k + 1 = +¥ (-¥) . * ; x ®+¥ x ®+¥ (x ®-¥) (x ®-¥) k = 0 (n > 0; k ¹ 0) . * lim x ®+¥ x n (x ®-¥) k * lim f (x ) = +¥ (-¥) Û lim = 0 (k ¹ 0) . x ® x 0 f (x ) x ®x 0 Ví dụ 1: Tìm các giới hạn sau: 3x 2 + 5x + 1 1) A16 = lim x ®+¥ 2x 2 + x + 1 a x n + ... + an -1x + an 2) A17 = lim 0 (a 0b0 ¹ 0) . x ®+¥ b x m + ... + b m -1x + bm 0 Giải: 5 1 5 1 x 2 (3 ++) 3+ + x x2 x x2 3 1) Ta có: A16 = lim = lim = 1 1 1 1 2 x ®+¥ 2 x ®+¥ x (2 + + ) 2+ + x x2 x x2 a a a x n (a 0 + 1 + ... + n -1 + n ) x x n -1 x n 2) Ta có: A17 = lim b b b x ®+¥ m x (b0 + 1 + ... + m -1 + m ) x x m -1 x m a a a a0 + 1 + ... + n -1 + n x n -1 x n = a0 . x * Nếu m = n Þ A17 = lim b b b b0 x ®+¥ b0 + 1 + ... + m -1 + m x x m -1 x m a a a a0 + 1 + ... + n -1 + n x x n -1 x n * Nếu m > n Þ A17 = lim =0 b1 bm -1 bm x ®+¥ m - n x (b0 + + ... + ) + x x m -1 x m ( Vì tử ® a0 , mẫu ® 0 ). * Nếu m < n Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa -8-
  9. Giới hạn hàm số a an -1 a x n - m (a 0 + 1 + ... + + n) ì+¥ khi a 0 .b0 > 0 x x n -1 x n = ï Þ A17 = lim í . ï-¥ khi a 0b0 < 0 b b b x ®+¥ î b0 + 1 + ... + m -1 + m x x m -1 x m Ví dụ 2: Tìm các giới hạn sau: 2x 2 + 1 - x 2 + 1 3x 2 - 2 + x + 1 1) A18 = lim 2) A19 = lim . 2x + 2 x ®+¥ x ®-¥ 2 x +1 -1 Giải: 1 1 1 1 |x | 2 + -|x | 1+ 2+ - 1+ x2 x 2 = lim x2 x2 = 2 -1 1) Ta có: A18 = lim . 2 2 2 x ®+¥ x ®+¥ x (2 + ) 2+ x x 2 1 1 2 1 1 |x | 3 - + |x | - 3- + - + x x2 x x2 x2 x2 2) A19 = lim = lim = 3. 1 1 1 1 x ®-¥ x ®-¥ |x |( 1 + ) -( 1 + ) - - x2 | x | x2 | x | Ví dụ 3:Tìm các giới hạn sau 3 3x 3 + 1 - 2x 2 + x + 1 1) A20 = lim 4 x ®-¥ 4x 4 + 2 x x 2 + 1 - 2x + 1 2) A21 = lim . 3 x ®+¥ 3 2x - 2 + 1 Giải: 1 1 1 x3 3 + +x 2+ + 3 x x2 x3 3+ 2 1) Ta có: A20 = lim =- . 2 2 x ®-¥ -x 4 4 + x4 1 2 1 1 2 1 x 2( 1 + + ) x( 1 + -+) - x2 x x2 = x 2 x x 2 = +¥ 2) A21 = lim 2 1 2 1 x ®+¥ x (3 2 - +) 32- + x3 x x3 x (do tử ® +¥ , mẫu ® 3 2 ). Bài tập: Tìm các giới hạn sau (2x + 1)3 (x + 2)4 4x 2 - 3x + 4 - 2x 1) B13 = lim 2) B14 = lim (3 - 2x )7 x ®+¥ x ®-¥ x2 + x + 1 - x Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa -9-
  10. Giới hạn hàm số ln(1 + x 4 + x 6 ) 2x + 3x 2 + 2 4) B16 = lim 3) B15 = lim x ®-¥ ln(1 + x 3 + x 4 ) x ®+¥ 5x - x 2 + 1 Dạng 4 : Dạng vô định: ¥ - ¥ và 0.¥ Phương pháp: ¥ Những dạng vô định này ta tìm cách biến đổi đưa về dạng . ¥ Ví dụ 1: Tìm các giới hạn sau: 1) A22 = lim ( x 2 - x + 1 - x ) 2) A23 = lim (2x + 4x 2 - x + 1) x ®+¥ x ®-¥ Giải: 1) Ta có: ( x 2 - x + 1 - x )( x 2 - x + 1 + x ) x2 - x + 1 - x2 A22 = lim = lim x ®+¥ x ®+¥ x2 - x + 1 + x x2 - x + 1 + x -x + 1 1 Þ A22 = lim =- . 2 x ®+¥ x2 - x + 1 + x (2x - 4x 2 - x + 1)(2x + 4x 2 - x + 1) x +1 1 2) A23 = lim = lim = . 4 x ®-¥ 2x - 4x 2 - x + 1 x ®-¥ 2x - 4x 2 - x + 1 Ví dụ 2: Tìm các giới hạn sau: 3 1) A24 = lim ( x 3 - 3x 2 + x 2 - 2x ) x ®-¥ 2) A25 = lim x ( x 2 + 2x - 2 x 2 + x + x ) . x ®+¥ Giải: 33 3 x - 3x 2 + x 2 - 2x = ( x 3 - 3x 2 - x ) + ( x 2 - 2x + x ) 1) Ta có: -3x 2 -2x = + 3 (x 3 - 3x 2 )2 + x x 3 - 3x 2 + x 2 x 2 - 2x - x 3 -3 -2 Þ A24 = lim + lim = 0. 3 3 2 x ®-¥ x ®-¥ 3 (1 - )2 + 3 1 - +1 - 1- -1 x x x 2x 2 + 2x + 2x x 2 + 2x - 4x 2 - 4x x 2 + 2x - 2 x 2 + x + x = 2) Ta có: x 2 + 2x + 2 x 2 + x + x x 2 + 2x - x - 1 -2x = 2x = x 2 + 2x + 2 x 2 + x + x ( x 2 + 2x + 2 x 2 + x + x )( x 2 + 2x + x + 1) Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 10 -
  11. Giới hạn hàm số -2x 2 Þ A25 = lim x ®+¥ ( x 2 + 2x + 2 x 2 + x + x )( x 2 + 2x + x + 1) -2 1 A25 = lim =- . 4 2 1 2 1 x ®+¥ ( 1+ + 2 1 + + 1)( 1 + + 1 + ) x x x x Ví dụ 3: Tìm giới hạn: A26 = lim [n (x + a1 )(x + a2 )...(x + an ) - x ] . x ®+¥ Giải: Đặt y = n (x - a1 )(x - a2 )...(x - an ) yn - x n Þ y n - x n = (y - x )(y n -1 + y n -1x + ... + x n -1 ) Þ y - x = y n -1 + y n -1x + ... + x n -1 yn - x n yn - x n x n -1 Þ A26 = lim Þ lim (y - x ) = lim . y n -1 + y n -1x + ... + x n -1 x ®+¥ y n -1 + y n - 2x + ... + x n -1 x ®+¥ x ®+¥ x n -1 yn - x n b b b = lim (a1 + a2 + ... + an + 2 + 3 + ... + n ) = a1 + a2 + ... + an Mà lim x x2 x n -1 x n -1 x ®+¥ x ®+¥ y k x n -1 - k y n -1 + y n - 2x + ... + x n -1 = 1 "k = 0,..., n - 1 Þ lim =n lim x n -1 x n -1 x ®+¥ x ®+¥ a + a2 + ... + an Vậy A26 = 1 . n Bài tập: Tìm các giới hạn sau: 1) B17 = lim ( x2 - x + 1 - x ) 2) B18 = lim x ( 4x 2 + 1 - x ) x ®+¥ x ®-¥ 3 3) B19 = lim ( x 2 - x + 1 - x 2 + x + 1) 4) B20 = lim ( 8x 3 + 2x - 2x) x ®±¥ x ®+¥ 4 3 5) B21 = lim ( 16x 4 + 3x + 1 - 4x 2 + 2) 6) B22 = lim (x - 1 - x 3 ) . x ®+¥ x ®-¥ Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 11 -
  12. Giới hạn hàm số Dạng vô định các hàm lượng giác PP: Ta sử dụng các công thức lượng giác biến đổi về các dạng sau: sin x x tan x x * lim = lim = 1 , từ đây suy ra lim = lim = 1. x ®0 x x ® 0 sin x x ®0 x x ® 0 tan x sin u(x ) tan u(x ) * Nếu lim u(x ) = 0 Þ lim = 1 và lim = 1. x ® x 0 u(x ) x ® x 0 u(x ) x ®x 0 1 - cos ax A27 = lim Ví dụ 1: Tìm giới hạn sau: . x2 x ®0 Giải: 2 2 ax ax ö æ 2 sin ç sin ÷ 2 = a lim ç 2 ÷ =a. Ta có: A27 = lim 2 x ® 0 ç ax ÷ 2 x2 x ®0 ç ÷ è2ø Chú ý: Kết quả trên chúng ta thường hay được sử dụng để giải một số bài toán khác Ví dụ 2: Tìm các giới hạn sau 1 + sin mx - cos mx 1 - cos x . cos 2x . cos 3x 1) A28 = lim 2) A29 = lim . x ® 0 1 + sin nx - cos nx 2 x ®0 x Giải: 1) Ta có: mx mx mx mx nx mx mx 2 sin2 + 2 sin cos sin sin + cos 1 + sin mx - cos mx 2 =m 2 2 2. 2 . 2 2. = 1 + sin nx - cos nx nx nx nx n mx nx nx nx 2 sin2 + 2 sin cos sin sin + cos 2 2 2 2 2 2 2 mx nx mx mx sin sin + cos m 2 =m. 2 . lim 2 . lim 2 A28 = lim n x ® 0 mx x ® 0 nx x ® 0 nx nx n sin sin + cos 2 2 2 2 2) Ta có: 1 - cos x . cos 2x . cos 3x 1 - cos x + cos x cos 2x (1 - cos 3x ) + cos x (1 - cos 2x ) = x2 x2 1 - cos x 1 - cos 3x 1 - cos 2x + cos x . cos 2x + cos x = . x2 x2 x2 Sử dụng kết quả bài A27 ta có: 1 - cos x 1 - cos 3x 1 - cos 2x A29 = lim + lim cos x . cos 2x + lim cos x =3 x2 x2 x2 x ®0 x ®0 x ®0 Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 12 -
  13. Giới hạn hàm số Ví dụ 3: Tìm các giới hạn sau: tan2 2x 1 - cos 2x cos 2x - cos 3x 1) A30 = lim 2) A31 = lim 3) A32 = lim 3x x ® 0 x (sin 3x - sin 4x ) x ® 0 1 - 3 cos 2x x ®0 2 sin 2 Giải: 3x sin 2 sin x sin x 2 3 2 = 0. 1) Ta có: A30 = lim = lim x ( ) . lim 3x x ® 0 x 3x 2 x ®0 x ®0 sin 2 2 5x x 5x 2 sin sin sin 2 = - lim ( 5 . 1 5 2 2 ). lim 2) A31 = lim =. 7x x 5x 7x 2 x ®0 2 x ®0 x ®0 -2x cos sin cos 2 2 2 2 3 tan2 2x (1 + 3 cos 2x + cos2 2x ) tan2 2x 3) A32 = lim = lim 1 - cos 2x x ® 0 1 - 3 cos 2x x ®0 3 tan2 2x (1 + 3 cos 2x + cos2 2x ) = lim 2 sin2 x x ®0 tan 2x 2 x 2 3 ) (1 + 3 cos 2x + cos2 2x ). = 2 lim ( ) .( x ® 0 2x sin x Þ A32 = 6 . Ví dụ 4: Tìm các giới hạn sau 1 - n cos ax 1) A33 = lim x2 x ®0 - cos x + cos 2x - 3 cos 3x + 4 cos 4x - ... + 2008 cos 2008x 2) A34 = lim x2 x ®0 Giải: 1 - cos ax 1) Ta có: 1 - n cos ax = 1 + n cos ax + (n cos ax )2 + ... + (n cos ax )n -1 a1 a 1 - cos ax 1 Þ A33 = lim .= lim = 2 n 2n x2 x ®0 1 + n cos ax + (n cos ax )2 + ... + (n cos ax )n -1 x ®0 . 2008 2008 (-1)k k cos kx = å (-1)k +1(1 - k cos kx ) . å 2) Ta có: k =1 k =1 k 1 - cos kx 1 ("k = 1, 2, ..., 2008) Þ A34 = 0 . Mà lim = 2 x2 x ®0 Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 13 -
  14. Giới hạn hàm số Ví dụ 5: Tìm giới hạn x2 sin2 2x 1) A35 = lim 2) A36 = lim x ® 0 3 cos x - 4 cos x 1 + x sin 3x - cos 2x x ®0 Giải: 1 1) Ta có: A35 = lim x ® 0 1 + x sin 3x - cos 2x x2 1 + x sin 3x - cos 2x 1 + x sin 3x - 1 1 - cos 2x Mà: lim = lim + lim x2 x2 x2 x ®0 x ®0 x ®0 sin 3x 1 5 = 3 lim ( . )+1 = . x ® 0 3x 2 1 + x sin 3x + 1 2 Vậy: A35 = . 5 -(1 - 3 cos x ) + 1 - 4 cos x 3 cos x - 4 cos x 11 1 2) Ta có: lim = lim =- + =- . 68 24 x2 x2 x ®0 x ®0 x2 sin 2x 2 Þ A36 = 4 lim ( ) . lim = 4.(-24) = -69 . x ® 0 2x x ® 0 3 cos x - 4 cos x Ví dụ 6: Tìm các giới hạn sau sin(p x m ) p 1) A37 = lim . 2) A38 = lim ( - x ) tan x . p2 x ®1 sin(p x n ) x® 2 Giải: sin p (1 - x m ) sin p (1 - x m ) p (1 - x n ) 1 - xn 1) Ta có: A37 = lim = lim . lim . lim x ®1 sin p (1 - x n ) x ®1 p (1 - x m ) x ®1 sin p (1 - x n ) x ®1 1 - x m (1 - x )(x n -1 + x n - 2 + ... + 1) 1 - xn n = lim = lim . = m x ®1 1 - x m x ®1 (1 - x )(x m -1 + x m - 2 + ... + 1) p -x sin x p 2 2) Ta có: A38 = lim ( - x) . lim sin x = 1 . = lim p2 cos x p p p sin( - x ) x ® x® x® 2 2 2 2 Ví dụ 7: Tìm các giới hạn sau: 1 1) A39 = lim x a sin 2) A40 = lim (sin x + 1 - sin x ) (a > 0) x x ®+¥ x ®0 Giải: 1 1) Ta có: 0 £| x a sin |< x a . Mà lim x a = 0 x x ®0 Nên theo nguyên lí kẹp Þ A39 = 0 . Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 14 -
  15. Giới hạn hàm số 2) Trước hết ta có: sin x < x "x > 0 Ta có: x +1 - x x +1 + x 1 | sin x + 1 - sin x |=| 2sin . cos |< Mà 2 2 x +1 + x 1 = 0 nên A40 = 0 . lim x +1 + x x ®+¥ Bài tập: Tìm các giới hạn sau 1 - 3 1 + 2sin2x cos 3x - cos 4x 2) B24 = lim 1) B23 = lim sin 3x x ® 0 cos 5x - cos 6x x ®0 sin 4 2x cos 3x + 1 - sin 3x 4) B26 = lim 3) B25 = lim 1 - sin x x ® 0 sin 4 3x p x® 2 p 1 - sin( cos x ) 3 sin x + 2 cos x 2 5) B27 = lim 6) B28 = lim sin(tan x ) x +1 + x x ®0 x ®+¥ 3 m cos ax - m cos bx 2x2 + 1 - 3x2 + 1 7) B29 = lim 8) B20 = lim 1 - cos x sin2 x x ®0 x ®0 Giới hạn hàm số mũ và Lôgarít ex - 1 ln(1 + x ) Sử dụng giới hạn đặc biệt: lim = lim = 1. x x ®0 x x ®0 Từ đây ta có hệ quả: eu(x ) - 1 ln(1 + u(x )) Nếu lim u(x ) = 0 thì lim = lim = 1. x ® x 0 u(x ) u(x ) x ®x 0 x ®x 0 Ví dụ 1: Tìm các giới hạn sau 3 eax - ebx e 2x + 1 -1 - e 1 - 3x 1) A41 = lim 2) A42 = lim . x x x ®0 x ®0 Giải: eax - 1 ebx - 1 1) Ta có: A41 = a lim - b lim = a -b . x ® 0 ax x ® 0 bx 2) Ta có: 3 3 e 2x + 1 -1 - 1 e 1 - 3x -1 - 1 2x + 1 - 1 1 - 3x - 1 A42 = lim . lim - lim . lim x x x ® 0 3 1 - 3x - 1 x ® 0 2x + 1 - 1 x ® 0 x ®0 3 e 2x + 1 -1 - 1 e 1 - 3x -1 - 1 2x + 1 - 1 Mà lim = lim = 1 ; lim =1 x x ® 0 3 1 - 3x - 1 2x + 1 - 1 x ®0 x ®0 Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 15 -
  16. Giới hạn hàm số 3 1 - 3x - 1 = -1 . Nên Þ A42 = 1 + 1 = 2 . và lim x x ®0 Ví dụ 2: Tìm các giới hạn sau ax - 1 1) A44 = lim x ®0 x ln | x | - ln(3 3x + 1 + 1) | x + 1 - 1 |] 2) A43 = lim . x x ®0 Giải: ln(t + 1) t. ln a 1) Đặt t = a x - 1 Þ x = . Khi x ® 0 Þ t ® 0 Þ A44 = lim = ln a . ln a t ® 0 ln(1 + t ) Chú ý : Ta có dạng tổng quát của A 44 như sau: a u(x ) - 1 Nếu lim u(x ) = 0 Þ lim = ln a . x ® 0 u(x ) x ®0 x (3 3x + 1 + 1) 2) Ta có: (3 3x + 1 + 1)( x + 1 - 1) = x +1 +1 Þ ln(3 3x + 1 + 1) | x + 1 - 1 |= ln | x | + ln(3 3x + 1 + 1) - ln( x + 1 + 1) ln(3 3x + 1 + 1) - ln( x + 1 + 1) Þ A45 = lim = x x ®0 ln(1 + 3 1 + 3x) - ln 2 ln(1 + 1 + x ) - ln 2 = lim - lim x x x ®0 x ®0 1 1 ln(1 + (3 1 + 3x - 1)) ln(1 + ( 1 + x - 1)) 2 2 = I -J = lim - lim x x x ®0 x ®0 1 ln(1 + (3 1 + 3x - 1)) 3 1 + 3x - 1 1 1 1 2 Mà I = lim . = .1.1 = . x 2 x ®0 13 2 2 ( 1 + 3x - 1) 2 1 ln(1 + ( 1 + x - 1)) 1+x -1 1 1 1 1 2 J = lim . = .1. = . x 2 x ®0 1 224 ( 1 + x - 1) 2 111 Vậy A45 = - = . 244 Ví dụ 3: Tìm các giới hạn sau: ax - xa (1 + x )a - 1 1) A46 = lim 2) A47 = lim (a > 0) . x x ®a x - a x ®0 Giải: a ( ) - 1 = ea ln(1 + x ) - 1 1) Ta có: 1 + x Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 16 -
  17. Giới hạn hàm số (1 + x )a - 1 ea ln(1 + x ) - 1 a ln(1 + x ) ea ln(1 + x ) - 1 a ln(1 + x ) Þ A46 = lim . . =a. Þ = x a ln(1 + x ) x x ® 0 a ln(1 + x ) x (1 + u(x ))a - 1 Chú ý : Tổng quát ta có: Nếu lim u(x ) = 0 Þ lim =a. u(x ) x ®0 x ®0 x -a a é ù 2) Ta có: a x - x a = aa (a x -a - 1) - aa ê(1 + ) - 1ú a ë û x -a a (1 + ) -1 x a x -a a -x aa -1 a a -1 =a -a Þ x -a x -a x -a a x -a a (1 + ) -1 a x -a - 1 a a a -1 Þ A47 = a lim -a lim x ®a x - a x -a x ®a . a a = aa ln a - aa -1 .a = aa ln e Ví dụ 4: Tìm các giới hạn sau: 2 e 2x - x - 4 3x + 1 4 3x+1 -1 - sin 3x 1) A48 = lim 2) A49 = lim . ln(x 2 - x + 1) ln( 3x + 4 - 1) x ®0 x ®0 Giải: 1) Ta có: 2 e 2x - x - 4 3x + 1 = ln( 3x + 4 - 1) . é 2x 2 - x ù - 1 4 3x + 1 - 1 ú x (2x - 1) e 3x + 4 - 2 =ê . . - ê 2x 2 - x x (2x - 1) ú ln(1 + ( 3x + 4 - 2)) 3x + 4 - 2 ê ú ë û 2 e 2x - x - 1 3x + 4 - 2 Mặt khác : lim = lim =1 2x 2 - x ln(1 + ( 3x + 4 - 2)) x ®0 x ®0 4 4 x (2x - 1) 3x + 1 - 1 3x + 1 - 1 1 3 2 và lim = lim . lim = - ; lim =- x ® 0 x (2x - 1) x x ® 0 2x - 1 4 x ® 0 3x + 4 - 2 3 x ®0 3 2 7 Þ A48 = (1 + ).1.(- ) = - . 4 3 6 2) Ta có: é ù 4 3x + 1 -1 - cos 3x ê 4 3x +1 -1 - 1 1 - cos 3x ú x2 - x 3x + 1 - 1 = + . ln(x 2 - x + 1) 3x + 1 - 1 ú ln(x 2 - x + 1) x 2 - x ê 3x + 1 - 1 ë û 4 3x + 1 -1 - 1 3x + 1 - 1 3x + 1 - 1 1 3 Mà lim = 2 ln 2 ; lim = lim . lim =- x x ®0 x - 1 2 x2 - x 3x + 1 - 1 x ®0 x ®0 x ®0 Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 17 -
  18. Giới hạn hàm số 3x sin2 ( ) x2 - x x2 1 - cos 3x 9 2 . lim = 0 ; lim =1 lim = lim 2 x ® 0 3 2 x ® 0 3x + 1 - 1 x ® 0 ln(x 2 - x + 1) x ® 0 3x + 1 - 1 ( x) 2 Þ A49 = -3 ln 2 . ¥ Giới hạn 1 Phương pháp: Dựa vào các giới hạn đặc biệt sau: 1 1x 1 ) = lim (1 + )x = e . lim (1 + x )x = lim (1 + * x x x ®0 x ®+¥ x ®-¥ * Nếu lim u(x ) = 1 và lim v(x ) = +¥(-¥) x ®x 0 x ®x 0 1 v (x ) .(u(x ) -1)v(x ) thì lim éu(x )ù é1 + (u(x ) - 1)ù u(x ) -1 = lim ë û ë û x ®x x ®x 0 0 lim (u(x ) -1)v (x ) x ®x0 =e . Ví dụ 1: Tìm các giới hạn sau: 1 3x + 2 æx + 2ö 2 æ ö x -1 2) A52 = lim ç 2 - e x - x ) ÷ 1) A51 = lim ç ÷ . x ®+¥ è x + 1 ø x ®1 è ø Giải: 3x + 2 3x + 2 (x + 1). lim 1ö æ x +1 = e3 . = e x ® +¥ x + 1 1) Ta có: A51 = lim ç 1 + ÷ x + 1ø x ®+¥ è 2 2 1 -e x - x 1 1 -e x - x . lim 2 -x ö æ x -1 2 x = e x ® 1 x -1 ) ÷1 -ex - x 2) Ta có: A52 = lim ç 1 + (1 - e x ®1 è ø 2 2 1 - ex -x 1 - ex - x .x = -1 . Vậy A52 = e -1 . Mà lim = lim x ®1 x - 1 x ®1 x 2 - x Ví dụ 2: Tìm các giới hạn sau: 2x + 1 x 2 - x + 1 3x 2 cot2 x 2) A54 = lim ( 1) A53 = lim (1 + x ) ) . x ®0 x 2 + x + 1 x ®0 Giải: x2 x2 1 . lim 2 2 2 1) Ta có: A53 = lim (1 + x 2 )x tan x = e x ® 0 tan x = e . x ®0 Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 18 -
  19. Giới hạn hàm số x2 - x + 1 x 2 + x + 1 -2(2x + 1) 2x 2x + 1 =1- = (- ) 2) Ta có và 3x 2x x2 + x + 1 x2 + x + 1 3(x 2 + x + 1) x 2 + x + 1 -2(2x + 1) -2(2x + 1) 2 . lim - - 2x 2x 3(x 2 + x + 1) x ® 0 3(x 2 + x + 1) 3 Þ A54 = lim (1 - =e =e ) 2 x ®0 x +x +1 A55 = lim (sin x )tan x Ví dụ 3: Tìm giới hạn: p x® 2 Giải: sin x -1 lim (sin x -1) 1 p cot x . x® sin x -1 cot x Ta có: A55 = lim [1 + (sin x - 1)] =e 2 p x® 2 xp xp p sin x - sin 2 cos( + ) sin( - ) sin x - 1 2 = lim 24 24 Mà lim = lim cot x p p p p p tan( - x ) tan( - x ) x® x® x® 2 2 2 2 2 xp p -x sin( - ) xp 24 2 = lim [ - cos( + )] = 0. xp 24 p p tan( - x ) - x® 24 2 2 Vậy A55 = e 0 = 1 . Bài tập: Tìm các giới hạn sau Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 19 -
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
4=>1