Hệ bất phương trình vô tỷ

Chia sẻ: Paradise8 Paradise8 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:13

Thêm vào BST

Báo xấu

125
lượt xem 21
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'hệ bất phương trình vô tỷ', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Hệ bất phương trình vô tỷ

Hệ bất phương trình vô tỷ  x( x  y )  y ( x  y ) Bài 1:  2 2 2 x  y  3xy  1 2 2  x  y  2 xy Bài 2:   x 2  y 2  3 xy  x  y  1 Bài 3:  2 2  x  y  xy  1 x 2  y 2  xy  1 Bài 4: x 2  y 2  4 xy x  y  1 Bài 5:  2 2  x  xy  xy  3  x 2 | y | 1  Bài 6:  2  y | x | 1   x 2  3x  1  y  Bài 7:  y 2  3 y  1  z 2 z  3z  1  x x 2  y 2  4 Bài 8:  2 Tìm n0 nguyên  2  x  y  2 | x | 2 | y |   xy  1  y  y Bài 9:   2 xy  y  y  1  x 2  5x  4  0 Bài 10:  3  2  x  3x  9 x  10  0 
5 x 2  2 xy  y 2  3 Bài 11:  2 m ;(ĐHQG 2001)  2 2 x  2 xy  y  m  1   x y 3 Bài 12:  (ĐHSPI 2001)   x5  y 3  a  x  y  2  Bài 13:  ;(ĐHGTVT 2001)  x  y  2 x ( y  1)  a  2   x 2  5m 2  8m  2(3mx  2)  Bài 14:  2  x  4m 2  m(4 x  1)  Tìm m dể với mọi x đều là n0 đúng ít nhất một trong 2 pt Bài 3. Tìm các giá trị cu a để hệ phương trình sau có 3 x  y  z  1 2 x  y  2 z  5  nghiệm  x  2 y  3 z  0  (a  1) x  2 y  az  7  Bài 4. Cho hệ phương trình  x  x  y  2000   x  x y  y  k  2. Phương trình tham số: a  b x  a  b  y  a Bài 1: Giải biện luận hệ  2a  b x  2a  b  y  b ax  y  b Bài 2:  2  x  ay  c  c
1, Cho b = 0 giải theo a và b 2, Tìm b để  a ta luôn được c sao cho hệ có nghiệm. 6ax  2  a  y  3 Bài 3:  (a  1) x  ay  2 1, Giải biện luận theo a. 2, Giả sử(x,y) là nghiệm. Tìm liên hệ giữa xvà y. ax  by  c  Bài 4: bx  cy  a có nghiệm. Chứng minh rằng a3+b3+c3=3abc cx  ay  b  ax  y  z  a 2  Bài 5: Giải biện luận  x  ay  z  3a  x  y  az  z  mx  ny  m  1 Bài 6: Giải biện luận  nx  my  n  1 1 1  x  m y  m 1  Bài 7: Tìm m để hệ có nghiệm   m  1  2m x y  3 x  (k  1) y  k  1 Bài 8:  Xác định k để hệ đó có nghiệm. (k  1) x  y  3  x  ky  3 Bài 9:  Xác định k để hệ có nghiệm(x0,y0) mà x0,y0>1 kx  4 y  6 2 3 m x  (2  m) y  m  4 Bài 10:  Xác định m để hệ vô nghiệm. mx  (2m  1) y  m 5  2  mx  2 y  n Bài 11:  Xác định n để hệ có nghiệm m x  5 y  7
mx  y  1 Bài 12:  x  my  1 Tìm m để hệ có nghiệm  x  y  m  2mx  3 y  m Bài 13: Tìm m để hệ có nghiệm nguyên  x  y  m  1 Bài 14: Tìm liên hệ giữa x và y để hệ không phụ thuộc vào m (m  2) x  2my  m  x  (m  3) y  M  1 a,  b,  (2m  1) x  y  2m  5 (m  1) x  y  2m  3 ay  bx  c  Bài 15: a, b, c là 3 cạnh của  chứng minh rằng cx  az  b bz  cy  a  Bài 16: Tìm m, n, p để hệ sau đồng thời vô nghiêm.  x  py  n  px  y  m nx  my  1     px  y  m nx  my  1  x  py  n x  y  z  0 Bài 17: Giải và biện luận (b  c) x  (a  c) y  (a  b) z  0  bcx  acy  abz  1  mx  4 y  m 2  4 Bài 18: Cho   x  (m  3) y  2m  3 1. Với giá trị nào của m hệ pt có n0duy nhất: x  y 2. Với giá trị m tìm được tìm: Min{x+y} ax 2  bx  c  0  Bài 19: Tìm liên hệ của a, b, c để hệ có n0 bx 2  cx  a  0 2 cx  ax  b  0
my  nz  p Bài 18: Tìm m, n, p để hệ có n0  px  mz  n  nz  py  m  II. biến đổi tương đương  ( x  y )( x  y  z )  45  Bài 1:  ( y  z )( x  y  z )  63  ( x  z )( x  y  z )  54   xy  a  Bài 2: 1. Cho abc > 0. Giải hệ  yz  b  zx  c  2. áp dụng giải hệ  xyz 24 x  y  5   x  y  xy  1  x( x  y  z  z  yz xyz 24 a,  y  z  yz  5 b,  y ( x  y  z )  3  xz c,      y z 7  x  z  xz  2  z ( x  y  z )  6  xy    xyz 4  x  z  x 2  2 yz  x x 2  y 2  z  1   Bài 3: Giải a,  y 2  2 zx  y b,  x 2  y  z 2  1 c, 2  2 2  z  2 xy  z x  y  z  1  xyz  x  y  z  yzt  y  z  t    ztx  z  t  x txy  t  x  y 
 2x 2 y  1 x x  y  z  1   2y2  b,  x 2  y 2  z 2  1 Bài 4: Giải a,  z 1 y  x 3  y 3  z 3  1   2z 2 x  1  z 2 2 x  3 y  9 Bài 5: Giải  4   y  4(2 x  3) y 2  48 y  48 x  155  0  I/ Giải các hệ phương trình sau : 12 x 2  48x  64  y 3 1 3 2    x  xy  2000 y  0  2/ 12 y 2  48 y  64  z 3 2  1/  3  y  yx 2  500 x  0 2  12 z  48z  64  x 3 3  G/s (x; y; z) là nghiệm của hệ phương trình trên thì dễ thấy ( y; z; x); (z; y; x) cũng là nghiệm của hệ do đó có thể giả sử : x = max{x; y; z}   Từ 12x 2  48x  64 12 x 2  4 x  4  16  16  y 3  16  y  2 Tương tự x  2 ; z  2 Trừ (1) cho (3): y3 – x3 = 12(x2 – z2) – 48(x-z)  y3 – x3 = 12(x– z)(x+z-4) VT  0; VT  0 . Dấu “=” xảy ra  x  y  z  x 19  y 5  1890z  z 2001   3/  y19  z 5  1890 x  x 2001  19 5 2001 z  x  1890 y  y  Ta đi cm hệ trên có nghiệm duy nhất x = y = z
Giả sử (x,y,z) là nghiệm của hệ  ( x;  y; z) cũng là nghiệm của hệ  không mất tính tổng quát ta giả sử ít nhất 2 trong 3 số x, y, z không âm. Ví dụ: x  0; y  0 . Từ phương trình 1  z  0 . Cộng từng vế phương trình ta có: z       2001  1890z  x 2001  1890x  y 2001  1890z  z19  z5  x19  x 5  y19  y5 . Ta cú: 0  t  1  t 2001  1890t  t19  t 5 t 2000  1890  t18  t 4 (đỳng) t  1  t 2001  1890t  t19  t 5 Thật vậy: t 2001  1890  1  t 2000  2t1000 cô si  t18  t 4 (đpcm) Vậy x = y = z 2 x  1  y 3  y 2  y x 5  x 4  2x 2 y  2     4/ 2 y  1  z 3  z 2  z 5/  y 5  y 4  2 y 2 z  2  5 3 2 4 2  2z  1  x  x  x  z  z  2z x  2   Tỡm nghiệm dương của phương trỡnh  x 4  y 4  z 4  8x  y  z  6/   xyz  8  y 3  6 x 2  12 x  8  0   7/  x 3  6z 2  12z  8  0 3 2 z  6 y  12 y  8  0 
a b    c  xz x z x  y  z  1 b c  9/    a  xy 8/  x y z x  y y  z y  z  x  y  z  x  y 1 y x  c a    c  yz z y Trong đú a;b;c  R *   x 1  x 2  ...  x n  n  10/   x 1  8  x 2  8  ...  x n  8  3n   x 3  3xy 2  49  11/  2  x  8xy  y 2  8 y  17 x     x 2 x  1  2 y 3  x  1 x 3  y  2      12/  y 2 y  1  2 z 3  y  1 13/  3 y  x  2 2    z z  1  2 x  z  1 3  y 30 2  4 y  2004 x  y 3  9 x 2  27 x  27  0  z  14/ z 3  9 y 2  27 y  27  0 15/ 30 2  4z  2004 y 3 2  x  9z  27 z  27  0  x 30 2  4 x  2004 z  y 3  6 x 2  12 x  8  0 2 x  x 2 y  y     16/ z 3  6 y 2  12 y  8  0 17/ 2 y  y 2 z  z 3  2 2  x  6z  12z  8  0  2z  z x  x  
  1 1 1  3 x    4 y    5 z     18/   x y z    xy  yz  xz  1   x 2  21  y  1  y 2  19/   y 2  21  x  1  x 2  x  y  z  0  20/  x 2  y 2  z 2  10 7 7 7  x  y  z  350  x  30.4  y  2001  2121  21/   x  2001  y  30.4  2121  3 2 x  y2  z2   x  x 2  y 2 9x  2    5  x  x 2  y2 3  22/  xy  yz  xz   23/  4  x 5  3x   y  65  y  1   xyz  8   x 5  x 4  2x 2 y  2   24/  y 5  y 4  2 y 2 z  2 5 4 2  z  z  2z x  2  x  y 8  256  25/ Tìm m để hệ phương trình sau có đúng 2 nghiệm.  x 8  y8  m  2   x 3 2  3y   1  26/  3   x y  2  3 
 x 3  3xy 2  49  27/  2  x  8xy  y 2  8 y  17 x     x 2 x  1  2 y 3  x  1     28/  y 2 y  1  2 z 3  y  1 2   z z  1  2 x  z  1 3  x 3  y  2  x 6 k 3  y  2   k  N  29/  3 Tổng quát:  6 k 3 y  x  2 y x2   2 x  x 2 y  y  x 2  21  y  1  y 2    30/ 2 y  y 2 z  z 31/   y 2  21  x  1  x 2   2  2z  z x  x   x  x 2  y 2 9x    x  30.4  y  2001  2121 5  x  x 2  y2  32/  33/   x  2001  y  30.4  2121  x 5  3x   y  65  y   n x  y  z  0  x i  n   i1 34/  x 2  y 2  z 2  10 ;b  1 35/ Cho  n 7  x  b  1  bn 2 7 7  x  y  z  350  i1 i  . CMR:Hệ phương trình có nghiệm duy nhất x1 = x2 = ...= xn =1
 x 2  yz  y  x 3 9 9 7  x  xy  y  y  36/  y 2  xz  z  y 37/  2 3 x  y  2  2  z  xy  x  z  xy  x  y  1 38/  yz  y  z  5   xz  x  z  2  x  1  y 2  1 2  x  xy  x  10  38/  40/  2  y  xy  y  20  y  1  x2  3    x 1  y   2y   41/  y 1  z   2z   z 1  x   2x  Sử dụng bất đẳng thức chứng minh x ≤ y, y ≤ z, z ≤ x  x = y = z x2  y2  5  x  xy  y  1 2,  1,  (NT  98) ( MTCN  99)  2 2 4 22 4  x y  y x  6  x  x y  y  13   x 2 y  y 2 x  30  x 3  y3  1 3,  3 3 4,  5 5 2 2 ( AN  97) ( BK  93)    x  y  35 x  y  x  y    x 2  y 2  xy  7  x  y  xy  11 5,  6,  (SP1  2000) (QG  2000)  2 2 4 4 22  x  y  3( x  y )  28  x  y  x y  21  1  x y 7 ( x  y )(1  xy )  5   1  8,  7,  y x xy (NT  99) ( HH  99)  1 ( x  y )(1   2 2 )  49  x xy  y xy  78 x2 y2  
11  x  y  x  y  4  x ( x  2)(2 x  y )  9 9,  10,  ( AN  99) ( AN  2001)  2 x2  y2  1  1  4 x  4x  y  6 x 2 y2    x 2  x  y  1  x  y 2  x  y  1  y  18 11,  ( AN  99) 2  x  x  y  1  x  y2  x  y  1  y  2   y  xy 2  6 x 2  x (3 x  2 y )( x  1)  12 13,  12,  ( SP1  2000) ( BCVT  97)  2 22 2 x  2y  4 x  8  0 1  x y  5 x  2 x 2  3 x  y 2  2 x  y  4 15,  2 14,  2 2 3 3 (QG  2000) ( HVQHQT  2001)  2 ( x  y )( x  y )  280 2 y  3 y  x  2  13  2 x  y  x 2  x  3x  y 16,  17,  ( MTCN  98) (QG  99)   2 2 y  1  3 y  3y  x   xy  3  2 x  y   x 3  3 x  8y x2 18,  3 19,  (QG  98) ( TL  2001)   3  y  3y  8 x  2 y  x  y2   y2  2  3y    x 5  y2  7 x2  20,  21,  ( KhèiB  2003) (NN1  2000)  2 3 x  x  2  y5  x 2  7  y2   3 x 2  2 xy  16 1  x 3 y 3  19 x 3 22,  2 23,  ( HH  TPHCM ) (TM  2001)   2 2 2  x  3 xy  2 x  8  y  xy  6 x    x 2  2 xy  3 y 2  9 2 y ( x 2  y 2 )  3 x 24,  25,  ( HVNH  TPHCM ) ( M § C  97)   2 2 2 2 2 x  13 xy  15 y  0  x ( x  y )  10 y  
III. Phương pháp thế 1  x  y  1  x  y x y 6 5 1   Bài 1:  x  y Bài 2:  y   1 Bài 3: x y z   xy  2  1  z  x  1   xy  4  8  y 2  ;(CĐSPHN 2001)   xy  2  x 2  IV. Phương pháp đặt ẩn phụ x y 5  y  xy 2  6 x 2  Bài 2:  Bài 1:  y x 6 ;(ĐHSP   1  x 2 y 2  5 x 2 x 2  y 2  5   2000)  x( x 2  y 2  10 y x 3  y 3  7 Bài 3:  ;(ĐH Mỏ 1997) Bài 4:  ;(ĐHQG  2 y ( x 2  y 2 )  3 x  xy ( x  y )  2  1997) 33 3  1  x y  19 x Bài 5:  ;(ĐH TMại 2001) Bài 6:  y  xy 2  6 x 2  (2 x  y ) 2  5(4 x 2  y 2 )  6(2 x  y ) 2  0  ; 1  2 x  y  2 x  y  3  (ĐHXD 1997)  x( x  2)(2 x  y )  9 Bài 7:  ;(ĐHAN 01) Bài 2 x  4 x  y  6 128 x 2 (4 x 2  1)(8 x 2  1) 2  1  2 x  0 8:  (HVQY 01)  1 / 2  x  0