Luyện thi đại học môn Toán: Tích phân

Chia sẻ: Hà Hoàng Lâm | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:19

Thêm vào BST

Báo xấu

239
lượt xem 101
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo các chuyên đề toán học dùng ôn thi cao đẳng, đại học

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luyện thi đại học môn Toán: Tích phân

Chuyên đề TÍCH PHÂN CÔNG THỨC Bảng nguyên hàm Nguyên hàm của những Nguyên hàm của những hàm số Nguyên hàm của những hàm số sơ cấp thường thường gặp hàm số hợp gặp ∫ dx = x + C 1 ∫ d ( ax + b) = a ( ax + b) + C ∫ du = u + C x α +1 u α +1 + C ( α ≠ 1) ( ax + b ) α dx = 1 ( ax + b ) + C (α ≠ 1) + C ( α ≠ 1) α +1 ∫ x α dx = α +1 ∫ ∫ u α du = α +1 a α +1 dx du ∫ x = ln x + C ( x ≠ 0) ∫ dx 1 = ln ax + b + C ( x ≠ 0 ) ∫ u = ln u + C ( u ≠ 0) ax + b a ∫ e dx = e + C ∫ e du = e + C x x u u 1 ax ∫ e ax + b dx = e ax +b + C a au ∫ a x dx = + C ( 0 < a ≠ 1) 1 ∫ a u dx = + C ( 0 < a ≠ 1) ln a ∫ cos( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) + C ln a a ∫ cos xdx = sin x + C 1 ∫ cos udu = sin u + C ∫ sin ( ax + b ) dx = − cos( ax + b ) + C ∫ sin xdx = − cos x + C 1 a 1 ∫ sin udu = − cos u + C 1 ∫ dx = tan ( ax + b ) + C 1 ∫ cos x dx = tan x + C 2 cos ( ax + b ) 2 a ∫ cos u du = tan u + C 2 1 1 1 ∫ dx = − cot ( ax + b ) + C 1 ∫ sin 2 x dx = − cot x + C sin ( ax + b ) 2 a ∫ sin 2 u du = − cot u + C I. ĐỔI BIẾN SỐ TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 1. Đổi biến số dạng 2 b ò f[ x)] (x)dx ta thực hiện các bước sau: / Để tính tích phân u( u a Bước 1. Đặt t = u(x) và tính dt = u/( dx . x) Bước 2. Đổi cận: x = a Þ t = u( = a, = b Þ t = u( = b . a) x b) b b ò f[ x)] (x)dx = ò f(t)dt. / Bước 3. u( u a a 2 e dx Ví dụ 7. Tính tích phân I = ò xl x . n e Giải dx Đặt t = l x Þ dt = n x x = e Þ t= 1 x = e Þ t= 2 , 2 2 dt Þ I= ò t n 2 = l t 1 = l 2. n 1 Vậy I = l 2 . n p 4 Ví dụ 8. Tính tích phân I = cosx ò (si x + 3 dx . n 0 cosx) 1
Hướng dẫn: p p 4 4 cosx 1 dx I= ò (si x + n cosx)3 dx = ò (tan x + 1) .cos x . Đặt t = tan x + 1 3 2 0 0 3 ĐS: I = . 8 3 dx Ví dụ 9. Tính tích phân I = ò (1 + 1 x) 2x + 3 . 2 Hướng dẫn: Đặt t = 2x + 3 3 ĐS: I = l . n 2 1 3- x Ví dụ 10. Tính tích phân I = ò 1+ x dx . 0 Hướng dẫn: 2 3 3- x t dt Đặ t t = Þ L 8ò 2 2 ; đặt t = t u L an 1+ x 1 ( + 1) t p ĐS: I = - 3 + 2. 3 Chú ý: 1 3- x Phân tích I = ò 1+ x dx , rồi đặt t = 1 + x sẽ tính nhanh hơn. 0 2. Đổi biến số dạng 1 b Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], để tính ∫ f ( x)dx a ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Đặt x = u(t) và tính dx = u / (t )dt . Bước 2. Đổi cận: x = a ⇒ t = α , x = b ⇒ t = β . b β β ∫ f ( x)dx = ∫ f [u(t )]u (t )dt = ∫ g (t )dt . / Bước 3. a α α 1 2 Ví dụ 1. Tính tích phân I = 1 ò dx . 0 1 - x2 Giải p pù i , é Đặt x = s n t t Î ê ; úÞ dx = cost - dt ë 2 2û 1 p x = 0 Þ t = 0, = Þ t = x 2 6 p p p 6 6 6 p cost cost p p Þ I= ò dt = ò cost dt= ò dt = t 0 = 6 - 0= . 0 1 - s n2 t i 0 0 6 6 p Vậy I = . 6 2 Ví dụ 2. Tính tích phân I = ò 4 - x2 dx . 0 2
Hướng dẫn: Đặt x = 2s n t i ĐS: I = p . 1 dx Ví dụ 3. Tính tích phân I = ò1+ x2 . 0 Giải æ p pö Đặt x = t t t Î ç- ; ÷Þ dx = ( an x + 1) an , ç ç 2 2÷ ÷ t 2 dt è ø p x = 0 Þ t = 0, = 1 Þ t = x 4 p p 4 4 t t+ 1 an 2 p Þ I= ò1+ t 2t an dt = ò dt = 4 . 0 0 p Vậy I = . 4 3- 1 dx Ví dụ 4. Tính tích phân I = ò 2 x + 2x + 2 . 0 Hướng dẫn: 3- 1 3- 1 dx dx I= ò 2 x + 2x + 2 = ò 1 + (x + 1) . 2 0 0 Đặ t x + 1 = t t an p ĐS: I = . 12 2 dx Ví dụ 5. Tính tích phân I = ò 4 - x2 . 0 p ĐS: I = . 2 3- 1 dx Ví dụ 6. Tính tích phân I = ò 2 x + 2x + 2 . 0 p ĐS: I = . 12 3. Các dạng đặc biệt 3.1. Dạng lượng giác p 2 Ví dụ 11 (bậc sin lẻ). Tính tích phân I = xdx . ò cos x si 2 3 n 0 Hướng dẫn: Đặt t = cosx 2 ĐS: I = . 15 p 2 Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân I = ò cos xdx . 5 0 Hướng dẫn: Đặ t t = s n x i 8 ĐS: I = . 15 3
p 2 Ví dụ 13 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân I = x s n2 xdx . ò cos 4 i 0 Giải p p p p 2 2 2 2 1 1 1 ò cos ò cos2 x si 2 2xdx = 16 ò (1 - cos4x)dx + 4 ò cos2x si 2 2xdx 4 I= x s n2 xdx = i n n 0 4 0 0 0 p p p 1 2 1 æ 2 x 1 s n3 2x ö 2 i ÷ = p. = ò ( - cos4x) + ò s n2 2xd( i 2x)= ç - 1 dx i sn ç16 64 s n 4x + i ÷ ÷ 16 0 8 0 è 24 ø0 32 p Vậy I = . 32 p 2 Ví dụ 14. Tính tích phân I = dx . ò cosx + sn x + 1 i 0 Hướng dẫn: x Đặ t t = tan . 2 ĐS: I = l 2 . n a 2t 1 −t 2 2t Biểu diễn các hàm số LG theo t = tan : sin a = 2 ; cos a = ; tan a = . 2 1 +t 1 +t 2 1 −t 2 3.2. Dạng liên kết p xdx Ví dụ 15. Tính tích phân I = ò si x + 1 . n 0 Giải Đặt x = p - t Þ dx = - dt x = 0 Þ t = p, = p Þ t = 0 x 0 p p ( - t dt ) p t Þ I= - ò i p s n( - t + 1 ) = ò ( si t + 1 - n sn t+ 1 i dt ) p 0 p p dt p dt = pò - IÞ I= ò 0 s n t+ 1 i 2 0 sn t+ 1 i æ pö t p p dt p p dt p dç - ÷ ç ÷ ÷ p = ò = ò p ç2 4 ø è p æ pö t2 4 0 cos2 t - p = ò = t ç an çt - ÷ = p . ÷ 2 0 ( t s n + cos i 2 2 ) 2 4 (2 0 ) æ pö 2 2 çt cos ç - ÷ ÷ ÷ ÷ ç2 4 ø è 0 ç2 4 ø è Vậy I= p . Tổng quát: p p p ò xf(si x)dx = 2 ò f(si x)dx . n n 0 0 p 2 Ví dụ 16. Tính tích phân I = s n2007 x i ò si 2007 x + cos2007 x dx . n 0 Giải p Đặt x = - t Þ dx = - dt 2 4
p p x = 0 Þ t= , = Þ t = 0 x 2 2 0 s n2007 i ( p - t) 2 p 2 2007 cos t Þ I= - ò si dx = ò si 2007 t + cos2007 tdx = J (1). p 2 n 2007 ( p - t) + cos ( p - t) 2 2 2007 0 n p p (2). Từ (1) và (2) suy ra I = p . 2 Mặt khác I + J = ò dx = 2 4 0 Tổng quát: p p 2 2 s nn x i cosn x p ò si n x + cosn x dx = n ò si n x + cosn x dx = 4 ,n Î Z+ . n 0 0 p p 6 2 6 2 Ví dụ 17. Tính tích phân I = sn x i cos x ò si x + 3 cosx dx và J = n ò si x + 3 cosx dx . n 0 0 Giải I- 3J = 1 - 3 (1). p p 6 6 dx 1 dx I+ J = ò si x + ò si x + p dx = 0 n 3 cosx 2 0 n 3 ( ) p 1 Đặt t = x + Þ dt = dx ⇒I + J = l 3 (2). n 3 4 3 1- 3 1 1- 3 Từ (1) và (2)⇒I = l 3+ n , = J l 3- n . 16 4 16 4 1 l 1 + x) n( Ví dụ 18. Tính tích phân I = ò dx . 0 1 + x2 Giải Đặt x = t t Þ dx = ( + t 2 t dt an 1 an ) p x = 0 Þ t = 0, = 1 Þ t = x 4 p p 4 4 l 1+ t t n( an ) Þ I= ò 1 + tan2 t ( 1 + tan2 t) dt = ò l 1 + tan t)dt. n( 0 0 p Đặt t = - u Þ dt = - du 4 p p t = 0 Þ u = , = Þ u = 0 t 4 4 p 0 4 é æp öù Þ I= ò l 1 + tan t)dt = - n( l ê + t ç - u ÷ du ò ê n 1 an ç ÷ ÷ú ë ç4 è øú û 0 p 4 p p 4 æ an ö 1- t u ÷ 4 æ 2 ö = ò l ç1 + nç ç è 1+ t u÷ an ø du ÷ = ò l ç1 + nç ç è t uø ÷ ÷ an ÷ du 0 0 p p 4 4 p = ò l 2du - ò l ( 1 + n n t u ) du = an l 2 - I. n 0 0 4 5
p Vậy I = l 2. n 8 p 4 cosx Ví dụ 19. Tính tích phân I = ò 2007 p x + 1 dx . - 4 Hướng dẫn: Đặ t x = - t 2 ĐS: I = . 2 Tổng quát: Với a , a > 0 , hàm số f x) chẵn và liên tục trên đoạn [ - a; ] thì > 0 ( a a a f x) ( ò ax + 1 dx = ò f(x)dx . - a 0 Ví dụ 20. Cho hàm số f(x) liên tục trên ¡ và thỏa f - x)+ 2f x) = cosx . ( ( p 2 Tính tích phân I = ò f(x)dx . p - 2 Giải p 2 Đặt J = ò f(- x)dx , x = - t Þ p dx = - dt - 2 p p p p x=- Þ t = , = Þ t = - x 2 2 2 2 p p 2 2 Þ I= ò f(- t)dt = J Þ p 3I = J + 2I = ò[ f(- x)+ 2f(x)] dx p - - 2 2 p p 2 2 = ò cosxdx = 2ò cosxdx = 2 . p - 0 2 2 Vậy I = . 3 3.3. Các kết quả cần nhớ a i/ Với a , hàm số f x) lẻ và liên tục trên đoạn [–a; a] thì > 0 ( ò f(x)dx = 0 . - a a a ii/ Với a , hàm số f x) chẵn và liên tục trên đoạn [–a; a] thì > 0 ( ò f(x)dx = 2ò f(x)dx . - a 0 iii/ Công thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm) p ì ( - 1)! ï n p ! 2 ï ï 2 , un leû neá ò cosn xdx = ò s nn xdx = ï i í n!! . ï ( - 1)! p ï n ! 0 0 ï . ,neá n chaü u n ï ï î n!! 2 Trong đó n!! đọc là n walliss và được định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn. Chẳng hạn: 6
0! = 1 1! = 1 2! = 2; != 1. 4! = 2. 5! = 1. 5; ! ; ! ; ! 3! 3; ! 4; ! 3. 6! = 2. 6; != 1. 5. 8! = 2. 6. 9! = 1. 5. 9; != 2. 6. 10 . ! 4. 7! 3. 7; ! 4. 8; ! 3. 7. 10! 4. 8. p 2 Ví dụ 21. 10!! 2. 6. 10 4. 8. 256 . ò cos 11 xdx = = = 0 11! 1. 5. 9. ! 3. 7. 11 693 p 2 Ví dụ 22. 9! p ! 1. 5. 9 p 63p . 3. 7. ò si 10 n xdx = . = . = 0 10! 2 2. 6. 10 2 ! 4. 8. 512 II. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 1. Công thức Cho hai hàm số u( , x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Ta có x) v( ( uv ) / = u v + uv Þ ( uv ) / dx = u vdx + uv dx / / / / b b b Þ d ( uv ) = vdu + udv Þ ò d(uv) = ò vdu + ò udv a a a b b b b Þ uv ò vdu + ò udv Þ ò udv = uv ò vdu . b b a = a - a a a a Công thức: b b ò udv = uv ò vdu (1). b a - a a Công thức (1) còn được viết dưới dạng: b b ò f(x)g (x)dx = f(x)g(x) ò f (x)g(x)dx (2). / b / a - a a 2. Phương pháp giải toán b Giả sử cần tính tích phân ò f(x)g(x)dx ta thực hiện a Cách 1. Bước 1. Đặt u = f x) dv = g( dx (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v( và vi ( , x) x) b ò vdu phải tính được. / phân du = u ( dx không quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân x) a Bước 2. Thay vào công thức (1) để tính kết quả. Đặc biệt: b b b ò P(x)si axdx, ò P(x)cosaxdx, ò e . x) với P(x) là đa thức thì đặt u = P( . x) ax i/ Nếu gặp n P( dx a a a b ii/ Nếu gặp ò P(x)l xdx thì đặt u = l x . n n a Cách 2. b b ò f(x)g(x)dx = ò f(x)G / Viết lại tích phân ( dx và sử dụng trực tiếp công thức (2). x) a a 1 ò xe dx . x Ví dụ 1. Tính tích phân I = 0 Giải 7
ìu=x ï ì du = dx ï Đặt ï dv = ex dx Þ í ï í (chọn C = 0 ) ï ï î ï ïv=e x î 1 1 ò xe dx = xe ò e dx = (x - 1 Þ x x 1 0 - x 1) x e 0 = 1. 0 0 e Ví dụ 2. Tính tích phân I = ò x l xdx . n 1 Giải ì ï du = dx ï ï ìu=l x ï n x Đặ t ï ï í í Þ ï ï ï dv = xdx ïx2 ïv= î ï î 2 e 2 e e x 1 e2 + 1 Þ ò x l xdx = n l x - ò xdx = n . 1 2 1 2 1 4 p 2 Ví dụ 3. Tính tích phân I = s n xdx . òe x i 0 Giải ì u = sn x ï i ì du = cosxdx ï Đặt ï í Þ ï í ï dv = ex dx ï ï v = ex ï î î p p 2 p 2 p Þ I= ò ex si xdx = ex si x n n 2 0 - ò ex cosxdx = e2 - J . 0 0 ì u = cosx ï ì du = - s n xdx ï i Đặt ï dv = ex dx Þ í ï í ï ï î ï ïv=e x î p p 2 p 2 Þ J= òe òe x cosxdx = ex cosx 2 0 + x s n xdx = - 1 + I i 0 0 p p e2 + 1 . Þ I= e - ( 1 + I Þ I= - 2 ) 2 Chú ý: Đôi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần. p2 4 Ví dụ 7. Tính tích phân I = xdx . ò cos 0 Hướng dẫn: p 2 Đặ t t = x L Þ I = 2ò tcost = L = p - 2 . dt 0 e Ví dụ 8. Tính tích phân I = ò si l x)dx . n( n 1 ( i - cos1) + 1 s n1 e ĐS: I = . 2 III. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 8
Phương pháp giải toán 1. Dạng 1 b Giả sử cần tính tích phân I = ò f(x) dx , ta thực hiện các bước sau a Bước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD: x a x1 x2 b f x) ( + 0 - 0 + b x1 x2 b Bước 2. Tính I = ò f(x) dx = ò f(x)dx - ò f(x)dx + ò f(x)dx . a a x1 x2 2 òx 2 Ví dụ 9. Tính tích phân I = - 3x + 2 dx . - 3 Giải Bảng xét dấu x - 3 1 2 2 x - 3x + 2 + 0 - 0 1 2 59 ò( x ò( x 2 2 I= - 3x + 2) dx - - 3x + 2) dx = . - 3 1 2 59 Vậy I = . 2 p 2 Ví dụ 10. Tính tích phân I = 5 - 4cos x - 4s n xdx . ò 2 i 0 p ĐS: I = 2 3 - 2 - . 6 2. Dạng 2 b Giả sử cần tính tích phân I = ò[ f x) ± g( ] dx , ta thực hiện ( x) a Cách 1. b b b Tách I = ò[ f x) ± g( ] dx = ( x) ò f(x) dx ± ò g(x) dx rồi sử dụng dạng 1 ở trên. a a a Cách 2. Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b]. Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x). 2 Ví dụ 11. Tính tích phân I = ò( x - x - 1 ) dx . - 1 Giải Cách 1. 2 2 2 I= ò( x - x - 1 ) dx = ò x dx - ò x - 1 dx - 1 - 1 - 1 0 2 1 2 =- ò xdx + ò xdx + ò (x - 1) - dx ò (x - 1)dx - 1 0 - 1 1 9
0 2 1 2 x2 x2 æ2 x ö æ2 x ö =- + + ç - x÷ - ç - x÷ = 0 . ç2 ÷ ÷ ç2 ÷ ÷ 2 - 1 2 0 è ø- 1 è ø1 Cách 2. Bảng xét dấu x –1 0 1 2 x – 0 +  + x–1 – – 0 + 0 1 2 I= ò( - x + x - 1) dx + ò( x + x - 1) dx + ò( x - x + 1) dx - 1 0 1 2 1 =- x 0 - 1 + ( x - x) 0 + x = 0. 2 1 Vậy I = 0 . 3. Dạng 3 b b Để tính các tích phân I = ò m ax { f(x), g(x)} dx và J = ò m i { f(x), g(x)} dx , ta thực hiện các n a a bước sau: Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số h( = f x)- g( trên đoạn [a; b]. x) ( x) Bước 2. + Nếu h( > 0 thì m ax { f x) g( } = f x) và m i { f x) g( } = g( . x) ( , x) ( n ( , x) x) + Nếu h( < 0 thì m ax { f x) g( } = g( và m i { f x) g( } = f x). x) ( , x) x) n ( , x) ( 4 ò m ax { x 2 Ví dụ 12. Tính tích phân I = + 1 4x - 2} dx . , 0 Giải 2 2 Đặt h( = ( x + 1) - ( 4x - 2) = x - 4x + 3 . x) Bảng xét dấu x 0 1 3 4 h(x) + 0 – 0 + 1 3 4 80 ò( x ò ( 4x - ò( x 2 2 I= + 1) dx + 2) dx + + 1) dx = . 0 1 3 3 80 Vậy I = . 3 2 ò m i { 3 , 4 - x Ví dụ 13. Tính tích phân I = n x } dx . 0 Giải x x Đặt h( = 3 - ( 4 - x ) = 3 + x - 4 . x) Bảng xét dấu x 0 1 2 h(x) – 0 + 1 2 2 3x 1 æ ö x2 ÷ 2 5 I= ò 3 dx + ò x ( 4 - x ) dx = ç4x - + ç ÷ = + . l 30 è n ÷ 2 ø1 l 3 2 n 0 1 2 5 Vậy I = + . l 3 2 n IV. BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN Phương pháp giải toán 1. Dạng 1 10
b b Để chứng minh ò f(x)dx ³ 0 (hoặc ò f(x)dx £ 0 ) ta chứng minh f x) ³ 0 (hoặc f x) £ 0 ) với ( ( a a " x Î [ a; ] . b 1 ò 1 - x6 dx ³ 0 . 3 Ví dụ 14. Chứng minh 0 Giải 1 Với " x Î [ 0; ] :x £ 1 Þ 1- x ³ 0 Þ ò 1 - x6 dx ³ 0 . 6 3 6 3 1 0 2. Dạng 2 b b Để chứng minh ò f(x)dx ³ ò g(x)dx ta chứng minh f(x) ³ g( với " x Î [ a; ] . x) b a a p p 2 2 Ví dụ 15. Chứng minh dx dx . ò1+ s n10 x i £ ò1+ s n11 x i 0 0 Giải é pù Với " x Î ê 0; :0 £ s n x £ 1 Þ 0 £ s n11 x £ s n10 x i i i ë 2ú û 1 1 Þ 1 + s n10 x ³ 1 + s n11 x > 0 Þ i i £ . 1 + s n x 1 + s n11 x i 10 i p p 2 2 Vậy dx dx . ò1+ s n10 x i £ ò1+ s n11 x i 0 0 3. Dạng 3 b Để chứng minh A £ ò f(x)dx £ B ta thực hiện các bước sau a Bước 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [a; b] ta được m £ f x) £ M . ( b Bước 2. Lấy tích phân A = m ( - a) £ b ò f(x)dx £ a M ( - a) = B . b 1 Ví dụ 16. Chứng minh 2 £ ò 4 + x2 dx £ 5. 0 Giải Với " x Î [ 0; ] :4 £ 4 + x2 £ 5 Þ 2 £ 1 4 + x2 £ 5. 1 Vậy 2 £ ò 4 + x2 dx £ 5. 0 3p 4 p dx p Ví dụ 17. Chứng minh 4 £ ò3- p 2 £ . 2s n x 2 i 4 Giải ép 3p ù 2 1 Với " x Î ê ; ú: £ sn x £ 1 Þ i £ s n2 x £ 1 i ë4 4û 2 2 1 1 Þ 1 £ 3 - 2s n2 x £ 2 Þ i £ £1 2 3- 2s n2 x i 11
3p 4 1 3p p dx 3p p Þ 2 4(- 4 £ ) ò3- p 2 2s n x i £1( 4 - 4 . ) 4 3p 4 p dx p Vậy 4 £ ò3- p 2 £ . 2s n x 2 i 4 p 3 3 cotx 1 Ví dụ 18. Chứng minh 12 £ ò x dx £ . 3 p 4 Giải cotx ép pù Xét hàm số f x) = ( , Î x ê ; ú ta có x ê ë4 3úû - x - cotx é s n2 x i p pù / f( = x) < 0 " x Î ê ; ú x2 ê ë4 3úû p p p pù Þ f ( ) £ f x) £ f ( " x Î é ; ú ê ( ) 3 4 ë4 3û 3 cot x 4 ép pù Þ £ £ " x Î ê ; ú p x p ê ë4 3ú û p 3æ ö 4æ p pö 3 çp - p ÷£ cotx dx £ ç - ÷ Þ ç p ç3 4 ÷ è ÷ ø ò x ç ÷ ÷ p ç3 4 ø è . p 4 p 3 3 cotx 1 Vậy 12 £ ò x dx £ . 3 p 4 4. Dạng 4 (tham khảo) b Để chứng minh A £ ò f(x)dx £ B (mà dạng 3 không làm được) ta thực hiện a ì f x)£ g( x Î [ a; ] ï ( x) " b ï ï b b ï Þ ò f x) £ B . ( dx Bước 1. Tìm hàm số g(x) sao cho í ï g( dx = B ï ò x) ï a ï a î ì x) ( ï h( £ f x) " x Î [ a; ] b ï ï b b ï Þ A £ ò f x) . ( dx Bước 2. Tìm hàm số h(x) sao cho í ï h( dx = A ï ò x) ï a ï a î 2 2 Ví dụ 19. Chứng minh 2 dx p £ ò £ . 2 0 1 - x2007 4 Giải é 2ù 1 Với " x Î ê 0; ú:0 £ x2007 £ x2 £ ê ë 2 ú û 2 12
1 1 1 Þ £ 1 - x2 £ 1 - x2007 £ 1 Þ 1 £ £ 2 1 - x2007 1 - x2 2 2 2 2 2 2 dx dx . Þ ò dx £ ò 1- x 2007 £ ò 1 - x2 0 0 0 Đặt x = s n t Þ dx = cost i dt 2 p x = 0 Þ t = 0, = x Þ t= 2 4 2 p 2 4 dx costdt p . Þ ò 1 - x2 = ò cost = 4 0 0 2 2 Vậy 2 dx p £ ò £ . 2 0 1 - x2007 4 1 3+ 1 xdx 2+ 1 Ví dụ 20. Chứng minh 4 £ ò x + 2- 1 £ 2 2 . 0 Giải Với " x Î [ 0; ] : 2 - 1 £ x2 + 2 - 1 £ 3 - 1 1 x x x Þ £ £ 3- 1 x2 + 2 - 1 2- 1 1 1 1 xdx xdx xdx Þ ò 3- 1 £ ò 2 x + 2- 1 £ ò 2- 1 . 0 0 0 1 3+ 1 xdx 2+ 1 Vậy 4 £ ò x2 + 2 - 1 £ 2 . 0 V. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1. Diện tích hình thang cong Cho hàm số f x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường ( b y = f x) x = a, = b và trục hoành là S = ( , x ò f(x) dx . a Phương pháp giải toán Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b]. b Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân ò f(x) dx . a Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = l x, = 1 x = e và Ox. n x , Giải Do l x ³ 0 x Î [ 1 e] nên n " ; e e ò l x dx = ò l xdx = x ( l x - e S= n n n 1) 1 = 1. 1 1 Vậy S = 1 (đvdt). Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = - x2 + 4x - 3, = 0, = 3 và Ox. x x Giải Bảng xét dấu 13
x 0 1 3 y – 0 + 0 1 3 ò( - x ò( - x 2 2 S=- + 4x - 3) dx + + 4x - 3) dx 0 1 1 3 æ x 3 ö æ x3 ö 8 = - ç- ÷ ÷ ç ç 3 + 2x + 3x ø + è- 3 + 2x + 3x ÷ = 3 . 2 ÷ ç 2 ÷ ÷ è 0 ø1 8 Vậy S = (đvdt). 3 2. Diện tích hình phẳng 2.1. Trường hợp 1. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường b y = f x) y = g( , = a, = b là S = ( , x) x x ò f(x)- g( dx . x) a Phương pháp giải toán Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f x)- g( trên đoạn [a; b]. ( x) b Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân ò f(x)- g( dx . x) a 2.2. Trường hợp 2. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường b y = f x) y = g( là S = ( , x) ò f(x)- g( dx . Trong đó a, là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất x) b a của phương trình f x) = g( ( a £ a < b £ b ) . ( x) Phương pháp giải toán Bước 1. Giải phương trình f x) = g( . ( x) Bước 2. Lập bảng xét dấu hàm số f x)- g( trên đoạn [ a; ] . ( x) b b Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân ò f(x)- g( dx . x) a Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x3 + 11x - 6, = 6x2 , y x = 0, = 2 . x Giải Đặt h( = ( + 11x - 6)- 6x2 = x3 - 6x2 + 11x - 6 x) x3 h( = 0 Û x = 1 Ú x = 2 Ú x = 3 (loại). x) Bảng xét dấu x 0 1 2 h(x) – 0 + 0 1 2 ò( x ò( x 3 2 3 S=- - 6x + 11x - 6) dx + - 6x2 + 11x - 6) dx 0 1 1 2 æx4 11x ö 2 æ x 11x2 4 ö 5 = - ç - 2x3 + ç4 - 6x ÷ + ç - 2x3 + ÷ ÷ ç4 - 6x ÷ = . ÷ ÷ è 2 ø0 è 2 ø1 2 5 Vậy S = (đvdt). 2 Ví dụ 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x3 + 11x - 6, = 6x2 . y 14
Giải Đặt h( = ( + 11x - 6)- 6x2 = x3 - 6x2 + 11x - 6 x) x 3 h( = 0 Û x = 1 Ú x = 2 Ú x = 3 . x) Bảng xét dấu x 1 2 3 h(x) 0 + 0 – 0 2 3 ò( x ò( x 3 S= - 6x2 + 11x - 6) dx - 3 - 6x2 + 11x - 6) dx 1 2 2 3 æx 4 11x ö æx 2 11x2 ö 1 4 = ç - 2x3 + ç4 - 6x ÷ - ç - 2x3 + ÷ ç ÷ è4 - 6x ÷ = . ÷ ÷ è 2 ø1 2 ø2 2 1 Vậy S = (đvdt). 2 Chú ý: Nếu trong đoạn [ a; ] phương trình f x) = g( không còn nghiệm nào nữa thì ta có thể dùng b ( x) b b công thức ò f(x)- g( dx = x) ò [ f(x)- g( ] dx . x) a a Ví dụ 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x3, = 4x . y Giải Ta có x3 = 4x Û x = - 2 Ú x = 0 Ú x = 2 0 2 Þ S= ò( x ò( x 3 3 - 4x ) dx + - 4x ) dx - 2 0 0 2 æ4 x ö æ4x ö = ç - 2x2 ÷ + ç - 2x2 ÷ = 8 . ç4 ÷ ÷ ç4 ÷ ÷ è ø- 2 è ø0 Vậy S = 8 (đvdt). Ví dụ 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x2 - 4 x + 3 và trục hoành. Giải Ta có x - 4 x + 3 = 0 Û t - 4t + 3 = 0, = x ³ 0 2 2 t é =1 t éx = 1 é = ±1 x Û êê =3 Û ê êx = 3 Û êê = ±3 t x ë ë ë 3 3 Þ S= òx - 4 x + 3 dx = 2ò x2 - 4x + 3 dx 2 - 3 0 é 1 ù 3 = 2 êò ( x2 - 4x + 3) dx + ò ( x2 - 4x + 3) dx ú ê ú ê0 ë 1 ú û éæ x3 ö 1 æ x3 ö ù 16 3 = 2 êç - 2x2 + 3x ÷ + ç - 2x2 + 3x ÷ ú= ç3 ÷ ÷ ç3 ÷ ÷ . êè ë ø0 è ø1 ú 3 û 16 Vậy S = (đvdt). 3 2 Ví dụ 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x - 4x + 3 và y = x + 3 . Giải Phương trình hoành độ giao điểm x2 - 4x + 3 = x + 3 15
ì ï x+ 3³ 0 ï ï é =0 x Û ï í é 2 - 4x + 3 = x + 3 Û ê x ï ê ê = 5. x ï ï ê 2 - 4x + 3 = - x - 3 ë ï êx î ë Bảng xét dấu x 0 1 3 5 2 x - 4x + 3 + 0 – 0 + 1 3 5 Þ S= ò( x ò( - x ò( x 2 2 2 - 5x ) dx + + 3x - 6) dx + - 5x ) dx 0 1 3 1 3 5 æ 3 5x2 ö x ÷ + æ x + 3x - 6x ö + æ - 5x ö = 109 . - 3 2 x3 2 = ç - ç3 ÷ ÷ ç ç 3 ÷ ÷ ÷ ç ç3 ÷ ÷ ÷ è 2 ø0 è 2 ø1 è 2 ø3 6 109 Vậy S = (đvdt). 6 2 Ví dụ 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x - 1 , y = x + 5 . Giải Phương trình hoành độ giao điểm x2 - 1 = x + 5 Û t - 1 = t + 5, = x ³ 0 2 t ì t= x ³ 0 ï ï ï 2 ì t= x ³ 0 ï Û ï é - 1 = t+ 5 Û ï íê t í Û x = ±3 ï ï ê2 ï t= 3 ï ï ê - 1 = - t- 5 t î ïë î 3 3 Þ S= ò x + 5) dx = 2ò x2 - 1 - 2 x - 1- ( ( x + 5) dx - 3 0 Bảng xét dấu x 0 1 3 2 x - 1 – 0 + 1 3 Þ S=2 ò( - x ò( x 2 2 - x - 4) dx + - x - 6) dx 0 1 1 3 æ x3 x2 - ö ÷ + æ - x - 6x ö = 73 . x3 2 ç =2ç - - 4x ÷ ç ç ÷ ÷ è 3 2 ÷ ø0 è 3 2 ÷ ø1 3 73 Vậy S = (đvdt). 3 Chú ý: Nếu hình phẳng được giới hạn từ 3 đường trở lên thì vẽ hình (tuy nhiên thi ĐH thì không có). B. TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY 1. Trường hợp 1. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f x) ³ 0" x Î [ a; ] , y = 0 , ( b b x = a và x = b a < b) quay quanh trục Ox là V = pò f ( dx . ( 2 x) a Ví dụ 9. Tính thể tích hình cầu do hình tròn (C):x + y = R 2 quay quanh Ox. 2 2 Giải Hoành độ giao điểm của (C) và Ox là x2 = R 2 Û x = ±R . Phương trình (C):x2 + y2 = R 2 Û y2 = R 2 - x2 16
R R Þ V = pò ( R - x ) dx = 2pò ( R 2 - x2 ) dx 2 2 - R 0 R æ x ö÷ = 4pR . 3 3 = 2p çR 2x - ç ÷ è 3 ÷0 ø 3 4pR 3 Vậy V = (đvtt). 3 2. Trường hợp 2. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g( ³ 0" y Î [ c d ] , x = 0 , y) ; d ò y) y = c và y = d c < d) quay quanh trục Oy là V = p g2( dy . ( c x2 y2 Ví dụ 10. Tính thể tích hình khối do ellipse (E): 2 + 2 = 1 quay quanh Oy. a b Giải y2 Tung độ giao điểm của (E) và Oy là 2 = 1 Û y = ±b . b 2 2 x y a2y2 Phương trình ( E): 2 + 2 = 1 Û x = a - 2 2 a b b2 b b æ 2 a2y2 ö÷ = 2p æ 2 - a y ödy 2 2 Þ V = pò ça - ç ÷dy òçça ÷ ÷ - b è b2 ÷ ø 0 è b2 ÷ø R æ a2y3 ö ÷ = 4pa b . 2 = 2p ça2y - ç ÷ ÷ è 3b2 ø0 3 4pa b 2 Vậy V = (đvtt). 3 3. Trường hợp 3. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f x) y = g( , x = a và ( , x) x = b a < b, ( ³ 0, x) ³ 0 x Î [ a; ]) quay quanh trục Ox là ( f x) g( " b b V = pò f2( - g2( dx . x) x) a Ví dụ 11. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 , y2 = x quay quanh Ox. Giải ìx³ 0 ï é =0 x ï Hoành độ giao điểm í 4 Û ê ïx =x ê = 1. x ï î ë 1 1 Þ V = pò x - x dx = p 4 ò( x 4 - x ) dx 0 0 3p 1 =p ( 1x 5 51 2 2 x- 0 = ) 10 . 3p Vậy V = (đvtt). 10 4. Trường hợp 4. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x = f y) x = g( , y = c và ( , y) y = d c < d, ( ³ 0, y) ³ 0 y Î ; ( f y) g( " [ c d ]) quay quanh trục Oy là d V = pò f2( - g2( dy . y) y) c 17
Ví dụ 12. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường x = - y2 + 5 , x = 3 - y quay quanh Oy. Giải é =- 1 y Tung độ giao điểm - y + 5 = 3 - y Û ê 2 ê =2 . y ë 2 Þ V = pò ( - y2 + 5) - ( 3 - y ) 2 dy 2 - 1 2 =p ò( y 4 - 11y2 + 6y + 16) dy - 1 2 æ 5 11y3 y ö 153p =pç - ç + 3y2 + 16y ÷ = ÷ ÷ . ç5 è 3 ø- 1 5 153p Vậy V = (đvtt). 5 VI. TÍCH PHÂN CHỨA TỔ HỢP 1 1 1 1 2 1 10 1. Tính I= ∫ ( 1 − x ) dx Áp dụng kết quả đó hãy tính tổng sau: S = 1 − C10 + C10 − ... + C10 10 0 2 3 11 1 2. Tính: I = x ( 1 − x ) ∫ 19 dx . Áp dụng kết quả đó hãy tính tổng sau: 0 1 0 1 1 1 2 1 18 1 19 S= C19 − C19 + C19 − ... + C19 − C19 . 2 3 4 20 21 1 1 1 2n +1 − 1 3. Chứng minh rằng: 1 + Cn + Cn + ... + 1 2 Cn = n 2 3 n +1 n +1 BÀI TẬP TỰ GIẢI sin x + cos x  π 1. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)= , biết rằng F  −  = ln 2 sin x − cos x  4 2. Tính các tích phân sau: e2 2 2 x + 5 - 7x 2 A= ∫ B= ∫ x 2 -1 dx C= ∫ 2 ln 2dx x dx 1 x -2 0 3. Tính các tích phân sau: π e 2 3 ln 4 x 2 3 dx x A= ∫ e 3 cos x sin xdx B= ∫ dx C= * ∫ D =∫ * dx 1 x 5 x x +4 2 1 1+ x -1 0 4. Tính các tích phân sau: π e 10 sin(ln x) 4 dx I= ∫ dx J= ∫ K= ∫ lg xdx 1 x π sin x cot x 2 1 6 π ln 5 2 dx dx L= ∫ x 2 −x M= ∫ sin 2 xdx N= ∫ ln 3 e + 2e −3 2 0 cos 2 x + 4 sin 2 x 1 x -9 π C= 2 sin 2 x ∫ (1 + cos 0 2 x)2 dx 5. Tính các tích phân sau: 1 4 dx 3 dx A= ∫ B= ∫ C= ∫ 16 - x dx 2 0 4 - x2 3 x2 + 3 0 18
ln 2 3 1- e x 2 D= ∫ dx E= ∫ dx 0 1 + ex 2 x −1 2 6. Tính các tích phân sau: 2 π 2 e ln x x sin x ln x A= ∫ dx B =∫ * dx C =∫ * dx 1 x 0 1 + cos2 x 1 x 2 1 eπ 2 3x 4 − 2 x x2 − 1 D = ∫ cos(ln x)dx * 1 E= ∫ 1 x3 dx F* = ∫1 1 + x 4 dx − 7. Tính: π π 1 4 x 2 4 2 e A= ∫ cos xdx B= ∫ cos3 xdx C= ∫ xe dx D= ∫ E= ∫ x ln xdx x 2 dx 0 0 0 1 x 1 e 2 4 2 1 ln x + 1 x x F= ∫ G= ∫ x 1 + 2 x dx H= ∫ x 1 + 2 xdx I= ∫ J= ∫ 2 dx dx dx 1 x 0 0 1 x +1 0 1+ x 2 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 1 + ln x a. x=1; x=e; y=0 và y= b. y=2x; y=3− và x=0 x x π c. y=sin2xcos3x, trục Ox và x=0, x= . 3 9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y=0, y=x3− 2+4x− (C) và tiếp tuyến với 2x 3 đường cong (C) tại điểm có hoành độ bằng 2. 10. Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y=tanx, x=0, x=π/3, y=0. a. Tính diện tích hình phẳng D. b. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng D quay quanh trục Ox. 11. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong y2=x3 và y=0, x=1 khi nó quay quanh: a)Trục Ox. b) Trục Oy. − ết − H 19