Hệ thống kiến thức Toán THPT dùng cho thi Tốt nghiệp - Đại học - Cao đẳng

Chia sẻ: Toàn Trần Minh | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:31

Thêm vào BST

Báo xấu

154
lượt xem 18
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu hệ thống kiến thức Toán THPT giúp các bạn nắm vững kiến thức về ứng dụng của đạo hàm, hàm số luỹ thừa - mũ và logarit, nguyên hàm – tích phân và ứng dụng tích phân, số phức, diện tích và thể tích các khối,... Mời các bạn tham khảo để ôn tập, rèn luyện kỹ năng giải đề.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Hệ thống kiến thức Toán THPT dùng cho thi Tốt nghiệp - Đại học - Cao đẳng

HỆ THỐNG KIẾN THỨC TOÁN THPT DÙNG CHO THI TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG Chú ý: 1.Nội dung có chút nâng cao và mở rộng với mục đích dùng cho ôn luyện thi ĐHCĐ 2.Các nội dung “chữ đậm và in nghiêng”ở phần hệ thống là những nội dung trọng tâm của thi TNTHPT VấN Đề 1:ỨNG DụNG ĐạO HÀM Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Các vấn đề liên quan đến hàm số Phương trình tiếp tuyến: tại M0; đi qua một điểm M1 hoặc biết hệ số góc k o Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị : o Cực trị hàm số o Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất o Sự tương giao của hai đường cong ( đ.thẳng và một đường cong). o o Cách xác định tiệm cận : o Ứng dụng của tích phân :Tính diện tích hình phẳng và thể tích của một vật thể tròn xoay sinh bởi 1 hình phẳng quay quanh trục Ox hoặc Oy o Tìm điểm cố định của 1 họ đường cong (Cm): y=f(x,m) o Bài toán tìm quỷ tích của 1 họ đường cong (Cm): y=f(x,m) o Các dạng đồ thị có chứa giá trị tuyệt đối thường gặp: …….. VấN Đề 2:HÀM Số LUỹ THừA,MŨ VÀ LOGARIT Tính toán,chứng minh,rút gọn,….các biểu thức có chứa mũ,logarit,luỹ thừa,… Tính đạo hàm của các hàm số mũ và logarit Vẽ được đồ thị của các hàm số mũ,logarit và luỹ thừa Giải phương trình mũ và logarit : Giải bất phương trình mũ và logarit Giải hệ phương trình mũ và logarit (Không có ở ban cơ bản) VấN Đề 3:NGUYÊN HÀM –TÍCH PHÂN VÀ ứNG DụNG TÍCH PHÂN Tính nguyên hàm o Áp dụng bảng nguyên hàm o Dùng PP đổi biến(dạng 1 và dạng 2) o PP nguyên hàm từng phần b b Tính tích phân a f ( x).dx = F ( x) = F (b) − F (a ) a o Tính tích phân bằng cách sử dụng tính chất và nguyên hàm cơ bản. o Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số. b Dạng 1: Tính I = f [u(x)]u / dx bằng cách đặt t = u(x) a β Dạng 2: Tính I = f (x)dx đặt x = asint ;x = atant ;……… α b b b o Tìm tích phân bằng phương pháp từng phần: � � u.dv = u.v a − v.du a a GV : Phạm Đỗ Hải
o Tính tích phân của các hàm số lượng giác (một số dạng cơ bản). o Tính tích phân của các hàm số hữu tỷ o Tìm tích phân của các hàm số vô tỷ: b o Tính tích phân chứa dấu giá trị tuyên đối. Tính f (x) dx a Ứng dụng của tích phân o Tính diện tích hình phẳng o Tính thể tích vật thể tròn xoay : VấN Đề 4:Số PHứC Tìm số phức z; z; biểu diễn số phức;số phức bằng nhau;… Thực hiện được các phép toán về cộng trừ,nhân,chia các số phức. Tìm được căn bậc 2 của 1 số (thực dương;0;thực âm và số phức) Giải phương trình trong tập phức (Chú ý PP giải pt bậc 2 và định lý Viet) Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng. (Không có ở ban cơ bản) VấN Đề 5:DIệN TÍCH VÀ THể TÍCH CÁC KHốI. Tính diện tích các mặt (là tam giác,tứ giác,hình tròn,...) Tính thể tích các khối chóp,khối hộp,lăng trụ,… Mặt cầu: o Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp,hình hộp,… o Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu Mặt trụ: Tính diện tích xung quanh,diện tích toàn phần hình trụ và thể tích khối trụ Mặt nón: o Tính diện tích xung quanh,diện tích toàn phần hình nón và thể tích khối khối nón VấN Đề 6:PHƯƠNG PHÁP TOạ Độ TRONG KHÔNG GIAN Hệ toạ độ trong không gian o Xác định điểm , tọa độ vectơ trong không gian , c/m tính chất hình học ... o Tích vô hướng , tích có hướng , góc giữa hai véc tơ : o Véc tơ đồng phẳng , không đồng phẳng,diện tích tam giác,thể tích khối chóp,hộp: Mặt cầu (S) o Xác định tâm và bán kính mặt cầu o Viết phương trình mặt cầu o Xác định tâm H và bán kính r của đường tròn trong không gian Mặt phẳng: o Viết pt mặt phẳng dưới 3 dạng (cơ bản,chùm mp và tổng quát) Đường thẳng: o Viết pt đường thẳng dưới 2 dạng (PTTS và PTCT) Vị trí tương đối giữa các đối tượng:(điểm,đường thẳng,mặt phẳng và mặt cầu) Tính khoảng cách giữa các đối tượng:(điểm,đường thẳng,mặt phẳng và mặt cầu) Tính góc giữa các đối tượng:(đường thẳng đường thẳng;đường thẳngmặt phẳng và mặt phẳngmặt phẳng ) Xác định phương trình;tâm và bán kính của đường tròn trong không gian Tìm hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng hoặc đ.thẳng. o Tìm hình chiếu H của M lên ( ) o Tìm hình chiếu H của M lên đường thẳng (d). GV : Phạm Đỗ Hải
Tìm tọa độ điểm A/ đối xứng với điểm A qua đt hoặc mp o Đối xứng qua mp( ) o Đối xứng quađường thẳng (d). Tìm hình chiếu (d’) của đ.thẳng (d) lên mp ( ) PHẦN A.GIẢI TÍCH PHẦN 1: HÀM SỐ Nhắc lại 1 số công hức về đạo hàm cơ bản: / / 1. u v u/ v/ 6. C 0 / / 2. u.v u / .v u.v / 7. x 1 / 1 3. C.v / C.v / 8. x / ..x 1 u ..x .u / / u / u / .v v / .u 1 / 1 1 v/ 4. (v 0) 9. v v2 x x2 v v2 C / C.v / / 1 / u/ 5. 10. x u v v2 2. x 2. u u / 11. a x / a x . ln a a a u . ln a.u / / ax b / eu e u .u / 19. y ta coù 12. e x ex cx d u/ / 1 log a u / ad bc 13. log a x y/ x. ln a u. ln a (cx d ) 2 / 1 / u/ 14. ln x ln u x u a1 x 2 b1 x c1 20. y ta coù 15. sin x / cos x sin u / u / . cos u a2 x 2 b2 x c 2 / / a1 b1 2 a c1 b1 c1 16. cos x sin x cos u u / . sin u x 2 1 x 1 u/ / a2 b2 a2 c2 b2 c2 17. tan x / tan u / y 2 cos 2 x cos 2 u a2 x 2 b2 x c 2 / 1 u/ 18. cot x 2 cot u / sin x sin 2 u Bài toán 1: Khảo sát hàm số SƠ ĐỒ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1.Tìm tập xác định: D=… 2. Tính đạo hàm: y’= cho y’=0 và tìm nghiệm 3.Tính giới hạn: lim y = ... lim y = ... với x là nghiệm mẫu x x xo o 4.Tìm phương trình tiệm cận (nếu có) 5.Lập bảng biến thiên 6.Chỉ ra khoảng đồng biến,nghịch biến 7.Chỉ rõ điểm CỰC ĐẠI,CỰC TIỂU GV : Phạm Đỗ Hải
8.Xét tính lồi lõm và điểm uốn (Đối với hàm số bậc 3 và hàm trùng phương) Tính y’’ cho y’’=0 tìm nghiệm và lập bảng xét dấu y’’ 9.Nhận xét về đồ thị: Chỉ rõ tâm đối xứng(trục đối xứng của đồ thị) Chỉ rõ giao điểm của (C) với trục Oy và Ox Cho thêm điểm đặt biệt để vẽ 10. Vẽ đồ thị. 1.Hàm số bậc 3 : y = ax3 + bx2 + cx + d ( a 0 ) + TXĐ : D = R + Đạo hàm: y/ = 3ax2 + 2bx + c với / = b2 3ac / 0 / 0 y cùng dấu với hệ số a / y = 0 có hai nghiệm x1; x2 / KL: hàm số tăng trên? KL: hàm số tăng? Giảm? (giảm trên?) Hàm số không có cực trị Cực tri c ̣ ực đại? Cực tiểu? ( a 0) + Giới hạn: x lim (ax3 bx 2 cx d ) = ( a 0) ( a 0) x lim ( ax 3 bx 2 cx d ) = ( a 0) + Bảng biến thiên: a > 0 x + x x1 x2 + y / + y + 0 0 + / y + y CĐ + CT x + x x1 x2 + a 0 ; có 2 CT a0,không CT a
y/ = 0 x = 0 y/ = 0 2x (2ax2 + b) = 0 x= 0; x1,2= b 2a KL: tăng? Giảm KL: tăng? Giảm? Giá trị cực trị : y(0) = c Giá trị cực trị: y(0)= c ; y( b ) = 2a 4a có một cực trị Có 3 cực trị ( a 0) + Giới hạn : x lim (ax 4 bx 2 c) = ( a 0) + Bảng biến thiên : a > 0 x 0 + x x1 0 x2 + y / 0 + y 0 + 0 0 + / y y + CĐ + + + CT CT CT a x= ? giải pt trùng phương a> 0 a> 0 b 0 a
y a/c + y + a/c a/c a/c + Vẽ đồ thị : Vẽ tiệm cận , điểm đặc biệt Cho 2 điểm về 1 phía của tiệm cận đứng vẽ một nhánh , lấy đối xứng nhánh đó qua giao điểm hai tiệm cận . x= d/ c x= d/ c y= a/c y= a/c 2 4. Hàm hữu tỉ : 2/1 y = ax bx c (đk : e 0 ; tử không chia hết cho mẫu ) ex f f + TXĐ: D = R\ e ae.x 2 2af .x (bf ce) + Đạo hàm : y/ = có / =(af)2 (bf c e).ae (e.x f )2 0 / y cùng dấu với ae / y = 0 có hai nghiệm x1; x2 / Hàm số không có cực trị Giá trị cực trị tính theo CT : y = 2ax b e f lim f ( x) + Tiệm cận : x = e là tiệm cận đứng vì x f = e Viết lại hàm số y = A x + B + (x); lim [ f ( x) ( Ax B)] (x) a b af x = xlim =0 => y = e x + ( e e2 ) là t/c xiên a.e > 0 + Bảng biến thiên : x f/e + x x1 f/e x2 + y + + / y + 0 0 + / y y CĐ + + + + CT a.e
Bài toán 2: Phương trình tiếp tuyến : Yêu Cầu Viết PTTT của (C): y=f(x) biết 1. Tiếp tuyến tại M(x 0; f(x0)) TT có phương trình là : y f(x0)= f/(x0)(x x0) Từ x0 tính f(x0) ; Đạo hàm : y/ = f/(x) => f/(x0) = ? P.trình tiếp tuyến tại M là: y = f/(x0)(x x0) + f(x0) 2. Tiếp tuyến đi qua(kẻ từ) một điểm A(x1; y1 c ) ủa đồ thị h/s y =f(x) Gọi k là hệ số góc của đường thẳng (d) đi qua A Pt đường thẳng (d) là : y = k(x x1) + y1 Điều kiện để đường thẳng (d) tiếp xúc với Đồ thị (C) là f(x) = k(x − x1) + y1 (1) hệ phương trình : / có nghiệm f (x) = k (2) Thay (2) vào (1) giải tìm x => k = ? Kết luận 3. Tiếp tuyến có hệ số góc k : Nếu : tiếp tuyến // đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = a 1 tiếp tuyến đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = a Giả sử M(x0; f(x0)) là tiếp điểm => hệ số góc của tiếp tuyến f/(x0). Giải phương trình f/(x0) = k => x0 = ? > f(x0) = ? Phương trình tiếp tuyến y = k (x x0) + f(x0) Chú ý : + Hai đường thẳng vuông góc nhau : k1.k2 = 1 + Hai đường thẳng song song nhau : k1 = k2 Bài toán 3: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị : Giả sử phải biện luận số nghiệm của Pt : F(x; m) = 0 . Biến đổi phương trình F(x; m) = 0 về dạng f(x) = g(x) Trong đó đồ thị hàm số y = f(x) đã vẽ và y=g(x) là 1 đường thẳng song song với Ox Chú ý:Ở mức độ khó hơn thì đồ thị y=g(x) // với đường thẳng cố định hoặc quay quanh 1 điểm cố định) Vẽ đồ thị:y = g(x) ; đồ thị (C): y =f(x) Dựa vào đồ thị xét sự tương giao của đồ thị (C) với đồ thị y = g(x) Bài toán 4: xét tính đơn điệu Phương pháp xác định khoảng tăng, giảm hàm số : + MXĐ: D= ? + Đạo hàm : y/ = ? .. cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/ + BXD (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị không xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần) * y/ > 0 thì hàm số tăng ; y/
+ Đạo hàm : y/ = ? .. cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/ + BBT : (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị không xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần) + Tính yCĐ ; yCT ; kết luận cực trị ? Chú ý: 1) Nếu hàm số luôn tăng ( giảm)trên (a;b) thì không có cực trị trên (a;b). 2) Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y/ = 0. / y (x0 ) = 0 3) x0 là cực trị của hàm số  / y ( x ) đổi dấu qua x 0 Dấu hiệu II: + MXĐ + Đạo hàm : y/ = ? .. y// = ? .. cho y/ = 0 ( nếu có ) => x1 , x2 ….. . + Tính y//(x1); y//(x2)……. Nếu y//(x0) > 0 thì hàm số đạt CT tại x0 , yCT= ? Nếu y//(x0) 0 f / ( x0 ) = 0 + xo là điểm cực tiểu f / / ( x0 ) < 0 Hàm số đạt cực trị bằng y0 tại x0 f / ( x0 ) 0 Hàm số đạt cực trị bằng y0 tại x0 khi f ( x 0 ) y 0 f // ( x0 ) 0 Chú ý : dấu hiệu II dùng cho những h/s mà y/ khó xét dấu (như hàm lượng giác,mũ,logarit,luỹ thừa,… ) * Nếu y = f(x) là đa thức thì đường thẳng đi qua các điểm cực trị là: y = phần dư của phép chia f(x) cho f/(x). Dạng 2: Cực trị của hàm hữu tỉ : u Cho h/s y = u(x) ; v(x) là các đa thức có MXĐ: D v uv − vu g(x) Và y/ = 2 = 2 dấu của y/ là dấu của g(x) v v Nếu h/s đạt cực trị tại x0 thì y/(x0)= 0 => g(x0) = 0 u/v v/u = 0 u u u (x 0 ) => = . Do đó giá trị cực trị y(x0) = v v v (x 0 ) Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp a 0 Để hàm số y = f ( x ) có 2 cực trị � f ' ( x ) = 0 có nghiêm � ∆>0 GV : Phạm Đỗ Hải
Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm về 2 phía đối với tung � yCD . yCT < 0 Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung � xCD .xCT < 0 Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm trên trục hoành yCD + yCT > 0 yCD . yCT > 0 Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm dưới trục hoành yCD + yCT < 0 yCD . yCT < 0 Để hàm số y = f ( x ) có cực trị tiếp xúc với trục hoành � yCD . yCT = 0 Bài toán 6: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ương pháp tìm GTLN và GTNN của h/s y = f(x) 1. Ph trên [a;b]: xét hàm số y = f(x)=… trên [a;b] Đạo hàm : y/ = ? .. cho y/ = 0 ( nếu có ) _ x1 , x2 ….. . chỉ chọn các nghiệm thuộc [a;b] Tính f(x1) ; f(x2) ………. So sánh → KL f(a) ; f(b) y= min y = Kết luận: max [a;b] ? [a;b] ? 2. P/pháp tìm GTLN hoặc GTNN của h/s trên (a;b) hoặc MXĐ : Miền đang xét (a;b) hoặc TXĐ Đạo hàm : y/ = ? .. cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/ Lập BBT: Từ BBT kết luận * Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CT thì GTNN bằng giá trị CT min y=y [a;b] ct * Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CĐ thì GTLN bằng giá trị CĐ max y = y [a;b] CĐ * Nếu hàm số luôn tăng (giảm) trên (a;b) thì không có cực trị trên khoảng (a;b). Chú ý : Khi gặp h/s không cho miền đang xét thì ta tìm TXĐ của h/s đó : nếu TXĐ là một đoạn [a;b]hoặc nữa khoảng thì ta dùng cách 1 nếu TXĐ là một khoảng thì dùng cách 2 Đôi khi:Đặt ẩn phụ t=u(x) Biến bài toán tìm GTLN,NN của hàm số y = f(x) trên một khoảng nào đó thành bài toán tìm GTLN,NN của hàm số y = g(t) trên 1 đoạn khác GV : Phạm Đỗ Hải
Bài toán 7 : Giao điểm hai đường cong ( đ.thẳng và một đường cong). 1. Cho hai đồ thị (C1) : y = f(x) ; (C2) : y = g(x) Hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) nếu có là nghiệm của phương trình : f(x) = g(x) (1) pt(1) vô nghiệm (C1) và (C2) không có điểm chung pt(1) có n nghiệm (C1) và (C2) có n điểm chung * Số nghiệm của (1) là số giao điểm của hai đường cong. f (x) = g(x) 2. Điều kiện tiếp xúc : Đồ thị (C1) tiếp xúc (C2) hệ pt có nghiệm f (x) = g (x) Bài toán 8: Cách xác định tiệm cận : lim f (x) = Tiệm cận đứng : x x0 => x = x0 là tiệm cận đứng Chú ý : tìm x0 là những điểm hàm số không xác định Tiệm cận ngang : x lim f (x) = y 0 => y = y0 là tiệm cận ngang Chú ý : hàm số có dạng phân thức ( hoặc có thể đưa về dạng phân thức ) và bậc tử bậc mẫu thì có tiệm cận ngang Tiệm cận xiên (ban cơ bản không có phần này): Cách 1 : + viết hàm số dưới dạng : f(x) = ax + b + (x) lim [f(x) –(ax + b)] = lim ε (x) = 0 y = ax + b là tiệm cận xiên x x Cách 2: ta tìm hai hệ số a và b ; a = lim f (x) ; b = lim [ f (x) − ax ] x x x y = ax + b là tiệm cận xiên Bài toán 9: Ứng dụng của tích phân :Tính diện tích hình phẳng và thể tích của một vật thể tròn xoay sinh bởi 1 hình phẳng quay quanh trục Ox hoặc Oy (C1 ) và (C2 ) (C1 ) và (C2 ) (H ) (H ) x = a, x = b (a < b) y = c, y = d (c < d ) b d S= y C1 − yC2 dx S= x C 1 − xC2 dy a c b d VOx =π yC21 − yC2 2 dx VOy =π xC21 − xC22 dy a c Bài toán 10: Tìm điểm cố định của 1 họ đường cong (Cm): y=f(x,m) Biến đổi PT y=f(x,m) thành PT theo ẩn m Toạ độ điểm cần tìm là nghiệm hệ PT gồm tất cả các hệ số bằng 0 Giải hệ và kết luận …………………… Bài toán 11:Bài toán tìm quỷ tích của 1 họ đường cong (Cm): y=f(x,m) Tìm đk của tham số m để quỷ tích tồn tại Tìm toạ độ của điểm cần tìm quỷ tích Khử m tìm hệ thức độc lập từ hai biểu tức toạ độ trên Tìm giới hạn quỷ tích Kết luận GV : Phạm Đỗ Hải
Bài toỏn 12:Các dạng đồ thị có chứa giá trị tuyệt đối thường gặp: a) Dạng đồ thị (C1) của hàm số: y = f x f x nÕuf x 0 Ta có: y = f x = -f x nÕuf x 0 Vẽ đồ thị (C): y = f(x) Đồ thị (C1) gồm 2 phần: Các phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành (f(x) 0) Phần đối xứng của đồ thị (C) nằm phía dưới trục hoành qua Ox. b) Dạng đồ thị (C2) của hàm số: y = f x f x nÕux 0 Ta có y = f x = f -x nÕux 0 Vẽ đồ thị (C): y = f(x) Đồ thị (C2) gồm 2 phần: Các phần đồ thị (C) nằm bên phải trục tung (hay phần đồ thị (C) ứng với x >0) Phần đối xứng của phần đồ thị trên trục Oy. c) Dạng đồ thị (C3) của hàm số: y f x f x 0 Ta có: y f x y f x (Do đó y f x được coi là hàm đa trị của y theo x) Vẽ đồ thị (C) của hàm y = f(x) Đồ thị (C3) gồm hai phần: Phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành. Phần đối xứng của phần đồ thị trên qua trục Ox. f x d) Dạng đồ thị của hàm số: y = g x f x nÕuf x 0 f x g x Ta có: y = = g x f x - nÕuf x 0 g x f x Vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = g x Đồ thị (C4) gồm hai phần: Phần đồ thị của (C) ứng với f(x) 0 Phần đồ thị của (C) ứng với f(x)
f) Dạng đồ thị (C6) của đồ thị hàm số: y = f x g x f x g x nÕ uf x 0 Ta có: y = f x g x = -f x gx nÕ uf x 0 đồ thị (C6) gồm hai phần: Phần đồ thị của hàm số: y = f(x) + g(x) ứng với f(x) 0 Phần đồ thị của hàm số: y = f(x) + g(x) ứng với f(x) 1) a Các quy tắc: ax.ay = ax+y (a.b)x =ax.bx x x x ( y) x ( a x ) a x −y �� a a y x.y y =a ��= x = a =a a �� b b Hàm số mũ : y = a x với a > 0 ; a 1 TXĐ : D = R MGT : (0; + ) + a > 1 ; h/s đồng biến : x1 > x2 a x1 > a x2 + 0 0 ; a , c 1 ta có : log c b log c a.log a b = log c b log a b = log c a GV : Phạm Đỗ Hải
1 0 0 ; a 1 TXĐ : D = (0 ; + ) MGT : R + a > 1 ; h/s đồng biến : x1 > x2 > 0 log a x1 > log a x2 + 0 0 log a x1 ( eu)/ = u/.eu ( ax) / = ax.lna > ( au)/ = u/.au.lna 1 u (lnx) / = x (0;+ ) > (ln u )/ = x u 1 u (logax) / = > (logau )/ = x ln a u. ln a Bài toán 3: Giải phương trình mũ: 6 cách x x x log b Cách 1. Sử dụng định nghĩa a = b x=log a b (a = b a = a a x=log a b) f (x) g(x) f (x) = g(x) Cách 2. Sử dụng pp đưa về cùng cơ số a =a 0 0 . a b + f (x) + . a b−f (x) + = 0 ; Đặt : t = a f (x) Đk t > 0 1 . a f (x) + . b f (x) + = 0 và a.b = 1; Đặt: t = a f (x) ; = bf (x) t f (x) f (x) �a � . a 2f (x) + . ( a.b ) + . b 2f (x) = 0 ; Đặt t = � � �b � Cách 4. S ử dụng pp logarit hoá 2 vế : Cách 5. S ử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ (thường thì PT có 1 nghiệm duy nhất) Cách 6. S ử dụng pp đồ thị Chú ý: Dạng u(x)f (x) = 1 [u(x) 1].f(x) = 0 ( trong đó u(x) và f(x) có chứa biến ) Bài toán 4: Giải phương trình logarit : 6 cách f(x) > 0 Cách 1. Sử dụng định nghĩa log a f(x)=b 0 < a 1 f(x)=a b f (x) > 0 (hay g(x) > 0) Cách 2. Sử dụng pp đưa về cùng cơ số log a f(x) = log a g(x) 0
Cách 5. S ử dụng tính đơn điệu của hàm số logarit (thường thì PT có 1 nghiệm duy nhất) Cách 6. S ử dụng pp đồ thị Bài toán 5: Giải bất phương trình mũ và logarit Về cơ bản thì phương trình mũ và logarit có các cách gải nào thì bất phương trình mũ và logarit có các cách giải đó Tuy nhiên,ta cần chú ý dạng cơ bản sau: Bất phương trình mũ dạng: u(x)f (x) u(x) g(x) f (x) g(x) TH1 : 0 0. 2. log a f(x) > log a g(x)  (a 1)(f(x) g(x)) > 0. *) Khi giải bài toán bất phương trình mũ hoặc logarit thì phải nắm thật vững tính chất đơn điệu của hai hàm số trên. *) Nắm vững phép lấy hợp, lấy giao của hai hay nhiều tập hợp số. Bài toán 5: Giải hệ phương trình mũ và logarit (Không có ở ban cô bản) Thông thường giải bằng PP thế PHầN 3: NGUYÊN HÀM. Bài toán 1:Tìm nguyên hàm cơ bản(dựa vào bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản). dx = x + C α+1 α (ax + b) α+1 (ax + b) dx = +C( 1) α x + C ( 1 ) a( α + 1) x .dx = α +1 dx 1 = ln ax+ b + C dx ax + b a = ln x + C ( x 0) x ax + b 1 x e .dx = eax+b + C e .dx = e + C x a x αx + b x a αx +β 1 a a .dx = + C a .dx = +C ln a α ln a GV : Phạm Đỗ Hải
Cosx.dx = Sinx + C 1 Cos(ax + b).dx = Sin(ax+ b) + C Sinx.dx = Cos x + C a dx 1 = 2 = Cos(ax+ b) + C 2 (tan x + 1).dx = tanx + C Sin(ax + b).dx Cos x a dx dx 1 = 2 = Cotx + C = tan(ax+ b) + C 2 (Cot x + 1).dx 2 Sin x Cos (ax + b) a dx 1 2 = Cot(ax+ b) + C Sin (ax + b) a Bài toán 2: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số. Dạng 1: Tính I = f [u(x)].u '(x)dx bằng cách đặt t = u(x) Đặt t = u(x) � dt = u '(x)dx I = �f [u(x)].u '(x)dx = �f (t)dt Dạng 2: Tính I = f (x)dx Nếu không tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân có chứa một trong số các hàm biểu thức sau thì có thể đổi biến như sau: 2 2 1 a −x ; 2 2 thì đặt x = asint a −x 1 a2 + x2 ; thì đặt x = atant. a2 + x2 CHÚ Ý: u ( x) / 1. f (e ).u ( x)dx Đặt t u (x) 1 2. f (ln x). dx Đặt t ln(x) x n 3. f ( ax b ).dx Đặt t n ax b 4. f (sin x, cos x )dx • Nếu f là hàm lẻ đối với cosx : đặt t = sinx • Nếu f là hàm lẻ đối với sinx : đặt t = cosx • Nếu f là hàm chẵn đối với sinx, cosx dùng công thức hạ bậc: 1 cos 2 x 1 cos 2 x cos 2 x , sin 2 x 2 2 x • Nếu f chỉ chứa sinx hoặc cosx đặt t tan 2 5. f ( a 2 x 2 ).dx Đặt x a sin t 6. f ( a 2 x 2 ).dx Đặt x a tan t a 7. f ( x 2 a 2 ).dx Đặt x cos t 1 8. f ( ).dx Đặt t x x2 a2 x2 a2 Bài toán 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần: Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I �u(x).v'(x)dx = u(x).v(x) − � v(x).u '(x)dx Hay �udv = uv − �vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx) GV : Phạm Đỗ Hải
́ ́ ̀ ́ ̃ ́ ̣ phân tich cac ham sô dê phat hiên u va dv ̀ �sin ax � @ Dang 1 ̣ f ( x ) cosax � � dx với f(x) là đa thức: �ax � �e � � u = f ( x) � du = f '( x ) dx � � � sin ax � � � � sin ax � Đặt � � � � � � Sau đó thay vào công thức �udv = uv − �vdu để tính dv = cos ax dx v = cosax dx � �ax � � �ax � � � � e � � � � e � a.dx � u = ln( ax + b ) � du = ̣ @ Dang 2 : f ( x ) ln( ax + b )dx Đăt ̣ � � ax + b dv = f ( x ) dx v= f ( x ) dx Sau đó thay vào công thức �udv = uv − �vdu để tính ax � sin ax � ̣ @ Dang 3 : e . � � dx Ta thực hiện từng phần hai lần với u = eax � � cosax Bài toán 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác (một số dạng cơ bản). Dạng 1: sin(ax+b).sin(cx+d)dx ; sin(ax+b).cos(cx+d)dx cos(ax+b).cos(cx+d)dx . * Thực hiện công thức biến đổi tích thành tổng rồi tính tích phân. Dạng 2: sin n ax.cos maxdx (n,m là các số nguyên dương) *) Nếu n lẻ, m chẵn thì đặt t = cosax. *) nếu m lẻ, n chẵn thì đặt t = sinax. *) Nếu n,m đều chẵn thì : Dùng công thức nhân đôi sau đó dung tiếp công thức hạ bậc để tính. (nếu một trong 2 số n hoặc n = 0 số còn lại là số chẵn thì ta chỉ dung công thức hạ bậc). *) n,m Z nếu n+m là số nguyên chẵn thì có thể đặt t = tanax hoặc t = cotax. Dạng 3: R(sinx,cosx)dx R là hàm số hữu tỷ. (mở rộng thi đại học). *) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với sinx tức là R( sinx, cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = cosx. *) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với cosx tức là R(sinx, cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = sinx. *) Nếu R(sinx, cosx) chẵn đối với sinx và cosx tức là R( sinx, cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = tanx. Bài toán 5: Tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỷ f (x) Yêu cầu tính g(x) dx trong đó f(x), g(x) là các đa thức theo x. Trường hợp 1: Bậc của f(x) Bậc của g(x) thì thực hiện phép chia đa thức f(x) cho g(x) ta dẫn đến: f (x) r(x) = h(x) + . Trong đó h(x) (thương của phép chia) là một đa thức còn r(x) (phần dư của phép chia) là g(x) h(x) một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của g(x). f (x) r(x) Nên �( g(x) � �h(x) dx .Như vậy )dx = h(x)dx + h(x)dx ta tích được bằng bảng nguyên hàm vì vậy ta chỉ còn r(x) phải tính g(x) dx theo trường hợp sau. r(x) Trường hợp 2: tính g(x) dx với bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x). *) Phân tích mẫu số g(x) thành tích của các nhị thức. GV : Phạm Đỗ Hải
*) Dùng cách đồng nhất thức như sau: chắn hạn: r(x) r(x) A B C = = + + (*) ( x1; x2 là nghiệm của g(x). g(x) a(x − α ).(x − x )2 (x − x1) (x − x 2 ) (x − x ) 2 1 2 2 *) ta quy đồng bỏ mẫu ta được biểu thức (**) rồi sau đó cho các giá trị của x vào biểu thức (**) để tìm các hệ số A,B,C ( thông thường nên cho x bằng các nghiệm của g(x) để tìm các hệ số được dễ dàng). *) sau đó thay vào biểu thức dưới dấu tích phân để tính. Lưu ý: Xét ở trình độ THPT chúng ta thường gặp phải g(x) phân tích về thành tích của các nhị thức . Bài toán 6: Tìm nguyên hàm của các hàm số vô tỷ:dùng phương pháp đổi biến số. Phuơng pháp chung: n PP đổi biến dạng 1 f ( ax b ).dx Đặt t n ax b PP đổi biên dạng 2: Nếu không tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân có chứa một trong số các hàm biểu thức sau thì có thể đổi biến như sau: o f ( a2 x 2 ).dx Đặt x a sin t o f ( a2 x 2 ).dx Đặt x a tan t a o f ( x2 a 2 ).dx Đặt x cos t 1 o f( ).dx Đặt t x x2 a2 x2 a2 b b PHầN 4: TÍCH PHÂN. f ( x).dx = F ( x) = F (b) − F (a ) a a Bài toán 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng tính chất và nguyên hàm cơ bản. Bài toán 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số. b Dạng 1: Tính I = f [u(x)]u / dx bằng cách đặt t = u(x) a Đặt t = u(x) � dt = u '(x)dx Đổi cận x=a => t = u(a) x=b => t = u(b) u(b) b I = f [u(x)]u / dx = f (t)dt a u(a) β Dạng 2: Tính I = f (x)dx Nếu không tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân có chứa một trong số α các hàm biểu thức sau thì có thể đổi biến như sau: 2 2 1 a −x ; 2 2 thì đặt x = asint a −x 1 a2 + x2 ; thì đặt x = atant. a + x2 2 Bài toán 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần: Nếu u = u(x) , v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên [a;b] thì I = b b b � udv = u.v a − �vdu a a GV : Phạm Đỗ Hải
́ ́ ̀ ́ ̃ ́ ̣ phân tich cac ham sô dê phat hiên u va dv ̀ � u = f ( x) � du = f '( x ) dx �sin ax � � � β � � sin ax � � � sin ax � ̣ @ Dang 1 f ( x ) �cosax �dx với f(x) là đa thức: Đặt � � � � α �ax � dv = � cos ax �dx v = cosax dx �e � � � � � � � ax ax � � � e � � � � e � Sau đó thay vào công thức �udv = uv − �vdu để tính a.dx β � u = ln( ax + b ) � du = ̣ @ Dang 2 : f ( x ) ln( ax + b)dx Đăt ̣ � � ax + b α dv = f ( x ) dx v= f ( x ) dx Sau đó thay vào công thức �udv = uv − �vdu để tính β ax � sin ax � ̣ @ Dang 3 : e . � � dx α � cosax � Ta thực hiện từng phần hai lần với u = eax Bài toán 4: Tính tích phân của các hàm số lượng giác (một số dạng cơ bản). β β β Dạng 1: sin(ax+b)sin(cx+d)dx ; sin(ax+b).cos(cx+d)dx cos(ax+b).cos(cx+d)dx . α α α * Thực hiện công thức biến đổi tích thành tổng rồi tính tích phân. β Dạng 2: sin n ax.cos max.dx (n,m là các số nguyên dương) α *) Nếu n lẻ, m chẵn thì đặt t = cosax. *) nếu m lẻ, n chẵn thì đặt t = sinax. *) Nếu n,m đều chẵn thì : Dùng công thức nhân đôi sau đó dung tiếp công thức hạ bậc để tính. (nếu một trong 2 số n hoặc n = 0 số còn lại là số chẵn thì ta chỉ dung công thức hạ bậc). *) n,m Z nếu n+m là số nguyên chẵn thì có thể đặt t = tanax hoặc t = cotax. β Dạng 3: R(sinx,cosx)dx R là hàm số hữu tỷ. (mở rộng thi đại học). α *) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với sinx tức là R( sinx, cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = cosx. *) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với cosx tức là R(sinx, cosx) = R(sinx, cosx) thì ta đặt t = sinx. *) Nếu R(sinx, cosx) chẵn đối với sinx và cosx tức là R( sinx, cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = tanx. Bài toán 5: Tính tích phân của các hàm số hữu tỷ β f (x) Yêu cầu tính dx trong đó f(x), g(x) là các đa thức theo x. α g(x) Trường hợp 1: Bậc của f(x) Bậc của g(x) thì thực hiện phép chia đa thức f(x) cho g(x) ta dẫn đến: f (x) r(x) = h(x) + . Trong đó h(x) (thương của phép chia) là một đa thức còn r(x) (phần dư của phép chia) là g(x) h(x) một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của g(x). β f (x) β β r(x) Nên � dx = �h(x)dx + � dx . α g(x) α α h(x) GV : Phạm Đỗ Hải
β β r(x) Như vậy h(x)dx ta tích được bằng bảng nguyên hàm vì vậy ta chỉ còn phải tính dx theo trường hợp α α g(x) sau. β r(x) Trường hợp 2: tính dx với bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x). α g(x) *) Phân tích mẫu số g(x) thành tích của các nhị thức. *) Dùng cách đồng nhất thức như sau: chắn hạn: r(x) r(x) A B C = = + + (*) ( x1; x2 là nghiệm của g(x). g(x) a(x − α 1 ).(x − x 2 ) 2 (x − x1) (x − x 2 ) (x − x 2 ) 2 *) ta quy đồng bỏ mẫu ta được biểu thức (**) rồi sau đó cho các giá trị của x vào biểu thức (**) để tìm các hệ số A,B,C ( thông thường nên cho x bằng các nghiệm của g(x) để tìm các hệ số được dễ dàng). *) sau đó thay vào biểu thức dưới dấu tích phân để tính. Lưu ý: Xét ở trình độ THPT chúng ta thường gặp phải g(x) phân tích về thành tích của các nhị thức . Bài toán 6: Tìm tích phân của các hàm số vô tỷ:dùng phương pháp đổi biến số. Phuơng pháp chung: n PP đổi biến dạng 1 f ( ax b ).dx Đặt t n ax b PP đổi biên dạng 2: Nếu không tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân có chứa một trong số các hàm biểu thức sau thì có thể đổi biến như sau: o f ( a2 x 2 ).dx Đặt x a sin t o f ( a2 x 2 ).dx Đặt x a tan t a o f ( x2 a 2 ).dx Đặt x cos t 1 o f( 2 2 ).dx Đặt t x x2 a2 x a b Bài toán 7: Tính tích phân chứa dấu giá trị tuyên đối. Tính f (x) dx a +) Tìm nghiệm của f(x) = 0. Nếu f(x) = 0 vô nghiệm trên (a;b) hoặc có có nghiệm nhưng không có nghiệm nào thuộc [a;b] hoặc có b b một nghiệm x = a hoặc x = b các nghiệm còn lại không thuộc [a;b] thì f (x) dx = f (x)dx a a b c b Nếu f(x) = 0 có nghiệm x = c (a;b) thì f (x) dx = �f (x)dx + �f (x)dx a a c *Chú ý 1) Nếu có nhiều hơn 1 nghiệm trên (a;b) thì vẫn dùng công thức trên tùy theo trường hợp nghiệm như thế nào. (cách làm này có lợi vì ta khôngcần xét dấu f(x)). 2) Ở mức độ thi TNTHPT không cần nắm bất đẳng thức tích phân. PHầN 5: DIệN TÍCH HÌNH PHẳNG THể TÍCH VậT THể TRÒN XOAY. Bài toán 1: Tính diện tích hình phẳng y Hình phẳng giới hạn bởi : ha�m so�y = f (x) lie� n tu� c tre� n[a;b] b Diệ n tích : S = | f (x) | .dx b tru� nh y = 0; x = a; x = b c hoa� a a x Chú ý : nếu thiếu cận a, b giải pt : f(x) = 0 GV : Phạm Đỗ Hải
ha�m so�x = f (y) lie� n tu� c tre� n[a;b] b Hình phẳng giới hạn bởi : tru� nh x = 0;y = a; y = b c hoa� Diệ n tích : S = | f (y) | .dy a Hình phẳng giới hạn bởi : y y=f(x ha� y = f (x) lie� m so� n tu� c tre� n[a;b] ) b y=g( ha�m so� y = g(x) lie� n tu� n [a;b] Diện tích : S = | f (x) − g(x) | .dx c tre� x = a; x = b a x) a b x Chú ý : 1) Nếu thiếu cận a, b giải pt : f(x) = g(x) 2) Nếu bài toán qua phức tạp thì ta có thể vẽ hình để xác định hình phẳng hoặc tính thông qua tổng hoặc hiệu của nhiều hình. Hình phẳng giới hạn bởi : ha� x = f (y) lie� m so� n tu� c tre� n[a;b] b ha�m so� x = g(y) lie� n tu� n[a;b] Diện tích : S = | f (y) − g(y) | .dy c tre� y = a;y = b a Bài toán 2:Tính thể tích vật thể tròn xoay : * Thể tích hình tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường : ha�m so�y = f (x) lie� n tu� c tre� n[a;b] b 2 tru� nh y = 0; x = a;x = b c hoa� quay quanh trục Ox và f(x) 0 trên [a;b] thì V = π f (x)� � � �.dx a * Thể tích hình tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường : ha�m so�x = g(y) lie� n tu� c tre� n[a;b] b 2 tru� nh x = 0;y = a; y = b c hoa� quay quanh trục Oy và g(y) 0 trên [a;b] thì V = π g(y) � � � �.dy a * Thể tích hình tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường : ha� m so� y = f (x); y = g(x) lie� n tu� c tre� n [a;b] b 2 2 x = a;x = b quay quanh trụ c Ox thì V = π � �− � f (x)� � g(x)� � � .dx a * Thể tích hình tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường : ha�m so� x = f (y); x = g(y) lie� n tu� c tre� n[a;b] b 2 2 y = a; y = b quay quanh trụ c Oy thì V = π � �− � f (y) � � g(y)� � � .dy a PHầN 6: Số PHứC Bài toán 1: Tìm số phức, tính môđun,số phức liên hợp,biểu diễn số phức,… Cho hai số phức a+bi và c+di. 1) a+bi = c+di  a = c và b = d. 2) môđun số phức z = a + bi = a 2 + b 2 3) số phức liên hợp của z = a+bi là z = a bi. * z+ z = 2a; z. z = z 2 = a 2 + b2 4) (a+bi ) +( c+di) = (a+c)+(b+d)i 5) (a+bi ) ( c+di) = (a c)+(b d)i. 6) ) (a+bi )( c+di) = (ac bd)+(ad+bc)i c + di 1 7) z = = [(ac+bd)+(adbc)i] (để thực hiện phép chia:ta nhân tử và mẫu cho số phức liên a + bi a 2 + b 2 hợp của số phức ở mẫu) Bài toán 2:Căn bậc 2 của số phức: Định nghĩa căn bậc 2: z là căn bậc 2 của w z2=w Chú ý: căn bậc 2 của w=a (a là số thực dương) là z= a căn bậc 2 của w=a (a là số thực âm) là z= i a GV : Phạm Đỗ Hải