GGiiááoo vviiêênn:: LLÊÊ BBÁÁ BBẢẢOO__ TTrrưườờnngg TTHHPPTT ĐĐặặnngg HHuuyy TTrrứứ,, HHuuếế

SSĐĐTT:: 00993355..778855..111155 ĐĐăănngg kkíí hhọọcc tthheeoo đđịịaa cchhỉỉ:: 111166//0044 NNgguuyyễễnn LLộộ TTrrạạcchh,, TTPP HHuuếế HHooặặcc TTrruunngg ttââmm KKmm 1100 HHưươơnngg TTrràà

Hoµi niÖm Tù luËn:

KH¶O S¸T HµM Sè MéT Sè BµI TO¸N MAX MIN

HuÕ, th¸ng 8/2020

Thế biến đưa về khảo sát hàm một biến

là các số thực thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất

.

Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 Chủ đề: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ CHO BÀI TOÁN GTLN-GTNN VÀ BẤT ĐẲNG THỨC HAI BIẾN SỐ Kỹ thuật 1: Bước 1: Rút 1 biến biểu diễn theo biến kia. Xác định miền giá trị của biến được rút. Bước 2: Thay biến được rút vào biểu thức giả thiết. Khảo sát và đưa ra kết luận. Bài tập 1: Cho của biểu thức Bài giải: Từ giả thiết ta có:

.

Khi đó:

Xét hàm số . , ta có:

Ta có: .

Suy ra: ,

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng đạt được tại .

Bài tập 2: (HSG Quốc gia 1998) Cho là các số thực thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức .

Bài giải: Từ giả thiết ta có: . Thay vào biểu thức P ta có:

Khi đó:

Xét hàm số , ta có:

.

Từ đó suy ra:

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng đạt được tại .

Bài tập 3: Cho là các số thực dương thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

.

thức Bài giải: Từ giả thiết ta có: .

Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_1

Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016

Khi đó:

Xét hàm số , ta có:

.

Từ đó suy ra: .

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng đạt được tại .

Bài tập 4: Cho là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất và

giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

Bài giải:

. Do không âm nên Ta có:

. Khi đó:

Xét hàm số

Ta có: .

Lập BBT ta suy ra GTLN của P là , đạt được khi ; GTNN của P là 2, đạt được khi

Bài tập 5: Cho là các số thực dương thỏa mãn điều kiện và . Tìm

giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

Bài giải:

Từ giả thiết suy ra:

Khi đó:

Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_2

Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016

Xét hàm số

Do đó hàm số đồng biến trên Ta có:

. Suy ra:

Vậy GTNN của P là đạt được khi ; GTLN của P là đạt được khi

Bài tập 6: Cho là các số thực thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất và

giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

Bài giải:

. Ta có: Suy ra: Đặt

Khi đó:

Xét hàm số , .

Ta có:

Ta có:

Ta có:

Vậy GTNN của P là đạt được khi ; GTLN của P là đạt được khi

Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_3

Xử lý biểu thức đối xứng hai biến theo theo ). Tìm miền giá trị (hoặc (hoặc ) rút

, giả sử . , với .

Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 Kỹ thuật 2: Bước 1: Từ điều kiện đặt của Bước 2: Thay biến được rút vào biểu thức giả thiết được hàm số theo Bài tập 1: Cho

là các số thực không âm thỏa mãn thay đổi thỏa mãn điều kiện

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Bài giải:

Ta có: .

Khi đó: .

Đặt .

Từ điều kiện bài toán ta có:

.

Xét hàm số .

Ta có:

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng đạt được tại

Bài tập 2: Cho là các số thực dương thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn

nhất của biểu thức

Bài giải: Ta có:

, do .

Khi đó: . Đặt khi đó: .

Xét hàm số , , ta có: .

Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_4

Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016

Ta có: suy ra

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng đạt tại .

Bài tập 3: Cho là các số thực dương thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của

. biểu thức

, Bài giải: Sử dụng BĐT

ta có:

Từ giả thiết ta có:

Đặt khi đó:

Khảo sát GTNN của , ta có: Giá trị lớn nhất của P bằng đạt

.

là các số thực dương thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu tại Bài tập 4: Cho

. thức

Bài giải:

. . Đặt , do Ta có:

Khảo sát hàm , có suy ra nghịch biến trên

.

đạt tại Vậy

Bài tập 5: Cho là các số thực dương thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức .

Bài giải:

Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_5

Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016

Ta có: .

Đặt , do .

Khảo sát hàm , có

Lập BBT ta dễ dàng suy ra:

đạt tại .

Bài tập 6: Cho là các số thực dương thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất của biểu thức .

Bài giải:

Khi đó: Đặt , do

, ta có Khảo sát hàm

Lập BBT ta dễ dàng suy ra:

GTLN của P là , đạt được khi Vì không tồn tại GTNN trên nên P không tồn

là các số thực thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất và tại GTNN. Bài tập 7: (CĐ 2008) Cho

giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

Bài giải:

Ta có: .

Từ giả thiết suy ra: . Như vậy nếu ta đặt thì chưa thể rút theo ngay

được vì có nhận giá trị âm và giá trị dương.

Do đó ta đặt , khi đó: .

Ta có:

Khảo sát hàm , ta có

Lập BBT ta dễ dàng suy ra:

Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_6

Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016

GTLN của P là , đạt được khi

.

GTNN của P là , đạt được khi .

là các số thực thỏa mãn điều kiện và . Tìm giá trị lớn nhất và

.

Bài tập 8: Cho giá trị nhỏ nhất của biểu thức Bài giải: Ta có: . Thay vào biểu thức P ta được:

Ta có: .

hoặc

đạt được tại

Ta có: Vậy GTLN của P bằng 20 đạt được tại GTNN của P bằng Bài tập 9: Cho là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của

. biểu thức

Bài giải: Ta có: . Thay vào biểu thức P ta được:

Ta có: . Ta có: .

Vậy GTNN của P bằng đạt được tại

Bài tập 10: Cho là các số thực thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị

lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

Bài giải: Ta có: .

Đặt , ta có: .

Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_7

Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016

Khi đó P trở thành: .

Ta có: . Ta có: .

Vậy GTLN của P bằng đạt được tại hoặc GTNN của P bằng đạt được tại

hoặc .

Bài tập 11: Cho là các số thực thỏa mãn điều kiện Tìm giá

trị lớn nhất của biểu thức

Bài giải: Ta có: .

Đặt , ta có: .

Khi đó P trở thành: .

Ta có: . Lập BBT ta dễ dàng suy ra kết quả.

Vậy GTLN của P bằng đạt được tại .

Bài tập 12: Cho là các số thực thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất, giá trị

nhỏ nhất của biểu thức

. Bài giải: Ta có:

. Mặt khác:

. Ta có:

Đặt .

Khi đó P trở thành: .

Ta có: . Ta có:

Vậy GTLN của P bằng đạt được tại , GTNN của P bằng đạt được tại .

Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_8

Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016

Bài tập 13: Cho là các số thực thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất, giá trị

nhỏ nhất của biểu thức

Bài giải:

. Ta có:

. Mặt khác:

. Ta có:

Đặt Khi đó P trở thành: .

Ta có: . Ta có: .

Vậy GTLN của P bằng , GTNN của P bằng .

Bài tập 14: Cho là các số thực thỏa mãn điều kiện và . Tìm giá trị lớn

nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài giải:

Đặt . Suy ra là nghiệm của phương trình: (1)

Vì (1) có nghiệm .

Vì nên . Vậy .

Mặt khác từ giả thiết suy ra:

Lúc đó:

Xét hàm số

Ta có: Ta có:

Vậy GTLN của P bằng đạt được tại , GTNN của P bằng đạt được tại

Bài tập 15: Cho là các số thực thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn

nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_9

Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 Bài giải: Đặt

là nghiệm của phương trình: . Suy ra (1)

Vì (1) có các nghiệm thoả mãn

Khi đó: Xét hàm

Ta có: Ta có: .

Vậy GTLN của M bằng đạt được khi hoặc , GTNN của M bằng

đạt được khi hoặc

là các số thực thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất, giá trị

và . Bài tập 16: Cho nhỏ nhất của biểu thức Bài giải: Đặt . Từ giả thiết suy ra:

. Vậy

Ta có:

Khi đó P trở thành: .

Ta có: . Ta có: .

Vậy GTLN của P bằng đạt được khi , GTNN của P bằng đạt được khi

Bài tập 17: Cho là các số thực thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị

lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài giải:

Ta có: (1)

Đặt vì nên từ (1) ta có:

Khi đó P trở thành: .

Ta có: . Do đó hàm số đồng biến trên .

Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_10

Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016

. Vậy GTLN của P bằng đạt được khi , GTNN của P bằng Ta có:

18: Cho là các số thực dương thỏa mãn điều kiện đạt được khi Bài tập

. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài giải:

Đặt . Ta có: .

Kết hợp giả thiết suy ra:

Khi đó P trở thành: .

Ta có: . Ta có:

Vậy GTLN của P bằng đạt được khi hoặc , GTNN của P bằng đạt được khi

Bài tập 19: Cho là các số thực thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị

nhỏ nhất của biểu thức

Bài giải:

Đặt . Khi đó . và

Đặt , ta có và .

Khi đó P trở thành:

.

Xét hàm số .

Ta có: .

Ta có: .

đạt được khi hoặc ;

Vậy GTLN của P bằng GTNN của P bằng đạt được khi

Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_11

Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016

Bài tập 20: Cho là các số thực thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn

nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài giải: Từ giả thiết suy ra

Ta có:

. Nên từ

Đặt , ta có:

Khi đó:

. Ta có: Ta có:

Vậy GTLN của F bằng đạt được khi , GTNN của F bằng đạt được khi

Bài tập 21: Cho là các số thực thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất,

giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài giải:

, suy ra . Sử dụng BĐT: ta có: Điều kiện

Suy ra . Đặt .

Khi đó:

Xét hàm số

Ta có: .

Suy ra đồng biến trên . Do đó: . ,

Suy ra đồng biến trên . Ta có: .

đạt được khi , GTNN của P bằng đạt được khi

Vậy GTLN của P bằng Bài tập 22: Cho là các số dương thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài giải:

Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_12

Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016

Áp dụng BĐT: . Lúc đó:

Ta có: .

Lập BBT ta có kết quả . Suy ra GTNN của P bằng đạt được khi

Bài tập 23: Cho là các số thực thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ

nhất của biểu thức

Bài giải:

Ta có:

Mặt khác: Đặt

Ta có:

Ta có: . Ta có:

Vậy GTLN của M bằng đạt được khi hoặc , GTNN của

M bằng đạt được khi

Bài tập 24: (Thi thử Chuyên Quốc Học Huế 2011) Cho là các số thực thay đổi . Tìm

giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài giải: Xét hàm số .

Ta có:

. Lập BBT của trên ta có:

Xét hàm số .

. Tiếp tục lập BBT của trên ta có:

Từ đó suy ra: . Vậy GTNN của T bằng đạt được tại

Tìm giá trị lớn nhất của

là các số thực dương thỏa mãn điều kiện

Bài tập 25: Cho biểu thức Bài giải:

Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_13

Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016

. Vì dương nên . Ta có:

Do đó: .

. Ta có:

Lập BBT của trên ta có: . Vậy GTLN của A bằng 2 đạt được khi

Bài tập 26: Cho là các số thực dương thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức

Bài giải: Cách 1: (Rút thế trực tiếp)

. Ta có: . Do đó:

Ta có:

.

Lập BBT của trên ta có: .

Vậy GTLN của A bằng đạt được khi

Cách 2: (Đổi biến và vận dụng đạo hàm)

. Ta có:

Đặt , và .

Xét .

Lập BBT của trên ta có: .

Vậy GTLN của A bằng đạt được khi

Bài tập 27: (Dự bị B 2002) Cho là các số thực dương thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức

Bài giải:

Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_14

Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016

Ta có: . Do đó: .

Ta có:

Lập BBT của trên ta có: . Vậy GTNN của S bằng đạt được khi

Bài tập 28: Cho là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất và

giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài giải: Cách 1: (Rút thế trực tiếp)

Ta có: . Do đó: .

Ta có:

Ta có:

Vậy GTLN của A bằng đạt được khi hoặc , GTNN của A bằng đạt được

khi

Cách 2: (Đổi biến và vận dụng đạo hàm)

. Ta có:

Đặt , và .

Xét

suy ra:

Vậy GTLN của A bằng đạt được khi hoặc , GTNN của A bằng đạt được

khi

Kỹ thuật 3: Đổi biến đẳng cấp

Bài tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức , với .

Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_15

Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 Bài giải: + Nếu

thì và

+ Nếu , ta chia cả tử và mẫu cho . Đặt . Khi đó và .

Xét hàm số trên .

Ta có: và .

Lập BBT ta dễ dàng suy ra: GTLN của A bằng 1, đạt được khi ; GTNN của A bằng ,

đạt khi

là các số thực thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất và giá

Bài tập 2: Cho trị nhỏ nhất của biểu thức Bài giải:

Ta có:

+ Nếu thì và

+ Nếu , ta chia cả tử và mẫu cho . Đặt . Khi đó và .

Xét hàm số trên .

Ta có: và .

; GTNN của P bằng ,

Lập BBT ta dễ dàng suy ra: GTLN của P bằng 1, đạt được khi đạt khi

là các số thực thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất và giá trị

Bài tập 3: Cho nhỏ nhất của biểu thức

Bài giải: Đặt

+ Nếu thì từ giả thiết ta có: . Suy ra .

+ Nếu , ta có . Khi đó:

Đặt , ta có

Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_16

Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016

Xét hàm số trên .

Ta có: và .

Lập BBT ta dễ dàng suy ra: .

Vì

Suy ra: GTLN của P bằng , đạt được khi ; GTNN của P bằng ,

đạt khi .

Bài tập 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức , với .

Bài giải:

Do , ta chia cả tử và mẫu cho . Đặt . Khi đó và .

Xét hàm số trên .

Ta có:

. Lập BBT ta dễ dàng suy ra: GTLN của P bằng , đạt được khi

Đánh giá kết hợp đổi biến

Kỹ thuật 4: Trong nhiều bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức F mà các biến bị rằng buộc nhau bởi điều kiện dưới dạng BĐT, hoặc bản thân biểu thức F không có tính đối xứng, đẳng cấp; hoặc biểu thức F và điều kiện của bài toán chứa nhiều đại lượng phức tạp... thì chúng ta cần xử lú biểu thức F thông qua một số đánh giá. Bài tập 1: Cho là các số thực dương thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức

Bài giải: Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:

Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_17

Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016

; và

Cộng hai BĐT trên ta được:

.

Suy ra:

Đặt . Từ

. Xét hàm số , . Ta có:

Suy ra Suy ra: , dấu "=" xãy ra khi .

Vậy GTNN của P là , dấu "=" xãy ra khi .

Bài tập 2: Cho là các số thực thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất của

biểu thức

Bài giải:

Áp dụng BĐT: , ta có: và .

Cộng hai BĐT trên ta suy ra: .

Do đó, dấu "=" xãy ra .

Đặt . Khi đó: .

Ta có:

Xét hàm số . Ta có: .

Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_18

Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 Suy ra hàm số

đồng biến trên . Do đó: .

, dấu "=" xảy ra khi .

Vậy GTLN của P bằng Nhận xét: Với cách giải trên, chúng ta không tìm được GTNN của biểu thức P. Để tìm cả GTLN và GTNN của P, ta tiến hành như sau:

Tương tự như trên ta có: . Đặt . Khi đó: .

Mặt khác:

. Ta có:

Suy ra:

Xét hàm số

. Suy ra hàm số đồng biến trên . Ta có:

Do đó: và .

Bài tập 3: Cho là các số thực dương thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn

nhất của biểu thức

Bài giải:

. Từ giả thiết ta có: Đặt

, do . hay

(1) Ta lại có:

Xét hàm số: Ta có: .

Ta có: (2)

Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_19

Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016

Từ (1) và (2) suy ra: . Dấu "=" xảy ra

Vậy GTLN của P bằng , đạt được khi .

Bài tập 4: Cho là các số thực dương thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất

. của biểu thức

Bài giải:

. Từ giả thiết ta có: Đặt

, do . hay

và , ta có: (1) Với

, đúng do và . Thật vậy:

(2) Khi đó:

Xét hàm số:

Ta có: .

Suy ra hàm số nghịch biến trên . Do đó: . (3)

Từ (1) và (2) suy ra: . Dấu "=" xãy ra

Vậy GTLN của P bằng , đạt được khi

Bài tập 5: Cho là các số thực thuộc , thoả mãn điều kiện:

.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .

Bài giải:

Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_20

Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016

Ta có: (1)

Vì

và nên từ (1) suy ra: (2)

Đặt , khi đó (2) trở thành:

Ta có với , ta có: , đúng do

.

Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:

và nên suy ra: .

Xét hàm số Ta có:

Suy ra hàm số đồng biến trên Do đó: .

Suy ra: . Dấu "=" xãy ra

Vậy GTLN của P bằng , đạt được khi

Bài tập 6: Cho là các số thực dương phân biệt, thoả mãn điều kiện: .

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài giải:

Từ giả thiết .

Đặt và

Xét hàm số

Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_21

Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016

Ta có:

Vì nên

Suy ra: , dấu "=" xãy ra .

Vậy GTNN của P bằng

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài tập 1: Cho không âm thoả mãn điều kiện: . Chứng minh .

Bài tập 2: Cho thoả mãn điều kiện: . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức .

Bài tập 3: Cho thoả mãn điều kiện: . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

.

Bài tập 4: Cho thoả mãn điều kiện: . Tìm GTLN, GTNN của biểu

Bài tập 5: Cho thoả mãn điều kiện: . Tìm GTLN, GTNN của biểu

. thức

Bài tập 6: Cho thoả mãn điều kiện: . Tìm GTLN, GTNN của biểu

thức .

Bài tập 7: Cho là các số thực dương thoả mãn điều kiện: .

Tìm GTNN của biểu thức .

Bài tập 8: Cho là các số thực dương thoả mãn điều kiện:

.

Tìm GTNN của biểu thức .

Bài tập 9: Cho thoả mãn điều kiện: . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

thoả mãn điều kiện: . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức . Bài tập 10: Cho

.

Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_22

Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 Bài tập 11: Cho

là các số thực lớn hơn 1. Tìm GTNN của biểu thức

.

Bài tập 12: Cho là các số dương thoả mãn điều kiện: . Tìm GTNN của biểu thức

GỢI Ý:

Bài tập 1: Cho không âm thoả mãn điều kiện: . Chứng minh .

Gợi ý:

. . Khi đó BĐT trở thành: Rút

, , dễ thấy được kết quả cần chứng minh. Khảo sát hàm

thoả mãn điều kiện: . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức .

Bài tập 2: Cho Gợi ý:

. Ta có:

. , Lúc đó:

Khảo sát hàm , .

Ta có yêu cầu bài toán: khi và khi .

Bài tập 3: Cho thoả mãn điều kiện: . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

.

Gợi ý:

Đặt

Ta có:

Lúc đó: .

Khảo sát hàm .

Ta có yêu cầu bài toán: khi và khi

.

Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_23

Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức Bài tập 4: Cho

thoả mãn điều kiện:

.

Gợi ý:

do . Đặt

. Suy ra Mặt khác vì

. Lúc đó:

Khảo sát hàm .

Ta có yêu cầu bài toán: khi và khi

.

Bài tập 5: Cho thoả mãn điều kiện: . Tìm GTLN, GTNN của biểu

thức .

Gợi ý:

Đặt và từ giả thiết ta có:

Mặt khác vì Suy ra

. Mặt khác từ giả thiết: .

Lúc đó:

Khảo sát hàm

Ta có yêu cầu bài toán: khi và khi .

Bài tập 6: Cho thoả mãn điều kiện: . Tìm GTLN, GTNN của biểu

thức .

Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_24

Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 Gợi ý: Điều kiện

Ta có:

. Đặt Suy ra:

Lúc đó:

Khảo sát hàm

Ta có yêu cầu bài toán: khi và khi

Bài tập 7: Cho là các số thực dương thoả mãn điều kiện:

.

Tìm GTNN của biểu thức .

Gợi ý:

Ta có:

Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:

. Đặt , ta có: Suy ra:

, . Lúc đó:

, . Xét hàm số:

Ta có yêu cầu bài toán: khi hoặc

Bài tập 8: Cho là các số thực dương thoả mãn điều kiện:

.

Tìm GTNN của biểu thức .

Gợi ý:

Ta có:

Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_25

Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016

Suy ra:

Lúc đó:

, .

Xét hàm số: , .

Ta có yêu cầu bài toán: khi

Bài tập 9: Cho thoả mãn điều kiện: . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

.

. Gợi ý: Đặt

+ Nếu thì từ giả thiết ta có: , suy ra: .

+ Nếu , ta có: . Khi đó: .

Đặt , ta có:

Xét hàm số Khảo sát trên , ta có kết quả sau:

Vì .

Suy ra, GTNN của P là , đạt khi .

Bài tập 10: Cho thoả mãn điều kiện: . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

.

.

Gợi ý: Từ giả thiết của bài toán ta có: + Với , ta có .

Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_26

Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC và MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016

+ Với , ta có: . Đặt , xét hàm .

Kết quả bài toán: và

Bài tập 11: Cho là các số thực lớn hơn 1. Tìm GTNN của biểu thức

.

Gợi ý:

. Đặt

Khi đó:

.

Khảo sát , ta có kết quả: GTNN của P bằng đạt được khi

Bài tập 12: Cho là các số dương thoả mãn điều kiện: . Tìm GTNN của biểu thức

Gợi ý:

Từ giả thiết và áp dụng BĐT Cauchy, ta có:

Lúc đó:

Đặt và .

Khảo sát , ta có kết quả: GTNN của P bằng đạt được khi

Lớp Toán thầy LÊ BÁ BẢO-Số 4 Kiệt 116 Nguyễn Lộ Trạch (TP Huế)_Trung tâm BDKT Km10 Hương Trà 0935.785.115_27