Khoá luận tốt nghiệp Đại học: Phương pháp R-matrix cho nghiên cứu hiệu ứng phi định xứ của thế quang học nucleon – hạt nhân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KHOA VẬT LÍ

----------

VÕ THỊ HẢI NHẬT

PHƢƠNG PHÁP R-MATRIX

CHO NGHIÊN CỨU HIỆU ỨNG PHI ĐỊNH XỨ

CỦA THẾ QUANG HỌC NUCLEON – HẠT NHÂN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 4 năm 2018

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KHOA VẬT LÍ

----------

VÕ THỊ HẢI NHẬT

PHƢƠNG PHÁP R-MATRIX

CHO NGHIÊN CỨU HIỆU ỨNG PHI ĐỊNH XỨ

CỦA THẾ QUANG HỌC NUCLEON – HẠT NHÂN

Ngành : SƢ PHẠM VẬT LÍ

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC:

CN. Nguyễn Lê Anh

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 4 năm 2018

i

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quý thầy cô Giảng viên các bộ môn, đặc

biệt là Quý thầy cô Giảng viên khoa Vật lí trƣờng Đại học Sƣ phạm Thành phố Hồ Chí

Minh, đã ân cần chỉ dạy, cho tôi một nền tảng kiến thức khoa học vững chắc để hoàn

thành khóa luận này.

Đặc biệt, tôi xin gửi lời cảm ơn đến thầy Nguyễn Lê Anh - ngƣời đã rất tận tình

giúp đỡ tôi trong việc định hƣớng, xây dựng và phát triển đề tài. Ngoài ra, những góp

ý và động viên của thầy cũng là động lực để tôi hoàn thành khóa luận một cách tốt

đẹp.

Bên cạnh đó, tôi cũng chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã giúp đỡ, góp ý và

tạo nhiều điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành các mục tiêu của mình.

Cuối cùng, tác giả rất mong nhận đƣợc sự đóng góp từ quý thầy cô và các bạn để

khóa luận đƣợc hoàn thiện hơn.

Tp. Hồ Chí Minh, tháng 4 năm 2018

Võ Thị Hải Nhật

ii

PHỤ LỤC

LỜI MỞ ĐẦU ................................................................................................ - 1 -

Chƣơng 1 LÍ THUYẾT TÁN XẠ .............................................................................. - 4 -

1. 1. LÍ THUYẾT TÁN XẠ .......................................................................... - 4 -

1. 1. 1. Lí thuyết tán xạ cổ điển .............................................................. - 4 -

1. 1. 2. Lí thuyết tán xạ lƣợng tử ............................................................ - 6 -

1. 1. 2. 1. Mối liên hệ giữa S-matrix và R-matrix ....................... - 9 -

1. 1. 2. 2. Biên độ tán xạ ........................................................... - 10 -

1. 1. 2. 3. Tiết diện tán xạ đàn hồi toàn phần ............................ - 10 -

1. 1. 2. 4. Độ lệch pha (phase-shift) .......................................... - 10 -

1. 2. THẾ TƢƠNG TÁC PHI ĐỊNH XỨ (NONLOCAL POTENTIAL) .. - 10 -

1.2. 1. Thế quang học (Optical Model Potential) .................................. - 10 -

1. 2. 1. 1. Tổng quan ................................................................. - 11 -

1. 2. 1. 2. Thế quang học ........................................................... - 12 -

1.2. 2. Thế Perey–Buck (Perey–Buck Potential) ................................... - 13 -

1. 3. R-MATRIX ......................................................................................... - 15 -

1. 3. 1. Tổng quan ................................................................................. - 15 -

1. 3. 2. R-matrix tính toán .................................................................... - 15 -

1. 3. 3. Phƣơng pháp Lagrange-mesh .................................................. - 18 -

1. 3. 4. Thuật toán R-matrix ................................................................. - 19 -

Chƣơng 2 KẾT QUẢ ...............................................................................................- 23 -

2. 1 Tán xạ proton lên hạt nhân .................................................................. - 23 -

2. 2 Tán xạ neutron lên hạt nhân ................................................................ - 28 -

iii

2. 3 Tiết diện tán xạ phân bố theo xung lƣợng chuyển .............................. - 32 -

2. 4 Tổng kết .............................................................................................. - 33 -

KẾT LUẬN VÀ HƢỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ TÀI ..................................... - 34 -

PHỤ CHÚ DANH SÁCH CÁC HÀM VÀ THÔNG SỐ ............................ - 36 -

TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................... - 40 -

iv

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT

NLOMP: Nonlocal Optical Model Potential

IAEA: International Atomic Energy Agency

v

DANH SÁCH HÌNH VẼ

Hình 1.1: Mô tả tán xạ đàn hồi nucleon lên hạt nhân bia bất kì

Hình 1.2: Mô tả tiết diện tán xạ đàn hồi theo góc tán xạ trong tán xạ nucleon – hạt

nhân

Hình 3.1: Mô tả quy trình tính toán bằng phƣơng pháp R-matrix

Hình 3.2: Input của bài toán tán xạ neutron ở 26 MeV lên hạt nhân 208Pb

Hình 3.3: Input của bài toán tán xạ proton ở 30.6 MeV lên hạt nhân 120Sn

Hình 3.4: Một đoạn output của bài toán tán xạ proton ở 16 MeV lên hạt nhân 56Fe

Hình 4.1: Tiết diện tán xạ phân bố theo góc tán xạ trong tán xạ đàn hồi proton lên

hạt nhân 40Ca

Hình 4.2: Tiết diện tán xạ phân bố theo góc tán xạ trong tán xạ đàn hồi proton lên

hạt nhân 56Fe

Hình 4.3: Tiết diện tán xạ phân bố theo góc tán xạ trong tán xạ đàn hồi proton lên

hạt nhân 208Pb

Hình 4.4: Tiết diện tán xạ phân bố theo góc tán xạ trong tán xạ đàn hồi proton lên

hạt nhân 120Sn

Hình 4.5: Tiết diện tán xạ phân bố theo góc tán xạ trong tán xạ đàn hồi neutron lên

hạt nhân 120Sn

Hình 4.6: Tiết diện tán xạ phân bố theo góc tán xạ trong tán xạ đàn hồi neutron lên

hạt nhân 56Fe

Hình 4.7: Tiết diện tán xạ phân bố theo góc tán xạ trong tán xạ đàn hồi neutron lên

hạt nhân 208Pb

Hình 4.8: Tiết diện tán xạ phân bố theo góc tán xạ trong tán xạ đàn hồi neutron lên

hạt nhân 40Ca

Hình 4.9: Tiết diện tán xạ phân bố theo xung lƣợng chuyển trong tán xạ đàn hồi

neutron lên hạt nhân 120Sn ở năng lƣợng 9.943 MeV

vi

LỜI MỞ ĐẦU

Thế kỉ XX là thời kì bùng nổ của Vật lí hạt nhân, khi những nguyên tố phóng xạ

liên tục đƣợc nghiên cứu và công bố rộng rãi. Liên tiếp sau đó là sự xuất hiện của

nhiều hạt nhân và các đồng vị phóng xạ không bền của chúng. Do đó, nhu cầu nghiên

cứu và dự đoán các dữ liệu phản ứng hạt nhân đóng vai trò vô cùng quan trọng.

Kể từ thành công của thí nghiệm tán xạ Rutherford để xác định cấu trúc nguyên

tử, rất nhiều thí nghiệm tán xạ đƣợc thực hiện với mục đích khám phá cấu trúc bên

trong hạt nhân, trong đó có thí nghiệm tán xạ nucleon lên hạt nhân. Với mục đích quan

trọng ấy, rất nhiều nhà khoa học đã đƣa ra những lí thuyết khác nhau để mô tả sự thay

đổi trạng thái của hệ nucleon – hạt nhân trong quá trình tán xạ.

Việc giải phƣơng trình Schrodinger đối với thế phi định xứ vẫn là đối tƣợng

nghiên cứu vô cùng quan trọng của Vật lí hạt nhân. Mặc dù đã có rất nhiều mô hình

đƣợc đƣa ra để mô tả các hệ này nhƣ gần đúng Hartree-Fock, gần đúng khối lƣợng

hiệu dụng,… nhƣng các nhà khoa học vẫn không ngừng tìm kiếm những mô hình mới

giúp họ tính toán nhanh và đem lại kết quả có độ chính xác cao hơn. Dựa vào mẫu thế

quang học phi định xứ (NLOMP) Perey-Buck, một bộ thông số mới đƣợc đề xuất và

đã khẳng định đƣợc nhiều ƣu điểm của nó so với KD03 (sử dụng hình thức luận mẫu

quang học định xứ). Bộ thông số này độc lập với năng lƣợng tới của các nucleon trong bài toán tán xạ nucleon lên các hạt nhân từ 27Al đến 208Pb với năng lƣợng nằm trong

khoảng 10 – 30 MeV [12]. Trong thế Perey-Buck, tính phi định xứ đƣợc phân tích

thành một thế phức, từ đó các thông số đƣợc điều chỉnh sao cho phù hợp với kết quả

thu đƣợc từ thực nghiệm. Những kết quả ban đầu từ thế Perey-Buck cho kết quả tốt với tán xạ đàn hồi nucleon lên 208Pb ở hai mức năng lƣợng là 7 và 14.5 MeV [1,3].

Tuy nhiên, sự phát triển của khoa học thực nghiệm sau đó đã công bố nhiều kết quả

mà bộ thông số dựa trên NLOMP của Perey-Buck không còn chính xác nữa.

Thêm một khó khăn nữa trong việc sử dụng bộ thông số NLOMP của Perey-

Buck, đó là khi giải phƣơng trình Schrodinger bằng phƣơng pháp vòng lặp, sự hội tụ

của hàm sóng lại phụ thuộc vào các thế cụ thể. Do đó, B. T. Kim và T. Udagawa đã đề

xuất một phƣơng pháp mới kết hợp giữa NLOMP với một chƣơng trình máy tính cho

- 1 -

phép giảm thiểu tối đa số lƣợng các thông số cần thiết [6]. Thông qua một hàm trạng

thái phụ đã đƣợc xác định chính xác bằng thế Perey-Buck, bộ thông số mới có khả

năng hội tụ tốt hơn, từ đó giúp xác định hàm sóng nhanh chóng và chính xác hơn.

Dựa trên những dữ liệu thực nghiệm khi cho các nucleon năng lƣợng từ 7.96 đến 30.3 MeV tán xạ lên 27Al, 32S, 120Sn, 208Pb,… bộ các thông số lần lƣợt đƣợc hiệu chỉnh

từ bộ NLOMP của Perey-Buck đến trạng thái phù hợp nhất thông qua các vòng lặp. Sự

kết hợp giữa bộ thông số NLOMP, thông số hình học từ KD03 và các dữ liệu thực

nghiệm mới đã cho kết quả khả quan. Tuy các giá trị thông số cuối cùng chỉ lệch 5%

so với giá trị ban đầu của chúng, nhƣng tốc độ hội tụ của hàm sóng trở nên nhanh

chóng, và đặc biệt, khắc phục đƣợc nhƣợc điểm phụ thuộc vào các thế cụ thể của

NLOMP. Để kiểm tra tính tin cậy của bộ thông số mới, hàng loạt so sánh với dữ liệu thực nghiệm đƣợc thực hiện, đó là các tán xạ đàn hồi của nucleon lên 60Ni và 100Mo

với mức năng lƣợng mở rộng đến 49.45 MeV [12]. Kết quả thu đƣợc đã chứng tỏ rằng

bộ thông số này hoàn toàn có thể sử dụng để mô tả các tán xạ đàn hồi của nucleon lên

hạt nhân có số khối A > 27.

Năm 1947, phƣơng pháp R-matrix bắt đầu đƣợc nghiên cứu và sử dụng, áp dụng

bộ thông số mới đƣợc hiệu chỉnh từ NLOMP của Perey-Buck. Winger và Eisenbud đã

đƣa ra những ý tƣởng đầu tiên cho việc giải thế phi định xứ trực tiếp trong phƣơng

trình Schrodinger [12], lí thuyết R-matrix đã càng ngày chứng tỏ đƣợc ƣu thế của mình

trong nhiều khía cạnh của cơ học lƣợng tử. Ngoài mục đích ban đầu dùng để mô tả các

cộng hƣởng trong phản ứng hạt nhân, lí thuyết R-matrix hiện nay còn đƣợc sử dụng để

giải phƣơng trình Schrodinger liên kênh (coupled channel) trong các vùng liên tục

(continuum region). Bên cạnh đó, với việc sử dụng các thông số đƣợc điều chỉnh từ

thực nghiệm, lí thuyết R-matrix cũng đã thành công khi thông số hóa các thành phần

cộng hƣởng và không cộng hƣởng năng lƣợng thấp trong tán xạ đàn hồi [12].

Nguyên lí của phƣơng pháp R-matrix là chia không gian thành 2 vùng: vùng

trong (internal region) và vùng ngoài (external region). Ranh giới giữa 2 vùng là một

thông số gọi là “bán kính kênh” (channel radius). Bán kính này đƣợc chọn đủ lớn sao

cho ở vùng ngoài, các thành phần của hệ chỉ tƣơng tác với nhau thông qua các lực tầm

xa, bên cạnh đó, các hiệu ứng phi đối xứng cũng đƣợc bỏ qua. Lúc đó, ở vùng ngoài,

- 2 -

hàm sóng tán xạ có dạng tiệm cận với biểu thức có chứa e mũ giảm. Còn ở vùng trong,

hàm sóng tại một mức năng lƣợng xác định là tổ hợp các trạng thái riêng của hệ. Khi

đó, R-matrix là nghịch đảo đạo hàm logarithm của hàm sóng tại biên. Ngoài ra,

phƣơng pháp R-matrix còn dùng để xác định các trạng thái liên kết của hệ.

Hiện nay, phƣơng pháp R-matrix vẫn tiếp tục đƣợc phát triển theo 2 hƣớng, đó là

R-matrix hiện tƣợng luận (phenomenological R-matrix) và R-matrix tính toán

(calculable R-matrix). Mặc dù nghiên cứu theo 2 khía cạnh khác nhau của R-matrix,

nhƣng kết quả của chúng lại bổ sung và làm cơ sở cho khía cạnh còn lại. Trong khóa

luận này, chúng tôi sử dụng bộ thông số đƣợc hiệu chỉnh từ mẫu quang học NLOMP

Perey-Buck, đƣợc trình bày trong [12].

Khóa luận trình bày những cơ sở lí thuyết của bài toán tán xạ, thiết lập và giải

phƣơng trình Schrodinger vi tích phân sử dụng thế quang học phi định xứ (NLOMP)

bằng phƣơng pháp R-matrix. Và để đánh giá sự phù hợp so với thực nghiệm, khóa

luận so sánh các kết quả thu đƣợc từ phƣơng pháp R-matrix với dữ liệu thực nghiệm từ IAEA1. Đối tƣợng nghiên cứu của khóa luận là tán xạ nucleon lên các hạt nhân bia chẵn – chẵn là 40Ca, 56Fe, 120Sn, 208Pb. Phƣơng pháp nghiên cứu chính trong khóa luận

này là phƣơng pháp giải số dựa trên ngôn ngữ lập trình Fortran. Các code sử dụng

trong khóa luận đƣợc phát triển bởi nhóm nghiên cứu tại Viện Khoa học và Kỹ thuật

hạt nhân – Hà Nội và tài liệu tham khảo [1,3]. Sau đó, tôi tiến hành xử lý số liệu trên

phần mềm Origin và nhận xét.

Bố cục khóa luận bao gồm 2 phần chính:

Trong phần 1, khóa luận trình bày các cơ sở lí thuyết bao gồm tổng quan về lí

thuyết tán xạ, xây dựng thế tƣơng tác phi định xứ cho hệ nucleon – hạt nhân và

phƣơng pháp R-matrix.

Trong phần 2, khóa luận trình bày kết quả tán xạ đàn hồi nucleon – hạt nhân,

nhận xét và đề ra phƣơng hƣớng phát triển cho đề tài.

1 https://www-nds.iaea.org/exfor/exfor.htm

- 3 -

Chƣơng 1 LÍ THUYẾT TÁN XẠ

Trong chƣơng này, tôi sẽ trình bày một cách ngắn gọn những kiến thức cơ bản về

lí thuyết tán xạ, các khái niệm cũng nhƣ một số định nghĩa cơ bản trong vật lí hạt

nhân. Bên cạnh đó, thế tƣơng tác tôi sử dụng trong khóa luận này cũng đƣợc thể hiện

trong phần tiếp theo. Phần quan trọng nhất của khóa luận là lí thuyết R-matrix đƣợc

trình bày chi tiết trong phần cuối của chƣơng.

1. 1. LÍ THUYẾT TÁN XẠ

Các phản ứng hạt nhân thông thƣờng xảy ra theo quá trình

(1.1)

kí hiệu là . Tuy nhiên, trong một số trƣờng hợp, thành phần và cấu trúc hạt

nhân của các hạt tham gia tƣơng tác không thay đổi, đƣợc gọi là tán xạ.

Trong thực tế, có một số quá trình tán xạ mà các thành phần tán xạ đàn hồi và phi

đàn hồi xảy ra song song. Điều này có thể làm thay đổi cấu trúc của hệ thông qua các

phản ứng chuyển (transfer reaction) hoặc thay đổi năng lƣợng làm cho hạt nhân

chuyển sang các trạng thái kích thích. Khóa luận chỉ đề cập đến những tán xạ đàn hồi,

có nghĩa là sau tán xạ, cấu trúc của nucleon và hạt nhân đều không đổi, hạt nhân bia

luôn ở trạng thái cơ bản. Bên cạnh đó, để bài toán tán xạ trở nên đơn giản, khóa luận

cũng bỏ qua các hiệu ứng cộng hƣởng và trạng thái kích thích do phản ứng trực tiếp.

1. 1. 1. Lí thuyết tán xạ cổ điển

Xét một hệ đơn giản khi bắn một nucleon mang năng lƣợng đến hạt nhân bia

đang đứng yên. (Hình 1.1)

- 4 -

Hình 1.1: Mô tả tán xạ đàn hồi nucleon lên hạt nhân bia bất kì

Kết quả sau tán xạ, hạt nucleon bị lệch góc so với phƣơng ban đầu. Ta có, khi

thông số va chạm càng nhỏ thì góc lệch càng lớn. Điều này có nghĩa là trong một

phản ứng tán xạ nhất định, ứng với mỗi giá trị , có một góc tán xạ tƣơng ứng. Hay

nói cách khác tƣơng ứng với mỗi vi phân tiết diện tán xạ (differential scattering

cross-section) là một góc khối [4] (Hình 1.2).

Hạt nhân bia

Nucleon

Nucleon

Hình 1.2: Mô tả tiết diện đàn hồi theo góc tán xạ

trong tán xạ nucleon – hạt nhân

Thực hiện xây dựng biểu thức liên hệ giữa và , ta có

(1.2)

- 5 -

Lấy tích phân theo góc khối , ta thu đƣợc công thức tính tiết diện tán xạ toàn phần

(1.3)

trong đó,

(1.4)

: tiết diện toàn phần (total cross-section).

Tuy nhiên trong các phòng thí nghiệm, thành phần đƣợc xác định thông

qua cƣờng độ chùm tia tới (số hạt trên một đơn vị diện tích trong một đơn vị thời

gian) đo bằng detector nhƣ sau

(1.5)

1. 1. 2. Lí thuyết tán xạ lƣợng tử

Theo quan điểm lƣợng tử, hạt chuyển động thì tƣơng ứng thể hiện một hàm sóng.

Đối với hạt chuyển động tự do, đó là bƣớc sóng De Broglie. Trong suốt quá trình tán

xạ, nucleon luôn thể hiện tính chất sóng trƣớc và sau tán xạ. Do đó, hàm sóng tiệm cận

khi rất lớn có dạng

(1.6)

trong đó: : thành phần sóng tới (sóng phẳng),

thành phần sóng tán xạ (sóng cầu),

: biên độ sóng tán xạ (scattering amplitude),

: số sóng,

thừa số hàm cầu, mang ý nghĩa chuẩn hóa hàm sóng.

- 6 -

Tuy nhiên, để thu đƣợc hàm sóng chính xác, cần phải giải phƣơng trình Schrodinger

(1.7)

có dạng tƣờng minh là

(1.8)

Trong hệ tọa độ cầu, ta có khai triển

(1.9)

Để giải phƣơng trình Schrodinger trong hệ tọa độ cầu, ta thực hiện tách biến hàm sóng

thành hai thành phần bán kính và góc

(1.10)

trong đó (1.11)

Thay (1.10) và (1.11) vào phƣơng trình (1.9), ta tìm đƣợc ba phƣơng trình vi phân một

biến có dạng

(1.12)

(1.13)

(1.14)

Giải phƣơng trình (1.14), ta tìm đƣợc nghiệm

(1.15)

Áp dụng các điều kiện biên, ta có . Để đơn giản hơn, ta chọn .

Áp dụng tính chất tuần hoàn (1.16)

(1.17) suy ra

- 7 -

Giải phƣơng trình (1.13), ta tìm đƣợc nghiệm

(1.18)

trong đó, là đa thức Legendre đƣợc trình bày trong phụ chú 1.

Áp dụng điều kiện chuẩn hóa hàm sóng và phƣơng trình (1.11), ta thu đƣợc hàm cầu

(1.19)

trong đó:

Tiếp tục giải phƣơng trình bán kính (1.11), ta thực hiện đổi biến: . Khi đó,

(1.20)

Thay (1.20) vào phƣơng trình (1.12), ta có

(1.21)

Khi đó, phƣơng trình (1.12) đƣợc viết lại là

(1.22)

Giải phƣơng trình (1.22), nghiệm thu đƣợc có dạng

(1.23)

trong đó, là hàm cầu Bessel (phụ chú 2), là hàm cầu Newmann (phụ chú

3).

Áp dụng điều kiện biên, ta có . Nghiệm của phƣơng trình bán kính (1.12) đƣợc

viết lại là

(1.24)

- 8 -

Thực hiện khai triển hàm cầu Bessel, ta có

(1.25)

Nhƣ vậy, hàm sóng từng phần có dạng tiệm cận

(1.26)

(1.27) trong đó

còn yếu tố là biên độ sóng tán xạ, hay cách khác đây chính là ma trận tán xạ cơ sở

(S-matrix).

Trong trƣờng hợp tán xạ đàn hồi, biên độ sóng không thay đổi (do sự bảo toàn số

hạt), tuy nhiên, hàm sóng lại thay đổi về tính chất pha. Độ lệch pha liên hệ với ma

trận tán xạ cơ sở qua công thức

(1.28)

1. 1. 2. 1. Mối liên hệ giữa S-matrix và R-matrix

Xét với là bán kính tƣơng tác của lực hạt nhân, hàm sóng đầy đủ có

dạng

(1.29)

trong đó , lần lƣợt là sóng tới và sóng ra của sóng thành phần thứ .

Ngoài S-matrix, ta cũng xây dựng định nghĩa R-matrix

(1.30)

trong đó, là ranh giới phân chia hai vùng sóng tới và sóng ra.

Do đó, mối liên hệ giữa S-matrix và R-matrix là

(1.31)

- 9 -

hay (1.32)

1. 1. 2. 2. Biên độ tán xạ

Hàm sóng trong tán xạ đàn hồi nucleon lên hạt nhân bia bất kì đƣợc xác định

bằng công thức

(1.33)

Trong đó, là đa thức Legendre. Biên độ tán xạ lúc đó đƣợc xác định là

(1.34)

1. 1. 2. 3. Tiết diện tán xạ đàn hồi toàn phần

Tiết diện tán xạ đàn hồi toàn phần đƣợc tính theo công thức

(1.35)

1. 1. 2. 4. Độ lệch pha (phase-shift)

Trong (1.26), là độ lệch pha của sóng từng phần thứ và đƣợc xác định bởi

(1.36)

1. 2. THẾ TƢƠNG TÁC PHI ĐỊNH XỨ (NONLOCAL

POTENTIAL)

1.2. 1. Thế quang học (Optical Model Potential)

Phần này của khóa luận trình bày những cơ sở của việc xây dựng mẫu quang học.

Ta xét đến tƣơng tác hiệu dụng giữa nucleon bắn tới và các nucleon trong hạt nhân.

Qua đó ta xây dựng một thế ảo đặc trƣng cho tính phi định xứ của tƣơng tác giữa các

thành phần trong hệ. Ngoài ra, phần này cũng trình bày những lí thuyết ban đầu của

thế Perey – Buck, là cơ sở để xây dựng bộ thông số mới sử dụng trong tính toán R-

matrix.

- 10 -

1. 2. 1. 1. Tổng quan

Những ý tƣởng đầu tiên về mẫu quang học đề cập đến việc xây dựng hàm sóng

tán xạ có dạng tƣơng tự sóng ánh sáng đƣợc Wood và Saxon đƣa ra vào năm 1954

[10]. Mục đích của mẫu quang học là xây dựng một trƣờng thế có khả năng mô tả sự

biến thiên liên tục của tiết diện tán xạ theo năng lƣợng của nucleon và số khối của hạt

nhân bia. Thế mô tả tƣơng tác giữa nucleon và hạt nhân bia có thành phần thực và ảo,

trong đó có chứa các thông số đƣợc điều chỉnh cho phù hợp với dữ liệu thực nghiệm.

Mẫu quang học đƣợc phát triển trên khái niệm tƣơng tự “trƣờng trung bình”.

Tƣơng tác giữa nucleon với hạt nhân bia đƣợc phân tích thành tƣơng tác giữa nucleon

bắn tới và các nucleon trong hạt nhân. Khi đó, Hamiltonian của hệ đƣợc viết lại là

(2.1)

trong đó là bán kính tƣơng đối giữa nucleon bắn tới và các nucleon

trong hạt nhân. Toán tử mô tả động năng của nucleon tới, là

Hamiltonian của các nucleon trong hạt nhân và là thế tƣơng tác giữa chúng.

Phƣơng trình Schrodinger bây giờ có dạng

(2.2)

với là thế phi định xứ, cho biết trƣờng thế khi tác dụng lên hàm sóng tại một

điểm trong không gian cũng phụ thuộc vào giá trị hàm sóng tại các điểm khác [9]. Mẫu

quang học đƣợc đƣa ra để thay thế thành phần phi định xứ bằng một thế có

dạng

(2.3)

Trong đó, và lần lƣợt là các thế thực và thế ảo, đặc trƣng cho thành phần

định xứ và phi định xứ của hệ. Còn là hàm sóng xuyên tâm, có dạng Wood –

Saxon

- 11 -

(2.4)

với và lần lƣợt là thông số bán kính và hệ số nhòe.

1. 2. 1. 2. Thế quang học

Trong bài toán tán xạ đàn hồi, có ba nhân tố chủ yếu ảnh hƣởng đến thế tƣơng

tác giữa nucleon và hạt nhân bia là mật độ hạt nhân, spin của nucleon và spin của hạt

nhân bia, trƣờng Coulomb.

Đƣợc xây dựng dựa trên tƣơng tác hiệu dụng giữa nucleon bắn tới và các nucleon

trong hạt nhân, nên tƣơng tác giữa nucleon – hạt nhân bia cũng phụ thuộc vào mật độ

nucleon trong hạt nhân bia. Tƣơng tác hiệu dụng này có dạng

(2.5)

Bằng phƣơng pháp bán thực nghiệm, và đã đƣợc xác định khá chính xác, ngoài

ra các thông số khác nhƣ thì độc lập với nhau và cũng đƣợc xác định bằng

thực nghiệm. Trong đó, và trong công thức trên đƣợc xác định

bằng (2.4) nhƣ sau

(2.6)

Tƣơng tác spin giữa nucleon và hạt nhân bia cũng đƣợc xây dựng theo dạng Wood –

Saxon là

(2.7)

Và thế Coulomb đƣợc xác định bởi công thức

- 12 -

(2.8)

với là bán kính Coulomb, phụ thuộc vào số khối của hạt nhân , và

lần lƣợt là điện tích của nucleon bắn tới và hạt nhân bia.

Thế quang học thể hiện tƣơng tác giữa nucleon – hạt nhân bia bao gồm 3 thành phần là

(2.9)

Do đó, số lƣợng các thông số cần xác định là 12, bao gồm cả bán kính Coulomb .

Tuy nhiên, việc xác định các thông số không gặp quá nhiều khó khăn bởi việc điều

chỉnh chúng để phù hợp với thực nghiệm là khá dễ dàng. Do đó, hiện nay, các bộ

thông số cho bài toán tán xạ đàn hồi nucleon lên hạt nhân có số khối từ 40 đến 208 ở

các mức năng lƣợng khác nhau là đầy đủ [5].

1.2. 2. Thế Perey–Buck (Perey–Buck Potential)

Để thu đƣợc hàm sóng tán xạ giữa nucleon và hạt nhân dƣới tác dụng của thế

quang học phi định xứ, một yêu cầu đặt ra là giải phƣơng trình Schrodinger vi tích

phân. Xét một hệ tán xạ nucleon – hạt nhân, tƣơng tác giữa chúng là thế quang học phi

định xứ. Phƣơng trình Schrodinger vi tích phân đƣợc viết lại là

(2.10)

Việc giải số phƣơng trình trên gặp nhiều khó khăn bởi thành phần tích phân thể

hiện tính phi định xứ. Do đó, năm 1962, dựa trên mẫu quang học phi định xứ, Perey –

Buck đã xây dựng thế có phần thực và phần ảo để mô tả tƣơng tác phi định xứ giữa

các thành phần trong hệ.

- 13 -

Thế phi định xứ đƣợc viết dƣới dạng [8]

(2.11)

với (2.12)

và đƣợc chọn có dạng tƣơng tự thế quang học là

(2.13)

trong đó,

(2.14)

(2.15)

và hàm trong phƣơng trình (2.10) đƣợc xác định bởi

(2.16)

Đối với tán xạ proton, hệ xuất hiện rào thế Coulomb, đã đƣợc trình bày ở công

thức (2.8).

Thế quang học phi định xứ Perey – Buck đã mô tả thành công nhiều tán xạ đơn

giản giữa nucleon năng lƣợng thấp lên hạt nhân từ Al đến Pb [7]. Khi so sánh với mô

hình thế định xứ của Bjorklund và Fernbach [2] và Wyatt, Wills và Green [11], đối với

neutron ở mức năng lƣợng từ 4.1 đến 14.5 MeV, kết quả của Perey – Buck đƣợc đánh

giá cao hơn do có sự phù hợp tốt hơn so với dữ liệu thực nghiệm [3].

- 14 -

1. 3. R-MATRIX

Trong phần này, chúng tôi trình bày quá trình xây dựng R-matrix từ phƣơng trình

Schrodinger thông qua hàm Delta – Dirac và các toán tử Hermitte. Và phần quan trọng

của khóa luận là quá trình tính toán bằng thuật toán R-matrix.

1. 3. 1. Tổng quan

Nhƣ đã trình bày ở phần mở đầu, R-matrix đƣợc phát triển theo 2 hƣớng, đó là R-

matrix hiện tƣợng luận và R-matrix tính toán. Nhƣợc điểm của R-matrix hiện tƣợng

luận là các yếu tố của nó phụ thuộc vào giá trị của bán kính kênh, dẫn đến kết quả hàm

sóng thu đƣợc phụ thuộc vào một giá trị xác định. Để khắc phục nhƣợc điểm trên, một

số ngƣời đề nghị tối ƣu hóa giá trị bán kính kênh cho khớp với dữ liệu thực nghiệm,

nhƣng điều này lại làm mất đi ý nghĩa vật lí của nó. R-matrix tính toán hiện nay lại

đƣợc áp dụng rộng rãi bởi tính chính xác và nhanh chóng. Với mục đích mô tả tán xạ

đàn hồi nucleon lên hạt nhân, R-matrix cung cấp bộ dữ liệu phù hợp với thực nghiệm.

1. 3. 2. R-matrix tính toán

Việc giải phƣơng trình Schrodinger cho các năng lƣợng dƣơng hoặc âm vẫn đang

đƣợc liên tục thực hiện. R-matrix tính toán lần đầu tiên đƣợc đề xuất vào năm 1965

bởi Haglund và Robson. Nó cho thấy nhiều ƣu điểm khi mô tả tính phi định xứ của hệ

thông qua tƣơng tác do trao đổi electron, bản chất của các lực tầm xa và các tƣơng tác

phân cực. Phƣơng pháp này rất hữu dụng trong các tính toán liên kênh bởi sự đơn giản

khi kết hợp với phƣơng pháp Lagrange-mesh. Đối với bài toán tán xạ nucleon lên hạt

nhân nặng đƣợc trình bày trong khóa luận, các tính toán xem nhƣ đơn kênh.

Phƣơng trình Schrodinger cho sóng từng phần thứ đƣợc viết là

(3.1)

trong đó, toán tử đƣợc khai triển là

(3.2)

Trong phƣơng pháp R-matrix, không gian đƣợc chia thành hai vùng bởi bán kính

kênh . Bán kính này đƣợc chọn đủ lớn sao cho ở vùng ngoài, thế tƣơng tác của hệ chỉ

- 15 -

gồm thế Coulomb . Ở vùng ngoài, hàm sóng thành phần là hàm giảm, có dạng

tiệm cận đƣợc xác định bởi công thức

(3.3)

còn ở vùng trong, hàm sóng là tổ hợp tuyến tính của N hàm nhƣ sau

(3.4)

Hàm sóng ở vùng trong và vùng ngoài của hệ liên hệ với nhau qua một thông số biên

(boundary parameter). Khi đó, R-matrix của hệ tại năng lƣợng đƣợc xác

định thông qua phƣơng trình

(3.5)

trong đó, số chiều của R-matrix thể hiện số kênh phản ứng. Trong phạm vi khóa luận

chỉ xét đến phản ứng đơn kênh, số chiều của R-matrix là 1.

Phƣơng trình Schrodinger mô tả hệ có thành phần phức bởi thế tƣơng tác, do đó

Bloch đã đƣa thêm một toán tử Hermitte khác để thay thế cho toán tử không

Hermitte [3]. Toán tử mới đƣợc định nghĩa là

(3.6)

trong đó, là hàm Delta-Dirac. Khi đó, phƣơng trình Schrodinger của hệ trở

thành

(3.7)

Với mọi giá trị của thông số , điều kiện biên của hệ là

(3.8)

- 16 -

Ta xác định R-matrix thông qua hàm Green đƣợc định nghĩa bởi phƣơng trình

(3.10)

Do đó ta có kết quả (phụ chú 5) thể hiện mối liên hệ giữa hàm sóng từng phần thứ ở

vùng trong và vùng ngoài

(3.11)

Khi đó, R-matrix đƣợc tính toán thông qua hàm Green nhƣ sau

(3.12)

Kết quả tính toán của R-matrix tại đƣợc viết dƣới dạng tổ hợp tuyến tính của các

sóng thành phần là

(3.13)

trong đó -matrix là ma trận mà yếu tố của nó xác định bởi công thức (phụ chú 5)

(3.14)

với các hàm cơ sở và đƣợc xác định theo phƣơng pháp Lagrange-mesh (phần

1.3.3)

Vấn đề quan trọng của bài toán tán xạ nucleon lên hạt nhân là xác định ma trận

tán xạ đã trở nên dễ dàng. Ta có

(3.15)

với (3.16)

Nhƣ vậy, độ lệch pha trong công thức trên đƣợc tính là

(3.17)

- 17 -

1. 3. 3. Phƣơng pháp Lagrange-mesh

Ta có hàm cơ sở trong khoảng đƣợc định nghĩa bởi [3]

(3.18)

trong đó là đa thức Legendre bậc thỏa điều kiện

(3.19)

với và là hằng số để hàm liên tục tại gốc, trong đó

Áp dụng điều kiện Lagrange chuẩn hóa hàm sóng, ta có

(3.20)

trong đó, là trọng số Gauss-Legendre.

Sử dụng biến đổi gần đúng, các yếu tố ma trận đƣợc xác định là

(3.21)

Nhƣ vậy, khi có toán tử thế năng bất kì tác dụng lên hàm sóng thì các yếu tố ma

trận lúc đó đƣợc xác định là

(3.22)

Các yếu tố ma trận động năng sử dụng gần đúng Gauss đƣợc tính toán là

(3.23)

Khi , biểu thức (3.23) đƣợc viết lại là

(3.24)

- 18 -

trong đó, có dạng

(3.25)

Thế phi định xứ tác dụng lên hàm sóng xác định bởi công thức

(3.26)

Thành phần thế phi định xứ đƣợc biểu diễn là một tích phân số dạng (3.26), và ta

thƣờng gặp nhiều khó khăn trong việc giải số. Tuy nhiên, yếu tố ma trận giữa hai hàm

Lagrange lại đƣợc xác định thông qua biểu thức sau đây đơn giản hơn

(3.27)

1. 3. 4. Thuật toán R-matrix

Để giải bài toán tán xạ giữa nucleon và các hạt nhân 40Ca, 56Fe, 120Sn, 208Pb,

chúng tôi sử dụng bộ thông số NLOMP đã đƣợc điều chỉnh theo thực nghiệm (phụ chú

4). Quy trình tính toán các yếu tố của bài toán tán xạ thông qua R-matrix đƣợc trình

bày trong sơ đồ sau

- 19 -

Hình 3.1: Mô tả quy trình tính toán bằng phương pháp R-matrix

Sau đây là một vài ví dụ input của hệ.

Các thông số ở dòng thứ nhất lần lƣợt là: động năng của hạt bắn tới, số khối hạt nhân

bia, số khối hạt bắn tới, điện tích hạt nhân bia, điện tích hạt bắn tới, bán kính của

thế Coulomb.

Hình 3.2: Input của bài toán tán xạ neutron ở 26 MeV lên hạt nhân 208Pb

- 20 -

Tƣơng tự, ta cũng có bộ input dành cho tán xạ proton lên hạt nhân

Hình 3.2: Input của bài toán tán xạ protonn ở 30.6 MeV lên hạt nhân 120Sn

Hàng thứ hai là giá trị các thông số liên quan đến R-matrix: Giá trị , giá trị (số

điểm Lagrange trên một khoảng), giá trị (số khoảng, luôn lấy bằng 1), bán kính

kênh .

Hàng thứ ba lần lƣợt là các thông số liên quan đến “thế thực xuyên tâm”: , , ,

.

Hàng thứ tƣ lần lƣợt là các thông số liên quan đến “thế ảo xuyên tâm”: , , .

Hàng thứ năm lần lƣợt là các thông số liên quan đến “thế ảo bề mặt”: , , .

Hàng thứ sáu lần lƣợt là các thông số liên quan đến “thế ảo spin quỹ đạo”: . , ,

Sau khi chạy thuật toán R-matrix bằng ngôn ngữ Fortran, kết quả thu đƣợc trong

output bao gồm độ lệch pha và tiết diện tán xạ đàn hồi phân bố theo góc tán xạ.

- 21 -

Hình 3.4: Một đoạn output của bài toán tán xạ proton ở 16 MeV

lên hạt nhân 56Fe

Kết quả này đƣợc sử dụng để vẽ đồ thị bằng phần mềm Origin, kết hợp so sánh

với các dữ liệu thực nghiệm.

- 22 -

Chƣơng 2 KẾT QUẢ

Phần này của khóa luận trình bày kết quả tán xạ nucleon lên các hạt nhân chẵn – chẵn là 40Ca, 56Fe, 120Sn, 208Pb. Dữ liệu thu đƣợc từ phƣơng pháp R-matrix đƣợc so sánh với các dữ liệu thực nghiệm từ IAEA. Các đƣờng liền nét trong đồ thị là kết quả tiết diện tán xạ tính toán bằng phƣơng pháp R-matrix, trong khi đó các điểm trên đồ thị thể hiện giá trị thu đƣợc từ thực nghiệm.

2. 1 Tán xạ proton lên hạt nhân

Kết quả mô tả tiết diện tán xạ trong tán xạ đàn hồi proton lên các hạt nhân ở các mức năng lƣợng khác nhau tính bằng phƣơng pháp R-matrix đƣợc trình bày trong các đồ thị sau. Tất cả đều cho thấy sự chính xác của phƣơng pháp R-matrix, đặc biệt đối với proton có mức năng lƣợng trung bình (10 – 40 MeV).

- 23 -

Hình 4.1: Tiết diện tán xạ phân bố theo góc tán xạ trong tán xạ đàn hồi proton lên hạt nhân 40Ca

- 24 -

Hình 4.2: Tiết diện tán xạ phân bố theo góc tán xạ trong tán xạ đàn hồi proton lên hạt nhân 56Fe

- 25 -

Hình 4.3: Tiết diện tán xạ phân bố theo góc tán xạ trong tán xạ đàn hồi proton lên hạt nhân 208Pb

- 26 -

Hình 4.4: Tiết diện tán xạ phân bố theo góc tán xạ trong tán xạ đàn hồi proton lên hạt nhân 120Sn

Đặc biệt đối với tán xạ proton lên hạt nhân 120Sn, kết quả thu đƣợc từ phƣơng pháp R-matrix mô tả tốt dữ liệu thực nghiệm đối với các mức năng lƣợng của proton nằm trong khoảng 10 – 40 MeV.

Các kết quả thu đƣợc từ phƣơng pháp R-matrix cho tán xạ đàn hồi proton lên hạt nhân bia trình bày ở trên đều cho kết quả tốt. Việc mô tả giữa các điểm thực nghiệm và đƣờng biểu diễn kết quả từ phƣơng pháp R-matrix đã khẳng định tính khả thi của phƣơng pháp tính R-matrix trong việc mô tả tính phi định xứ của bài toán tán xạ đàn hồi đối với proton.

Tuy nhiên, ở các mức năng lƣợng lớn hơn 40 MeV, kết quả tiết diện tán xạ thu đƣợc từ phƣơng pháp R-matrix chênh lệch so với thực nghiệm. Điều này có thể giải thích bằng hiện tƣợng truyền. Khi năng lƣợng proton càng lớn, khả năng nó truyền

- 27 -

xuyên qua rào cản Coulomb càng tăng. Khi đó, tán xạ đàn hồi có thể xảy ra một vài phản ứng khác, làm thay đổi cấu trúc của hạt nhân bia, bài toán tán xạ lúc này trở thành bài toán liên kênh. Do đó, các mô tả của phƣơng pháp R-matrix không còn chính xác nữa.

2. 2 Tán xạ neutron lên hạt nhân

Đối với bài toán tán xạ neutron lên một hạt nhân bất kì, do neutron không có điện tích nên thành phần thế Coulomb đƣợc bỏ qua khi khảo sát. Các thông số còn lại cũng đƣợc hiệu chỉnh để phù hợp với thực nghiệm, bộ thông số NLOMP Perey-Buck đã hiệu chỉnh đƣợc trình bày trong phụ chú 4. Kết quả tính từ phƣơng pháp R-matrix đƣợc trình bày trong các đồ thị sau.

Hình 4.5: Tiết diện tán xạ phân bố theo góc tán xạ

trong tán xạ đàn hồi neutron lên hạt nhân 120Sn

- 28 -

Hình 4.6: Tiết diện tán xạ phân bố theo góc tán xạ trong tán xạ đàn hồi neutron lên hạt nhân 56Fe

- 29 -

Hình 4.7: Tiết diện tán xạ phân bố theo góc tán xạ

trong tán xạ đàn hồi neutron lên hạt nhân 208Pb

- 30 -

Hình 4.8: Tiết diện tán xạ phân bố theo góc tán xạ

trong tán xạ đàn hồi neutron lên hạt nhân 40Ca

Một lần nữa, kết quả cho thấy sự mô tả tốt giữa đƣờng biểu diễn kết quả phƣơng

pháp R-matrix và các điểm dữ liệu thực nghiệm.

Kết quả từ tính toán R-matrix so với thực nghiệm của neutron lên hạt nhân thì

phù hợp với thực nghiệm hơn so với proton. Vì đối với bài toán tán xạ đàn hồi neutron

lên hạt nhân, bộ thông số input đƣợc thu gọn hơn khi không có giá trị bán kính

Coulomb. Nhƣ vậy, số lƣợng thông số càng giảm thì độ chính xác của phƣơng pháp so

với thực nghiệm càng lớn.

Kết quả trong Hình 4.8 có sự chênh lệch giữa hai nguồn dữ liệu. Do neutron có khả năng đâm xuyên lớn, khi phản ứng với các hạt nhân “mềm” nhƣ 40Ca thì hạt nhân 40Ca dễ bị thay đổi, cùng với đó là các phản ứng liên kênh xảy ra, ảnh hƣởng lớn đến

độ chính xác của những tính toán R-matrix.

- 31 -

2. 3 Tiết diện tán xạ phân bố theo xung lƣợng chuyển

Hình 4.9: Tiết diện tán xạ phân bố theo xung lượng chuyển

trong tán xạ đàn hồi neutron lên hạt nhân 120Sn ở năng lượng 9.943 MeV

Kết quả tiết diện tán xạ đàn hồi áp dụng phƣơng pháp R-matrix tính theo xung

lƣợng chuyển (transfer momentum) vẫn cho kết quả tốt so với thực nghiệm.

Nhƣ vậy, R-matrix mô tả tiết diện tán xạ của bài toán tán xạ đàn hồi nucleon (10

– 40 MeV) lên hạt nhân bia có sự trùng khớp tốt với dữ liệu thực nghiệm

cung cấp bởi IAEA. Phƣơng pháp có thể mở rộng cho các mức năng lƣợng lớn hoặc bé

hơn của nucleon, tùy thuộc vào số khối và tính chất của hạt nhân bia.

- 32 -

2. 4 Tổng kết

Với những kết quả mô tả tốt thực nghiệm của bài toán tán xạ nucleon – hạt nhân,

lí thuyết R-matrix đã vƣợt xa so với mục đích ban đầu, không chỉ mô tả cộng hƣởng

trong phản ứng hạt nhân mà còn đƣợc ứng dụng để giải phƣơng trình Schrodinger cho

các thế định xứ và phi định xứ. Hiện nay, R-matrix đã trở thành một công cụ hữu ích

của vật lí hạt nhân trong việc mô tả va chạm giữa các hạt nhân, nguyên tử hay phân tử.

Bài toán tán xạ đàn hồi nucleon lên hạt nhân đƣợc trình bày trong khóa luận chỉ là một

trong rất nhiều ứng dụng của phƣơng pháp R-matrix.

Việc giải hệ với các phản ứng liên kênh vẫn là một vấn đề lớn cho các nhà vật lí

trong tƣơng lai. Tuy nhiên các tính toán đơn kênh đối với thế phi định xứ đã đƣợc giải

bằng R-matrix tính toán một cách nhanh chóng và chính xác. Hy vọng R-matrix sẽ mở

ra những con đƣờng mới cho khoa học, xây dựng hƣớng đi mới cho việc mô tả các

trạng thái liên kết của hệ nhiều hạt trong các vùng liên tục – vấn đề hàng đầu của các

nhà vật lí hạt nhân hiện nay.

- 33 -

KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ TÀI

Khóa luận trình bày về “Phƣơng pháp R-matrix cho nghiên cứu hiệu ứng phi

định xứ của thế quang học nucleon – hạt nhân” đã đạt đƣợc những kết quả khả quan.

Tiết diện tán xạ đàn hồi nucleon – hạt nhân phân bố theo góc thu đƣợc từ phƣơng

pháp R-matrix tính toán có kết quả mô tả tốt dữ liệu thực nghiệm trong khoảng năng lƣợng trung bình từ 10-40 MeV đối với các hạt nhân từ 27Al đến 208Pb.

Đối với các bài toán mà mức năng lƣợng của nucleon nhỏ hơn 10 MeV hoặc lớn

hơn 40 MeV, ta vẫn thu đƣợc bộ dữ liệu phù hợp với thực nghiệm tƣơng ứng với các

giá trị góc tán xạ nhỏ. Tuy nhiên đối với bài toán nucleon năng lƣợng cao, trong quá

trình tán xạ, hệ còn xảy ra nhiều hiện tƣợng khác chƣa xét đến trong khóa luận, do đó,

kết quả bị lệch so với dữ liệu thực nghiệm. Còn ở các góc tán xạ lớn, tiết diện tán xạ

đàn hồi từ phƣơng pháp R-matrix bị lệch so với thực nghiệm, hoặc bị thiếu dữ liệu

thực nghiệm nên chƣa thể so sánh một cách đầy đủ.

Năng lƣợng của nucleon càng cao, sự phù hợp giữa R-matrix và thực nghiệm

càng giảm. Điều này có thể giải thích bằng hiện tƣợng truyền qua đã đƣợc đƣa ra trong

lí thuyết R-matrix hiện tƣợng luận [3]. Khi năng lƣợng của nucleon càng lớn, khả năng

đâm xuyên qua rào cản Coulomb của chúng càng lớn, hệ số truyền qua trở nên đáng

kể, làm cho các tính toán R-matrix không còn chính xác.

Ngoài ra, khóa luận còn mở rộng kết quả tiết diện tán xạ đàn hồi tính theo xung

lƣợng chuyển. Kết quả thu đƣợc cho thấy phƣơng pháp R-matrix vẫn phù hợp khi tính

tiết diện tán xạ theo xung lƣợng chuyển.

Với những kết quả nhƣ trên, khóa luận đã đạt đƣợc những mục tiêu đã đề ra.

Hƣớng phát triển của đề tài:

Bộ thông số cho thế quang học phi định xứ đã bắt đầu đƣợc hiệu chỉnh từ rất lâu,

kết quả tiết diện tán xạ thu đƣợc ngày càng phù hợp so với thực nghiệm. Phƣơng pháp

tính toán R-matrix trình bày trong khóa luận cũng sử dụng bộ thông số đƣợc hiệu

chỉnh từ thực nghiệm. Do đó, ta có thể tiếp tục điều chỉnh bộ thông số NLOMP để thu

- 34 -

đƣợc kết quả chính xác nhất có thể. Bên cạnh đó, việc điều chỉnh so với thực nghiệm

cũng có thể giúp ta mở rộng bài toán tán xạ đàn hồi đối với các nucleon ở các mức

năng lƣợng cao hơn.

Khóa luận trình bày tán xạ nucleon lên các hạt nhân chẵn – chẵn để bỏ qua tƣơng

tác spin giữa nucleon bắn tới và hạt nhân bia nên chƣa thể khẳng định sự đúng đắn của

phƣơng pháp R-matrix trong trƣờng hợp có tƣơng tác spin giữa nucleon và hạt nhân

bia. Đây là bài toán phức tạp hơn so với bài toán tán xạ đƣợc trình bày trong khóa

luận, do đó cần nhiều thời gian nghiên cứu và phát triển.

Bài toán tán xạ liên kênh hiện nay vẫn là đối tƣợng nghiên cứu rất quan trọng của

ngành vật lí hạt nhân. Nhƣng lại có rất ít phƣơng pháp toán học đƣợc áp dụng để giải

bài toán này, bởi tính phức tạp của các tƣơng tác dẫn đến thời gian tính toán lâu và độ

chính xác của phƣơng pháp thấp. Tuy nhiên, thành công của phƣơng pháp R-matrix

trong việc mô tả dữ liệu thực nghiệm trình bày trong khóa luận có thể làm cơ sở cho

những tính toán liên kênh phức tạp hơn. Với ƣu điểm về thời gian và độ chính xác, hy

vọng R-matrix sẽ trở thành một công cụ hữu ích để con ngƣời tìm hiểu thế giới vi mô.

- 35 -

PHỤ CHÚ

DANH SÁCH CÁC HÀM VÀ THÔNG SỐ

1. Đa thức Legrende liên kết

 Với giá trị m chẵn, đa thức Legrende có dạng

Dƣới đây là một vài giá trị của đa thức với các giá trị khác nhau.

 Với giá trị lẻ, đa thức Legrende có dạng

Dƣới đây là ví dụ khi , đa thức Ledrende có dạng biểu thức khác nhau tùy

thuộc vào giá trị của .

2. Hàm cầu Bessel

Hàm cầu Bessel là biểu thức có dạng

Ví dụ:

- 36 -

Khi , hàm cầu Bessel có dạng tiệm cận, giá trị phụ thuộc vào giá trị nhƣ

sau

3. Hàm cầu Neumann

Hàm cầu Neumann là biểu thức có dạng

Ví dụ:

Khi , hàm cầu Neumann có dạng tiệm cận, giá trị phụ thuộc vào giá trị

nhƣ sau

4. Thông số NLOMP cho bài toán tán xạ nucleon

Các thông số độ sâu (depth parameters) đƣợc tính bằng đơn vị MeV, các thông số

hình học (geometry parameters) đƣợc tính bằng đơn vị fm.

Neutron 70.00 1.25 0.61 1.39 1.17 0.55 21.11

Proton 70.95 1.29 0.58 9.03 1.24 0.50 15.74

Neutron 1.15 0.46 9.00 1.10 0.59 0.90

Proton 1.20 0.45 8.13 1.02 0.59 0.88 1.34

- 37 -

5. Chứng minh công thức (3.11), (3.14)

Ta có phƣơng trình Schrodinger cho hệ theo công thức (3.7)

(3.7)

Nhân 2 vế của phƣơng trình với hàm Green và lấy tích phân theo biến

, ta có phƣơng trình

Trong đó hàm Green đƣợc định nghĩa là

(3.10)

do đó

Do tính chất của hàm Delta-Dirac nên

(3.11)

Thế dạng hàm sóng (3.4) vào (3.7), kết hợp với (3.6), ta có

Nhân hai vế của phƣơng trình trên với và lấy tích phân theo biến

Áp dụng tính chất tổng ở vế trái và hàm Delta – Dirac ở vế phải, ta có phƣơng

trình

Nhƣ vậy, khi , phƣơng trình trên đƣợc viết lại là

- 38 -

Vế trái của phƣơng trình là một ma trận có số cơ sở là . Ta đặt đó là ma trận

, nhƣ vậy

trong đó, các yếu tố của ma trận đƣợc xác định bằng công thức

(3.14)

- 39 -

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Đào Tiến Khoa (2010). Vật lí hạt nhân hiện đại. NXB. Khoa học và Kỹ thuật.

[2] Bjorklund, F., & Fernbach, S. (1958). Optical-model analyses of scattering of

4.1-, 7-, and 14-MeV neutrons by complex nuclei. Phys. Rev., 109(4), 1295-

1296.

[3] Descouvemont, P., & Baye, D. (2010). The R-matrix theory. Rep. Prog. Phys.,

73(3), 2-6, 17-20.

[4] Griffiths, David J. (2016). Introduction to quantum mechanics. United

Kingdom: Cambrigde University Press.

[5] Hodgson, P. E. (1996). The nuclear optical model introductory overview.

CERN Libraries, Geneva.

[6] Kim, B. T, & Udagawa, T. (1990). Method for nonlocal optical model

calculations. Phys. Rev. C., 42(3), 1147-1149.

[7] Perey, F., & Buck, B. (1962). A non-local potential model for the scattering of

neutron by nuclei. Nucl. Phys., 32, 353-380.

[8] Wigner, E. P. (1946). Resonance reactions and anomalous scattering. Phys.

Rev., 70, 15-33.

[9] Wong, Samuel S. (2008). Introductory nuclear physics. Weinhiem, Germany:

Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA.

[10] Wood, Roger D., & Saxon, David S. (1954). Diffuse surface optical model for

nucleon – nuclei scatteing. Phys. Rev., 95, 577-578.

[11] Wyatt, P. J., & Will, J. G., & Green, A. E. S. (1960). Nonlocal optical model

for nucleon-nuclear interaction. Phys. Rev., 119(3), 1031-1042.

[12] Yuan Tian, & Dang-Yang Pang, & Zhong-Yu Ma (2015). Systematic nonlocal

optical potential model for nucleons. Phys. E., 20(1), 3-11.

- 40 -