Khóa luận tốt nghiệp đại học: Các phương trình tích phân và ứng dụng trong vật lý

Chia sẻ: Minh Nhân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:42

Thêm vào BST

Báo xấu

28
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của đề tài nhằm: Nâng cao kiến thức toán học và sử dụng chúng một cách linh hoạt trong vật lý; hiểu rõ bản chất của phép tính tích phân; nhận dạng một số ứng dụng của phép tính tích phân trong vật lý; ứng dụng của phép tính tích phân để giải một số bài toán vật lý; từ các bài toán được ứng dụng trên khái quát lên thành các kinh nghiệm nhận biết khi nào thì sử dụng phép tính tích phân để giải một số bài toán.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khóa luận tốt nghiệp đại học: Các phương trình tích phân và ứng dụng trong vật lý

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ ---------------------- NGUYỄN THỊ HOÀN CÁC PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ KHÓA LUẬN TÔT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết & Vật lý toán HÀ NỘI - 2017
LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tôi xin trân trọng cảm ơn TS. Hà Thanh Hùng đã tận tâm hướng dẫn, tạo mọi điều kiện thuận lợi và động viên tôi trong suốt quá trình thực hiện khóa luận này. Tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy cô trong khoa Vật Lý đã quan tâm, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi trong suốt thời gian tôi học tập và nghiên cứu tại khoa. Tôi xin cảm ơn các thầy, cô giáo, các cán bộ của trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình nghiên cứu. Cuối cùng, cho tôi gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè thân thiết, những người đã luôn ở bên cạnh động viên và giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận này. Hà Nội, tháng 4 năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Hoàn
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này là do bản thân thực hiện có sự hỗ trợ từ giáo viên hướng dẫn và không sao chép các công trình nghiên cứu của người khác. Các dữ liệu thông tin thứ cấp sử dụng trong khóa luận là có nguồn gốc và được trích dẫn rõ ràng. Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về lời cam đoan này! Hà Nội, tháng 4 năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Hoàn
BẢNG DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT TỪ VIẾT TẮT NGHĨA CỦA TỪ VIẾT TẮT SH Schmidt - Hilbert SL Sturm - Liouville
MỤC LỤC MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 2 3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu .................................................................... 2 4. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 2 5. Phương pháp nghiên cứu............................................................................... 2 6. Cấu trúc khóa luận ........................................................................................ 3 NỘI DUNG ....................................................................................................... 4 CHƯƠNG 1: CÁC LOẠI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN ............................ 4 1.1. Phương trình tích phân ............................................................................ 4 1.1.1 Định nghĩa về phương trình tích phân ................................................. 4 1.1.2. Các khái niệm cơ bản ........................................................................... 4 1.1.3 Xây dựng phương trình tích phân từ phương trình vi phân ................. 8 1.2 Các loại phương trình tích phân .............................................................. 9 1.3. Các nghiệm quen thuộc của phương tình tích phân ................................ 10 1.3.1. Phương trình tích phân có nhân phân tách ........................................ 10 1.3.2. Các phép biến đổi tích phân ................................................................ 12 1.3.3. Các phép biến đổi vi phân.................................................................... 16 1.4. Chuỗi Neumann ...................................................................................... 17 1.5. Lý thuyết Fredholm ................................................................................. 19 1.6. Lý thuyết Schmidt–Hilbert...................................................................... 21 CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÍ ................................................ 24 2.1. Ứng dụng của phương trình tích phân loại 1 ........................................... 24 2.2. Ứng dụng của phương trình tích phân loại 2 ........................................... 24 2.2.1. Phương trình thuần nhất ...................................................................... 24
2.2.2. Phương trình không thuần nhất ........................................................... 26 2.3. Lý thuyết fredholm ................................................................................... 31 2.4. Lý thuyết Hilbert-Schmidt. ...................................................................... 32 KẾT LUẬN ..................................................................................................... 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 36
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Toán học là một ngành khoa học không những nó phục vụ cho chính nó, mà nó đặc biệt trở thành một công cụ hữu ích cho việc phát triển các ngành khoa học khác, trong đó có vật lý học. Tính chất cơ bản của vật lý học là tính thực nghiệm. Nhưng muốn trình bày những định luật định lượng của vật lý học một cách chính xác ta thường phải sử dụng phương pháp toán học. Phương pháp toán học được sử dụng từ lâu trong vật lý. Những quy luật đơn giản của vật lý đã được cơ học cổ điển giải quyết gần như trọn vẹn. Nhưng những quy luật vi mô, vĩ mô dưới tác dụng của nhiều trường khác nhau thì nó lại hoàn toàn bất lực. Cùng với điều đó là sự phát triển mạnh mẽ của toán học cả về bề rộng và bề sâu. Dẫn tới sự ra đời của một ngành vật lý mới vật lý lý thuyết. Người ta dùng phương pháp toán học để tìm ra những quy luật mới. Những quy luật tổng quát hơn những quy luật đã biết, đoán trước được mối quan hệ giữa những hiện tượng vật lý mà thực tế chưa quan sát được. Nó tìm được những quy luật tổng quát nhất, phản ánh được bản chất vật lý của nhiều hiện tượng xét một cách tổng quát nhất. Những phương pháp toán học dùng trong vật lý học hiện đại thì rất phong phú và đa dạng. Nó gồm một khối lượng kiến thức lớn thuộc các ngành như: hàm thực, hàm phức, các phương trình vi phân, các phép tính tích phân Các kiến thức toán này nó không những cần thiết cho các bạn sinh viên để tiếp thu, thực hành cũng như nghiên cứu đối với các môn học khác trong khi học tại trường, mà còn là các công cụ toán hữu ích cho công tác của họ sau khi ra trường. 1
Bước đầu khám phá và đi sâu vào các phương trình tích phân cũng như ứng dụng của nó trong vật lý. Đề tài: “Các phương trình tích phân và ứng dụng trong vật lý ” cũng là một trong số những công cụ toán có nhiều ứng dụng quan trọng trong vật lý. Nó giúp chúng ta giải quyết các bài toán vật lý một cách đơn giản hơn. Vì vậy khi chọn đề tài này tôi muốn đi sâu vào nghiên cứu, tìm hiểu các phương trình tích phân dùng trong vật lý nói chung và vật lý lý thuyết nói riêng. 2. Mục đích nghiên cứu - Nâng cao kiến thức toán học và sử dụng chúng một cách linh hoạt trong vật lý. - Hiểu rõ bản chất của phép tính tích phân. - Nhận dạng một số ứng dụng của phép tính tích phân trong vật lý. - Ứng dụng của phép tính tích phân để giải một số bài toán vật lý. - Từ các bài toán được ứng dụng trên khái quát lên thành các kinh nghiệm nhận biết khi nào thì sử dụng phép tính tích phân để giải một số bài toán. 3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu - Đối tượng: các phương trình tích phân. - Phạm vi nghiên cứu: đề tài này ta chủ yếu nghiên cứu về các phương trình tích phân và ứng dụng của nó trong vật lý. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu - Giới thiệu về các phương trình tích phân. - Phân loại và đưa ra phương pháp giải các dạng phương trình tích phân. - Ứng dụng của phương trình tích phân trong vật lý. 5. Phương pháp nghiên cứu - Vận dụng các kiến thức về tích phân và các phép biến đổi tích phân, phép biến đổi vi phân để nghiên cứu ứng dụng vào vật lý. 2
6. Cấu trúc khóa luận Ngoài phần Mở đầu, Tài liệu tham khảo, phần Nội dung của khóa luận bao gồm: PHẦN I: MỞ ĐẦU PHẦN II: NỘI DUNG Chương 1: Các loại phương trình tích phân. Chương 2. Ứng dụng trong Vật lý PHẦN III: KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO 3
NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CÁC LOẠI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN 1.1. Phương trình tích phân 1.1.1 Định nghĩa về phương trình tích phân Khi nghiên cứu một hệ vật lý, chúng ta thường phải xác định các tính chất hoặc các đại lượng để thể hiện các quy luật vận động của hệ. Mỗi một tính chất hoặc đại lượng thường được biểu thị bằng một hàm y theo các các biến độc lập x. Như vậy hàm y(x) là các hàm cần tìm trong các hệ vật lý. Do các điều kiện liên kết trong các hệ vật lý hàm cần tìm y(x) thường xuất hiện trong các dấu tích phân, phương trình chứa các hàm cần tìm như vậy gọi là phương trình tích phân. Trong chương này, chúng ta sẽ nghiên một số phương pháp giải của phương trình vi phân. Cần phải nhấn mạnh là không phải tất cả các phương trình tích phân đều có thể giải một cách rõ ràng bằng phương pháp giải tích. Hầu hết các phương trình tích phân dạng phức tạp phải cần giải bằng phương pháp tính số để tìm nghiệm gần đúng. Các phương pháp cơ bản được nêu ra ở đây được sử dụng cho các trường hợp đơn giản, tuy nhiên cũng có thể áp dụng để định hướng cho việc giải các phương trình phức tạp hơn. Các phương pháp được đưa ra ở đây bao gồm: i) Làm thế nào để đưa phương trình vi phân thành phương trình tích phân và nghiên cứu cách giải các dạng chung nhất của phương trình tích phân tuyến tính. ii) Tìm nghiệm dưới dạng chuỗi vô hạn của các phương trình tích phân với nhân có tính Hermite xác định từ đặc tính đối xứng của hệ vật lý. 1.1.2. Các khái niệm cơ bản - Phương trình tích phân tuyến tính 4
Phương trình tích phân tuyến tính là phương trình biểu diễn được dưới dạng L  y(x)  f (x) (1.1.1) Với L là toán tử tuyến tính theo hàm cần tìm y(x) . Ví dụ: b f (x)   K (x,z) y(z)dz, a b y(x)  f (x)   K (x,z) y(z)dz a Trong đó a  x  b, a  z  b, y(x) là hàm cần tìm, các hàm còn lại đã biết. - Nhân của phương trình tích phân Phương trình tích phân tuyến tính có dạng b g ( x) y( x)  f ( x)    K ( x, z ) y(z)dz. (1.1.2) a Trong đó cận trên của tích phân có thể là biến số hoặc cố định; hàm f(x), K(x,z) đã biết; y ( x) là hàm cần tìm,  là giá trị thực hoặc phức hoặc tham số khác không. Hàm K(x,z) được gọi là nhân của phương trình tích phân. Nhân K(x,z) được gọi là L2 – nhân nếu nhân K(x,z) thỏa mãn các điều kiện sau: bb  K (x,z) 2  Với mỗi a  x  b, a  z  b, ta có dxdz  , aa b  Với mỗi a  x  b, ta có  K (x,z) dz  , 2 a 5
b  K (x,z) 2  Với mỗi a  z  b, ta có dz  , a - Phương trình tích phân thuần nhất và không thuần nhất.  Nếu cố định cận trên là b, g(x) = 0 thì (1.1.2) trở thành b f (x)    K (x,z) y(z)dz  0. (1.1.3) a Phương trình (1.1.3) được gọi là phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 1. Nếu cố định cận trên b, g(x) = 1 thì (1.1.2) trở thành b y(x)  f ( x)    K (x,z) y(z)dz. (1.1.4) a Phương trình (1.1.4) được gọi là phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 2. Nếu f(x) = 0 thì phương trình (1.1.4) trở thành b y(x)    K (x,z) y(z)dz. (1.1.5) a Phương trình (1.1.5) được gọi là phương trình thuần nhất của (1.1.4)  Nếu cận trên là biến số x, g(x) = 0 thì (1.1.2) trở thành b f (x)    K (x,z) y(z)dz  0. (1.1.6) a Phương trình (1.1.6) được gọi là phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại 1. Nếu cận trên là biến số x, g(x)=1 thì (1.1.2) trở thành b y(x)  f (x)    K (x,z) y(z)dz (1.1.7) a 6
Phương trình (1.1.7) được gọi là phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại 2. Nếu f(x) = 0 thì phương trình (1.1.7) trở thành b y(x)    K (x,z) y(z)dz. (1.1.8) a Phương trình (1.1.8) được gọi là phương trình thuần nhất của (1.1.7) Trong tất cả các trường hợp, nếu f (x) = 0 phương trình được gọi là thuần nhất, nếu ngược lại thì không thuần nhất ( f (x)  0 ). - Hàm riêng và trị riêng của phương trình tích phân Số  thỏa mãn phương trình (1.1.5) với y(x)  0 được gọi là giá trị riêng của nhân K(x,z). Hàm y ( x) ứng với giá trị riêng của  thỏa mãn phương trình (1.1.5) được gọi là hàm riêng ứng với trị riêng  của nhân K(x,z). - Nhân phân ly biến số (Nhân suy biến) Nhân K(x,z) được gọi là nhân suy biến nếu K(x,z) là L2 – nhân và được viết dưới dạng n K ( x, z )  i ( x) i ( z ). (1.1.9) i 1 Trong đó 1( x) , …, n ( x) và 1( z),..., n ( z) là các hàm trong L2  a, b . Chú ý: Có thể giả sử các hàm i ( x), i ( z) độc lập tuyến tính trong L2  a, b . Thật vậy, nếu các pi(x) không độc lập tuyến tính thì có một i0 (x) n nào đó là tổ hợp tuyến tính của các i ( x) khác, tức là i0 (x)    ii (x). i 1,i  i0 Thay tổ hợp tuyến tính này vào K(x,z) ta có 7
n n n K (x,z)   i (x) i (z)    ii (x) i (z)  0  i (x) *i (z). i 1,i  i0 i 1,i  i0 i 1,i  i0 Lặp lại quá trình đó một số lần cần thiết, ta thu được một biểu thức có dạng (1.1.9), trong đó các hàm i ( x) và  i ( z ) đều độc lập tuyến tính. - Nhân dịch chuyển Nếu hạch của phương trình tích phân có thể được viết theo hàm của hiệu số x - z theo hai đối số thì được gọi là nhân dịch chuyển.  Ví dụ: y ( x)  f ( x)    K ( x  z ) y( z )dz, thì K ( x  z ) là nhân dịch  chuyển. 1.1.3 Xây dựng phương trình tích phân từ phương trình vi phân Phương trình tích phân xuất hiện trong nhiều trường hợp, bởi vì chúng ta luôn có thể đưa phương trình vi phân về dạng phương trình tích phân bằng các biến đổi đơn giản. Việc này có thể giúp chúng ta thuận tiện hơn trong việc tìm nghiệm của các phương trình tích phân. Khi đó, để có nghiệm cụ thể chúng ta chỉ cần áp dụng thêm điều kiện biên của bài toán. Để minh họa, chúng ta chọn một trường hợp đơn giản nhất là xem xét phương trình vi phân cấp hai: y  x   f  x, y  (1.1.10) trong đó f(x, y) có thể là hàm của x và y nhưng không phải của y’(x). Do đó phương trình (1.1.10) đại diện cho một lớp lớn của các phương trình vi phân tuyến tính và phi tuyến tính cấp hai. Chúng ta có thể biến đổi (1.1.10) từ phương trình tích phân tương ứng bằng cách lấy tích phân bậc 1 đối với biến x x y '( x)   f ( z , y ( z ))dz  c1 . 0 8
lấy tích phân một lần nữa, chúng ta được x u y ( x)   du  f ( z, y ( z ))dz  c1 x  c2 . 0 0 Đây là nghiệm cần tìm ở dạng tích phân hai lớp, để chuyển về tích phân một lớp, chúng ta cần quan tâm tới miền lấy tích phân. Bằng việc đổi biến số thực hiện trên miền lấy tích phân, chúng ta có thể chuyển tích phân trên về x u dạng: y ( x)   f ( z, y ( z ))dz  du  c1x  c2 , (1.1.11) 0 0 x   ( x  z ) f ( z, y( z ))dz  c1x  c2 . (1.1.12) 0 Phương trình (1.1.12) vừa được đưa ra ở trên gọi là phương trình tích phân Volterra phi tuyến tính. Nghiệm (1.1.12) sẽ được tìm cụ thể khi chúng ta có điều kiện biên. Thông thường các điều kiện biên được cho ở dạng đơn giản: ví dụ, xác định giá trị của y(x) và y’(x) tại x=0, ta có điều kiện biên y(0) = a và y’(0) = b, từ đó chúng ta xác định c1 = b và c2 = a. 1.2 Các loại phương trình tích phân Từ (1.1.12), phương trình vi phân đơn giản như là (1.1.10) có thể dẫn đến phương trình tích phân tương ứng là phi tuyến tính. Tuy nhiên, phương trình tích phân tuyến tính, có dạng tổng quát: b g ( x) y( x)  f ( x)    K ( x, z ) y(z)dz. (1.2.1) a Trong đó cận trên của tích phân có thể là biến số hoặc cố định; hàm f(x), K(x,z) đã biết; y ( x) là hàm cần tìm,  là giá trị thực hoặc phức hoặc tham số khác không. Hàm K(x,z) được gọi là nhân của phương trình tích phân. 9
Trong thực tế, được biết với các trường hợp đặc biệt của (1.2.1), được gọi bằng tên riêng. Thứ nhất, nếu g(x) = 0 thì không rõ hàm y(x), hàm y chỉ xuất hiện dưới dấu tích phân, và (1.2.1) được gọi là phương trình tích phân tuyến tính loại một. Ngoài ra, nếu g(x) = 1, do đó hàm y xuất hiện hai lần, một lần bên trong tích phân và một lần bên ngoài thì (1.2.1) được gọi là phương trình tích phân tuyến tính loại hai. Trong cả hai trường hợp, nếu f (x) = 0 phương trình được gọi là thuần nhất, nếu ngược lại thì không thuần nhất. Phân biệt các loại phương trình tích phân khác nhau bằng dạng của phép lấy tích phân bởi giới hạn a và b. Nếu giới hạn này là hằng số thì phương trình được gọi là phương trình Fredholm. Tuy nhiên, nếu các giới hạn trên b = x (tức là nó là biến số) thì phương trình được gọi là phương trình Volterra; phương trình như vậy là tương tự với một với giới hạn cố định nhưng theo đó nhân K(x,z) = 0 cho z > x. Cuối cùng, lưu ý rằng bất kỳ phương trình mà một trong hai (hoặc cả hai) của giới hạn phép lấy tích phân là vô hạn, theo đó K(x,z) trở nên vô hạn trong khoảng biến thiên của phép lấy tích phân, được gọi là phương trình tích phân kỳ dị. 1.3. Các nghiệm quen thuộc của phương tình tích phân 1.3.1. Phương trình tích phân có nhân phân tách Trong trường hợp chắc chắn, nó rất đặc biệt có thể là có thể để đạt được các nghiệm quen thuộc của phương trình tích phân. Tuy nhiên, người đọc nên nhận ra, khi đối mặt với phương trình tích phân, nói chung nó sẽ không giải được bằng phương pháp đơn giản giới thiệu trong phần này nhưng phải thay vào đó được giải bằng phương pháp lặp, như những phương pháp được nêu trong phần chuỗi Neumann. Để giải các phương trình tích phân đơn giản nhất là phương trình Fredholm với nhân phân ly được theo các biến số (hay suy biến). Một nhân có thể tách ra nếu nó có dạng 10
n K ( x, z )  i ( x) i ( z ). (1.3.1) i 1 Trong đó i ( x) là  i ( z ) là các hàm tương ứng duy nhất của x và z, số số hạng trong tổng n là hữu hạn. Chúng ta hãy xem xét nghiệm của phương trình Fredholm (không đồng nhất) của loại thứ hai b y( x)  f ( x)    K ( x, z ) y( z )dz (1.3.2) a Trong đó nhân được tách ở dạng (1.3.1). Viết nhân trong dạng tách của nó, hàm i ( x) có thể được đem ra ngoài tích phân trên z để đạt được n y ( x)  f ( x)   i ( x)   i ( z )dz. b a i 1 Từ đó phép lấy tích phân giới hạn a và b không đổi cho phương trình Fredholm, tích phân trên z trong mỗi một số hạng của tổng chỉ là một hằng số. Có nghĩa là hằng số này bằng: b ci    i ( z ) y( z )dz (1.3.3) a Nghiệm của (1.3.2) được tìm thấy n y ( x)  f ( x)    cii ( x), (1.3.4) i 1 Trong đó hằng số ci có thể được tính bằng cách thay thế (1.3.4) vào (1.3.3) 11
Ví dụ: Giải phương trình tích phân 1 y( x)  x    ( xz  z 2 ) y( z )dz. (1.3.5) 0 Lời giải: Nhân của phương trình này là K ( x, z )  xz  z 2 , là rõ ràng có thể tách được, và dùng ký hiệu trong ( 1.3.1 ) chúng ta có: 1( x)  x,2 ( x)  1,1( z)  z và  2 ( z )  z 2 . Từ (1.3.4) nghiệm của (1.3.5) có dạng y( x)  x   (c1x  c2 ) trong đó hằng số c1 và c2 được tính bằng cách lấy từ (1.3.3) như 1 1 1 c1   z  z    c1z  c2  dz    c1   c2 , 1 0 3 3 2 1 1 1 c2   z 2  z    c1z  c2  dz    c1   c2 1 0 4 4 3 Hai phương trình tuyến tính đồng thời này có thể được giải một cách đơn giản cho c1 và c2 là 24   18 c1  và c2  72  48   2 72  48   2 Trong ví dụ ở trên, chúng tôi thấy (1.3.5) có nghiệm duy nhất (hữu hạn) nếu λ thỏa mãn điều kiện để mẫu số của c1 và c2 khác không. 1.3.2. Các phép biến đổi tích phân Nếu nhân của phương trình tích phân có thể được viết là hàm của hiệu số x - z theo hai đối số thì được gọi là nhân dịch chuyển. Phương trình tích phân có nhân như vậy, và mà cũng có phép lấy tích phân giới hạn - ∞ đến ∞, có thể giải bằng việc sử dụng biến đổi Fourier. Nếu chúng ta xét phương trình tích phân sau với phép thay thế nhân, 12
 y ( x)  f ( x)    K ( x  z) y( z)dz, (1.3.6)  tích phân trên z rõ ràng ở dạng phép nhân chập. Do đó, biến đổi Fourier (1.3.6) và dùng định lý phép nhân chập, đạt được y (k )  f (k )  2  K (k ) y (k ), có thể là sắp xếp lại f (k ) y (k )  . (1.3.7) 1  2  K (k ) Lấy biến đổi Fourier ngược, nghiệm (1.3.6) được tính bằng cách lấy  1 f (k )exp(ikx) y ( x)  2  1  2  K (k )dk.  Có thể thực hiện phép biến đổi Fourier ngược này thì nghiệm có thể được tìm thấy rõ; cách khác nó phải được lấy dưới dạng tích phân. Thay vào đó, nếu phương trình tích phân (1.3.6) có giới hạn phép lấy tích phân 0 và x (phương trình Volterra) thì nghiệm của nó có thể được tìm thấy, trong đó bằng cách tương tự, sử dụng định lý phép nhân chập cho biến đổi Laplace. Ta thấy f ( s) y ( s)  , 1   K ( s) trong đó s là biến số phép biến đổi Laplaxơ. Thường thì ta có thể sử dụng từ điển của biến đổi Laplace đưa ra trong bảng 1.1 để đảo ngược phương trình này và tìm ra nghiệm y(x). Tuy nhiên nói chung đánh giá về phép biến đổi tích phân Laplaxơ ngược là khó khăn, vì (theo nguyên tắc) nó đòi hỏi phép lấy tích phân chu tuyến. 13
f(t) f ( s) s0 c c s 0 ct n cn! s n 1 0 sin bt b (s 2  b2 ) 0 cosbt s (s 2  b2 ) 0 e at 1 ( s  a) a t neat n! ( s  a ) n 1 a sinh at a (s 2  a 2 ) a cosh at s (s2  a2 ) a eat sin bt b ( s  a)2  b 2  a eat cos bt ( s  a) ( s  a) 2  b 2  a t1 2 1 ( s3 )1 2 0 2 t 1 2 ( s )1 2 0  (t  t0 ) e st0 0 1 t  t0 e st0 s 0 H (t  t0 )   nếu 0 t  t0 Bảng 1.1: Phép biến đổi Laplace tiêu chuẩn. Các phép biến đổi có giá trị (các phép biến đổi đang được công nhận) [3] 14