Khoá luận tốt nghiệp Đại học: Đường tán sắc của exciton-polariton hai chiều trong tương tác với phonon âm học

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:32

Thêm vào BST

Báo xấu

24
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Khoá luận này trình bày các phương pháp tính toán được sử dụng để chéo hoá Hamiltonian mô tả sự tương tác giữa polariton và phonon âm học, cụ thể là định lý Floquet. Tìm hiểu về hình thức luận lượng tử hoá lần hai trong cơ học lượng tử, quá trình phát xạ polariton LASER và sóng âm học bề mặt. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khoá luận tốt nghiệp Đại học: Đường tán sắc của exciton-polariton hai chiều trong tương tác với phonon âm học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TPHCM KHOA VẬT LÝ TRẦN DƯƠNG ANH TÀI ĐƯỜNG TÁN SẮC CỦA EXCITON-POLARITON HAI CHIỀU TRONG TƯƠNG TÁC VỚI PHONON ÂM HỌC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM VẬT LÝ TP. HỒ CHÍ MINH – 2018
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TPHCM KHOA VẬT LÝ TRẦN DƯƠNG ANH TÀI ĐƯỜNG TÁN SẮC CỦA EXCITON-POLARITON HAI CHIỀU TRONG TƯƠNG TÁC VỚI PHONON ÂM HỌC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM VẬT LÝ MÃ NGÀNH: 102 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. PHẠM NGUYỄN THÀNH VINH TP. HỒ CHÍ MINH – 2018
Lời cảm ơn Đầu tiên, tôi xin dành lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến thầy hướng dẫn khoa học của tôi, TS. Phạm Nguyễn Thành Vinh. Trong quá trình học tập tại khoa Vật Lí, Trường Đại học Sư Phạm TPHCM, tôi may mắn được làm việc với thầy khi còn là một sinh viên năm nhất. Thầy đã kiên trì hướng dẫn và tận tình giúp đỡ khi tôi vừa bắt đầu thực hiện đề tài nghiên cứu đầu tiên, một điều hoàn toàn mới mẻ với một sinh viên năm nhất khi đó. Thầy không chỉ dạy tôi những kiến thức Vật Lí và kĩ năng cần thiết cho công việc nghiên cứu, trong quá trình làm việc dưới sự hướng dẫn của thầy, thầy còn dạy tôi nhiều bài học quý giá trong cuộc sống và luôn tạo điều kiện để tôi có thể phát triển bản thân một cách tốt nhất. Những bài học bổ ích ấy đã giúp tôi gặt hái được nhiều thành tích và có những trải nghiệm đáng nhớ trong suốt bốn năm đại học. Ngoài ra, tôi cũng học tập ở thầy về thái độ làm việc nghiêm túc, cách làm hiệu quả, và một số kĩ năng mềm. Suốt quãng thời gian thực hiện đề tài khoá luận tốt nghiệp, thầy luôn động viên, khích lệ tinh thần, giúp tôi vượt qua những khó khăn để hoàn thành khoá luận tốt nghiệp. Khoá luận tốt nghiệp này có thể sẽ không hoàn chỉnh nếu thiếu những nhận xét, góp ý của TS. Nguyễn Duy Vỹ, Viện Vật Liệu Tiên Tiến, Trường Đại học Tôn Đức Thắng và TS. Tomotake Yamakoshi, Viện Khoa học LASER, Trường Đại học Điện Tử–Viễn Thông (Institute for Laser Science, University of Electro– Communications). Những nhận xét phản biện này không chỉ góp phần đảm bảo tính chính xác về mặt khoa học cho khoá luận tốt nghiệp của tôi mà còn giúp tôi hiểu rõ hơn về bức tranh Vật Lí của đề tài mà tôi đang thực hiện. Ngoài ra, trong quá trình thảo luận với TS. Tomotake Yamakoshi, tôi học hỏi thêm về kĩ thuật lập trình với ngôn ngữ FORTRAN 77 và một số phương pháp toán lý mới. Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong khoa Vật Lí, Trường Đại học Sư Phạm TPHCM, những người đã tận tình giảng dạy, truyền đạt những kiến thức, i
và kinh nghiệm quý giá trong bốn năm qua để tôi có thể hoàn thành khoá luận tốt nghiệp này và có được hành trang tốt nhất cho công việc trong tương lai của tôi. Ngoài ra, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn riêng đến TS. Phan Thị Ngọc Loan, người đã dạy tôi học phần “Phương pháp nghiên cứu khoa học”, những bài giảng của cô đã tạo cho tôi cảm hứng với việc nghiên cứu Vật Lí và thầy cố vấn học tập, TS. Hoàng Văn Hưng, nhờ những buổi nói chuyện với thầy, tôi học hỏi thêm được nhiều điều bổ ích bên cạnh giải toả áp lực trong học tập và nghiên cứu. Tôi cũng cảm ơn những thành viên trong nhóm nghiên cứu của TS. Phạm Nguyễn Thành Vinh. Trong quá trình làm việc, tôi luôn nhận được sự hỗ trợ tận tình và động viên kịp thời từ các thành viên trong nhóm. Cùng với các thành viên trong nhóm, tôi có những hành trình đáng nhớ, đặc biệt là chuyến đi tham quan Vũng Tàu năm 2018 cùng với TS. Tomotake Yamakoshi. Trong bốn năm học tập tại trường Đại học Sư Phạm TPHCM, tôi may mắn được quen biết nhiều bạn bè cùng khoá và các anh chị khoá trên, những người luôn bên cạnh và giúp đỡ tôi những lúc tôi gặp những vấn đề khó giải quyết. Tôi trân trọng khoảng thời gian ôn tập cho những kì thi kết thúc học phần căng thẳng cùng với các bạn Hồ Hoàng Huy, Nguyễn Tấn Phú, Nguyễn Thành Nhân, Trương Ngô Bích Trâm. Tôi muốn gửi lời cảm ơn đến anh Trần Công Hiếu vì đã giúp đỡ tôi trong kì thi tuyển sinh đại học năm 2014, hỗ trợ tôi hoàn tất thủ tục nhập học và cung cấp tài liệu những học phần đại cương dành cho sinh viên năm nhất. Tôi cũng xin cảm ơn chị Hoàng Khánh Linh, chị Nguyễn Mai Khanh đã lắng nghe và cho tôi những lời khuyên để tôi vượt qua nhiều khó khăn trong lúc hoàn thành khoá luận tốt nghiệp này. Tôi sẽ không quên những lời khuyên về cách học Vật Lí và kinh nghiệm nghiên cứu được chia sẻ từ CN. Lê Đại Nam. Cuối cùng nhưng không kém phần quan trọng, tôi xin cảm ơn ba mẹ của tôi. Ba và mẹ tôi đã tạo mọi điều kiện để tôi có thể tập trung vào việc học tập suốt bốn năm qua và luôn ủng hộ những quyết định của tôi. Tôi không thể thành công như ngày hôm nay nếu không có sự hi sinh của ba, mẹ tôi. Tp.HCM, ngày 02 tháng 05, năm 2018 Sinh viên Trần Dương Anh Tài ii
Mục lục Trang Danh sách hình vẽ ii Danh mục chữ viết tắt iii Mở đầu 1 1 Cơ sở lý thuyết 4 1.1 Toán tử sinh và huỷ trong cơ học lượng tử . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Giả hạt Polariton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 Định lý Floquet 12 3 Kết quả và thảo luận 15 3.1 Hướng tiếp cận sử dụng phương pháp gần đúng sóng quay . . . . . . 15 3.2 Hướng tiếp cận sử dụng định lý Floquet . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Kết luận và hướng phát triển 22 Tài liệu tham khảo 23 i
Danh sách hình vẽ Trang Hình 1.1: Hình vẽ thể hiện sự phụ thuộc năng lượng của LP và UP theo độ lệch năng lượng giữa exciton và photon. . . . . . . . 11 Hình 1.2: Hình vẽ thể hiện đường tán sắc năng lượng của LP và UP và sự phụ thuộc vào vector sóng song song của các hệ số Hopfield tương ứng với các trường hợp a) ∆ = 2g0 , b) ∆ = 0, c) ∆ = −2g0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 ii
Danh mục chữ viết tắt Chữ viết tắt Tiếng Việt Tiếng Anh BEC Ngưng tụ Bose – Einstein Bose–Einstein Condensation HHG Sóng điều hoà bậc cao High Harmonic Generator LA Sóng âm học dọc Longtitudinal Acoustic LP Polariton nhánh dưới Lower Polariton Light Amplification by Stimulated LASER La–de Emisson Radiation RWA Phép gần đúng sóng quay Rotating Wave Approximation SAW Sóng âm học bề mặt Surface Acoustic Wave TA Sóng âm học ngang Tranverse Acoustic Phương trình Schro¨dinger TDSE Time–Dependent Schro¨dinger Equation phụ thuộc thời gian UP Polariton nhánh trên Upper Polariton iii
Mở đầu Từ khi ra đời vào năm 1960, LASER (viết tắt của cụm từ Light Amplification by Stimulated Emisson Radiation) là một công cụ đắc lực giúp các nhà vật lý nghiên cứu cấu trúc của nguyên tử, phân tử thông qua các hiệu ứng phi tuyến như phát xạ sóng điều hòa bậc cao (HHG – High Harmonic Generation ) [1], quá trình ion hóa nguyên tử, phân tử [2, 3] hay được dùng trong bẫy từ-quang (MOTs) [4, 5] để bẫy các nguyên tử cho các nghiên cứu sự biến đổi trạng thái của vật chất ở pha ngưng tụ Bose–Einstein (BEC) [6–8] từ đó giúp chúng ta hiểu thêm về thế giới tự nhiên. Với những tính chất đặc biệt như tính đơn sắc, kết hợp và có cường độ cao, LASER được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác trong cuộc sống. Tuy nhiên, các LASER được dùng trong các phòng thí nghiệm hiện nay đều được tạo ra bằng cách tạo môi trường đảo mật độ sao cho electron trong các nguyên tử chủ yếu ở trạng thái kích thích, khi các electron này trở về trạng thái cơ bản, các photon phát ra phản xạ nhiều lần qua hệ cộng hưởng quang học và tạo thành LASER. Phương pháp này đòi hỏi phải tạo ra môi trường đảo mật độ, và giữ các electron ở trạng thái kích thích đủ lâu để có thể phát ra LASER, việc này tương đối khó khăn vì thời gian sống của electron ở trạng thái kích thích ngắn, vào cỡ 10−8 s. Ngoài ra, ngưỡng năng lượng để xảy ra sự phát xạ này tương đối lớn, chúng ta phải cung cấp nhiều năng lượng để quá trình có thể xảy ra, do đó việc này gây tốn kém. Năm 1996, A. Imamoglu và cộng sự đã đưa khái niệm về một loại LASER hoàn toàn mới mà không cần đến môi trường đảo mật độ [9]. Các tác giả đã sử dụng các giả hạt polariton là sự kết hợp giữa exciton (cặp electron và lỗ trống) và photon trong cấu trúc tinh thể của chất bán dẫn được cấu hình sẵn. Các hạt polariton có spin nguyên do đó chúng có thể có cùng trạng thái lượng tử đơn (single quantum state), như các hạt boson trong pha BEC, . . . và phát ra những photon kết hợp và đơn sắc, đây chính là cơ sở để tạo nên polariton LASER. Quá trình 1
phát xạ polariton LASER xảy ra ở nhiệt độ thấp khoảng 4K, được quan sát lần đầu tiên bởi L. S. Dang và các cộng sự vào năm 1998 [10]. Đến năm 2007, LASER polariton với bơm quang học lần đầu tiên được tạo ra ở nhiệt độ phòng [11]. Tuy Polartion LASER có nhiều ưu điểm như ngưỡng phát xạ thấp, không cần đến môi trường đảo mật độ, tần số của LASER có thể kiểm soát một cách dễ dàng bằng việc thay đổi tính chất của giếng lượng tử và vật liệu bán dẫn nhưng do công suất phát xạ ở nhiệt độ phòng vẫn còn rất nhỏ [11], nên chưa thể ứng dụng vào thực tế. Chúng tôi nhận thấy rằng việc tạo ra polariton LASER ở nhiệt độ phòng có cường độ cao có ý nghĩa vô cùng to lớn. Nhằm thực hiện điều này, chúng tôi thêm vào hệ các phonon âm học thông qua sóng âm học bề mặt (SAWs - Surface Ascoustic Waves). Khi các hạt polariton tương tác với các phonon âm học, đường tán sắc năng lượng bị thay đổi [12], do đó quá trình ngưng tụ BEC của các hạt polariton có thể bị thay đổi từ đó làm tăng nhiệt độ chuyển pha và cường độ của polariton LASER. Trong công trình [12], Ivanov và các cộng sự đã đưa ra phương trình đường tán sắc năng lượng của các hạt polariton khi có mặt sóng âm học (phương trình (4) [12]). Tuy nhiên, các tác giả chỉ trình bày kết quả cuối cùng mà thiếu đi quy trình toán học chặt chẽ để đưa ra kết quả này. Do đó, việc tìm ra một quy trình toán học phù hợp, chi tiết để dẫn dắt đến kết quả của Ivanov và cộng sự [12] là vô cùng cần thiết cho việc thực hiện các nghiên cứu tiếp theo của chúng tôi. Với những nhận xét nêu trên, chúng tôi thực hiện đề tài “Đường tán sắc của các exciton-polariton hai chiều trong tương tác với phonon âm học” cho khóa luận tốt nghiệp này nhằm đưa ra quy trình toán học chặt chẽ để đưa ra lại phương trình đường tán sắc năng lượng được nêu trong [12]. Khoá luận tốt nghiệp được trình bày thành ba chương, nội dung từng chương như sau: • Chương 1: Những tìm hiểu về hình thức luận lượng tử hoá lần hai trong cơ học lượng tử, quá trình phát xạ polariton LASER và sóng âm học bề mặt được trình bày trong chương này. • Chương 2: Chúng tôi trình bày các phương pháp tính toán được sử dụng để chéo hoá Hamiltonian mô tả sự tương tác giữa polariton và phonon âm học, cụ thể là định lý Floquet. 2
• Chương 3: Các kết quả của khoá luận tốt nghiệp được trình bày trong chương này. Kết quả tính toán cho thấy khi ta sử dụng phương pháp gần đúng sóng quay để chéo hoá Hamiltonian thì kết quả thu được hoàn toàn khác với kết quả được đưa ra bởi Ivanov và các cộng sự [12]. Do đó chúng tôi sử dụng hướng tiếp cận khác, đó là sử dụng định lý Floquet kết hợp với phương trình Schr¨odinger phụ thuộc thời gian, để kiểm tra lại các kết quả trước đó của chúng tôi. Chúng tôi lại thu được kết quả hoàn toán khác hai kết quả trước đó. Đồng thời, chúng tôi cũng phát hiện ra rằng kết quả sau khi chéo hoá Hamiltonian trong công trình của Ivanov năm 2003 [12] hoàn toàn khác với kết quả của chính tác giả nó được công bố vào năm 2001 [13]. 3
Chương 1 Cơ sở lý thuyết 1.1 Toán tử sinh và huỷ trong cơ học lượng tử Trong cơ học lượng tử, ngoài cách tiếp cận theo hướng giải tích, chúng ta có thể tiếp cận theo hướng đại số, sử dụng toán tử sinh và huỷ. Hướng tiếp cận này giúp ta tiết kiệm thời gian tính toán, thuận tiện trong việc tính toán các hệ nhiều hạt do đó nó cũng thường được sử dụng nhiều bởi các nhà vật lý. Trong phần này, chúng tôi trình bày tóm tắt về các tính toán với toán tử sinh và huỷ trong cơ học lượng tử. Đặt a và a† là hai toán tử tác động lên những trạng thái trong không gian Hilbert, và thoả mãn giao hoán tử [a, a† ] = 1 (1.1) trong đó “1” kí hiệu cho toán tử đơn vị trong không gian Hilbert. Toán tử a và a† là các toán tử không tự liên hợp, hay nói cách khác các toán tử này không có tính chất Hermitic. Toán tử a† được gọi là toán tử sinh và a được gọi là toán tử huỷ. Ta gọi |αi là trạng thái được chọn sao cho vector riêng của toán tử Hermitic, a† a, có trị riêng là số thực α a† a|αi = α|αi. (1.2) Do đó α = hα|a† a|αi = ||a|αi||2 ≥ 0, (1.3) trong đó chúng tôi sử dụng tiên đề cơ bản của cơ học lượng tử, rằng “norm” của tất cả các trạng thái trong không gian Hilbert đều dương. Kết quả là trị riêng α của trạng thái riêng của a† a là một số thực không âm. 4
Thêm vào đó, với các toán tử A, B, C , ta luôn có [AB, C] = A[B, C] + [A, C]B, (1.4) từ đây ra suy các giao hoán tử quan trọng của các toán tử sinh và huỷ [a†i ai , aj ] = −aj δi,j , (1.5) [a†i ai , a†j ] = a†j δi,j , (1.6) trong đó δi,j là Kronecker delta. Một trạng thái bất kỳ |ni được biễu diễn thông qua trạng thái cơ bản |0i, trạng thái bị huỷ bởi toán tử huỷ a|0i = 0, (1.7) qua biểu thức sau 1 |ni = √ (a† )n |0i, (1.8) n! và nội tích của nó thoả hm|ni = n!δm,n . (1.9) Tóm lại, các toán tử sinh và huỷ phải tuân theo các phương trình sau √ a† |ni = n + 1|n + 1i (1.10) √ a|ni = n|n − 1i (1.11) a† a|ni = n|ni (1.12) và do đó, các yếu tố ma trận lần lượt là √ hm|a|ni = nδm,n−1 (1.13) √ hm|a† |ni = n + 1δm,n+1 (1.14) Để minh hoạ việc vận dụng toán tử sinh và huỷ vào các bài toán vật lý lượng tử, chúng tôi trình bày lời giải bài toán dao động tử điều hoà một chiều bằng cách sử dụng toán tử sinh huỷ. Toán tử Hamilton mô tả một dao động tử điều hoà có dạng như sau 2 ˆ = pˆ + 1 mω 2 xˆ2 H (1.15) 2m 2 5
d trong đó pˆ = −i~ là toán tử động lượng, xˆ là toán tử toạ độ, m và ω lần lượt là dx khối lượng và tần số của dao động tử điều hoà. Ta định nghĩa các toán tử sinh và toán tử huỷ cho dao động tử điều hoà như sau r † 1 mω ~ d a =√ (mωx − ip) = x− , (1.16) 2mω ~ mω dx2~ r 1 mω ~ d a= √ (mωx + ip) = x+ . (1.17) 2mω ~ 2~ mω dx Với định nghĩa toán tử sinh và huỷ như trên, các toán tử toạ độ và động lượng được biểu diễn thông qua các toán tử sinh và huỷ như sau r ~ † xˆ = a+a , (1.18) 2mω r mω ~ † pˆ = a − a i. (1.19) 2 Khi này, phương trình (1.15) được viết lại thành 1 ˆ † H = ~ω a a + . (1.20) 2 Với Hamiltonian biểu diễn theo các toán tử sinh và huỷ, trị riêng năng lượng của dao động tử điều hoà được tìm phương trình Schr¨odinger dừng ˆ H|ni = En |ni 1 ⇔ ~ω a† a + |ni = En |ni 2 1 ⇔ ~ω n + |ni = En |ni (1.21) 2 từ phương trình (1.21), ta suy ra trị riêng năng lượng của dao động tử điều hoà 1 En = ~ω n + , (1.22) 2 kết quả này tương tự như kết quả thu được khi tính theo phương pháp giải tích. Để đưa ra hàm sóng của dao động tử điều hoà, ta cần định nghĩa trạng thái chân không trước, trạng thái chân không của dao động tử điều hoà được định nghĩa bởi a|0i = 0, (1.23) hay ~ d x+ ψ0 (x) = 0. (1.24) mω dx 6
Phương trình (3.1) có nghiệm mωx2 ψ0 (x) = A exp − , (1.25) 2~ với A là hệ số chuẩn hoá được xác định từ điều kiện chuẩn hoá Z∞ |ψ0 (x)|2 dx = 1. (1.26) −∞ Hàm sóng chuẩn hoá trạng thái chân không của dao động tử điều hoà có dạng r 2 mω mωx ψ0 (x) = 4 exp − . (1.27) π~ 2~ Một trạng thái bất kỳ |ni của dao động tử điều hoà được xây dựng bằng cách tác động toán tử sinh lên hàm sóng trạng thái chân không r n r mωx2 1 mω ~ d mω ψn = √ x− 4 exp − . (1.28) n! 2~ mω dx π~ 2~ 1.2 Giả hạt Polariton Polariton là một giả hạt trong chất rắn, được tạo ra bởi sự tương tác của ánh sáng (photon) và vật chất. Hàm sóng của polariton là sự chồng chập lượng tử từ hàm sóng mô tả photon và exciton, một sự kết cặp của một electron và một lỗ trống trong chất bán dẫn |ψi = X|ψx i + C|ψc i, (1.29) trong đó ψc kí hiệu cho photon và ψx kí hiệu exciton. Các hệ số X, C được gọi là hệ số Hopfield đặc trưng cho tính chất của polariton. Chúng tôi giải thích cặn kẽ hệ số Hopfield ở bên dưới. Tiếp theo, chúng tôi trình bày chi tiết cách xây dựng đường tán sắc năng lượng của các hạt polariton. Hamiltonian đặc trưng cho tương tác giữa photon và exciton trong vi hốc quang học (optical microcavity) là tổng của Hamiltonian mô tả photon trong vi ˆ cav , Hamiltonian biểu diễn cho exciton H hốc H ˆ exc và thành phần Hamilotonian thể ˆ coupling . Theo hình thức luận hiện sự kết cặp (coupling) giữa photon và exciton H lượng tử hoá lần hai, Hamiltonian này có dạng như sau ˆ pol = H H ˆ cav + H ˆ exc + H ˆ coupling X ~ωpc aˆ† aˆ + ~ωpxˆb†ˆb + g0 (ˆa†ˆb + aˆˆb† ) = (1.30) p 7
với aˆ† là toán tử sinh photon trong vi hốc quang học, ˆb† là toán tử sinh exciton, ωpx và ωpc lần lượt là tần số của photon và exciton, g0 là độ lớn lưỡng cực tương tác giữa exciton và photon và có độ lớn khác “không” với những mode có cùng vector sóng song song p. Lưu ý, ở đây chúng tôi dùng kí hiệu p để mô tả vector sóng song song, một số tài liệu khác có thể dùng kí hiệu pk hoặc kk . Hamiltonian trên có thể được chéo hoá thông qua phép biến đổi tuyến tính sau của các toán tử huỷ " # " #" # Pˆ X C ˆb = (1.31) Qˆ −C X a ˆ trong đó các toán tử Pˆ và Q ˆ là các toán tử huỷ của một giả hạt (quasiparticle) mới, giả hạt này được đặt tên là polariton và X, C là các hệ số đặc trưng cho phép biến đổi tuyến tính. Từ định nghĩa các toán tử huỷ Pˆ và Q ˆ , ta suy ra định nghĩa các toán tử sinh Pˆ † và Q ˆ † như sau " # " #" # Pˆ † X∗ C∗ ˆb† = . (1.32) Qˆ† −C ∗ X ∗ ˆ† a Xét giao hoán tử [Pˆ , Pˆ † ], ta có [Pˆ , Pˆ † ] = [X ˆb + Cˆ a, X ∗ˆb† + C ∗ a ˆ† ], (1.33) sử dụng các tính chất của giao hoán tử của các toán tử sinh và huỷ cho bởi phương trình (1.1), phương trình (1.33) được viết lại thành [Pˆ , Pˆ † ] = |X|2 [ˆb, ˆb† ] + |C|2 [ˆ ˆ† ] = |X|2 + |C|2 a, a (1.34) mặt khác, ta có [Pˆ , Pˆ † ] = 1 nên ta suy ra được |X|2 + |C|2 = 1. (1.35) ˆ Q Ta cũng thu được kết quả tương tự nếu xét giao hoán tử [Q, ˆ † ]. Để biểu diễn Hamiltonian trong phương trình (1.30) theo các toán tử mới, ta biễu diễn các toán tử aˆ, ˆb theo Pˆ , Q ˆ " # " #−1 " # " #" # ˆb X C Pˆ C X Pˆ = = , (1.36) a ˆ −C X Qˆ X −C Qˆ và aˆ† , ˆb† theo các toán tử Pˆ † , Q ˆ† " # " #−1 " # " #" # ˆb† X∗ C∗ Pˆ C∗ X∗ Pˆ † = = . (1.37) ˆ† a −C ∗ X ∗ Qˆ X ∗ −C ∗ Qˆ† 8
Thay các phương trình (1.36) và (1.37) vào phương trình (1.30), và thu gọn ta được X ˆ pol = H (|C|2 ~ωpc + |X|2 ~ωpx + 2g0 XC)Pˆ † Pˆ + (|X|2 ~ωpc + |C|2 ~ωpx − 2XCg0 )Q ˆ †Q ˆ p + XC(~ωpc − ~ωpx ) + g0 (|X|2 − |C|2 ) (Pˆ † Q ˆ † Pˆ ) ˆ+Q (1.38) Theo công trình [14], Hamiltonian sau khi chéo hoá sẽ có dạng như sau X ˆ pol = ~ωLP Pˆ † Pˆ + ~ωU P Q ˆ †Q ˆ , H (1.39) p trong đó tần số ωLP đặc trưng cho nhánh năng lượng dưới (lower eigenenergy) tương ứng với polariton dưới (lower polariton) trong khi tần số ωU P đặc trưng cho nhánh năng lượng trên (upper eigenenergy) tương ứng với polariton trên (upper polariton), do đó, hệ số của biểu thức thứ ba trong phương trình (1.38) phải thoả mãn XC(~ωpc − ~ωpx ) + g0 (|X|2 − |C|2 ) = 0. (1.40) Toán tử Pˆ † Q ˆ † Pˆ thể hiện việc thay đổi trạng thái của giả hạt thu được từ ˆ hay Q việc chéo hoá Hamiltonian cho bởi phương trình (1.30), trong các thí nghiệm, hiện tượng này chỉ xảy ra khi ta kích thích hệ rất “mạnh” và rất khó thực hiện, do đó trong những tính toán lý thuyết, số hạng này thường được bỏ qua, ta xem như không có sự nhảy trạng thái này. Điều đó giải thích ý nghĩa của phương trình (1.40). Phương trình (1.39) cho ta thấy rằng ta có thể biểu diễn Hamiltonian mô tả tương tác giữa các photon và exciton thông qua các toán tử là tổ hợp tuyến tính của các toán tử mô tả photon và exciton. Do đó, các hạt polariton là sự chồng chất của các hạt photon trong vi hốc và các hạt exciton trong cùng mặt phẳng vector sóng. Ta có thể thấy rằng các hệ số X, C trong phép biến đổi tuyến tính đặc trưng cho tỉ lệ pha trộn giữa photon và exciton. Bằng cách thay đổi tỷ lệ “trộn” photon và exciton, người ta có thể điều khiển tương tác giữa ánh sáng và vật chất. Trong thực nghiệm, điều này có thể là thực hiện được bằng cách dịch chuyển năng lượng của vi hốc (bơm thêm một số loại khí) hoặc exciton (bằng cách thay đổi nhiệt độ hoặc áp một điện trường ngoài). Từ phương trình (1.40), ta tìm được giá trị bình 9
phương module của các hệ số X, C ! 1 ∆ |X|2 = 1+ p , (1.41) 2 ∆2 + 4g02 ! 1 ∆ |C|2 = 1− p , (1.42) 2 ∆2 + 4g02 với ∆ = ~ωpx − ~ωpc là độ lệch năng lượng giữa exciton và photon. Khi |X|2 < |C|2 , điều này có nghĩa photon trong vi hốc đóng góp nhiều hơn các exciton trong việc hình thành giả hạt polariton do đó, ta gọi các polariton này là photon-polariton và ngược lại, ta sẽ gọi chúng là exciton-polariton. Trong giới hạn của khoá luận tốt nghiệp này, chúng tôi chỉ khảo sát các exciton-polartion. Khi ∆ = 0, tương ứng 1 với các giá trị |X|2 = |C|2 = , lúc này các photon và exciton đóng góp bằng nhau 2 để tạo thành các polariton. Đồng nhất hệ số phương trình (1.38) và (1.39) ta thu được hệ thức biểu diễn đường tán sắc của các hạt polariton 1 q c x ELP = ~ωLP = ~ωp + ~ωp + 4g02 + (~ωpx − ~ωpc )2 , (1.43) 2 1 q c x 2 EU P = ~ωU P = ~ωp + ~ωp − 4g0 + (~ωpx − ~ωpc )2 . (1.44) 2 Các phương trình (1.43) và (1.44) là phương trình mô tả đường cong tán sắc của các hạt polariton tương ứng với mức năng lượng nhánh dưới (LP - Lower Polariton) và nhánh trên (UP – Upper Polariton). Khi các photon và exciton liên kết với nhau tại tần số cộng hưởng, ωpx = ωpc , năng lượng của LP và UP sai khác nhau một lượng có giá trị nhỏ nhất, ~ωpx − ~ωpc = 2g0 , sự phân tách này tương tự như sự phân tách Rabi trong hệ hai mức năng lượng. Do đó, độ lớn lưỡng cực tương tác giữa exciton và photon thường được đặc trưng bởi tần số Rabi, Ωc , theo công thức [12] i~Ωc g0 = . (1.45) 2 Do sự kết cặp giữa exciton và photon, năng lượng của các polariton có xu hướng chống lại sự dịch chuyển năng lượng từ photon sang năng lượng exciton. Đây là một trong những dấu hiệu thể hiện sự kết cặp mạnh giữa photon và exciton và khi |~ωpx − ~ωpc | g0 , ta không thể phân biệt exciton và photon một cách rõ ràng. Điều này được thể hiện rõ trong hình 1.1. 10
Hình 1.1: Hình vẽ thể hiện sự phụ thuộc năng lượng của LP và UP theo độ lệch năng lượng giữa exciton và photon [14]. (Lưu ý: kí hiệu Ω trong hình vẽ tương ứng là tần số Rabi Ωc mà chúng tôi trình bày ở trên.) Hình 1.2: Hình vẽ thể hiện đường tán sắc năng lượng của LP và UP và sự phụ thuộc vào vector sóng song song của các hệ số Hopfield tương ứng với các trường hợp a) ∆ = 2g0 , b) ∆ = 0, c) ∆ = −2g0 [14].(Lưu ý: kí hiệu kk trong hình vẽ tương ứng là vector sóng song song p mà chúng tôi trình bày ở trên.) 11
Chương 2 Định lý Floquet Năm 1883, nhà toán học Floquet đề xuất cách giải phương trình vi phân có dạng dx = A(t)x, (2.1) dt với A(t) là một hàm số liên tục theo biến số t và tuần hoàn với chu kì T , A(t) = A(t + T ). (2.2) Ngày nay, phương pháp này được gọi là định lý Floquet. Từ phương trình (2.1), ta có thể thấy rằng nó tương đương về mặt toán học với phương trình Schr¨odinger phụ thuộc thời gian (TDSE) có Hamiltonian tuần hoàn theo thời gian với chu kì T H(t) = H(t + T ). (2.3) Do đó, chúng tôi sử dụng định lý Floquet để giải quyết bài toán được đặt ra trong khoá luận tốt nghiệp này theo đề xuất của TS. Tomotake Yamokoshi. Ngoài ra, định lý Floquet là công cụ toán học mạnh để giải quyết các bài toán trong các nghiên cứu về hệ lượng tử tuần hoàn do đảm bảo tính tuần hoàn của sự nhiễu loạn của tất cả các mức gần đúng và tránh được những biểu thức phụ thuộc tuyến tính hoặc không tuần hoàn theo thời gian. Ở đây, chúng tôi không trình bày chi tiết về định lý Floquet mà chỉ đưa ra cách áp dụng vào việc giải TDSE có Hamiltonian tuần hoàn theo thời gian, những tìm hiểu sâu hơn về định lý Floquet có thể tham khảo các tài liệu [15, 16]. Xét phương trình Schr¨odinger phụ thuộc thời gian (để đơn giản chúng tôi chỉ xét hệ một chiều không gian) ∂ H(x, t) − i~ Ψ(x, t) = 0, (2.4) ∂t 12
trong đó H(x, t) = H0 (x) + V (x, t). (2.5) Thành phần Hamiltonian không phụ thuộc thời gian H0 (x) tương ứng với hàm riêng ψn (x) và trị riêng En và V (x, t) là thế năng tuần hoàn theo thời gian với chu kì T V (x, t) = V (x, t + T ). (2.6) Theo định lý Floquet, nghiệm của phương trình (2.4) có dạng như sau Ψ(x, t) = exp(−iεα t/~)Φα (x, t), (2.7) trong đó Φα (x, t), Floquet mode, tuần hoàn theo thời gian cùng chu kỳ với V (x, t) Φα (x, t) = Φα (x, t + T ). (2.8) Ở đây, εα là một thông số thực đặc trưng cho thành phần mũ. Do εα bằng bội số của ~ω với ω = 2π/T nên được gọi là giả năng lượng (quasienergy) tương tự như giả động lượng (quasimomentum) k , đặc trưng cho hàm sóng Bloch trong chất rắn. Thay phương trình (2.7), vào phương trình (2.4), ta suy ra phương trình để tìm trị riêng εα HF (x, t)Φα (x, t) = εα Φα (x, t). (2.9) ∂ với HF (x, t) = H(x, t) − i~ có tính chất Hermitic và được gọi là Hamiltonian ∂t Floquet. Từ phương trình (2.9), ta thấy rằng các Floquet mode |Φα0 (x, t)i = exp(inωt)|Φα (x, t)i ≡ Φαn (x, t), (2.10) có nghiệm tương tự như nghiệm của phương trình (2.4) với dịch chuyển trong giả năng lượng bởi phương trình εα = εα0 + n~ω = εαn , (2.11) với n ∈ Z. Điều này cho ta thấy rằng kí hiệu α đang được sử dụng liên quan đến các lớp nghiệm tương ứng với α0 = (α, n) với n ∈ Z. Do đó nên ta có thể rút gọn ~ω ~ω một giả năng lượng bất kỳ về vùng Brillouin thứ nhất, −