Khoá luận tốt nghiệp Đại học: Phương pháp R-matrix cho nghiên cứu hiệu ứng phi định xứ của thế quang học nucleon – hạt nhân

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:47

Thêm vào BST

Báo xấu

37
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Khóa luận trình bày những cơ sở lí thuyết của bài toán tán xạ, thiết lập và giải phương trình Schrodinger vi tích phân sử dụng thế quang học phi định xứ (NLOMP) bằng phương pháp R-matrix. Và để đánh giá sự phù hợp so với thực nghiệm, khóa luận so sánh các kết quả thu được từ phương pháp R-matrix với dữ liệu thực nghiệm từ IAEA. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khoá luận tốt nghiệp Đại học: Phương pháp R-matrix cho nghiên cứu hiệu ứng phi định xứ của thế quang học nucleon – hạt nhân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÍ ---------- VÕ THỊ HẢI NHẬT PHƢƠNG PHÁP R-MATRIX CHO NGHIÊN CỨU HIỆU ỨNG PHI ĐỊNH XỨ CỦA THẾ QUANG HỌC NUCLEON – HẠT NHÂN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 4 năm 2018
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÍ ---------- VÕ THỊ HẢI NHẬT PHƢƠNG PHÁP R-MATRIX CHO NGHIÊN CỨU HIỆU ỨNG PHI ĐỊNH XỨ CỦA THẾ QUANG HỌC NUCLEON – HẠT NHÂN Ngành : SƢ PHẠM VẬT LÍ NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: CN. Nguyễn Lê Anh Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 4 năm 2018 i
LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quý thầy cô Giảng viên các bộ môn, đặc biệt là Quý thầy cô Giảng viên khoa Vật lí trƣờng Đại học Sƣ phạm Thành phố Hồ Chí Minh, đã ân cần chỉ dạy, cho tôi một nền tảng kiến thức khoa học vững chắc để hoàn thành khóa luận này. Đặc biệt, tôi xin gửi lời cảm ơn đến thầy Nguyễn Lê Anh - ngƣời đã rất tận tình giúp đỡ tôi trong việc định hƣớng, xây dựng và phát triển đề tài. Ngoài ra, những góp ý và động viên của thầy cũng là động lực để tôi hoàn thành khóa luận một cách tốt đẹp. Bên cạnh đó, tôi cũng chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã giúp đỡ, góp ý và tạo nhiều điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành các mục tiêu của mình. Cuối cùng, tác giả rất mong nhận đƣợc sự đóng góp từ quý thầy cô và các bạn để khóa luận đƣợc hoàn thiện hơn. Tp. Hồ Chí Minh, tháng 4 năm 2018 Võ Thị Hải Nhật ii
PHỤ LỤC LỜI MỞ ĐẦU ................................................................................................ - 1 - Chƣơng 1 LÍ THUYẾT TÁN XẠ ..............................................................................- 4 - 1. 1. LÍ THUYẾT TÁN XẠ .......................................................................... - 4 - 1. 1. 1. Lí thuyết tán xạ cổ điển ..............................................................- 4 - 1. 1. 2. Lí thuyết tán xạ lƣợng tử ............................................................- 6 - 1. 1. 2. 1. Mối liên hệ giữa S-matrix và R-matrix.......................- 9 - 1. 1. 2. 2. Biên độ tán xạ ...........................................................- 10 - 1. 1. 2. 3. Tiết diện tán xạ đàn hồi toàn phần ............................- 10 - 1. 1. 2. 4. Độ lệch pha (phase-shift) ..........................................- 10 - 1. 2. THẾ TƢƠNG TÁC PHI ĐỊNH XỨ (NONLOCAL POTENTIAL) .. - 10 - 1.2. 1. Thế quang học (Optical Model Potential) ..................................- 10 - 1. 2. 1. 1. Tổng quan .................................................................- 11 - 1. 2. 1. 2. Thế quang học ...........................................................- 12 - 1.2. 2. Thế Perey–Buck (Perey–Buck Potential) ...................................- 13 - 1. 3. R-MATRIX ......................................................................................... - 15 - 1. 3. 1. Tổng quan.................................................................................- 15 - 1. 3. 2. R-matrix tính toán ....................................................................- 15 - 1. 3. 3. Phƣơng pháp Lagrange-mesh ..................................................- 18 - 1. 3. 4. Thuật toán R-matrix .................................................................- 19 - Chƣơng 2 KẾT QUẢ ...............................................................................................- 23 - 2. 1 Tán xạ proton lên hạt nhân.................................................................. - 23 - 2. 2 Tán xạ neutron lên hạt nhân ................................................................ - 28 - iii
2. 3 Tiết diện tán xạ phân bố theo xung lƣợng chuyển .............................. - 32 - 2. 4 Tổng kết .............................................................................................. - 33 - KẾT LUẬN VÀ HƢỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ TÀI ..................................... - 34 - PHỤ CHÚ DANH SÁCH CÁC HÀM VÀ THÔNG SỐ ............................ - 36 - TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................... - 40 - iv
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT NLOMP: Nonlocal Optical Model Potential IAEA: International Atomic Energy Agency v
DANH SÁCH HÌNH VẼ Hình 1.1: Mô tả tán xạ đàn hồi nucleon lên hạt nhân bia bất kì Hình 1.2: Mô tả tiết diện tán xạ đàn hồi theo góc tán xạ trong tán xạ nucleon – hạt nhân Hình 3.1: Mô tả quy trình tính toán bằng phƣơng pháp R-matrix Hình 3.2: Input của bài toán tán xạ neutron ở 26 MeV lên hạt nhân 208Pb Hình 3.3: Input của bài toán tán xạ proton ở 30.6 MeV lên hạt nhân 120Sn Hình 3.4: Một đoạn output của bài toán tán xạ proton ở 16 MeV lên hạt nhân 56Fe Hình 4.1: Tiết diện tán xạ phân bố theo góc tán xạ trong tán xạ đàn hồi proton lên hạt nhân 40Ca Hình 4.2: Tiết diện tán xạ phân bố theo góc tán xạ trong tán xạ đàn hồi proton lên hạt nhân 56Fe Hình 4.3: Tiết diện tán xạ phân bố theo góc tán xạ trong tán xạ đàn hồi proton lên hạt nhân 208Pb Hình 4.4: Tiết diện tán xạ phân bố theo góc tán xạ trong tán xạ đàn hồi proton lên hạt nhân 120Sn Hình 4.5: Tiết diện tán xạ phân bố theo góc tán xạ trong tán xạ đàn hồi neutron lên hạt nhân 120Sn Hình 4.6: Tiết diện tán xạ phân bố theo góc tán xạ trong tán xạ đàn hồi neutron lên hạt nhân 56Fe Hình 4.7: Tiết diện tán xạ phân bố theo góc tán xạ trong tán xạ đàn hồi neutron lên hạt nhân 208Pb Hình 4.8: Tiết diện tán xạ phân bố theo góc tán xạ trong tán xạ đàn hồi neutron lên hạt nhân 40Ca Hình 4.9: Tiết diện tán xạ phân bố theo xung lƣợng chuyển trong tán xạ đàn hồi neutron lên hạt nhân 120Sn ở năng lƣợng 9.943 MeV vi
LỜI MỞ ĐẦU Thế kỉ XX là thời kì bùng nổ của Vật lí hạt nhân, khi những nguyên tố phóng xạ liên tục đƣợc nghiên cứu và công bố rộng rãi. Liên tiếp sau đó là sự xuất hiện của nhiều hạt nhân và các đồng vị phóng xạ không bền của chúng. Do đó, nhu cầu nghiên cứu và dự đoán các dữ liệu phản ứng hạt nhân đóng vai trò vô cùng quan trọng. Kể từ thành công của thí nghiệm tán xạ Rutherford để xác định cấu trúc nguyên tử, rất nhiều thí nghiệm tán xạ đƣợc thực hiện với mục đích khám phá cấu trúc bên trong hạt nhân, trong đó có thí nghiệm tán xạ nucleon lên hạt nhân. Với mục đích quan trọng ấy, rất nhiều nhà khoa học đã đƣa ra những lí thuyết khác nhau để mô tả sự thay đổi trạng thái của hệ nucleon – hạt nhân trong quá trình tán xạ. Việc giải phƣơng trình Schrodinger đối với thế phi định xứ vẫn là đối tƣợng nghiên cứu vô cùng quan trọng của Vật lí hạt nhân. Mặc dù đã có rất nhiều mô hình đƣợc đƣa ra để mô tả các hệ này nhƣ gần đúng Hartree-Fock, gần đúng khối lƣợng hiệu dụng,… nhƣng các nhà khoa học vẫn không ngừng tìm kiếm những mô hình mới giúp họ tính toán nhanh và đem lại kết quả có độ chính xác cao hơn. Dựa vào mẫu thế quang học phi định xứ (NLOMP) Perey-Buck, một bộ thông số mới đƣợc đề xuất và đã khẳng định đƣợc nhiều ƣu điểm của nó so với KD03 (sử dụng hình thức luận mẫu quang học định xứ). Bộ thông số này độc lập với năng lƣợng tới của các nucleon trong 27 208 bài toán tán xạ nucleon lên các hạt nhân từ Al đến Pb với năng lƣợng nằm trong khoảng 10 – 30 MeV [12]. Trong thế Perey-Buck, tính phi định xứ đƣợc phân tích thành một thế phức, từ đó các thông số đƣợc điều chỉnh sao cho phù hợp với kết quả thu đƣợc từ thực nghiệm. Những kết quả ban đầu từ thế Perey-Buck cho kết quả tốt 208 với tán xạ đàn hồi nucleon lên Pb ở hai mức năng lƣợng là 7 và 14.5 MeV [1,3]. Tuy nhiên, sự phát triển của khoa học thực nghiệm sau đó đã công bố nhiều kết quả mà bộ thông số dựa trên NLOMP của Perey-Buck không còn chính xác nữa. Thêm một khó khăn nữa trong việc sử dụng bộ thông số NLOMP của Perey- Buck, đó là khi giải phƣơng trình Schrodinger bằng phƣơng pháp vòng lặp, sự hội tụ của hàm sóng lại phụ thuộc vào các thế cụ thể. Do đó, B. T. Kim và T. Udagawa đã đề xuất một phƣơng pháp mới kết hợp giữa NLOMP với một chƣơng trình máy tính cho -1-
phép giảm thiểu tối đa số lƣợng các thông số cần thiết [6]. Thông qua một hàm trạng thái phụ đã đƣợc xác định chính xác bằng thế Perey-Buck, bộ thông số mới có khả năng hội tụ tốt hơn, từ đó giúp xác định hàm sóng nhanh chóng và chính xác hơn. Dựa trên những dữ liệu thực nghiệm khi cho các nucleon năng lƣợng từ 7.96 đến 30.3 MeV tán xạ lên 27Al, 32S, 120Sn, 208Pb,… bộ các thông số lần lƣợt đƣợc hiệu chỉnh từ bộ NLOMP của Perey-Buck đến trạng thái phù hợp nhất thông qua các vòng lặp. Sự kết hợp giữa bộ thông số NLOMP, thông số hình học từ KD03 và các dữ liệu thực nghiệm mới đã cho kết quả khả quan. Tuy các giá trị thông số cuối cùng chỉ lệch 5% so với giá trị ban đầu của chúng, nhƣng tốc độ hội tụ của hàm sóng trở nên nhanh chóng, và đặc biệt, khắc phục đƣợc nhƣợc điểm phụ thuộc vào các thế cụ thể của NLOMP. Để kiểm tra tính tin cậy của bộ thông số mới, hàng loạt so sánh với dữ liệu 60 100 thực nghiệm đƣợc thực hiện, đó là các tán xạ đàn hồi của nucleon lên Ni và Mo với mức năng lƣợng mở rộng đến 49.45 MeV [12]. Kết quả thu đƣợc đã chứng tỏ rằng bộ thông số này hoàn toàn có thể sử dụng để mô tả các tán xạ đàn hồi của nucleon lên hạt nhân có số khối A > 27. Năm 1947, phƣơng pháp R-matrix bắt đầu đƣợc nghiên cứu và sử dụng, áp dụng bộ thông số mới đƣợc hiệu chỉnh từ NLOMP của Perey-Buck. Winger và Eisenbud đã đƣa ra những ý tƣởng đầu tiên cho việc giải thế phi định xứ trực tiếp trong phƣơng trình Schrodinger [12], lí thuyết R-matrix đã càng ngày chứng tỏ đƣợc ƣu thế của mình trong nhiều khía cạnh của cơ học lƣợng tử. Ngoài mục đích ban đầu dùng để mô tả các cộng hƣởng trong phản ứng hạt nhân, lí thuyết R-matrix hiện nay còn đƣợc sử dụng để giải phƣơng trình Schrodinger liên kênh (coupled channel) trong các vùng liên tục (continuum region). Bên cạnh đó, với việc sử dụng các thông số đƣợc điều chỉnh từ thực nghiệm, lí thuyết R-matrix cũng đã thành công khi thông số hóa các thành phần cộng hƣởng và không cộng hƣởng năng lƣợng thấp trong tán xạ đàn hồi [12]. Nguyên lí của phƣơng pháp R-matrix là chia không gian thành 2 vùng: vùng trong (internal region) và vùng ngoài (external region). Ranh giới giữa 2 vùng là một thông số gọi là “bán kính kênh” (channel radius). Bán kính này đƣợc chọn đủ lớn sao cho ở vùng ngoài, các thành phần của hệ chỉ tƣơng tác với nhau thông qua các lực tầm xa, bên cạnh đó, các hiệu ứng phi đối xứng cũng đƣợc bỏ qua. Lúc đó, ở vùng ngoài, -2-
hàm sóng tán xạ có dạng tiệm cận với biểu thức có chứa e mũ giảm. Còn ở vùng trong, hàm sóng tại một mức năng lƣợng xác định là tổ hợp các trạng thái riêng của hệ. Khi đó, R-matrix là nghịch đảo đạo hàm logarithm của hàm sóng tại biên. Ngoài ra, phƣơng pháp R-matrix còn dùng để xác định các trạng thái liên kết của hệ. Hiện nay, phƣơng pháp R-matrix vẫn tiếp tục đƣợc phát triển theo 2 hƣớng, đó là R-matrix hiện tƣợng luận (phenomenological R-matrix) và R-matrix tính toán (calculable R-matrix). Mặc dù nghiên cứu theo 2 khía cạnh khác nhau của R-matrix, nhƣng kết quả của chúng lại bổ sung và làm cơ sở cho khía cạnh còn lại. Trong khóa luận này, chúng tôi sử dụng bộ thông số đƣợc hiệu chỉnh từ mẫu quang học NLOMP Perey-Buck, đƣợc trình bày trong [12]. Khóa luận trình bày những cơ sở lí thuyết của bài toán tán xạ, thiết lập và giải phƣơng trình Schrodinger vi tích phân sử dụng thế quang học phi định xứ (NLOMP) bằng phƣơng pháp R-matrix. Và để đánh giá sự phù hợp so với thực nghiệm, khóa luận so sánh các kết quả thu đƣợc từ phƣơng pháp R-matrix với dữ liệu thực nghiệm từ IAEA1. Đối tƣợng nghiên cứu của khóa luận là tán xạ nucleon lên các hạt nhân bia chẵn – chẵn là 40Ca, 56Fe, 120Sn, 208Pb. Phƣơng pháp nghiên cứu chính trong khóa luận này là phƣơng pháp giải số dựa trên ngôn ngữ lập trình Fortran. Các code sử dụng trong khóa luận đƣợc phát triển bởi nhóm nghiên cứu tại Viện Khoa học và Kỹ thuật hạt nhân – Hà Nội và tài liệu tham khảo [1,3]. Sau đó, tôi tiến hành xử lý số liệu trên phần mềm Origin và nhận xét. Bố cục khóa luận bao gồm 2 phần chính: Trong phần 1, khóa luận trình bày các cơ sở lí thuyết bao gồm tổng quan về lí thuyết tán xạ, xây dựng thế tƣơng tác phi định xứ cho hệ nucleon – hạt nhân và phƣơng pháp R-matrix. Trong phần 2, khóa luận trình bày kết quả tán xạ đàn hồi nucleon – hạt nhân, nhận xét và đề ra phƣơng hƣớng phát triển cho đề tài. 1 https://www-nds.iaea.org/exfor/exfor.htm -3-
Chƣơng 1 LÍ THUYẾT TÁN XẠ Trong chƣơng này, tôi sẽ trình bày một cách ngắn gọn những kiến thức cơ bản về lí thuyết tán xạ, các khái niệm cũng nhƣ một số định nghĩa cơ bản trong vật lí hạt nhân. Bên cạnh đó, thế tƣơng tác tôi sử dụng trong khóa luận này cũng đƣợc thể hiện trong phần tiếp theo. Phần quan trọng nhất của khóa luận là lí thuyết R-matrix đƣợc trình bày chi tiết trong phần cuối của chƣơng. 1. 1. LÍ THUYẾT TÁN XẠ Các phản ứng hạt nhân thông thƣờng xảy ra theo quá trình a  A  b  B, (1.1) kí hiệu là A(a, b) B . Tuy nhiên, trong một số trƣờng hợp, thành phần và cấu trúc hạt nhân của các hạt tham gia tƣơng tác không thay đổi, đƣợc gọi là tán xạ. Trong thực tế, có một số quá trình tán xạ mà các thành phần tán xạ đàn hồi và phi đàn hồi xảy ra song song. Điều này có thể làm thay đổi cấu trúc của hệ thông qua các phản ứng chuyển (transfer reaction) hoặc thay đổi năng lƣợng làm cho hạt nhân chuyển sang các trạng thái kích thích. Khóa luận chỉ đề cập đến những tán xạ đàn hồi, có nghĩa là sau tán xạ, cấu trúc của nucleon và hạt nhân đều không đổi, hạt nhân bia luôn ở trạng thái cơ bản. Bên cạnh đó, để bài toán tán xạ trở nên đơn giản, khóa luận cũng bỏ qua các hiệu ứng cộng hƣởng và trạng thái kích thích do phản ứng trực tiếp. 1. 1. 1. Lí thuyết tán xạ cổ điển Xét một hệ đơn giản khi bắn một nucleon mang năng lƣợng E đến hạt nhân bia đang đứng yên. (Hình 1.1) -4-
Hình 1.1: Mô tả tán xạ đàn hồi nucleon lên hạt nhân bia bất kì Kết quả sau tán xạ, hạt nucleon bị lệch góc  so với phƣơng ban đầu. Ta có, khi thông số va chạm b càng nhỏ thì góc lệch  càng lớn. Điều này có nghĩa là trong một phản ứng tán xạ nhất định, ứng với mỗi giá trị b , có một góc tán xạ tƣơng ứng. Hay nói cách khác tƣơng ứng với mỗi vi phân tiết diện tán xạ d (differential scattering cross-section) là một góc khối d [4] (Hình 1.2). Nucleon Hạt nhân bia Nucleon Hình 1.2: Mô tả tiết diện đàn hồi theo góc tán xạ trong tán xạ nucleon – hạt nhân Thực hiện xây dựng biểu thức liên hệ giữa d và d , ta có d  D( ) d . (1.2) -5-
Lấy tích phân theo góc khối  , ta thu đƣợc công thức tính tiết diện tán xạ toàn phần    D( ) d  , (1.3) trong đó, b db D( )  , (1.4) sin  d  : tiết diện toàn phần (total cross-section). Tuy nhiên trong các phòng thí nghiệm, thành phần D( ) đƣợc xác định thông qua cƣờng độ chùm tia tới (số hạt trên một đơn vị diện tích trong một đơn vị thời gian) đo bằng detector nhƣ sau 1 dN D( )  . (1.5) d 1. 1. 2. Lí thuyết tán xạ lƣợng tử Theo quan điểm lƣợng tử, hạt chuyển động thì tƣơng ứng thể hiện một hàm sóng. Đối với hạt chuyển động tự do, đó là bƣớc sóng De Broglie. Trong suốt quá trình tán xạ, nucleon luôn thể hiện tính chất sóng trƣớc và sau tán xạ. Do đó, hàm sóng tiệm cận khi r rất lớn có dạng eikr  a (r ,  )  eikz  f ( ) , (1.6) r trong đó: eikz : thành phần sóng tới (sóng phẳng), eikr thành phần sóng tán xạ (sóng cầu), f ( ) : biên độ sóng tán xạ (scattering amplitude), 2mE k : số sóng, 1 thừa số hàm cầu, mang ý nghĩa chuẩn hóa hàm sóng. r -6-
Tuy nhiên, để thu đƣợc hàm sóng chính xác, cần phải giải phƣơng trình Schrodinger H  E , (1.7) có dạng tƣờng minh là  2 2    2    V   E . (1.8)   Trong hệ tọa độ cầu, ta có khai triển 1     1     1  2    2  r2   2  sin   2 2 2  2 . (1.9) r r  r  r sin      r sin     Để giải phƣơng trình Schrodinger trong hệ tọa độ cầu, ta thực hiện tách biến hàm sóng  (r, ,  ) thành hai thành phần bán kính (r ) và góc ( ,  )  (r, ,  )  R(r ).Y ( ,  ), (1.10) trong đó Y ( ,  )  ( ).( ). (1.11) Thay (1.10) và (1.11) vào phƣơng trình (1.9), ta tìm đƣợc ba phƣơng trình vi phân một biến có dạng 1   2 R  2  r 2 r   2 (V  E )  l (l  1); (1.12) R R  r  1     sin   sin    l (l  1)sin   m ; 2 2 (1.13)      1   2   2   m . 2 (1.14)     Giải phƣơng trình (1.14), ta tìm đƣợc nghiệm ( )  Aeim  Beim . (1.15) Áp dụng các điều kiện biên, ta có B  0 . Để đơn giản hơn, ta chọn A  1 . Áp dụng tính chất tuần hoàn ( )  (  2 ), (1.16) suy ra m  ..., 2, 1, 0,1, 2,... . (1.17) -7-
Giải phƣơng trình (1.13), ta tìm đƣợc nghiệm ( )  A.Pl m (cos  ), (1.18) trong đó, P( x) là đa thức Legendre đƣợc trình bày trong phụ chú 1. Áp dụng điều kiện chuẩn hóa hàm sóng và phƣơng trình (1.11), ta thu đƣợc hàm cầu Yl m  ,    2l  1  l  m  . eim . Pm  cos   , (1.19) 4 l  m  l    1m m  0, trong đó:    1 m  0. Tiếp tục giải phƣơng trình bán kính (1.11), ta thực hiện đổi biến: u(r )  r.R(r ) . Khi đó, dR 1  du   2 r  u . (1.20) dr r  dr  Thay (1.20) vào phƣơng trình (1.12), ta có d  du  2 r 2 u u 2   r  u   V  E   l  l  1 . (1.21) dr  dr  r r Khi đó, phƣơng trình (1.12) đƣợc viết lại là 2 d 2u  2 l  l  1    V  r    u  Eu. (1.22) 2 dr 2  2 r 2  Giải phƣơng trình (1.22), nghiệm thu đƣợc có dạng u  r   Ar. jl  kr   Br.nl  kr  , (1.23) trong đó, jl ( x) là hàm cầu Bessel (phụ chú 2), nl ( x) là hàm cầu Newmann (phụ chú 3). Áp dụng điều kiện biên, ta có B  0 . Nghiệm của phƣơng trình bán kính (1.12) đƣợc viết lại là R  r   A. jl  kr  . (1.24) -8-
Thực hiện khai triển hàm cầu Bessel, ta có i1l jl  kr   ()l .e  ikr  eikr  . (1.25) 2kr Nhƣ vậy, hàm sóng từng phần ul (r ) có dạng tiệm cận yl ul  r   ()l .e  ikr  Sl .eikr  , (1.26) r i[ .  2l  1]1/2 trong đó yl  , (1.27) k còn yếu tố Sl là biên độ sóng tán xạ, hay cách khác đây chính là ma trận tán xạ cơ sở (S-matrix). Trong trƣờng hợp tán xạ đàn hồi, biên độ sóng không thay đổi (do sự bảo toàn số hạt), tuy nhiên, hàm sóng lại thay đổi về tính chất pha. Độ lệch pha  l liên hệ với ma trận tán xạ cơ sở qua công thức Sl  e2il . (1.28) 1. 1. 2. 1. Mối liên hệ giữa S-matrix và R-matrix Xét r  Rn với Rn là bán kính tƣơng tác của lực hạt nhân, hàm sóng đầy đủ có dạng  l (r )  Al  I l (0, kr )  Sl Ol (0, kr )  , (1.29) trong đó Il  Aeikz , Ol  Beikz lần lƣợt là sóng tới và sóng ra của sóng thành phần thứ l . Ngoài S-matrix, ta cũng xây dựng định nghĩa R-matrix 1  l (a) 1 ul (a) Rl   , (1.30) a  l (a) a ul (a) trong đó, a là ranh giới phân chia hai vùng sóng tới và sóng ra. Do đó, mối liên hệ giữa S-matrix và R-matrix là 1 I l  Sl Ol Rl  , (1.31) a I l  Sl Ol -9-
I l  aRl I l hay Sl  . (1.32) Ol  aRl Ol 1. 1. 2. 2. Biên độ tán xạ Hàm sóng trong tán xạ đàn hồi nucleon lên hạt nhân bia bất kì đƣợc xác định bằng công thức 1   (r ,  )   kr l 0 (2l  1)i l Pl (cos  ) Al ( I l (0, kr )  Sl Ol (0, kr )). (1.33) Trong đó, Pl ( x) là đa thức Legendre. Biên độ tán xạ lúc đó đƣợc xác định là 1  f ( )   (2l  1) Pl (cos  )(Sl  1). 2ik l 0 (1.34) 1. 1. 2. 3. Tiết diện tán xạ đàn hồi toàn phần Tiết diện tán xạ đàn hồi toàn phần đƣợc tính theo công thức d 2 1   ( )    (2l  1) Pl (cos  )(Sl  1) . d  2ik l 0 (1.35) 1. 1. 2. 4. Độ lệch pha (phase-shift) Trong (1.26),  l là độ lệch pha của sóng từng phần thứ l và đƣợc xác định bởi 1 l  ln Sl . (1.36) 2i 1. 2. THẾ TƢƠNG TÁC PHI ĐỊNH XỨ (NONLOCAL POTENTIAL) 1.2. 1. Thế quang học (Optical Model Potential) Phần này của khóa luận trình bày những cơ sở của việc xây dựng mẫu quang học. Ta xét đến tƣơng tác hiệu dụng giữa nucleon bắn tới và các nucleon trong hạt nhân. Qua đó ta xây dựng một thế ảo đặc trƣng cho tính phi định xứ của tƣơng tác giữa các thành phần trong hệ. Ngoài ra, phần này cũng trình bày những lí thuyết ban đầu của thế Perey – Buck, là cơ sở để xây dựng bộ thông số mới sử dụng trong tính toán R- matrix. - 10 -
1. 2. 1. 1. Tổng quan Những ý tƣởng đầu tiên về mẫu quang học đề cập đến việc xây dựng hàm sóng tán xạ có dạng tƣơng tự sóng ánh sáng đƣợc Wood và Saxon đƣa ra vào năm 1954 [10]. Mục đích của mẫu quang học là xây dựng một trƣờng thế có khả năng mô tả sự biến thiên liên tục của tiết diện tán xạ theo năng lƣợng của nucleon và số khối của hạt nhân bia. Thế mô tả tƣơng tác giữa nucleon và hạt nhân bia có thành phần thực và ảo, trong đó có chứa các thông số đƣợc điều chỉnh cho phù hợp với dữ liệu thực nghiệm. Mẫu quang học đƣợc phát triển trên khái niệm tƣơng tự “trƣờng trung bình”. Tƣơng tác giữa nucleon với hạt nhân bia đƣợc phân tích thành tƣơng tác giữa nucleon bắn tới và các nucleon trong hạt nhân. Khi đó, Hamiltonian của hệ đƣợc viết lại là A H (r0 , r1 , r2 ,..., rA )  T0  V (r0i )  H A (r1 , r2 ,..., rA ), (2.1) i 1 trong đó r0i  r0  ri (i  0) là bán kính tƣơng đối giữa nucleon bắn tới và các nucleon trong hạt nhân. Toán tử T0 mô tả động năng của nucleon tới, H A (r1 , r2 ,..., rA ) là Hamiltonian của các nucleon trong hạt nhân và V (r0i ) là thế tƣơng tác giữa chúng. Phƣơng trình Schrodinger bây giờ có dạng  E  T0   (r0 ) (r0 )  0, (2.2) với  (r0 ) là thế phi định xứ, cho biết trƣờng thế khi tác dụng lên hàm sóng tại một điểm trong không gian cũng phụ thuộc vào giá trị hàm sóng tại các điểm khác [9]. Mẫu quang học đƣợc đƣa ra để thay thế thành phần phi định xứ  (r0 ) bằng một thế Vopt có dạng Vopt  (U opt  iW ) f (r ). (2.3) Trong đó, U và W lần lƣợt là các thế thực và thế ảo, đặc trƣng cho thành phần định xứ và phi định xứ của hệ. Còn f (r ) là hàm sóng xuyên tâm, có dạng Wood – Saxon - 11 -
1 f (r )  , (2.4) rR 1  exp    a  với R và a lần lƣợt là thông số bán kính và hệ số nhòe. 1. 2. 1. 2. Thế quang học Trong bài toán tán xạ đàn hồi, có ba nhân tố chủ yếu ảnh hƣởng đến thế tƣơng tác giữa nucleon và hạt nhân bia là mật độ hạt nhân, spin của nucleon và spin của hạt nhân bia, trƣờng Coulomb. Đƣợc xây dựng dựa trên tƣơng tác hiệu dụng giữa nucleon bắn tới và các nucleon trong hạt nhân, nên tƣơng tác giữa nucleon – hạt nhân bia cũng phụ thuộc vào mật độ nucleon trong hạt nhân bia. Tƣơng tác hiệu dụng này có dạng Vvol (r )   U 0 f (r , rv , av )  iW0 f (r , rW ,aW ) . (2.5) Bằng phƣơng pháp bán thực nghiệm, U 0 và W0 đã đƣợc xác định khá chính xác, ngoài ra các thông số khác nhƣ rv , rW ,av , aW thì độc lập với nhau và cũng đƣợc xác định bằng thực nghiệm. Trong đó, f (r , rv , av ) và f (r , rW ,aW ) trong công thức trên đƣợc xác định bằng (2.4) nhƣ sau 1 f (r , r0 , a)  . (2.6)  r  r0 . A1/3  1  exp    a  Tƣơng tác spin giữa nucleon và hạt nhân bia cũng đƣợc xây dựng theo dạng Wood – Saxon là 2   1 df SO (r ) VSO (r )    U SO  iWSO  L  . (2.7)  m c  r dr Và thế Coulomb đƣợc xác định bởi công thức - 12 -
 Ze 2  r2   3 2  (r  RC );  2 RC  RC  VC (r )   (2.8)  Ze 2  r (r  RC ), với RC là bán kính Coulomb, phụ thuộc vào số khối của hạt nhân RC  1.2 A1/3 , z và Z lần lƣợt là điện tích của nucleon bắn tới và hạt nhân bia. Thế quang học thể hiện tƣơng tác giữa nucleon – hạt nhân bia bao gồm 3 thành phần là Vopt (r )  Vvol (r )  Vs.o. (r )  VC (r ). (2.9) Do đó, số lƣợng các thông số cần xác định là 12, bao gồm cả bán kính Coulomb RC . Tuy nhiên, việc xác định các thông số không gặp quá nhiều khó khăn bởi việc điều chỉnh chúng để phù hợp với thực nghiệm là khá dễ dàng. Do đó, hiện nay, các bộ thông số cho bài toán tán xạ đàn hồi nucleon lên hạt nhân có số khối từ 40 đến 208 ở các mức năng lƣợng khác nhau là đầy đủ [5]. 1.2. 2. Thế Perey–Buck (Perey–Buck Potential) Để thu đƣợc hàm sóng tán xạ giữa nucleon và hạt nhân dƣới tác dụng của thế quang học phi định xứ, một yêu cầu đặt ra là giải phƣơng trình Schrodinger vi tích phân. Xét một hệ tán xạ nucleon – hạt nhân, tƣơng tác giữa chúng là thế quang học phi định xứ. Phƣơng trình Schrodinger vi tích phân đƣợc viết lại là  2 2   2   E  (r )   U SO  iWSO  S (r ) L    (r )   V (r , r ) (r )dr   VC (r ) (r ).   (2.10) Việc giải số phƣơng trình trên gặp nhiều khó khăn bởi thành phần tích phân thể hiện tính phi định xứ. Do đó, năm 1962, dựa trên mẫu quang học phi định xứ, Perey – Buck đã xây dựng thế có phần thực và phần ảo để mô tả tƣơng tác phi định xứ giữa các thành phần trong hệ. - 13 -