Khóa luận tốt nghiệp đại học: Phương trình Schrodinger cho hệ nhiều hạt

Chia sẻ: Minh Nhân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:50

Thêm vào BST

Báo xấu

17
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài bao gồm 4 chương như sau: Chương 1: Các tính chất chung của hệ nhiều hạt; Chương 2: Phương trình Schrodinger cho hệ các electron và các ion trong vật rắn tính thể; Chương 3: Phương trình Schrodinger cho hệ các electron trong liên kết mạnh và liên kết yếu; Chương 4: Dao động mạng tinh thể.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khóa luận tốt nghiệp đại học: Phương trình Schrodinger cho hệ nhiều hạt

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ ====== TRƢƠNG THỊ MINH HOA PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER CHO HỆ NHIỀU HẠT Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2017
LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô giáo trong khoa Vật lý, trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2 đã dạy dỗ chỉ bảo và truyền đạt kiến thức cho em trong suốt quá trình học tập và rèn luyện tại trƣờng cũng nhƣ trong quá trình thực hiện khóa luận này. Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn PGS.TS Lƣu Thị Kim Thanh đã tận tình hƣớng dẫn giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp này. Là một sinh viên lần đầu tiên nghiên cứu khoa học nên khóa luận của em không tránh khỏi thiếu sót, vì vậy em rất mong nhận đƣợc những đóng góp ý kiến của các thầy cô và bạn bè để khóa luận đƣợc hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, Ngày 18 tháng 4 năm 2017 Sinh viên Trƣơng Thị Minh Hoa
LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan đề tài khóa luận này là do sự cố gắng nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân với sự giúp đỡ nhiệt tình của PGS.TS Lƣu Thị Kim Thanh. Công trình này không trùng lặp với các kết quả luận văn của các tác giả. Nếu sai sót em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. Hà Nội, ngày 18 tháng 4 năm 2017 Sinh viên Trƣơng Thị Minh Hoa
MỤC LỤC MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 1 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu................................................................. 1 4. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 1 5. Phƣơng pháp nghiên cứu............................................................................... 1 6. Cấu trúc đề tài ............................................................................................... 2 NỘI DUNG ....................................................................................................... 3 CHƢƠNG 1 : CÁC TÍNH CHẤT CHUNG CỦA HỆ NHIỀU HẠT............... 3 1.1. Khái niệm về hệ nhiều hạt.......................................................................... 3 1.1.1. Đặc điểm chung của hệ nhiều hạt ........................................................... 3 1.1.2. Hệ nhiều hạt cơ học................................................................................. 3 1.1.3. Hệ nhiều hạt nhiệt động .......................................................................... 5 1.1.4. Hệ nhiều hạt ở nhiệt độ T = 0K............................................................... 7 1.2. Hệ nhiều hạt đồng nhất .............................................................................. 8 1.2.1. Nguyên lý không phân biệt các hạt đồng nhất trong cơ học lƣợng tử .... 8 1.2.2. Hàm sóng của hệ các hạt đồng nhất ........................................................ 9 1.3. Các đại lƣợng bảo toàn của hệ nhiều hạt ................................................. 12 1.3.1. Toán tử Hamilton của hệ nhiều hạt ....................................................... 12 1.3.2. Bảo toàn động lƣợng của hệ nhiều hạt .................................................. 13 1.3.3. Bảo toàn mô men động lƣợng của hệ nhiều hạt .................................... 13 1.4. Các biểu diễn của toán tử và hàm sóng cho hệ nhiều hạt…………….15 1.4.1. Biểu diễn Schodinger ............................................................................ 15 1.4.2. Biểu diễn Heisenberg ............................................................................ 15 1.4.3. Biểu diễn tƣơng tác…………………………………………………..16 KẾT LUẬN CHƢƠNG 1................................................................................ 23
CHƢƠNG 2: PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER CHO HỆ ....................... 24 CÁC ELECTRON VÀ CÁC ION TRONG VẬT RẮN TINH THỂ ............. 24 2.1. Phƣơng trình schrodinger tổng quát cho hệ các electron và ion .............. 24 2.2. Gần đúng đoạn nhiệt và các phƣơng trình schrodinger cho hệ các electron và cho hệ các ion. ............................................................................................ 25 KẾT LUẬN CHƢƠNG 2................................................................................ 28 CHƢƠNG 3: PHƢƠNG TRÌNH SCHODINGER CHO HỆ ......................... 29 CÁC ELECTRON TRONG LIÊN KẾT MẠNH VÀ LIÊN KẾT YẾU ........ 29 3.1. Phƣơng trình Schrodinger cho hệ electron trong trƣờng hợp liên kết mạnh. ............................................................................................................... 30 3.2. Phƣơng trình Schodinger cho electron trong trƣờng hợp liên kết yếu. ... 33 KẾT LUẬN CHƢƠNG 3................................................................................ 36 CHƢƠNG 4: DAO ĐỘNG MẠNG TINH THỂ ............................................ 37 4.1. Phƣơng trình Schodinger cho các dao động mạng tính thể trong biểu diễn tọa độ. .............................................................................................................. 37 4.2. Phƣơng trình Schodinger cho các phonon trong biểu diễn lƣợng tử hóa lần thứ hai. ....................................................................................................... 38 KẾT LUẬN CHƢƠNG 4................................................................................ 43 KẾT LUẬN ..................................................................................................... 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 45
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong cơ học lƣợng tử. Phƣơng trình Schodinger là một phƣơng trình cơ bản của vật lý lƣợng tử mô tả sự biến đổi trạng thái lƣợng tử của một hệ vật lý theo thời gian, thay thế cho các định luật Niuton và biến đổi Galile trong cơ học cổ điển.Trong cơ học lƣợng tử, trạng thái lƣợng tử của một hệ vật lý đƣợc mô tả đầy đủ nhất bởi một vecto trạng thái thí dụ nhƣ hàm sóng trong không gian cấu hình, nghiệm của phƣơng trình Schodinger. Nghiệm của phƣơng trình Schodinger không chỉ mô tả các hệ nguyên tử và hạ nguyên tử (nguyên tử, phân tử, hạt nhân, điện tử và các hạt cơ bản khác) mà cả các hệ vi mô, thậm trí có thể là toàn bộ vũ trụ. Phƣơng trình này đƣợc đặt theo tên nhà vật lý ngƣời Áo Erwin Schrodinger, ngƣời đã lần đầu tiên thiết lập nó vào năm 1926. Việc sử dụng phƣơng trình Schodinger cho hệ nhiều hạt giúp giải quyết các bài toán đơn giản hơn. Với mong muốn tìm tòi, mở rộng hiểu biết của bản thân về các phƣơng pháp giải các bài tập trong vật lý, em lựa chọn đề tài “phƣơng trình Schodinger cho hệ nhiều hạt“ làm đề tài tốt nghiệp. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu phƣơng trình Schodinger cho hệ nhiều hạt. 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu Phƣơng trình Schodinger cho hệ nhiều hạt 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Xây dựng phƣơng pháp giải bài tập khi áp dụng phƣơng trình Schrodinger Áp dụng để giải một số bài tập 5. Phƣơng pháp nghiên cứu - Phƣơng pháp vật lý lý thuyết và vật lý toán 1
- Đọc tài liệu và tra cứu - Tham khảo ý kiến giáo viên hƣớng dẫn 6. Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo dề tài bao gồm 4 phần: Chƣơng 1: Các tính chất chung của hệ nhiều hạt 1.1. Khái niệm về hệ nhiều hạt 1.2. Hệ nhiều hạt đồng nhất 1.3. Các đại lƣợng bảo toàn của hệ nhiều hạt 1.4. Các biểu diễn của toán tử và hàm sóng cho hệ nhiều hạt Chƣơng 2:Phƣơng trình schodinger cho hệ các electron và các ion trong vật rắn tính thể 2.1. Phƣơng trình Schodinger tổng quát cho hệ các electron và các ion 2.2. Gần đúng đoạn nhiệt và các phƣơng trình Schodinger cho hệ các electron và cho hệ các ion Chƣơng 3: Phƣơng trình Schodinger cho hệ các electron trong liên kết mạnh và liên kết yếu 3.1. Phƣơng trình Schodinger cho hệ electron trong trƣờng hợp liên kết mạnh 3.2. Phƣơng trình Schodinger cho electron trong trƣơng hợp liên kết yếu Chƣơng 4: Dao động mạng tinh thể 4.1. Phƣơng trình Schodinger cho các dao động mạng tinh thể trong biểu diễn tọa độ 4.1. Phƣơng trình Schodinger cho các phonon trong biểu diễn lƣợng tử hóa lần thứ hai 2
NỘI DUNG CHƢƠNG 1 : CÁC TÍNH CHẤT CHUNG CỦA HỆ NHIỀU HẠT 1.1. Khái niệm về hệ nhiều hạt 1.1.1. Đặc điểm chung của hệ nhiều hạt Một cách chung nhất hệ nhiều hạt là hệ gồm từ hai hạt trở lên. Việc tăng thêm số hạt của hệ tạo nên những đặc điểm mới cho hệ. Trƣớc hết là vẫn đề giải hệ phƣơng trình Hamiton (cho hệ cổ điển) hoặc phƣơng trình Shrodinger (cho hệ lƣợng tử). Với hệ nhiều hạt số biến của hệ phƣơng trình Hamilton hoặc của phƣơng trình Shrodinger tăng lên so với trƣờng hợp một hạt. Hơn nữa một yếu tố quan trọng hơn, đó là việc có thêm thành phần thế năng tƣơng tác trong hàm Hamilton hoặc toán tử Hamilton làm cho việc giải chính xác các phƣơng trình Hamilton hoặc phƣơng trình Shrodinger thêm khó khăn.Với phƣơng pháp tính số nhờ máy tính, khó khăn có tính kĩ thuật này không phải là vấn đề nguyên tắc. Tuy nhiên vấn đề sẽ trở nên khác hoàn toàn khi số hạt trong hệ tăng đến mức làm thay đổi về chất các tính chất của hệ: các hạt trong hệ chuyển động hỗn loạn, trạng thái của các hạt không cho biết các tính chất chung của hệ. Với các hệ nhƣ vậy nhƣ chúng ta đã biết cần dùng đến phƣơng pháp của Vật lý Thống kê và các tính chất vĩ mô của hệ đƣợc đặc trƣng bởi các giá trị trung bình của các đại lƣợng vật lý . 1.1.2. Hệ nhiều hạt cơ học Hệ nhiều hạt cơ học là hệ có số hạt nhiều nhƣng chƣa làm thay đổi tính chất chuyển động của các hạt Trường hợp hệ gồm hạt cổ điển (hệ cổ điển): Tọa độ (1.1a) Và động lƣợng (1.1b) 3
Của tất cả các hạt trong hệ đƣợc xác định bởi hệ phƣơng trình Hamilton: ̇ = ; ̇ =- (1.2a) trong đó k = 1,2,….,3N; ̇ và ̇ lần lƣợt là đạo hàm theo thời gian t của thành phần tọa độ và động lƣợng; còn H là hàm Hamilton của hệ: = = + (1.2b) với là động năng và là thế năng của hệ .Nghiệm của hệ phƣơng trình (2.2): (t,q(0),p(0)) , (t,q(0),p(0)),….., (t,q(0),p(0)) (1.3a) (t,q(0),p(0)) , (t, q(0),p(0)),…., (t,q(0),p(0)) (1.3b) xác định thái của hệ. Các kí hiệu q(0) và p(0) trong công thức (1.3) biểu thị hai tập các đại lƣợng tƣơng ứng : { } q(0) và { } (1.3c) xác định các trạng thái ban đầu cả hệ. Một cách tƣơng đƣơng trạng thái của hệ được mô tả bởi quỹ đạo của tất cả các hạt đƣợc xác định từ (1.3) Dùng khái niệm không gian pha ,tức không gian 2s = 6N chiều (p,q) đối với hệ có s bậc tự do ,chúng ta thấy mỗi trạng thái của hệ được biểu diễn bằng một điểm pha. Với thời gian các đại lƣợng q ,p thay đổi và do đó điểm pha vẽ nên quĩ đạo pha. Nhƣ vậy quĩ đạo pha cho biết sự thay đổi trạng thái của hệ theo thời gian . Dùng khái niệm không gian pha ,tức không gian 2s =6N chiều (q,p) đối với hệ có s bậc tự do, chúng ta thấy mỗi trạng thái của hệ đƣợc biểu diễn bằng một điểm pha. Với thời gian các đại lƣợng q, p thay đổi và do đó điểm pha vẽ nên quỹ đạo pha. Nhƣ vậy quỹ đạo pha cho biết sự thay đổi trạng thái của hệ theo thời gian. Trường hợp hệ gồm N hạt lượng tử ( hệ lượng tử ): 4
Trạng thái của hệ đƣợc xác định bởi hàm sóng trong trƣờng hợp năng lƣợng E của hệ không đổi: = (q)exp[-iEt / ] (1.4) trong đó q là tập các biến xác định trạng thái của hệ .Hàm sóng (1.4) là nghiệm của phƣơng trình Schrodinger. Trung bình của một đại lƣợng vật lý tƣơng ứng với toán tử ̂ (q) khi đó đƣợc xác định bởi ̅=∫ (q,t) ̂ (q) (q,t)dq (1.5) và là đại lƣợng không phụ thuộc thời gian. 1.1.3. Hệ nhiều hạt nhiệt động Khi số hạt của hệ tăng đến mức đáng kể , thƣờng bằng hoặc lớn hơn số các phần tử không khí ở điều kiện chuẩn (khoảng phân tử / ), tính chất chuyển động của các hạt trong hệ thay đổi: các hạt chuyển động hỗn loạn. Hệ trở thành hệ nhiệt động, chuyển động hỗn loạn của các hạt gọi là chuyển động nhiệt. Biểu hiện của chuyển động hỗn loạn không giống nhau đối với hệ cổ điển và đối với hệ lƣợng tử. Đối với hệ cổ điển, về nguyên tắc tọa độ và động lƣợng của các hạt có thể xác định đƣợc bằng việc giải hệ phƣơng trình Hamilton (1.2). Với một hệ nhiệt động xác định, hàm Hamilton (1.2b) H của hệ là xác định, do đó nghiệm của hệ phƣơng trình (1.2) cũng có dạng xác định. Tuy nhiên vì hệ phƣơng trình Hamilton là hệ các phƣơng trình vi phân nên nghiệm (1.3) của hệ phƣơng trình này phụ thuộc vào các điều kiện ban đầu (1.3c): tùy theo điều kiện ban đầu, ở mỗi thời điểm t chúng ta có các tập giá trị (1.3a) và (1.3b) khác nhau; mỗi tập ứng với với một điều kiện ban đầu và một điểm pha, tức là ứng với một trạng thái vi mô của hệ ở thời điểm t. Khi t biến thiên mỗi tập này vẽ nên một quỹ đạo pha. Do tính đơn trị của nghiệm của hệ phƣơng trình (1.2), các quỹ đạo pha ứng với các điều kiện ban đầu khác nhau không cắt 5
nhau; nghĩa là ở mỗi thời điểm chúng ta có một tập các trạng thái vi mô khác nhau, số lƣợng các trạng thái vi mô không phụ thuộc vào số lƣợng các điều kiện ban đầu. Nhƣ vậy bằng cơ học Hamilton về nguyên tắc chúng ta có thể mô tả đƣợc hệ bằng cách xác định các tập trạng thái vi mô của nó. Tuy nhiên trên thực tế, vì các hạt tạo nên hệ chuyển động hỗn loạn không ngừng nên các điều kiện ban đầu (các giá trị tọa độ và động lƣợng của tất cả các hạt ở một thời điểm nào đó coi là ban đầu (t=0)) không thể xác định đƣợc cả về giá trị lẫn số lƣợng, nghĩa là các điều kiện ban đầu có tính ngẫu nhiên, và do đó số lƣợng tập các trạng thái vi mô của hệ (các tập giá trị tọa độ và động lƣợng của các hạt (1.3)) là vô cùng lớn và cũng có tính ngẫu nhiên. Điều đó có nghĩa là chuyển động hỗn loạn của các hạt trong hệ đã dẫn đến tình trạng là chúng ta không thể mô tả hệ bằng các trạng thái vi mô của hệ (tức là tập các tọa độ và động lƣợng của các hạt) nhƣ trong trƣờng hợp hệ cơ học. Bây giờ chúng ta sẽ xem đối với hệ lƣợng tử tính chất chuyển động hỗn loạn của các hạt thể hiện nhƣ thế nào. Nhƣ đã biết do tính chất sóng của hạt, trạng thái của hạt không đƣợc mô tả bằng tọa độ và động lƣợng của nó, nên sự biểu hiện của tính chất chuyển động hỗn loạn của hạt lƣợng tử không thể hiện ở tính ngẫu nhiên của các giá trị tọa độ và động lƣợng của hạt nhƣ trong trƣờng hợp hệ cổ điển, vì bản thân tọa độ và động lƣợng của các hạt ngay trong hệ lƣợng tử cơ học đã không đặc trƣng cho trạng thái của hệ. Tƣơng ứng với tọa độ và động lƣợng của các hạt, trong hệ lƣợng tử cơ học ngƣời ta dùng hàm sóng. Vậy tính ngẫu nhiên của tọa độ và động lƣợng của các hạt trong hệ nhiệt động cổ điển sẽ thể hiện nhƣ thế nào trong hệ nhiệt động lƣợng tử? Có thể chứng minh đƣợc rằng số mức năng lƣợng của hệ nhiều hạt phụ thuộc vào số hạt N và tỷ lệ với , nghĩa là khoảng cách giữa hai mức năng lƣợng liền nhau cũng là một con số cực kì bé. Do tƣơng tác của hệ với môi trƣờng xung quanh (trên thực tế không thế nào có đƣợc một hệ 6
tuyệt đối kín, cho dù năng lƣợng tƣơng tác của môi trƣờng với hệ khảo sát rất nhỏ tới mức không hề ảnh hƣởng đến các tính chất khác của hệ, năng lƣợng tƣơng tác này vẫn rất lớn so với khoảng cách giữa các mức năng lƣợng liền nhau của hệ), do đó hệ luôn luôn chuyển từ trạng thái này sang trạng thái khác ứng với các mức năng lƣợng và hàm sóng khác nhau, và chúng ta không thể nói chính xác rằng ở một thời điểm t nào đó hệ đang ở trạng thái nào. Nói một cách khác, những điều chúng ta biết về hệ không phù hợp với một tập đầy đủ các điều cần biết để thiết lập một hàm sóng cho hệ, tức là trạng thái của toàn hệ không thể mô tả bằng hàm sóng hoặc bằng trạng thái vi mô của hệ. Tình hình tƣơng tự nhƣ đối với hệ nhiệt động cổ điển: do chúng ta không thể chú ý đầy đủ các điều kiện ban đầu vì chúng có tính ngẫu nhiên nên cũng không thể mô tả đơn thuần cơ học các trạng thái của toàn hệ, nghĩa là không thể mô tả trạng thái của toàn hệ bằng tập các tọa độ và động lượng của các hạt hoặc bằng trạng thái vi mô của hệ. Trạng thái của toàn hệ nhiệt động đƣợc gọi là trạng thái vĩ mô để phân biệt với trạng thái vi mô xác định xác định bởi các tập (q,p) hoặc bằng hàm sóng. Qua những điều đã trình bày trên chúng ta thấy không thể chỉ dùng cơ học đơn thuần để mô tả hệ nhiều hạt nhiệt động, mà phải dùng phƣơng pháp của Vật lý Thống kê, nghĩa là kết hợp giữa mô tả cơ học với lý thuyết xác xuất sẽ đƣợc trình bày ở các phần sau. 1.1.4. Hệ nhiều hạt ở nhiệt độ T = 0K Đƣơng nhiên là đối với hệ nhiều hạt cơ học không có khái niệm nhiệt độ, vì nhiệt nhiệt độ là một đại lƣợng vật lý đặc trƣng cho mức độ chuyển động hỗn loạn của các hạt trong hệ, trong khi các hạt trong hệ cơ học không chuyển động hỗn loạn. Vấn đề đặt ra là với hệ nhiệt động ở nhiệt độ T = 0K 7
W= năng lƣợng trung bình Lƣợng tử Cổ điển O T Hình 1.1 các hạt có chuyển động hỗn loạn không? Từ sự phụ thuộc của năng lƣợng trung bình W vào nhiệt độ tuyệt đối T trên hình 1.1 chúng ta thấy đối với hệ cổ điển khi T = 0K thì W = 0, có nghĩa là không có chuyển động hỗn loạn (trên thực tế không tồn tại hệ nhiệt động cổ điển ở 0K); trong khi đối với hệ lƣợng tử năng lƣợng của hệ đạt giá trị cực tiểu ở nhiệt độ T = 0K. Có thể chứng minh đƣợc rằng trạng thái của hệ ở T = 0K là trạng thái cơ bản và không suy biến, nghĩa là ứng với mức năng lƣợng cực tiểu chỉ có một trạng thái và trạng thái của hệ ở 0K hoàn toàn đƣợc xác định bằng hàm sóng, nghĩa là các hạt trong hệ không chuyển động hỗn loạn. Chúng ta có thể xem xét bài toán đơn thuần cơ học lƣợng tử. 1.2. Hệ nhiều hạt đồng nhất 1.2.1. Nguyên lý không phân biệt các hạt đồng nhất trong cơ học lượng tử Các hạt đồng nhất là các hạt giống hệt nhau về mọi phƣơng diện. Trong cơ học cổ điển có thể phân biệt đƣợc các hạt giống hệt nhau vì chúng chuyển động theo các quỹ đạo khác nhau. Trong cơ học lƣợng tử trạng thái của hạt không đặc trƣng bằng quỹ đạo mà bằng hàm sóng nên các hạt giống hệt nhau có cùng hàm sóng và chúng ta không thể phân biệt đƣợc chúng. 8
Nghĩa là về nguyên tắc không thể phân biệt đƣợc các hạt đồng nhất. Đó chính là nguyên lý không phân biệt các hạt đồng nhất trong cơ học lƣợng tử. 1.2.2. Hàm sóng của hệ các hạt đồng nhất 1.2.2.1. Tính đối xứng của hàm sóng Xét hệ N hạt đồng nhất. Trạng thái của hệ đặc trƣng bằng hàm sóng ), (i= 1,2,…,N) là tập các biến của hạt thứ i. Gọi ̂ là toán tử khi tác động lên ) sẽ làm hoán vị các biến thứ i và thứ j: ̂ ( )= (1.6) Tác động lên (1.6) toán tử ̂ ta thấy rằng trị riêng của ̂ bằng . Thực vậy: ̂ ( ) = ̂ Ψ( ) = Ψ( ) suy ra trị riêng của ̂ bằng 1, do đó trị riêng của ̂ bằng . Hai hàm riêng tƣơng ứng là: ( )= ( ) (1.7) Và ( )=- ( ) (1.8) Hàm sóng xác định bởi (1.7) là hàm chẵn có tính đối xứng đối với sự hoán vị các biến và , còn hàm sóng xác định bởi (1.8) là hàm lẻ có tính phản đối xứng đối với sự hoán vị các biến và . 1.2.2.2. Đặc điểm tính đối xứng của hàm sóng - Một đặc điểm quan trọng của tính chất này là tính đối xứng là nhƣ nhau đối với tất cả các cặp biến, nghĩa là nếu hàm sóng là đối xứng đối với sự hoán vị của một cặp biến ( , ) thì cũng là đối xứng đối với sự hoán vị của tất cả các cặp biến khác, hoặc nếu hàm là phản đối xứng đối với sự hoán vị của một cặp biến , ) thì cũng là phản đối xứng đối với sự hoán vị của tất cả các cặp biến khác. Có thể chứng minh khẳng định này bằng phản chứng: giả dụ hàm sóng đối xứng đối với sự hoán vị các cặp biến (1;3) và (2;3), 9
nhƣng phản đối xứng đối với cặp biến (1;2), dễ dàng chứng minh rằng hàm sóng này bằng 0: Ψ(..a,..b,..c)= -Ψ(..b,..a,..c..)=-Ψ(..a,..c,..b..)= -Ψ(..a,..b,..c..)= 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 Vì các hạt là giống hệt nhau nên cặp biến ở đây chỉ khác nhau ở vị trí của chúng, các vị trí này đƣợc đánh dấu bằng các dấu 1;2;3; còn sự hoán vị để dễ theo dõi đƣợc đánh dấu bằng các chữ a,b,c. Các chữ a,b,c ký hiệu tên các hạt đồng nhất trên thực tế là không phân biệt đƣợc, chúng ta dùng các chữ khác nhau chỉ để theo dõi sự hoán vị mà thôi. - Tính đối xứng của hàm sóng phụ thuộc vào spin: Ngƣời ta đã chứng minh rằng spin của hạt xác định tính chẵn-lẻ của hàm sóng của hệ: Nếu hạt có spin nguyên (0;1;2;…) thì hàm sóng là chẵn và hệ hạt đồng nhất tuân theo phân bố Bose-Einstein. Nếu hạt có spin bán nguyên (1/2;3/2;5/2;…) thì hàm sóng là lẻ và hệ hạt đồng nhất tuân theo phân bố Fermi-Dirac - Tính đối xứng của hàm sóng là vĩnh cửu: vì các hạt là đồng nhất nên toán tử Hamilton H của hệ là bất biến đối với tất cả các hoán vị (  ), có nghĩa là ̂ giao hoán với H và do đó phép hoán vị ứng với toán tử ̂ là bảo toàn, nói một cách khác nếu ̂ có trị riêng bằng 1 thì trị riêng này sẽ bằng mãi, hoặc nếu ̂ có trị riêng bằng -1 thì trị riêng này sẽ bằng -1 mãi. 1.2.2.3. Dạng của hàm sóng của hệ hạt đồng nhất không tương tác Để thiết lập dạng của hàm sóng của hệ hạt đồng nhất không tƣơng tác, chúng ta kí hiệu ( ) là hàm sóng một hạt mô tả trạng thái trong đó chỉ có một hạt thứ i tồn tại với tập các biến mô tả hạt i nào đó. Các hàm ) có dạng: ( )= (⃗ ) ( ) (1.9) 10
Trong đó ( ⃗ ) là hàm sóng phụ thuộc tọa độ xác định trạng thái một hạt ni trong đó có một hạt thứ i, còn ( ) là hàm sóng spin với spin ở trạng thái spin . Các biến lƣợng tử = ( ⃗ , ) xác định trạng thái = (ni , ) của hạt thứ i. Hàm sóng một hạt (1.9) là trực chuẩn, thỏa mãn công thức chuẩn hóa sau: ∫ ( ) ( )d =∫ ⃗ ∑ (⃗ ) ( ) (⃗ ) ( ) = = (1.10) trong đó: d⃗ = d d d . Hàm sóng ( ) của toàn hệ là tổ hợp của các hàm sóng ( ). Về nguyên tắc hàm sóng của hệ gồm các hạt không tƣơng tác phải đƣợc tổ hợp từ tích của tất cả các hàm của từng hạt ( ) vì xác xuất hiện trạng thái của hệ chính là xác suất tồn tại đồng thời của tất cả các hạt trong hệ. Ngoài ra hàm sóng còn phải thỏa mãn tính chất chẵn lẻ nhƣ đã viết ở trên. Trƣờng hợp hệ các hạt boson, hàm sóng của hệ là hàm chẵn, nghĩa là không đổi khi hoán vị bất kì hai hạt nào. Do đó hàm sóng có dạng: ( ) = c∑ ( ) ( )… ( ) (1.11a) tổng lấy theo tất cả hoán vị có thể có, hằng số c đƣợc xác định từ điều kiện chuẩn hóa. Với hệ có 2 hạt: ( )= [ ( ) ( )+ ( ) ( )] (1.11b) √ Trƣờng hợp các hạt fermion hàm sóng của hệ là hàm lẻ, nghĩa là đổi dấu khi hoán vị bất kỳ hai hạt nào. Do đó hàm sóng có dạng định thức Slater: 11
( )= || || (1.12a) √ Rõ ràng là việc hoán vị hai cột bất kỳ của định thức Slater đều làm đổi dấu định thức. Với hệ có 2 hạt: ( )= [ ( ) ( )- ( ) ( )] (1.12b) √ Trạng thái của các hạt fermion xác định bằng định thức Slater chứa đựng Nguyên lý loại trừ Pauli: nếu trong sô các có hai số nào đó giống nhau (định thức có hai hàng giống nhau) thì định thức bằng 0, do đó hàm sóng của hệ bằng 0. Định thức có hai hàng giống nhau có nghĩa là có hai hạt khác nhau trong một trạng thái ( ). Điều đó không thể xảy ra vì trái với nguyên lý loại trừ Pauli: không có quá một hạt trong một trạng thái. 1.3. Các đại lƣợng bảo toàn của hệ nhiều hạt 1.3.1. Toán tử Hamilton của hệ nhiều hạt Xét hệ có N hạt. Toán tử Hamilton của hệ có dạng : ∑ ( ) ⃑⃑⃑ ⃑⃑⃑⃗ ⃑⃑⃑⃑⃗ (1.13a) hoặc trong các biến của hệ tọa độ cầu: ∑ (∑ ) ( ) (1.13b) trong đó: ( ) ( ) Toán tử thế năng tƣơng tác trong biểu diễn tọa độ bằng chính nó: ( ̂ ⃑⃑⃑⃑⃗ ⃑⃑⃑⃑⃗ ⃑⃑⃑⃑⃗ ⃑⃑⃑⃑⃗ ⃑⃑⃑⃗ ⃑⃑⃑⃑⃗ ) 12
Nếu thế năng tƣơng tác giữa các hạt trong hệ V không chứa tƣờng minh thời gian, năng lƣợng E của hệ có giá trị xác định, chúng ta có thể xét các đại lƣợng bảo toàn. 1.3.2. Bảo toàn động lượng của hệ nhiều hạt Toán tử động lƣợng của hệ N hạt có dạng: ⃑⃗̂ ∑ ⃑⃑⃑⃑⃗ (1.14) ̂ do đó: ⃑⃗̇ ( ⃑⃗̂ ⃑⃗̂) ∑ ⃑⃑⃑⃑⃗ ⃑⃑⃑⃑⃗ ∑ ⃑⃑⃑⃑⃗ ∑ ⃑⃑⃑⃑⃗ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗ (1.15) Trong đó ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗ là tổng các nội lực, còn ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗ là tổng các ngoại lực tác dụng lên hệ. dễ dàng chứng minh đƣợc rằng tổng các nội lực ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗ triệt tiêu. Thực vậy, ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗ ∑ ⃑⃑⃗ ∑ ∑ ⃑⃑⃑⃑⃑⃗ ∑(⃑⃑⃑⃑⃗ ) ∑(⃑⃑⃑⃑⃗ ) ∑(⃑⃑⃑⃑⃗ ) ∑(⃑⃑⃑⃗ ) ∑(⃑⃑⃑⃑⃗ ) ∑(⃑⃑⃑⃑⃗ ) Với ⃑⃑⃗ là tổng nội lực của các hạt khác tác dụng lên hạt i, còn ⃑⃑⃑⃑⃗ là lực của hạt j tác dụng lên hạt i. kết quả là trong trƣờng hợp không có ngoại lực tác ̂ dụng ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗ , đạo hàm của tổng động lƣợng của hệ triệt tiêu ⃑⃗̇ , tức tổng động lƣợng của hệ nhiều hạt đƣợc bảo toàn. 1.3.3. Bảo toàn mô men động lượng của hệ nhiều hạt ̂ ̂ Toán tử mô men động lƣợng của hệ N hạt có dạng: ⃑⃗̂ ∑ ⃑⃑⃑⃗, với ⃑⃑⃑⃗ là toán tử momen động lƣợng của hạt thứ k. Thành phần z của toán tử momen động lƣợng của hệ có dạng ̂ ∑ ̂ thay ̂ = , chúng ta đƣợc: 13
̂ ∑ (1.16) Mặt khác đạo hàm của thành phần z của toán tử momen động lƣợng của hệ đƣợc tính theo công thức ̂̇ (̂ ̂) Thay Hamilton H từ biểu thức (1.13b) và ̂ từ biểu thức (1.16), chúng ta đƣợc: ̂̇ (̂ ̂) ∑ ∑ + (1.17) với là thành phần z của momen lực tác dụng lên hạt thứ k, và tƣơng ứng là thành phần z của momen nội lực và ngoại lực tác dụng lên hệ, trong đó thành phần z của mô men nội lực triệt tiêu. Thực vậy, ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗ ∑[⃑⃑⃑⃗ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗] ∑ [⃑⃑⃑⃗ ∑ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗] (⃑⃑⃑⃗ ⃑⃑⃑⃑⃑⃗) (⃑⃑⃑⃗ ⃑⃑⃑⃑⃑⃗) (⃑⃑⃑⃗ ⃑⃑⃑⃑⃑⃗) ∑ ∑ ∑ (⃑⃗ ⃑⃑⃑⃑⃑⃗) ∑ (⃑⃑⃑⃗ ⃑⃑⃑⃑⃑⃗) (⃑⃗ ⃑⃑⃑⃑⃑⃗) ∑ ∑ ∑[(⃑⃑⃑⃗ ⃑⃗) ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗ ] Vì (⃑⃑⃑⃗ ⃑⃗) ⃑⃑⃑⃑⃑⃗, suy ra 14
Nếu thế tƣơng tác V=0 hoặc có dạng đối xứng cầu ( tức ) thì do đó và từ (1.17) đƣợc bảo toàn. 1.4. Các biểu diễn của toán tử và hàm sóng cho hệ nhiều hạt Biểu diễn của toán tử và hàm sóng là một vấn đề rất quan trọng trong việc giải quyết các bài toán cụ thể, đặc biệt là đối với hệ nhiều hạt. Trong cơ học lƣợng tử thƣờng sử dụng ba biểu diễn là biểu diễn Schrodinger, biểu diễn Heisenberg và biểu diễn tƣơng tác. Trong phần này chúng ta sẽ đề cập đến các biểu diễn nói trên và tập trung chú ý nhiều đến biểu điễn tƣơng tác là biểu diễn đƣợc sử dụng trong nghiên cứu hệ nhiều hạt có tƣơng tác, đặc biệt là trong phƣơng pháp hàm Green lƣợng tử. 1.4.1. Biểu diễn Schrodinger Xét phƣơng trình Schrodinger theo thời gian (1.18) Nghiệm phƣơng trình (1.18) có thể viết một cách hình thức dƣới dạng sau: * + (1.19) trong đó là hàm sóng không phụ thuộc vào thời gian. Biểu thức (1.19) có thể suy ra đƣợc từ (1.18) vì toán tử Hamilton H không phụ thuộc vào thời gian. Đây chính là biểu diễn Schrodinger , là biểu diễn trong đó hàm sóng phụ thuộc vào thời gian, còn toán tử Haminlton không phụ thuộc vào thời gian. 1.4.2. Biểu diễn Heisenberg Thành phần ma trận của một toán tử ̂ đƣợc xác định bởi: 〈 ̂ 〉 thay hàm sóng (t) từ (1.19) chúng ta có: 〈 ̂ 〉 (1.20a) 15