1.M ĐUỞ Ầ
1.1. Lí do ch n đ tài.ọ ề
Trong quá trình gi ng d y, v d ng toán gi i ph ng trình trong bàiả ạ ề ạ ả ươ
“Ph ng trình quy v ph ng trình b c nh t, b c hai” trong Đi s 10 ươ ề ươ ậ ấ ậ ạ ố thì h cọ
sinh th ng gi i theo thói quen mà không bi t mình b sai nguyên nhân là doườ ả ế ị
không n m v ng lý thuy t v a h c.Vi c gi i hay sai nh t c a h c sinh l pắ ữ ế ừ ọ ệ ả ấ ủ ọ ớ
10 khi gi i m t ph ng trình thì rút g n ho c b m u mà không ghi thêmả ộ ươ ọ ặ ỏ ẫ
đi u ki n nào.Nh ng sai sót đó là do tr c đây THCS h c sinh gi i ph ngề ệ ữ ướ ở ọ ả ươ
trình mà m u th ng là h ng s nên h c sinh rút g n ho c b m u đc, ẫ ườ ằ ố ọ ọ ặ ỏ ẫ ượ g pặ
m t s khó khăn và sai l m do th c hi n các phép bi n đi, qua cách hi u saiộ ố ầ ự ệ ế ổ ể
v công th c, do suy lu n mà không xác đnh h t các tr ng h p c a bài toánề ứ ậ ị ế ườ ợ ủ
nên d b m t đi m ph n này.ễ ị ấ ể ở ầ
Ti p thu công văn c a b Giáo d c & Đào t o năm h c 2016 – 2017,ế ủ ộ ụ ạ ọ
trong kì thi THPT Qu c gia có môn toán thay đi hình th c thi t thi t lu nố ổ ứ ừ ự ậ
sang thi tr c nghi m. H c sinh ph i thay đi cách h c và cách t duy, cũngắ ệ ọ ả ổ ọ ư
nh ưn m ch c ki n th c c b n sách giáo khoa là vi c đu tiên và quanắ ắ ế ứ ơ ả ở ệ ầ
tr ng không th xem th ng. Đc bi t, v i thi tr c nghi m, l ng ki n th cọ ể ườ ặ ệ ớ ắ ệ ượ ế ứ
r ng, h c sinh không nên h c t , không đc b b t k ph n nào trong sáchộ ọ ọ ủ ượ ỏ ấ ỳ ầ
giáo khoa và bài t p thu c ch ng trình. Khi chuy n qua hình th c thi tr cậ ộ ươ ể ứ ắ
nghi m môn Toán, h c sinh không ch chú tr ng t i cách trình bày c n th nệ ọ ỉ ọ ớ ẩ ậ
trong bài thi n a mà đi u c n quan tâm h n n a là làm th nào đ gi i nhanh,ữ ề ầ ơ ữ ế ể ả
ng n g n và quan tr ng là chính xác. Đi v i hình th c tr c nghi m kháchắ ọ ọ ố ớ ứ ắ ệ
quan, m t trong nh ng khó khăn l n nh t là h c sinh b áp l c th i gian b iộ ữ ớ ấ ọ ị ự ờ ở
ph i v n d ng c ki n th c và k năng đ tìm ra đáp án đúng trong kho ngả ậ ụ ả ế ứ ỹ ể ả
th i gian t ng đi ng n: Đ đt đi m Toán tr c nghi m cao không ch nhờ ươ ố ắ ể ạ ể ắ ệ ỉ ờ
m o hay th thu t gi i mà chính là t duy khoa h c. Rèn luy n nhi u d ngẹ ủ ậ ả ư ọ ệ ề ạ
bài t p đ th c hi n t t các k năng nh tính toán, s d ng máy tính, v hình,ậ ể ự ệ ố ỹ ư ử ụ ẽ
ph ng pháp lo i tr … s giúp h c sinh t tin h nươ ạ ừ ẽ ọ ự ơ . B ng kinh nghi m nhi uằ ệ ề
năm d y kh i 10, tôi phát hi n ra nh ng sai xót c a h c sinh nh dùng bi nạ ố ệ ữ ủ ọ ư ế
đi không t ng đng, không đt đi u ki n khi gi i ph ng trình ch a nổ ươ ươ ặ ề ệ ả ươ ứ ẩ
m u th c và ph ng trình ch a n d i d u căn d n đn th a nghi mở ẫ ứ ươ ứ ẩ ướ ấ ẫ ế ừ ệ
ho c làm m t nghi m c a ph ng trình. Là m t giáo viên tr c ti p đng l pặ ấ ệ ủ ươ ộ ự ế ứ ớ
tôi m nh d n ch n m t khía c nh nh này đ ch ra nh ng sai l m và kh cạ ạ ọ ộ ạ ỏ ể ỉ ữ ầ ắ
ph c sai l m đó cho h c sinh khi gi i ph ng trình nh m giúp h c sinh gi iụ ầ ọ ả ươ ằ ọ ả
quy t bài t p m t s d ng ph ng trình trong sách giáo khoa Đi s 10.ế ậ ộ ố ạ ươ ạ ố
Chính vì v y tôi ch n đ tài “ậ ọ ề M t s kinh nghi m Giúp h c sinhộ ố ệ ọ Kh cắ
ph c sai l m khi gi i ph ng trình ch a n m u s và ph ng trìnhụ ầ ả ươ ứ ẩ ở ẫ ố ươ
ch a n d i d u căn trong ch ng trình Đi s 10.ứ ẩ ướ ấ ươ ạ ố
1.2. M c đích nghiên c u.ụ ứ
Phát hi n nh ng sai l m c a h c sinh có th g p trong quá trình gi iệ ữ ầ ủ ọ ể ặ ả
toán và gi i quy t nh ng sai l m c a h c sinh trong quá trình gi i toán.ả ế ữ ầ ủ ọ ả
1
Giúp h c sinh phát hi n và hi u rõ n i dung b n ch t v m t s d ngọ ệ ể ộ ả ấ ề ộ ố ạ
ph ng trình ch a n m u và ph ng trình ch a n d i d u căn ch raươ ứ ẩ ở ẫ ươ ứ ẩ ướ ấ ỉ
nh ng ki n th c nâng cao qua năng l c đc hi u, t đó giúp h c sinh n mữ ế ứ ự ọ ể ừ ọ ắ
v ng lý thuy t áp d ng vào t ng d ng bài t p c th đ gi i đ t đó hìnhữ ế ụ ừ ạ ậ ụ ể ể ả ề ừ
thành k năng ki n th c b i d ng h c sinh. ỹ ế ứ ồ ưỡ ọ
1.3. Đi t ng nghiên c u ố ượ ứ
Sách giáo khoa , sách giáo viên, các lo i sách tham kh o.ạ ả
Tôi ch n m t s d ng ph ng trình : Ph ng trình ch a n m u s ,ọ ộ ố ạ ươ ươ ứ ẩ ở ẫ ố
Ph ng trình ch a n d i d u căn trong ch ng trình đi s 10 đ đa raươ ứ ẩ ướ ấ ươ ạ ố ể ư
h th ng d ng bài t p đ hình thành phát tri n các năng l c cho h c sinh nh :ệ ố ạ ậ ể ể ự ọ ư
Năng l c gi i quy t v n đ; Năng l c t duy sáng t o ch ra nh ng n i dungự ả ế ấ ề ự ư ạ ỉ ữ ộ
c th c a ki n th c làm n n t ng cho các bài toán liên quan đn đ thiụ ể ủ ế ứ ề ả ế ề
THPT Qu c gia.ố
1.4. Ph ng pháp nghiên c u.ươ ứ
- Tìm hi u nh ng khó khăn khi h c sinh gi i bài toán ph ng trình ch a nể ữ ọ ả ươ ứ ẩ
m u s , Ph ng trình ch a n d i d u căn.ở ẫ ố ươ ứ ẩ ướ ấ
Đ tài ch nghiên c u m t s d ng Ph ng trình ch a n m u s , Ph ngề ỉ ứ ộ ố ạ ươ ứ ẩ ở ẫ ố ươ
trình ch a n d i d u căn. Nên tôi đã s d ng các ph ng pháp sau:ứ ẩ ướ ấ ử ụ ươ
- Ph ng pháp đc hi uươ ọ ể
- Ph ng pháp phân tích – t ng h pươ ổ ợ
-Ph ng pháp phân tích nêu v n đ. ươ ấ ề
Nghiên c u, sách giáo khoa, sách giáo viên và các lo i sách tham kh o mônứ ạ ả
toán liên quan đn ph ng trình.ế ươ
Nghiên c u qua các bài ki m tra, bài gi i c a h c sinh trong ch ng 3ứ ể ả ủ ọ ươ
ph ng trình và h ph ng trình, đi s 10.ươ ệ ươ ạ ố
Cách th c hi n:ự ệ
- Trao đi v i đng nghi p, tham kh o ý ki n giáo viên cùng b môn ổ ớ ồ ệ ả ế ộ
- Liên h th c t trong nhà tr ng, áp d ng đúc rút kinh nghi m qua quá trìnhệ ự ế ườ ụ ệ
gi ng d y.ả ạ
2. N i dung sáng ki n kinh nghi mộ ế ệ
2.1. C s lý lu n. ơ ở ậ
1.Đnh nghĩa ph ng trìnhị ươ
Ph ng trình n x là m nh đ ch a bi n d ng ươ ẩ ệ ề ứ ế ạ
=
( ) ( )f x g x
(1)
Trong đó
( )f x
và
( )g x
là nh ng bi u th c c a x. Ta g i ữ ể ứ ủ ọ
( )f x
là v trái ế
( )g x
là
v ph i c a ph ng trình (1).ế ả ủ ươ
N u có s th c ế ố ự
0
x
sao cho
0
( )f x
=
0
( )g x
là m nh đ đúng thì ệ ề
0
x
đc g i làượ ọ
m t nghi m c a ph ng trình (1).ộ ệ ủ ươ
Gi i ph ng trình (1) t c là tìm t t c các nghi m c a nó ( nghĩa là tìm t pả ươ ứ ấ ả ệ ủ ậ
nghi m).ệ
2
N u ph ng trình (1) không có nghi m nào c thì ta nói ph ng trình vôế ươ ệ ả ươ
nghi m (ho c t p nghi m c a nó là r ng). [2]ệ ặ ậ ệ ủ ỗ
2.Ph ng trình t ng đng.ươ ươ ươ
Hai ph ng trình đc g i là t ng đng khi chúng có cùng t p nghi m.ươ ượ ọ ươ ươ ậ ệ
[2]
3. Các phép bi n đi t ng đng.ế ổ ươ ươ
Cho ph ng trình ươ
=
( ) ( )f x g x
có t p xác đnh D, y = h(x) là m t hàm s xácậ ị ộ ố
đnh trên D.ị
1)
= + = +�
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x h x g x h x
.
2)
= =�
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x h x g x h x
v i ớ
[2]
4. Các d ng ph ng trình th ng g p.ạ ươ ườ ặ
+)
( ) 0
( ) 0 [1]
( ) 0
( )
=
=
f x
f x
g x
g x
+)
( ) ( ) [1]f x g x=
+)
( ). ( ) ( ). ( )
( ) ( ) [1]
( ) 0
=
=
f x h x g x h x
f x g x h x
+)
( ) ( ) [1]f x g x=
Theo tình hình th c t c a vi c gi i toán c a h c sinh cho th y các em cònự ế ủ ệ ả ủ ọ ấ
y u, th ng không n m v ng ki n th c c b n, hi u v n đ ch a ch c, n mế ườ ắ ữ ế ứ ơ ả ể ấ ề ư ắ ắ
b t ki n th c còn ch m, thi u căn c trong suy lu n ngôn ng và ký hi u toánắ ế ứ ậ ế ứ ậ ữ ệ
h c ch a chính xác, thi u th n tr ng trong tính toán. Vì sao d n đn đi u nàyọ ư ế ậ ọ ẫ ế ề
có th chia làm hai nguyên nhân:ể
-Nguyên nhân khách quan:
+ S ti t luy n t p trên l p theo phân ph i ch ng trình v n còn ít.ố ế ệ ậ ớ ố ươ ẫ
+ L ng ki n th c m i đc phân b cho m t ti t h c còn quá t i.ượ ế ứ ớ ượ ố ộ ế ọ ả
+ Ph n nhi u bài t p v nhà không có s d n d t , giúp đ tr c ti p c aầ ề ậ ề ự ẫ ắ ỡ ự ế ủ
GV
-Nguyên nhân ch quan : ủ
+ S l ng h c sinh trên l p khá đông nên th i gian giáo viên h ng d nố ượ ọ ớ ờ ướ ẫ
cho nh ng h c sinh th ng g p ph i khó khăn còn h n ch .ữ ọ ườ ặ ả ạ ế
+ M t b ph n nh h c sinh ch a chăm ch , l là trong vi c h c, ch a tộ ộ ậ ỏ ọ ư ỉ ơ ệ ọ ư ự
giác kh c ph c nh ng ki n th c mình b h ng trong quá trình gi i bài t p.ắ ụ ữ ế ứ ị ổ ả ậ
T nh ng nguyên nhân trên đã d n đn m t s t n t i sau: H c sinhừ ữ ẫ ế ộ ố ồ ạ ọ
th ng m c ph i sai l m khi gi i các bài t p do không n m v ng ki n th cườ ắ ả ầ ả ậ ắ ữ ế ứ
c b n, ti p thu ki n th c ch m , h c t p th đng, gi i bài t p c u th ,ơ ả ế ế ứ ậ ọ ậ ụ ộ ả ậ ẩ ả
chép bài c a các h c sinh khá gi i đ đi phó m t cách máy móc làm nhủ ọ ỏ ể ố ộ ả
h ng đn k t qu h c t p.ưở ế ế ả ọ ậ
2.2. Th c tr ng c a v n đ .ự ạ ủ ấ ề
3
V i kinh nghi m d y h c môn toán nhi u năm tr ng v i đi t ngớ ệ ạ ọ ề ở ườ ớ ố ượ
h c sinh nh n th c còn ch m đc bi t các bài toán gi i ph ng trình ch a nọ ậ ứ ậ ặ ệ ả ươ ứ ẩ
m u th c và ph ng trình ch a n d i d u căn r t phong phú và đa d ng,ở ẫ ứ ươ ứ ẩ ướ ấ ấ ạ
đây là nh ng bài toán c b n làm c s cho các bài toán trong các đ thi THPTữ ơ ả ơ ở ề
Qu c Gia nh ng năm t i, các em s g p m t l p các bài toán gi i ph ngố ữ ớ ẽ ặ ộ ớ ả ươ
trình và gi i h ph ng trình ch a n m u th c và ph ng trình ch a nả ệ ươ ứ ẩ ở ẫ ứ ươ ứ ẩ
d i d u căn mà ch có s ít các em bi t ph ng pháp gi i nh ng trình bàyướ ấ ỉ ố ế ươ ả ư
còn lúng túng ch a g n gàng, sáng s a th m chí còn m c m t s sai l mư ọ ủ ậ ắ ộ ố ầ
không đáng có trong khi trình bày giáo viên c n có ph ng pháp c th choầ ươ ụ ể
t ng d ng toán đ h c sinh n m đc bài t t h n. ừ ạ ể ọ ắ ượ ố ơ
Trong quá trình gi ng d y l p 10 tôi th y khi h c sinh gi i các bàiả ạ ở ớ ấ ọ ả
toán v ph ng trình thì h c sinh v n d ng th ng bi n đi t ng đngề ươ ọ ậ ụ ườ ế ổ ươ ươ
mà không chú ý đn đi u ki n xác đnh . T th c tr ng trên nên trong quáế ề ệ ị ừ ự ạ
trình d y tôi đã d n ạ ầ d n hình thành ph ng pháp b ng cách tr c tiên h cầ ươ ằ ướ ọ
sinh c n n m v ng lý thuy t v ph ng trình t ng đng và t đó áp d ngầ ắ ữ ế ề ươ ươ ươ ừ ụ
vào bài toán c b n đn bài toán m c đ khó h n. Do đó trong gi ng d yơ ả ế ở ứ ộ ơ ả ạ
chính khoá cũng nh d y b i d ng, tôi th ng trang b đy đ ki n th cư ạ ồ ưỡ ườ ị ầ ủ ế ứ
ph thông và ph ng pháp gi i toán đi s cho h c sinh.Nh v y khi gi i bàiổ ươ ả ạ ố ọ ư ậ ả
toán v ph ng trình h c sinh có th t tin l a ch n m t ph ng pháp đề ươ ọ ể ự ự ọ ộ ươ ể
gi i phù h p mà không m c sai l m.ả ợ ắ ầ
2.3. Gi i pháp đ gi i quy t v n đ.ả ể ả ế ấ ề
Đ gi i các ph ng trình m t n tr c tiên ta hi u khái ni m ph ngể ả ươ ộ ẩ ướ ể ệ ươ
trình và m t s phép bi n đi ph ng trình.ộ ố ế ổ ươ
Khái ni m ph ng trìnhệ ươ
Ph ng trình n x là m nh đ ch a bi n d ng ươ ẩ ệ ề ứ ế ạ
=
( ) ( )f x g x
(1)
Trong đó
( )f x
và
( )g x
là nh ng bi u th c c a x. Ta g i ữ ể ứ ủ ọ
( )f x
là v trái ế
( )g x
là
v ph i c a ph ng trình (1).ế ả ủ ươ
N u có s th c ế ố ự
0
x
sao cho
0
( )f x
=
0
( )g x
là m nh đ đúng thì ệ ề
0
x
đc g i làượ ọ
m t nghi m c a ph ng trình (1).ộ ệ ủ ươ
Gi i ph ng trình (1) t c là tìm t t c các nghi m c a nó ( nghĩa là tìm t pả ươ ứ ấ ả ệ ủ ậ
nghi m).ệ
N u ph ng trình (1) không có nghi m nào c thì ta nói ph ng trình vôế ươ ệ ả ươ
nghi m (ho c t p nghi m c a nó là r ng). [2]ệ ặ ậ ệ ủ ỗ
1/ Gi i pháp 1:ả
H ng d n h c sinh gi i ph ng trình d ng 1ướ ẫ ọ ả ươ ạ :
( ) 0
( )
f x
g x
=
(1)
a. Ph ng pháp:ươ
Giáo viên ch ra cho h c sinh th y đc r ng n u cho f(x) = 0 mà khôngỉ ọ ấ ượ ằ ế
đt đi u ki n cho g(x) ặ ề ệ
0 thi khi l y nghi m ta không lo i đc nghi mấ ệ ạ ượ ệ
ngo i lai (t c là nghi m làm cho m u s b ng không)ạ ứ ệ ẫ ố ằ
4
Pt(1)
( ) 0
( ) 0( ) 0
( )
f x
f x
g x
g x
=
=
[1]
b. Các ví d :ụ
Bài 1.1: Gi i ph ng trình: ả ươ
2
2
60
2 8
x x
x x
− − =
− −
(1)
H c sinh th ng trình bày nh sau:ọ ườ ư
2
2
60
2 8
x x
x x
− − =
− −
2
2
6 0 3
x
x x x
= −
− − =� � =
Nguyên nhân sai:
Khi gi i bài toán trên h c sinh ch a đt đi u ki n cho m u s khác không đả ọ ư ặ ề ệ ẫ ố ể
ph ng trình có nghĩa t c là ươ ứ
2
8 0 2, 4x x x x−− −�۹ �
nên v i x=-2 thì xớ2- 2x
– 8 = 0 nên lo i nghi m x=-2ạ ệ
L i gi i đúng: ờ ả
2
2
60
2 8
x x
x x
− − =
− −
2
2
3
6 0 3
2( )
2 8 0 2; 4
x
x x x
x loai
x x x x
=
− − =
� �
=� � �
= −
� �
− −
−
Bài 1.2: Gi i ph ng trình: ả ươ
2
3 1 4 0
2 2 4
x
x x x
+ − =
+ − −
H c sinh th ng trình bày nh sau:ọ ườ ư
2
2
2 2
2
3 ( 2) ( 2) 4 3 5 2
0 0 3 5 2 0 1
4 4 3
x
x x x x x x x
x x x
=
− + + − − −
= = − − =� � �
− − = −
Nguyên nhân sai :
Khi gi i bài toán trên h c sinh ch a đt đi u ki n cho m u s khác không đả ọ ư ặ ề ệ ẫ ố ể
ph ng trình có nghĩa t c là ươ ứ
2
4 0 2x x
−�۹�
nên x = 2 thì m u th c xẫ ứ
2
- 4
=0 v y x = 2 là nghi m ngo i laiậ ệ ạ
L i gi i đúng: ờ ả
2
2 2
3 ( 2) ( 2) 4 3 5 2 ( 2)(3 1)
0 0 0
4 4 ( 2)( 2)
x x x x x x x
x x x x
− + + − − − − +
= = =� � �
− − − +
3 1 0
3 1 01
2 0
23
2 0 2 0
x
x
x x
x
xx
+ =
+
=
� � − = −� � � �
+
� �
� �
− +
L u ý: Khi gi i ph ng trình c a bài 1.2 ta ph i bi n đi đ đa v d ng 1ư ả ươ ủ ả ế ổ ể ư ề ạ
Khi làm các bài t p tr c nghi m thì h c sinh có th nh n bi t nhanh môt sậ ắ ệ ọ ể ậ ế ố
đáp án lo i tr ph ng án sai nh nghi m làm cho m u s b ng 0 các đáp ánạ ừ ươ ư ệ ẫ ố ằ
còn l i thì s d ng máy tính đ ki m tra nhanh k t qu .ạ ử ụ ể ể ế ả
Bài t p tr c nghi m:ậ ắ ệ
5