Luận án tiến sĩ Toán học: Luật số lớn và sự hội tụ đầy đủ theo trung bình đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach

Chia sẻ: Phong Tỉ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:107

Thêm vào BST

Báo xấu

62
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận án đưa ra điều kiện để thu được sự hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p của mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Rademacher dạng p (1 ≤ p ≤ 2).

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án tiến sĩ Toán học: Luật số lớn và sự hội tụ đầy đủ theo trung bình đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ THỦY LUẬT SỐ LỚN VÀ SỰ HỘI TỤ ĐẦY ĐỦ THEO TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI MẢNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Nghệ An, năm 2018
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ THỦY LUẬT SỐ LỚN VÀ SỰ HỘI TỤ ĐẦY ĐỦ THEO TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI MẢNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số: 9460106 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: 1. PGS. TS. Lê Văn Thành 2. GS. TSKH. Nguyễn Duy Tiến Nghệ An, năm 2018
i LỜI CAM ĐOAN Luận án này được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Lê Văn Thành và GS. TSKH. Nguyễn Duy Tiến. Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả được trình bày trong luận án là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được ai công bố trước đó. Tác giả Nguyễn Thị Thủy
ii LỜI CẢM ƠN Luận án này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Lê Văn Thành và GS. TSKH. Nguyễn Duy Tiến. Tác giả xin được bày tỏ lòng kính trọng, biết ơn sâu sắc tới hai Thầy- những người đã đặt bài toán, hướng dẫn, động viên, giúp đỡ tận tình và chu đáo trong suốt quá trình tác giả học tập và thực hiện luận án. Tác giả xin cảm ơn ThS. Vũ Thị Ngọc Ánh và TS. Dương Xuân Giáp về những thảo luận và góp ý từ lúc viết bản thảo cho tới khi hoàn thiện luận án. Trong quá trình hoàn thành luận án, tác giả đã nhận được sự quan tâm và góp ý của GS. TS. Nguyễn Văn Quảng, TS. Nguyễn Thị Thế, TS. Nguyễn Trung Hòa, TS. Nguyễn Thanh Diệu, TS. Võ Thị Hồng Vân, PGS. TS. Kiều Phương Chi, PGS. TS. Phan Đức Thành, ThS. Nguyễn Ngọc Tứ, cùng các nhà khoa học và bạn bè đồng nghiệp. Tác giả xin chân thành cảm ơn về những sự giúp đỡ quý báu đó. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới Viện Sư phạm tự nhiên và Phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Vinh về sự hỗ trợ và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ của một nghiên cứu sinh. Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Viện Nghiên cứu cao cấp về Toán vì đã hỗ trợ và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả được học tập và nghiên cứu tại Viện. Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Nghệ An, Trường THPT Thanh Chương 3 cùng Tổ Toán Trường THPT Thanh Chương 3, đặc biệt là ThS. Trịnh Văn Thạch và cô Trần Thị Lương đã luôn tạo điều kiện và giúp đỡ tác giả trong thời gian thực hiện nhiệm vụ của một nghiên cứu sinh. Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình đã luôn là chỗ dựa vững chắc cho tác giả yên tâm học tập, nghiên cứu và công tác. Nguyễn Thị Thủy
iii MỤC LỤC Một số kí hiệu thường dùng trong luận án 1 Mở đầu 2 Chương 1. Một số luật số lớn đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach 9 1.1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2. Luật số lớn đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Chương 2. Sự hội tụ đầy đủ theo trung bình và sự hội tụ đầy đủ của mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach 41 2.1. Sự hội tụ đầy đủ theo trung bình của mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2. Sự hội tụ đầy đủ của mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi một nhận giá trị trong không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Chương 3. Dạng tổng quát của một số bất đẳng thức cực đại đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach 68 3.1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.2. Dạng tổng quát của một số bất đẳng thức cực đại đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach . . . . . . . . 71 3.3. Luật mạnh số lớn dạng (p, q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Kết luận và kiến nghị 96 Danh mục các công trình liên quan trực tiếp đến luận án 97 Tài liệu tham khảo 98
1 MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN N Tập hợp các số nguyên dương R Tập hợp các số thực R+ Tập hợp các số thực không âm (Ω, F, P) Không gian xác suất đầy đủ E Không gian Banach thực khả li B(E) σ - đại số Borel của E logx Logarit cơ số tự nhiên của số thực x log+ x log(x ∨ e), x ∈ R E∗ Không gian liên hợp của không gian E EX Kì vọng của phần tử ngẫu nhiên X Var(X) Phương sai của X I(A) Hàm chỉ tiêu của tập hợp A h.c.c. Hầu chắc chắn m∨n Giá trị lớn nhất của hai số thực m và n m∧n Giá trị nhỏ nhất của hai số thực m và n tr. i Trang thứ i trong tài liệu được trích dẫn tr. i-j Từ trang thứ i đến trang thứ j trong tài liệu được trích dẫn µ(kXk) Median của biến ngẫu nhiên kXk d(k) Số các ước nguyên dương của số nguyên k [x] Phần nguyên của số thực x d X=Y Phần tử ngẫu nhiên X và Y cùng phân phối lim inf Amn Giới hạn dưới của mảng các biến cố Amn lim sup Amn Giới hạn trên của mảng các biến cố Amn Xs Phần tử ngẫu nhiên đối xứng hóa của phần tử ngẫu nhiên X f (n) ∼ g(n) Hàm f (n) tương đương với hàm g(n) khi n → ∞, theo nghĩa f (n) lim =1 n→∞ g(n) 2 Kết thúc chứng minh C Kí hiệu cho một hằng số dương và có thể không giống nhau ở mỗi lần xuất hiện
2 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài 1.1. Luật số lớn là một bài toán cổ điển của lý thuyết xác suất, nó khẳng định trung bình cộng của các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối hội tụ về kì vọng của các biến ngẫu nhiên đó theo một nghĩa nào đó. Trong nhiều năm gần đây, luật số lớn vẫn được nhiều nhà toán học tiếp tục quan tâm nghiên cứu. Luật số lớn có nhiều ứng dụng trong thống kê, toán kinh tế, khoa học tự nhiên và nhiều lĩnh vực khác. Chính vì vậy, việc nghiên cứu luật số lớn không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có ý nghĩa thực tiễn. 1.2. Logic tự nhiên của sự phát triển các định lý giới hạn trong lý thuyết xác suất đã dẫn đến nhiều kết quả tổng quát hơn các kết quả cổ điển. Một trong những hướng tổng quát đó là từ những kết quả đã có đối với các biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực mở rộng sang cho các phần tử nhận giá trị trong không gian Banach, hoặc từ các kết quả đã có đối với dãy mở rộng sang các kết quả đối với mảng hai hay nhiều chỉ số các phần tử ngẫu nhiên. Có rất nhiều câu hỏi được đặt ra như “từ các kết quả cho dãy một chỉ số đã có, liệu rằng có thể thiết lập được các kết quả tương tự cho mảng nhiều chỉ số không?”, “phương pháp chứng minh các kết quả cho dãy một chỉ số có vận dụng được trong trường hợp mảng nhiều chỉ số không?”,... Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu một số định lý giới hạn dạng luật số lớn mảng hai chỉ số các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach thực khả li. Các kết quả thu được đối với mảng hai chỉ số có thể tổng quát thành mảng nhiều chỉ số bằng phương pháp hoàn toàn tương tự. Đối với cấu trúc nhiều chỉ số, quan hệ thứ tự thông thường trên tập các chỉ số không có tính chất tuyến tính. Vì vậy, khi mở rộng các định lý giới hạn đối từ trường hợp dãy một chỉ số sang trường hợp mảng nhiều chỉ số chúng ta sẽ gặp nhiều khó khăn hơn. Điều này góp phần làm cho các kết quả nghiên cứu về các định lý giới hạn đối với mảng nhiều chỉ số có nhiều ý nghĩa.
3 1.3. Bên cạnh các dạng hội tụ hầu chắc chắn, hội tụ đầy đủ, hội tụ theo xác suất, hội tụ theo trung bình, trong lý thuyết xác suất ta còn xét đến hội tụ đầy đủ theo trung bình. Hội tụ đầy đủ theo trung bình là một dạng hội tụ mạnh hơn hội tụ đầy đủ và hội tụ theo trung bình. Tuy nhiên, các kết quả về sự hội tụ này chưa thật phong phú. 1.4. Xác suất trên không gian Banach là một hướng nghiên cứu quan trọng của lý thuyết xác suất. Có rất nhiều định lý giới hạn đúng trong không gian thực nhưng không còn đúng trong không gian Banach. Với các lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của mình là: “Luật số lớn và sự hội tụ đầy đủ theo trung bình đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach”. 2. Mục đích nghiên cứu Trong luận án này, chúng tôi đưa ra điều kiện để luật mạnh số lớn và luật yếu số lớn đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach tương đương với nhau. Bên cạnh đó, luận án đưa ra điều kiện để thu được sự hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p của mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Rademacher dạng p (1 ≤ p ≤ 2). Trong trường hợp không gian Banach không là không gian Rademacher dạng p, chúng tôi chứng minh được hội tụ đầy đủ theo trung bình kéo theo luật mạnh số lớn. Luận án cũng nghiên cứu điều kiện cần và đủ cho sự hội tụ đầy đủ của tổng kép có trọng số các phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi một, cùng phân phối. Cuối cùng, chúng tôi trình bày các dạng tổng quát của một số bất đẳng thức cổ điển và ứng dụng một trong các bất đẳng thức đó để chứng minh rằng luật mạnh số lớn dạng (p, q) đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên kéo theo luật mạnh số lớn. 3. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối, độc lập không cùng phân phối và độc lập đôi một cùng phân phối nhận giá trị trong không gian Banach thực khả li.
4 4. Phạm vi nghiên cứu Luận án tập trung nghiên cứu luật số lớn, sự hội tụ đầy đủ theo trung bình và sự hội tụ đầy đủ đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach thực, khả li với giả thiết độc lập và độc lập đôi một. Đồng thời, luận án cũng nghiên cứu dạng tổng quát của một số bất đẳng thức cổ điển như các bất đẳng thức Etemadi, Lévy, Ottaviani, Hoffmann-Jørgensen cho mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập. Sau đó, chúng tôi vận dụng dạng tổng quát của bất đẳng thức Ottaviani để chứng minh luật mạnh số lớn dạng (p, q) đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên kéo theo luật mạnh số lớn. 5. Phương pháp nghiên cứu Chúng tôi sử dụng phương pháp độc lập nghiên cứu tài liệu, seminar theo nhóm dưới sự chủ trì của thầy hướng dẫn, và trao đổi với các nhà khoa học trong và ngoài nước. Các công cụ chủ yếu sử dụng trong luận án là các bất đẳng thức cực đại như bất đẳng thức de Acosta, bất đẳng thức Lévy, bất đẳng thức Hoffmann-Jørgensen, bất đẳng thức Ottaviani, bất đẳng thức đối xứng yếu, bất đẳng thức đối xứng mạnh. Đặc biệt, luận án sử dụng phương pháp dãy con, phương pháp xấp xỉ, và phương pháp đối xứng hóa để chứng minh các kết quả về luật số lớn và sự hội tụ của mảng các phần tử ngẫu nhiên. 6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Các kết quả của luận án góp phần làm phong phú thêm cho hướng nghiên cứu về luật số lớn, sự hội tụ đầy đủ, và sự hội tụ đầy đủ theo trung bình đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach. Luận án là tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học và nghiên cứu sinh chuyên ngành Lý thuyết xác suất và Thống kê toán học. 7. Tổng quan và cấu trúc luận án 7.1. Tổng quan về luận án Không quá để nói rằng lịch sử của lý thuyết xác suất là câu chuyện của các định lý giới hạn, trong đó có luật mạnh số lớn và luật yếu số lớn. Luật số lớn
5 đầu tiên được Bernoulli [4] công bố vào năm 1713. Về sau kết quả này được mở rộng bởi Poisson, Chebyshev, Markov và Khintchin. Tuy nhiên phải đến năm 1909 luật mạnh số lớn được Borel [5] phát hiện và kết quả này được Kolmogorov [23] hoàn thiện vào năm 1933. Luật mạnh số lớn của Kolmogorov đã chỉ ra rằng trong trường hợp dãy các biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} độc lập và có moment cấp 2 hữu hạn, nếu ∞ X E(Xn − EXn )2 < ∞, n2 n=1 thì Pn i=1 (Xi − EXi ) → 0 h.c.c. khi n → ∞. n Đồng thời, Kolmogorov cũng chỉ ra rằng nếu dãy các biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} độc lập cùng phân phối thì điều kiện cần và đủ để luật mạnh số lớn xảy ra là các biến ngẫu nhiên đó có kỳ vọng hữu hạn. Sau đó kết quả này đã được mở rộng bởi Marcinkiewicz và Zygmund [30], [31]. Đối với mảng các biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực, năm 1973 Smythe [47] đã thiết lập luật mạnh số lớn dạng Kolmogorov. Sau đó, luật mạnh số lớn Marcinkiewicz-Zygmund đối với mảng nhiều chỉ số cũng được nghiên cứu bởi Gut [16], Klesov [21]. Ở Việt Nam, luật số lớn đối với mảng hai chỉ số các biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực cũng được nghiên cứu bởi các tác giả Giang và Tiến [15], Thành [50], Quảng và Huy [39], Quảng và Huấn [38],... Trong những năm gần đây, nhiều tác giả tiếp tục nghiên cứu các định lý giới hạn đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian p khả trơn như Quảng và Huấn [40], [41] và trong không gian Banach Rademacher dạng p như Rosalsky và Thành [43], [45]. Trong luận án, chúng tôi tiếp tục nghiên cứu luật số lớn đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach bất kì. Cụ thể hơn, chúng tôi đã đưa ra điều kiện để luật mạnh số lớn và luật yếu số lớn tương đương với nhau. Về dạng hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p (p > 0), khái niệm này được đưa ra đầu tiên bởi Chow [7] cho trường hợp dãy các biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực. Năm 2006, các tác giả Rosalsky, Thành và Volodin [44] đã thiết lập sự hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p đối với dãy các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị
6 trong không gian Banach. Gần đây nhất, năm 2014 và năm 2017 các tác giả Sơn, Thắng và Dũng [48] và Parker và Rosalsky [36] cũng nghiên cứu về dạng hội tụ này đối với mảng hai chỉ số. Trong luận án, chúng tôi tiếp tục nghiên cứu sự hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p của mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Rademacher dạng p. Đối với không gian Banach bất kì, chúng tôi chứng minh được từ Smn /(mn)(p+1)/p , p ≥ 1 hội tụ đầy đủ theo trung bình về 0 kéo theo luật mạnh số lớn Smn /mn → 0 h.c.c. khi m ∨ n → ∞. Bên cạnh đó, chúng tôi cũng nghiên cứu về điều kiện cần và đủ của sự hội tụ đầy đủ của tổng kép có trọng số các phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi một. Các bất đẳng thức đánh giá xác suất đuôi của tổng các biến ngẫu nhiên đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết xác suất. Chúng là chìa khóa để thiết lập luật số lớn cũng như các định lý giới hạn khác. Từ các bất đẳng thức cổ điển Etemadi, Lévy, Ottaviani, Hoffmann-Jørgensen có trong [17, tr. 138-145 ], Etemadi [13] đã chứng minh được các bất đẳng thức này cho trường hợp mảng d chỉ số các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach. Sau đó, năm 2013 các tác giả Li và Rosalsky [25] đã thiết lập dạng tổng quát của các bất đẳng thức cổ điển trên. Trong luận án, chúng tôi nghiên cứu dạng tổng quát của các bất đẳng thức cổ điển này cho trường hợp mảng hai chỉ số. Sau đó, chúng tôi vận dụng kết quả này để chứng minh rằng luật mạnh số lớn dạng (p, q) kéo theo luật mạnh số lớn. 7.2. Cấu trúc của luận án Ngoài các phần Một số kí hiệu thường dùng trong luận án, Mở đầu, Kết luận chung và kiến nghị, Danh mục công trình liên quan trực tiếp đến luận án và Tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận án được trình bày trong 3 chương. Chương 1 được dành để nghiên cứu luật số lớn đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập, nhận giá trị trong không gian Banach thực, khả li. Bố cục của Chương 1 như sau. Mục 1.1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị để làm công cụ chứng minh kết quả chính của chương. Mục 1.2 đưa ra điều kiện để luật mạnh số lớn và luật yếu số lớn đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập tương đương với nhau. Kết quả chính của Mục 1.2 là các Định lý 1.2.1 và 1.2.10, tương ứng
7 nghiên cứu luật số lớn cho trường hợp các phần tử ngẫu nhiên độc lập không cùng phân phối và độc lập cùng phân phối. Trong mục này, luận án cũng trình bày ứng dụng của các Định lý 1.2.1 và 1.2.10 để chứng minh luật mạnh số lớn đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập, kì vọng 0 nhận giá trị trong không gian Rademacher dạng p thông qua các Hệ quả 1.2.7, 1.2.8, 1.2.14. Chương 2 nghiên cứu sự hội tụ đầy đủ và hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p của mảng các phần tử ngẫu nhiên. Chương 2 gồm hai mục. Mục 2.1 đưa ra một đặc trưng của không gian Rademacher dạng p liên quan đến sự hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p. Bên cạnh đó, trong Mục 2.1, chúng tôi chứng minh được rằng hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p của tổng Smn /(mn)(p+1)/p kéo theo luật mạnh số lớn Smn /mn → 0 h.c.c. Ngoài ra, chúng tôi đưa ra hai phản ví dụ để minh họa cho các kết quả chính. Phản ví dụ thứ nhất chỉ ra hội tụ đầy đủ và hội tụ theo trung bình không kéo theo hội tụ đầy đủ theo trung bình. Phản ví dụ thứ hai chỉ ra rằng trong Định lý 2.1.8, chúng ta không thể làm yếu giả thiết độc lập bởi giả thiết độc lập đôi một. Trong Mục 2.2, chúng tôi đưa ra điều kiện cần và đủ cho sự hội tụ đầy đủ của tổng có trọng số các phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi một. Ở mục này, chúng tôi cũng đưa ra ví dụ để chỉ ra rằng trong Định lý 2.2.7, ta không thể thay thế giả thiết mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi một, cùng phân phối bởi giả thiết độc lập, bị chặn ngẫu nhiên bởi một phần tử ngẫu nhiên bị chặn. Các kết quả chính của chương là Định lý 2.1.6, Định lý 2.1.8 và Định lý 2.2.7. Chương 3 được dành để nghiên cứu dạng tổng quát của một số bất đẳng thức Etemadi, Lévy, Ottaviani và Hoffmann-Jørgensen đối với mảng hai chỉ số các phần tử ngẫu nhiên độc lập. Mục 3.1 giới thiệu một số kí hiệu, các bổ đề cần thiết dùng để chứng minh các kết quả chính của chương. Mục 3.2 đưa ra kết quả và chứng minh chi tiết các dạng tổng quát của các bất đẳng thức nêu trên. Mục 3.3 trình bày sự vận dụng dạng tổng quát của bất đẳng thức Ottaviani để chứng minh luật mạnh số lớn dạng (p, q) kéo theo luật mạnh số lớn. Các kết quả chính của chương là các Định lý 3.2.2, 3.2.3, 3.2.4, 3.2.5 và Định lý 3.3.2. Các kết quả chính của luận án đã được trình bày tại Hội nghị toàn quốc lần
8 thứ 5: “Xác suất - Thống kê: nghiên cứu, ứng dụng và giảng dạy” (Đại học Sư phạm Đà Nẵng, 23-25/05/2015), Seminar của Bộ môn Xác suất thống kê và Toán ứng dụng thuộc Viện Sư phạm Tự nhiên-Trường Đại học Vinh (từ năm 2013 đến năm 2018). Các kết quả này đã được công bố trên các tạp chí Acta Mathematica Sinica, English Series và Acta Mathematica Hungarica.
9 CHƯƠNG 1 MỘT SỐ LUẬT SỐ LỚN ĐỐI VỚI MẢNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu luật số lớn đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach. Chúng tôi đưa ra các điều kiện để luật mạnh số lớn và luật yếu số lớn tương đương với nhau. Các kết quả chính của chương được viết dựa trên bài báo [42]. Trong luận án này, nếu không nói gì thêm ta luôn giả sử rằng X, V, Xmn , Vmn , Xn ... là các phần tử ngẫu nhiên cùng xác định trên không gian xác suất đầy đủ (Ω, F, P) nhận giá trị trong không gian Banach thực, khả li E. Cho {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các phần tử ngẫu nhiên, ta luôn kí hiệu m X X n Smn = Xij , m ≥ 1, n ≥ 1. i=1 j=1 1.1. Một số kiến thức chuẩn bị Mục này, trình bày một số kiến thức chuẩn bị để làm công cụ để nghiên cứu nội dung chính của chương. Trước hết chúng tôi trình bày định nghĩa các dạng hội tụ của mảng các số thực. 1.1.1 Định nghĩa. ([36]) Cho {amn , m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng hai chỉ số các số thực. (i) Mảng {amn , m ≥ 1, n ≥ 1} được gọi là hội tụ đến a ∈ R khi m ∨ n → ∞ nếu với mọi ε > 0 tồn tại N ∈ N sao cho với mọi m, n ∈ N mà m ∨ n ≥ N thì |amn − a| < ε.
10 Khi đó, ta kí hiệu lim amn = a hoặc amn → a khi m ∨ n → ∞. m∨n→∞ (ii) Mảng {amn , m ≥ 1, n ≥ 1} được gọi là tiến ra ∞ khi m ∨ n → ∞ nếu với mọi M > 0 tồn tại N ∈ N sao cho với mọi m, n ∈ N mà m ∨ n ≥ N thì amn > M. Khi đó, ta kí hiệu lim amn = ∞ hoặc amn → ∞ khi m ∨ n → ∞. Trong các định m∨n→∞ nghĩa trên, nếu ta thay khi m ∨ n → ∞ bởi m ∧ n → ∞ thì ta thu được các dạng hội tụ khi m ∧ n → ∞. Tiếp theo, chúng tôi giới thiệu định nghĩa sự hội tụ của chuỗi hai chỉ số các số thực không âm. 1.1.2 Định nghĩa. Giả sử {amn , m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các số thực không âm. Khi đó, ta nói ∞ X X ∞ amn < ∞ m=1 n=1 nếu tồn tại S ∈ R sao cho m X X n lim aij = S. m∧n→∞ i=1 j=1 Khi đó, ta kí hiệu ∞ X X ∞ amn = S. m=1 n=1 1.1.3 Nhận xét. Ta dễ dàng chứng minh được rằng m X X n m X X n lim aij = sup aij . m∧n→∞ m≥1,n≥1 i=1 j=1 i=1 j=1 Định nghĩa sau đây, chúng tôi trình bày các dạng hội tụ hầu chắc chắn (h.c.c.), hội tụ theo xác suất, hội tụ đầy đủ, hội tụ theo trung bình của mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach. 1.1.4 Định nghĩa. ([36])
11 (i) Mảng các phần tử ngẫu nhiên {Xmn , m > 1, n > 1} được gọi là hội tụ hầu chắc chắn (h.c.c.) đến phần tử ngẫu nhiên X khi m∨n → ∞ nếu P( lim kXmn − m∨n→∞ h.c.c. Xk = 0) = 1. Khi đó, ta kí hiệu Xmn → X khi m ∨ n → ∞, hay lim Xmn = m∨n→∞ X h.c.c. (ii) Mảng các phần tử ngẫu nhiên {Xmn , m > 1, n > 1} được gọi là hội tụ theo xác suất đến phần tử ngẫu nhiên X khi m ∨ n → ∞ nếu với mọi ε > 0 thì P lim P(kXmn − Xk > ε) = 0. Khi đó, ta kí hiệu Xmn → X khi m ∨ n → ∞. m∨n→∞ (iii) Giả sử p > 0. Mảng các phần tử ngẫu nhiên {Xmn , m > 1, n > 1} được gọi là hội tụ theo trung bình cấp p đến phần tử ngẫu nhiên X khi m ∨ n → ∞ nếu Lp lim EkXmn − Xkp = 0. Khi đó, ta kí hiệu Xmn → X khi m ∨ n → ∞. m∨n→∞ Tương tự ta thu được các dạng hội tụ trên khi m ∧ n → ∞ nếu ta thay m ∨ n → ∞ bởi m ∧ n → ∞. (iv) Mảng các phần tử ngẫu nhiên {Xmn , m > 1, n > 1} được gọi là hội tụ đầy ∞ P P ∞ đủ đến phần tử ngẫu nhiên X nếu với mọi ε > 0 thì P(kXmn −Xk > ε) < ∞. m=1 n=1 c Khi đó, ta kí hiệu Xmn → X. Mệnh đề sau đây nêu lên tiêu chuẩn của sự hội tụ hầu chắc chắn của mảng các phần tử ngẫu nhiên. Phép chứng minh của mệnh đề hoàn toàn tương tự như trường hợp dãy một chỉ số. 1.1.5 Mệnh đề. Xmn → X h.c.c. khi m ∨ n → ∞ khi và chỉ khi với mọi ε > 0, ta có lim P( sup kXmn − Xk > ε) = 0. k→∞ m∨n>k Từ định nghĩa về các dạng hội tụ của mảng các phần tử ngẫu nhiên và tiêu chuẩn của sự hội tụ h.c.c., bất đẳng thức Markov,... ta có thể chứng minh các mối quan hệ giữa các dạng hội tụ đó như sau. c h.c.c. 1.1.6 Nhận xét. (i) Nếu Xmn → X thì Xmn → X khi m ∨ n → ∞. h.c.c. P (ii) Nếu Xmn → X khi m ∨ n → ∞ thì Xmn → X khi m ∨ n → ∞. Lp P (iii) Nếu Xmn → X khi m ∨ n → ∞ thì Xmn → X khi m ∨ n → ∞.
12 Giả sử {Amn , m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các biến cố. Trong luận án, ta sử dụng các kí hiệu sau đây: ∞ \ [ lim sup Amn = Amn , k=1 m∨n≥k ∞ [ \ lim inf Amn = Amn . k=1 m∨n≥k 1.1.7 Bổ đề. (Bổ đề Borel-Cantelli cho mảng hai chỉ số) Giả sử {Amn , m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các biến cố. Khi đó ta có các khẳng định sau. (i) Nếu ∞ P P∞ m=1 n=1 P(Amn ) < ∞, thì P(lim sup Amn ) = 0. (ii) Nếu {Amn , m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các biến cố độc lập đôi một và X∞ X∞ P(Amn ) = ∞, m=1 n=1 thì P(lim sup Amn ) = 1. S Chứng minh. (i) Đặt Bk = Amn với mọi k ≥ 1. Khi đó {Bk , k ≥ 1} là dãy m∨n≥k giảm nên theo tính liên tục của xác suất, ta có ∞ ∞ ! ! \ [ \ 0 ≤ P (lim sup Amn ) = P Amn =P Bk k=1 m∨n≥k k=1 ! [ = lim P(Bk ) = lim P Amn k→∞ k→∞ m∨n≥k X ≤ lim P(Amn ) = 0. k→∞ m∨n≥k (ii) Đặt Imn = I(Amn ), m ≥ 1, n ≥ 1. Khi đó, ta có EImn = P(Amn ), 2 Var (Imn ) = EImn − (EImn )2 = P(Amn )(1 − P(Amn )), và E(Ikl Imn ) = EIkl EImn với mọi (k, l) 6= (m, n). Như vậy, để chứng minh bổ đề ta chỉ cần chứng minh rằng nếu {Amn , m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các biến cố độc lập đôi một và ∞ P P∞ m=1 n=1 E(Imn ) = ∞ thì ∞ X ∞ ! X P Imn = ∞ = 1. m=1 n=1
13 Theo bất đẳng thức Chebyshev, ta có P P m X n m n ! m n
X
XX 4Var i=1 I j=1 ij (Iij − EIij )